如何证明不存在集合T使对任意集合F有T中的元素与F等势?
好的，我们来详细地探讨一下为什么不存在一个集合 T，使得对于任意一个集合 F，T 中都存在一个元素与 F 等势。这背后涉及集合论中的一个非常核心且重要的概念——基数（cardinality）。
首先，我们需要明确几个基本概念：
集合 (Set)：集合是一堆不重复的对象的汇集。例如，${1, 2, 3}$ 是一个集合。
等势 (Equinumerosity)：如果两个集合 A 和 B 之间存在一个一一对应的关系（即一个双射函数），那么我们就说 A 和 B 是等势的。简单来说，它们包含相同数量的元素。我们记作 $|A| = |B|$。
基数 (Cardinality)：基数是用来衡量集合“大小”的数。对于有限集合，基数就是它元素的个数。对于无限集合，基数则是一个更抽象的概念，它代表了该集合的“无穷大”的程度。例如，所有自然数组成的集合 $mathbb{N}$ 的基数是 $aleph_0$ (阿列夫零)。
现在，我们来尝试证明这个命题的反面，也就是：对于任意一个集合 A，总存在一个集合 B，使得 B 与 A 不等势。 这会帮助我们理解为什么不存在那个“万能”的集合 T。
证明思路：构造法
我们的目标是证明“对于任意集合 A，存在集合 B，使得 $|B| eq |A|$”。我们可以通过构造一个比 A 更大的集合来实现。
设 A 是任意一个集合。我们考虑所有 A 的子集所组成的集合。这个集合有一个专门的名字，叫做 A 的幂集（Power Set），记作 $P(A)$。
$P(A) = {S mid S subseteq A}$
例如，如果 $A = {1, 2}$，那么 $P(A) = {emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$。
现在，我们要证明的关键点是：对于任意集合 A，集合 A 的幂集 $P(A)$ 的基数严格大于集合 A 的基数。也就是说，$|P(A)| > |A|$。
为了证明这一点，我们可以采用“反证法”，并结合康托尔定理（Cantor's Theorem）。
康托尔定理的表述： 对于任意集合 A，其幂集 $P(A)$ 的基数严格大于 A 的基数。即 $|A| < |P(A)|$。
康托尔定理的证明（反证法）：
假设存在一个函数 $f: A o P(A)$ 使得 $f$ 是一一对应的（即双射）。这意味着 $f$ 将 A 中的每一个元素映射到了 $P(A)$ 的一个子集，并且每个子集都有一个唯一的 A 中的元素对应。
现在，我们构造一个新的集合 C 如下：
$C = {x in A mid x otin f(x)}$
这个集合 C 的含义是：C 包含了集合 A 中所有那些“不包含自身”的元素。这里的“自身”指的是 A 中的元素 $x$ 与它在 $P(A)$ 中的像 $f(x)$ 之间的关系。$f(x)$ 是 A 的一个子集，所以 $x$ 有可能在 $f(x)$ 中，也可能不在。
根据我们的假设，函数 $f$ 是一个双射，它覆盖了 $P(A)$ 中的所有子集。因此，集合 C 也必须是 $P(A)$ 中的某个子集，也就是说，存在一个元素 $c in A$ 使得 $f(c) = C$。
现在我们来分析 $c$ 和 $C$ 之间的关系：
1. 如果 $c in C$ 呢？
根据 C 的定义，$C = {x in A mid x otin f(x)}$。如果 $c in C$，那么根据 C 的定义，$c$ 必须满足“ $c otin f(c)$ ”。
但是，我们知道 $f(c) = C$。所以，如果 $c in C$，那么 $c otin C$。这产生了矛盾。
2. 如果 $c otin C$ 呢？
同样根据 C 的定义，如果 $c otin C$，那么 $c$ 就不能满足 C 的构成条件，即 $c otin {x in A mid x otin f(x)}$。这意味着 $c$ 必须满足 $c in f(c)$。
但是，我们知道 $f(c) = C$。所以，如果 $c otin C$，那么 $c in C$。这又产生了矛盾。
无论我们假设 $c$ 在不在 $C$ 中，都会导致矛盾。这个矛盾的根源在于我们最初的假设：“存在一个双射函数 $f: A o P(A)$”。因此，这个假设是错误的。
结论：不存在这样的双射函数 $f: A o P(A)$。这意味着 $A$ 和 $P(A)$ 之间不存在一一对应关系。所以，$|A| eq |P(A)|$。
由于我们已经证明了 $|A| < |P(A)|$，这意味着对于任意集合 A，我们总能找到一个基数（即 $|P(A)|$）比 A 的基数要大。
回到最初的问题：为什么不存在集合 T 使对任意集合 F 有 T 中的元素与 F 等势？
现在我们可以清晰地回答这个问题了。
假设存在这样一个集合 T。这意味着 T 中包含了某种“完备”的基数，能够与宇宙中任意一个集合 F 都建立起一一对应关系。换句话说，T 中的每一个元素代表了一个基数，而这些基数能够覆盖所有可能的集合基数。
根据我们上面证明的康托尔定理，对于任何一个集合 A，它的幂集 $P(A)$ 的基数都比 A 的基数要大：$|A| < |P(A)|$。
现在，让我们考虑集合 T 的性质。如果 T 真的能与任意集合 F 等势，那么它必须能与 $P(A)$ 等势，对于任意的 A。
但是，康托尔定理告诉我们：
1. 对于任意集合 A，存在集合 $P(A)$，且 $|A| < |P(A)|$。
2. 这意味着集合 A 的基数不是最大的基数，因为 $P(A)$ 的基数更大。
如果我们试图构造一个包含所有可能基数的集合，那么这个集合本身就会面临一个问题——它必须比它所包含的每一个基数所代表的集合都要“大”。
让我们从另一个角度思考：如果存在这样一个集合 T，假设其基数为 $kappa$（也就是 $|T| = kappa$）。那么 T 中的每一个元素代表了一个基数。根据假设，对于任意集合 F，都有 $|F| in { ext{T中的基数}}$.
那么，我们考虑一个特定的集合，就是我们自己（作为逻辑上的实体）所能理解的“所有集合的集合”。在标准的策梅洛弗兰克尔集合论（ZF）中，我们不能构造“所有集合的集合”，因为这会导致罗素悖论。但我们可以考虑一个限制范围内的“所有集合的集合”。
或者更直接地，让我们考虑任意一个集合 $X$。根据康托尔定理，我们知道 $P(X)$ 的基数 $|P(X)|$ 严格大于 $|X|$。这意味着：
如果 T 真的包含了所有可能的集合的基数，那么它必须包含 $|X|$ 和 $|P(X)|$ 这两个基数（或者说，T 中有元素与 X 等势，也有元素与 $P(X)$ 等势）。
但是，由于 $|X| < |P(X)|$，这意味着 $P(X)$ 的基数比 $X$ 的基数“更大”。
现在，假设存在那个“万能”集合 T。那么 T 中的元素（代表基数）就应该能够覆盖所有可能的基数。
我们考虑一个特定的集合，比如自然数集 $mathbb{N}$。它的基数是 $aleph_0$。根据康托尔定理，幂集 $P(mathbb{N})$ 的基数是 $2^{aleph_0}$，而我们知道 $aleph_0 < 2^{aleph_0}$。
如果 T 中有一个元素与 $mathbb{N}$ 等势，那么 T 中表示的基数就是 $aleph_0$。
那么，T 中是否也有一个元素与 $P(mathbb{N})$ 等势呢？如果 T 的基数是有限的，那它显然不可能与无限集合 $P(mathbb{N})$ 等势。
如果 T 是一个无限集合呢？假设 T 的基数是 $lambda$。
现在，让我们构建一个集合，它“打包”了 T 中所有元素的“下一个更大的基数”。
假设 T 包含所有可能的集合基数。这是一个非标准的想法，因为集合论不允许构造“所有集合的集合”。但在直觉上，如果存在这样一个 T，它就必须能够覆盖所有基数。
让我们回到康托尔定理的核心：对于任意集合 A，我们总能构造一个比 A 更大的基数的集合 $P(A)$。这意味着基数的阶梯是无穷无尽的。
现在假设存在集合 T，使得对任意集合 F，总有 $|F| = |t|$ 对于某个 $t in T$。
这意味着，T 中的元素的基数集合 ${|t| mid t in T}$ 包含了所有可能的集合基数。
但是，我们知道对于任何一个集合 A，我们都可以找到它的幂集 $P(A)$，并且 $|A| < |P(A)|$。
这意味着，基数 $aleph_0$ 不是最大的基数，因为存在 $2^{aleph_0}$。
$2^{aleph_0}$ 也不是最大的基数，因为存在 $2^{2^{aleph_0}}$。
依此类推，基数的阶梯是无穷无尽的。
如果 T 真的包含了“所有”基数，那么 T 本身就形成了一个基数，这个基数必须“比 T 中包含的任何基数都要大”。
让我们考虑一个集合 S，它由所有“严格大于 T 中任何一个基数”的基数组成。
更直接的证明方式是：
假设存在这样的集合 T。那么，T 的基数是 $|T|$。
考虑集合 T 自身。根据康托尔定理，我们知道 $|T| < |P(T)|$。
因为 $|T| < |P(T)|$，这意味着 $P(T)$ 的基数比 T 的基数要大。
根据我们的假设，T 中应该有一个元素 $t_0$ 使得 $|P(T)| = |t_0|$。
但是，如果 $|P(T)| = |t_0|$ 并且 $t_0 in T$，那么根据 T 的定义， $|P(T)|$ 就应该是 T 中所有基数之一。
然而，康托尔定理直接告诉我们，对于任何集合 X， $|X| < |P(X)|$。
这意味着，不存在一个集合能包含所有基数，因为你总是可以构造一个更大的。
我们来反向思考：如果 T 存在，它就代表了一个“基数的集合”。
假设 T 的基数是 $kappa$。
我们知道，对于任何基数 $alpha$，都存在一个集合 A 使得 $|A| = alpha$。
根据康托尔定理，对于这个集合 A， $|A| < |P(A)|$。
这意味着 $alpha < |P(A)|$。
所以，基数 $alpha$ 不是最大的基数，因为总存在一个更大的基数 $|P(A)|$。
如果 T 能够与任意集合 F 等势，那么 T 的基数必须是“最大的基数”，能够“容纳”所有其他基数。
但是，康托尔定理证明了“最大的基数”不存在。任何一个基数 $alpha$ 都有一个比它更大的基数 $|P(A)|$（其中 $|A|=alpha$）。
因此，不可能存在一个集合 T，它里面包含了“所有”基数，使其能够与任何集合 F 都等势。
总结一下论证过程：
1. 理解“等势”和“基数”：等势是集合大小相等的概念，基数是衡量集合大小的抽象数值。
2. 引入康托尔定理：康托尔定理是关键工具，它证明了对于任意集合 A，其幂集 $P(A)$ 的基数严格大于 A 的基数，即 $|A| < |P(A)|$。
3. 证明“不存在最大的基数”：康托尔定理直接蕴含了不存在最大的基数。因为对于任何基数 $alpha$，我们总可以找到一个集合 A 使得 $|A| = alpha$，然后构造出 $P(A)$，其基数 $|P(A)|$ 比 $alpha$ 要大。这意味着基数不是孤立的，而是形成了一个无穷的“链”。
4. 反证法的应用：假设存在一个集合 T，它里面的元素能够与宇宙中的任何集合 F 都等势。这意味着 T 中的基数集合要包含所有的基数。
5. 导出矛盾：
如果 T 包含了所有基数，那么 T 的基数本身也应该是一个基数。
根据康托尔定理，我们知道对于 T 这个集合本身，存在 $P(T)$，并且 $|T| < |P(T)|$。
这意味着 $P(T)$ 的基数比 T 的基数要大。
如果 T 是一个包含所有基数的集合，那么 $|P(T)|$ 这个基数也应该包含在 T 的基数之中，也就是说，T 中应该有某个元素 $t$ 使得 $|P(T)| = |t|$。
然而，我们知道 $|T| < |P(T)|$，这意味着 T 的基数 $lambda$（即 $|T| = lambda$）不是最大的基数，因为存在一个更大的基数 $|P(T)|$。
因此，如果 T 真的包含了“所有”基数，那么 T 自身就构成了一个悖论：它必须包含一个比它自身基数更大的基数，并且这个更大的基数也应该在 T 中，这导致了无限的基数嵌套，违背了集合论的基本结构。
最根本的矛盾在于，康托尔定理证明了基数的无限性，永远可以找到更大的。所以，不可能有一个集合能“囊括”所有这些不断增长的基数。
因此，不存在集合 T，使得对任意集合 F 都有 T 中的元素与 F 等势。这个证明是集合论中关于无穷的深刻洞察，它告诉我们无穷并非“一个”概念，而是有不同“大小”的无穷。
首先，我们需要明确几个基本概念：
集合 (Set)：集合是一堆不重复的对象的汇集。例如，${1, 2, 3}$ 是一个集合。
等势 (Equinumerosity)：如果两个集合 A 和 B 之间存在一个一一对应的关系（即一个双射函数），那么我们就说 A 和 B 是等势的。简单来说，它们包含相同数量的元素。我们记作 $|A| = |B|$。
基数 (Cardinality)：基数是用来衡量集合“大小”的数。对于有限集合，基数就是它元素的个数。对于无限集合，基数则是一个更抽象的概念，它代表了该集合的“无穷大”的程度。例如，所有自然数组成的集合 $mathbb{N}$ 的基数是 $aleph_0$ (阿列夫零)。
现在，我们来尝试证明这个命题的反面，也就是：对于任意一个集合 A，总存在一个集合 B，使得 B 与 A 不等势。 这会帮助我们理解为什么不存在那个“万能”的集合 T。
证明思路：构造法
我们的目标是证明“对于任意集合 A，存在集合 B，使得 $|B| eq |A|$”。我们可以通过构造一个比 A 更大的集合来实现。
设 A 是任意一个集合。我们考虑所有 A 的子集所组成的集合。这个集合有一个专门的名字，叫做 A 的幂集（Power Set），记作 $P(A)$。
$P(A) = {S mid S subseteq A}$
例如，如果 $A = {1, 2}$，那么 $P(A) = {emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$。
现在，我们要证明的关键点是：对于任意集合 A，集合 A 的幂集 $P(A)$ 的基数严格大于集合 A 的基数。也就是说，$|P(A)| > |A|$。
为了证明这一点，我们可以采用“反证法”，并结合康托尔定理（Cantor's Theorem）。
康托尔定理的表述： 对于任意集合 A，其幂集 $P(A)$ 的基数严格大于 A 的基数。即 $|A| < |P(A)|$。
康托尔定理的证明（反证法）：
假设存在一个函数 $f: A o P(A)$ 使得 $f$ 是一一对应的（即双射）。这意味着 $f$ 将 A 中的每一个元素映射到了 $P(A)$ 的一个子集，并且每个子集都有一个唯一的 A 中的元素对应。
现在，我们构造一个新的集合 C 如下：
$C = {x in A mid x otin f(x)}$
这个集合 C 的含义是：C 包含了集合 A 中所有那些“不包含自身”的元素。这里的“自身”指的是 A 中的元素 $x$ 与它在 $P(A)$ 中的像 $f(x)$ 之间的关系。$f(x)$ 是 A 的一个子集，所以 $x$ 有可能在 $f(x)$ 中，也可能不在。
根据我们的假设，函数 $f$ 是一个双射，它覆盖了 $P(A)$ 中的所有子集。因此，集合 C 也必须是 $P(A)$ 中的某个子集，也就是说，存在一个元素 $c in A$ 使得 $f(c) = C$。
现在我们来分析 $c$ 和 $C$ 之间的关系：
1. 如果 $c in C$ 呢？
根据 C 的定义，$C = {x in A mid x otin f(x)}$。如果 $c in C$，那么根据 C 的定义，$c$ 必须满足“ $c otin f(c)$ ”。
但是，我们知道 $f(c) = C$。所以，如果 $c in C$，那么 $c otin C$。这产生了矛盾。
2. 如果 $c otin C$ 呢？
同样根据 C 的定义，如果 $c otin C$，那么 $c$ 就不能满足 C 的构成条件，即 $c otin {x in A mid x otin f(x)}$。这意味着 $c$ 必须满足 $c in f(c)$。
但是，我们知道 $f(c) = C$。所以，如果 $c otin C$，那么 $c in C$。这又产生了矛盾。
无论我们假设 $c$ 在不在 $C$ 中，都会导致矛盾。这个矛盾的根源在于我们最初的假设：“存在一个双射函数 $f: A o P(A)$”。因此，这个假设是错误的。
结论：不存在这样的双射函数 $f: A o P(A)$。这意味着 $A$ 和 $P(A)$ 之间不存在一一对应关系。所以，$|A| eq |P(A)|$。
由于我们已经证明了 $|A| < |P(A)|$，这意味着对于任意集合 A，我们总能找到一个基数（即 $|P(A)|$）比 A 的基数要大。
回到最初的问题：为什么不存在集合 T 使对任意集合 F 有 T 中的元素与 F 等势？
现在我们可以清晰地回答这个问题了。
假设存在这样一个集合 T。这意味着 T 中包含了某种“完备”的基数，能够与宇宙中任意一个集合 F 都建立起一一对应关系。换句话说，T 中的每一个元素代表了一个基数，而这些基数能够覆盖所有可能的集合基数。
根据我们上面证明的康托尔定理，对于任何一个集合 A，它的幂集 $P(A)$ 的基数都比 A 的基数要大：$|A| < |P(A)|$。
现在，让我们考虑集合 T 的性质。如果 T 真的能与任意集合 F 等势，那么它必须能与 $P(A)$ 等势，对于任意的 A。
但是，康托尔定理告诉我们：
1. 对于任意集合 A，存在集合 $P(A)$，且 $|A| < |P(A)|$。
2. 这意味着集合 A 的基数不是最大的基数，因为 $P(A)$ 的基数更大。
如果我们试图构造一个包含所有可能基数的集合，那么这个集合本身就会面临一个问题——它必须比它所包含的每一个基数所代表的集合都要“大”。
让我们从另一个角度思考：如果存在这样一个集合 T，假设其基数为 $kappa$（也就是 $|T| = kappa$）。那么 T 中的每一个元素代表了一个基数。根据假设，对于任意集合 F，都有 $|F| in { ext{T中的基数}}$.
那么，我们考虑一个特定的集合，就是我们自己（作为逻辑上的实体）所能理解的“所有集合的集合”。在标准的策梅洛弗兰克尔集合论（ZF）中，我们不能构造“所有集合的集合”，因为这会导致罗素悖论。但我们可以考虑一个限制范围内的“所有集合的集合”。
或者更直接地，让我们考虑任意一个集合 $X$。根据康托尔定理，我们知道 $P(X)$ 的基数 $|P(X)|$ 严格大于 $|X|$。这意味着：
如果 T 真的包含了所有可能的集合的基数，那么它必须包含 $|X|$ 和 $|P(X)|$ 这两个基数（或者说，T 中有元素与 X 等势，也有元素与 $P(X)$ 等势）。
但是，由于 $|X| < |P(X)|$，这意味着 $P(X)$ 的基数比 $X$ 的基数“更大”。
现在，假设存在那个“万能”集合 T。那么 T 中的元素（代表基数）就应该能够覆盖所有可能的基数。
我们考虑一个特定的集合，比如自然数集 $mathbb{N}$。它的基数是 $aleph_0$。根据康托尔定理，幂集 $P(mathbb{N})$ 的基数是 $2^{aleph_0}$，而我们知道 $aleph_0 < 2^{aleph_0}$。
如果 T 中有一个元素与 $mathbb{N}$ 等势，那么 T 中表示的基数就是 $aleph_0$。
那么，T 中是否也有一个元素与 $P(mathbb{N})$ 等势呢？如果 T 的基数是有限的，那它显然不可能与无限集合 $P(mathbb{N})$ 等势。
如果 T 是一个无限集合呢？假设 T 的基数是 $lambda$。
现在，让我们构建一个集合，它“打包”了 T 中所有元素的“下一个更大的基数”。
假设 T 包含所有可能的集合基数。这是一个非标准的想法，因为集合论不允许构造“所有集合的集合”。但在直觉上，如果存在这样一个 T，它就必须能够覆盖所有基数。
让我们回到康托尔定理的核心：对于任意集合 A，我们总能构造一个比 A 更大的基数的集合 $P(A)$。这意味着基数的阶梯是无穷无尽的。
现在假设存在集合 T，使得对任意集合 F，总有 $|F| = |t|$ 对于某个 $t in T$。
这意味着，T 中的元素的基数集合 ${|t| mid t in T}$ 包含了所有可能的集合基数。
但是，我们知道对于任何一个集合 A，我们都可以找到它的幂集 $P(A)$，并且 $|A| < |P(A)|$。
这意味着，基数 $aleph_0$ 不是最大的基数，因为存在 $2^{aleph_0}$。
$2^{aleph_0}$ 也不是最大的基数，因为存在 $2^{2^{aleph_0}}$。
依此类推，基数的阶梯是无穷无尽的。
如果 T 真的包含了“所有”基数，那么 T 本身就形成了一个基数，这个基数必须“比 T 中包含的任何基数都要大”。
让我们考虑一个集合 S，它由所有“严格大于 T 中任何一个基数”的基数组成。
更直接的证明方式是：
假设存在这样的集合 T。那么，T 的基数是 $|T|$。
考虑集合 T 自身。根据康托尔定理，我们知道 $|T| < |P(T)|$。
因为 $|T| < |P(T)|$，这意味着 $P(T)$ 的基数比 T 的基数要大。
根据我们的假设，T 中应该有一个元素 $t_0$ 使得 $|P(T)| = |t_0|$。
但是，如果 $|P(T)| = |t_0|$ 并且 $t_0 in T$，那么根据 T 的定义， $|P(T)|$ 就应该是 T 中所有基数之一。
然而，康托尔定理直接告诉我们，对于任何集合 X， $|X| < |P(X)|$。
这意味着，不存在一个集合能包含所有基数，因为你总是可以构造一个更大的。
我们来反向思考：如果 T 存在，它就代表了一个“基数的集合”。
假设 T 的基数是 $kappa$。
我们知道，对于任何基数 $alpha$，都存在一个集合 A 使得 $|A| = alpha$。
根据康托尔定理，对于这个集合 A， $|A| < |P(A)|$。
这意味着 $alpha < |P(A)|$。
所以，基数 $alpha$ 不是最大的基数，因为总存在一个更大的基数 $|P(A)|$。
如果 T 能够与任意集合 F 等势，那么 T 的基数必须是“最大的基数”，能够“容纳”所有其他基数。
但是，康托尔定理证明了“最大的基数”不存在。任何一个基数 $alpha$ 都有一个比它更大的基数 $|P(A)|$（其中 $|A|=alpha$）。
因此，不可能存在一个集合 T，它里面包含了“所有”基数，使其能够与任何集合 F 都等势。
总结一下论证过程：
1. 理解“等势”和“基数”：等势是集合大小相等的概念，基数是衡量集合大小的抽象数值。
2. 引入康托尔定理：康托尔定理是关键工具，它证明了对于任意集合 A，其幂集 $P(A)$ 的基数严格大于 A 的基数，即 $|A| < |P(A)|$。
3. 证明“不存在最大的基数”：康托尔定理直接蕴含了不存在最大的基数。因为对于任何基数 $alpha$，我们总可以找到一个集合 A 使得 $|A| = alpha$，然后构造出 $P(A)$，其基数 $|P(A)|$ 比 $alpha$ 要大。这意味着基数不是孤立的，而是形成了一个无穷的“链”。
4. 反证法的应用：假设存在一个集合 T，它里面的元素能够与宇宙中的任何集合 F 都等势。这意味着 T 中的基数集合要包含所有的基数。
5. 导出矛盾：
如果 T 包含了所有基数，那么 T 的基数本身也应该是一个基数。
根据康托尔定理，我们知道对于 T 这个集合本身，存在 $P(T)$，并且 $|T| < |P(T)|$。
这意味着 $P(T)$ 的基数比 T 的基数要大。
如果 T 是一个包含所有基数的集合，那么 $|P(T)|$ 这个基数也应该包含在 T 的基数之中，也就是说，T 中应该有某个元素 $t$ 使得 $|P(T)| = |t|$。
然而，我们知道 $|T| < |P(T)|$，这意味着 T 的基数 $lambda$（即 $|T| = lambda$）不是最大的基数，因为存在一个更大的基数 $|P(T)|$。
因此，如果 T 真的包含了“所有”基数，那么 T 自身就构成了一个悖论：它必须包含一个比它自身基数更大的基数，并且这个更大的基数也应该在 T 中，这导致了无限的基数嵌套，违背了集合论的基本结构。
最根本的矛盾在于，康托尔定理证明了基数的无限性，永远可以找到更大的。所以，不可能有一个集合能“囊括”所有这些不断增长的基数。
因此，不存在集合 T，使得对任意集合 F 都有 T 中的元素与 F 等势。这个证明是集合论中关于无穷的深刻洞察，它告诉我们无穷并非“一个”概念，而是有不同“大小”的无穷。
网友意见
我们在ZFC的范围内回答这个问题。
首先这个问题用词不是特别严谨。
严谨的说法应该是不存在集合T对任意XXXXXX。(去掉了一个族字)
这个严谨版本的证明很简单，把F取成T的并(所有元素的并集)的幂集(所有子集组成的集合)，这就是一个反例。
要去掉族这个字的原因是，在某些语境下面，集合族可能指的不是一个集合，而是一个真类。
类似的话题
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有