在集合论里，对于二元公式φ，如何证明(任意X)(存在{x∈X：φ(x,X)})？
在集合论的框架下，我们要证明一个这样的陈述：对于任何集合 $X$，都存在一个集合，这个集合是由 $X$ 中满足某个二元性质 $varphi$ 的元素组成的，并且这个性质 $varphi$ 本身也可能依赖于集合 $X$。用符号表示就是：
$(forall X) (exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
这里的 $varphi(x, X)$ 是一个二元公式，意思是“元素 $x$ 满足关于集合 $X$ 的性质 $varphi$”。我们要证明的是，对于任意给定的集合 $X$，我们总能构造出这样一个唯一的集合 $Y$。这个 $Y$ 就是 $X$ 的一个子集，它的元素就是那些既属于 $X$ 又满足 $varphi(x, X)$ 的元素。
要完成这个证明，我们需要依赖集合论中的一个核心公理，那就是分离公理模式（也称为子集公理模式或外延公理模式的一部分）。分离公理模式是这样表述的：
对于任何集合 $A$ 和任何一个一元公式 $psi(x)$（这个公式不引用集合 $A$ 本身，但可能引用其他集合或变量），存在一个集合 $B$，它的元素恰好是 $A$ 中满足 $psi(x)$ 的那些元素。
用符号表示就是：
$(forall A) (exists B) (forall x) (x in B leftrightarrow (x in A land psi(x)))$
现在，我们来看看如何运用分离公理模式来证明我们的目标陈述。
证明步骤：
1. 设定一个任意的集合 $X$：
根据我们要证明的陈述的“任意 $X$”部分，我们首先假定有一个任意的、已经存在的集合 $X$。这个 $X$ 是我们构造新集合的起点。
2. 构造一个适合分离公理模式的公式：
分离公理模式要求我们有一个一元公式 $psi(x)$，它作用在一个集合的元素上。然而，我们的原始公式 $varphi$ 是一个二元公式 $varphi(x, X)$，它同时依赖于一个元素 $x$ 和一个集合 $X$。
关键点在于，在证明的这一步，我们已经固定了任意的集合 $X$。这意味着，在考虑满足 $varphi$ 的元素时，$X$ 作为一个整体是固定的。因此，我们可以将 $varphi(x, X)$ 理解为一个依赖于 $X$ 的一元公式。
具体来说，我们可以定义一个新的、只依赖于 $x$ 的公式 $psi(x)$ 如下：
$psi(x) equiv varphi(x, X)$
这个 $psi(x)$ 是一个有效的一元公式，因为 $X$ 在这里被视为一个固定的、已经存在的实体（正如我们第一步所假定的）。
3. 应用分离公理模式：
现在我们有了集合 $X$ 和一个作用在 $X$ 的元素上的一元公式 $psi(x) = varphi(x, X)$。根据分离公理模式：
对于集合 $X$ 和公式 $psi(x)$，存在一个集合 $Y$，使得 $Y$ 的元素恰好是 $X$ 中满足 $psi(x)$ 的那些元素。
用符号表示就是：
$(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land psi(x)))$
4. 替换回原始公式：
我们将 $psi(x)$ 替换回其定义 $varphi(x, X)$：
$(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
5. 完成证明的通用性：
我们最初假定了一个“任意的”集合 $X$。分离公理模式的应用是针对这个任意的 $X$ 完成的。因此，这个存在性结论 $(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$ 对于我们所选取的任何集合 $X$ 都成立。
所以，我们可以将这个结论推广到“对于任意的集合 $X$”，即：
$(forall X) (exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
这个陈述正是我们要证明的目标。
核心思想总结：
证明的关键在于分离公理模式本身。它保证了对于任何给定的集合 $A$ 和任何一个描述其元素性质的（一元）公式 $psi$，我们都可以从 $A$ 中“分离”出所有满足 $psi$ 的元素，并形成一个新的集合。
在我们的情况中，二元公式 $varphi(x, X)$ 由于 $X$ 的固定而变成了一个有效的一元公式 $psi(x)$。一旦我们有了这样一个一元公式，分离公理模式就可以直接用来构造我们想要的集合 $Y$。
为什么这个很重要？
这个证明实际上是在阐述朴素集合论中的一个基本构造方法，也称为概括模式或子集构造。它允许我们根据一个属性来定义一个集合的子集。集合论的公理系统（如 ZFC 公理系统）之所以包含分离公理模式，正是因为它是构造集合的基本工具，没有它，很多集合的定义和证明都将无法进行。例如，我们想定义“偶数集合”，它就是所有整数中能被2整除的那些数。这个“能被2整除”的性质就是我们的 $varphi$。如果集合 $X$ 是所有整数，那么 $Y$ 就是偶数集合。
这个证明也说明了，在集合论中，“属性”本身可以依赖于某个（已知的）集合。这是非常有力的，因为它允许我们从已有的集合出发，通过筛选来生成新的、更有针对性的集合。
总而言之，$(forall X)(exists {x in X : varphi(x,X)})$ 这个陈述的证明，归根结底是对分离公理模式的一次直接应用。我们只是需要理解，当原始的二元公式中的一个变量（这里的 $X$）被固定时，它就可以被视为一个定义集合元素性质的一元公式。
$(forall X) (exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
这里的 $varphi(x, X)$ 是一个二元公式，意思是“元素 $x$ 满足关于集合 $X$ 的性质 $varphi$”。我们要证明的是，对于任意给定的集合 $X$，我们总能构造出这样一个唯一的集合 $Y$。这个 $Y$ 就是 $X$ 的一个子集，它的元素就是那些既属于 $X$ 又满足 $varphi(x, X)$ 的元素。
要完成这个证明，我们需要依赖集合论中的一个核心公理，那就是分离公理模式（也称为子集公理模式或外延公理模式的一部分）。分离公理模式是这样表述的：
对于任何集合 $A$ 和任何一个一元公式 $psi(x)$（这个公式不引用集合 $A$ 本身，但可能引用其他集合或变量），存在一个集合 $B$，它的元素恰好是 $A$ 中满足 $psi(x)$ 的那些元素。
用符号表示就是：
$(forall A) (exists B) (forall x) (x in B leftrightarrow (x in A land psi(x)))$
现在，我们来看看如何运用分离公理模式来证明我们的目标陈述。
证明步骤：
1. 设定一个任意的集合 $X$：
根据我们要证明的陈述的“任意 $X$”部分，我们首先假定有一个任意的、已经存在的集合 $X$。这个 $X$ 是我们构造新集合的起点。
2. 构造一个适合分离公理模式的公式：
分离公理模式要求我们有一个一元公式 $psi(x)$，它作用在一个集合的元素上。然而，我们的原始公式 $varphi$ 是一个二元公式 $varphi(x, X)$，它同时依赖于一个元素 $x$ 和一个集合 $X$。
关键点在于，在证明的这一步，我们已经固定了任意的集合 $X$。这意味着，在考虑满足 $varphi$ 的元素时，$X$ 作为一个整体是固定的。因此，我们可以将 $varphi(x, X)$ 理解为一个依赖于 $X$ 的一元公式。
具体来说，我们可以定义一个新的、只依赖于 $x$ 的公式 $psi(x)$ 如下：
$psi(x) equiv varphi(x, X)$
这个 $psi(x)$ 是一个有效的一元公式，因为 $X$ 在这里被视为一个固定的、已经存在的实体（正如我们第一步所假定的）。
3. 应用分离公理模式：
现在我们有了集合 $X$ 和一个作用在 $X$ 的元素上的一元公式 $psi(x) = varphi(x, X)$。根据分离公理模式：
对于集合 $X$ 和公式 $psi(x)$，存在一个集合 $Y$，使得 $Y$ 的元素恰好是 $X$ 中满足 $psi(x)$ 的那些元素。
用符号表示就是：
$(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land psi(x)))$
4. 替换回原始公式：
我们将 $psi(x)$ 替换回其定义 $varphi(x, X)$：
$(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
5. 完成证明的通用性：
我们最初假定了一个“任意的”集合 $X$。分离公理模式的应用是针对这个任意的 $X$ 完成的。因此，这个存在性结论 $(exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$ 对于我们所选取的任何集合 $X$ 都成立。
所以，我们可以将这个结论推广到“对于任意的集合 $X$”，即：
$(forall X) (exists Y) (forall x) (x in Y leftrightarrow (x in X land varphi(x, X)))$
这个陈述正是我们要证明的目标。
核心思想总结：
证明的关键在于分离公理模式本身。它保证了对于任何给定的集合 $A$ 和任何一个描述其元素性质的（一元）公式 $psi$，我们都可以从 $A$ 中“分离”出所有满足 $psi$ 的元素，并形成一个新的集合。
在我们的情况中，二元公式 $varphi(x, X)$ 由于 $X$ 的固定而变成了一个有效的一元公式 $psi(x)$。一旦我们有了这样一个一元公式，分离公理模式就可以直接用来构造我们想要的集合 $Y$。
为什么这个很重要？
这个证明实际上是在阐述朴素集合论中的一个基本构造方法，也称为概括模式或子集构造。它允许我们根据一个属性来定义一个集合的子集。集合论的公理系统（如 ZFC 公理系统）之所以包含分离公理模式，正是因为它是构造集合的基本工具，没有它，很多集合的定义和证明都将无法进行。例如，我们想定义“偶数集合”，它就是所有整数中能被2整除的那些数。这个“能被2整除”的性质就是我们的 $varphi$。如果集合 $X$ 是所有整数，那么 $Y$ 就是偶数集合。
这个证明也说明了，在集合论中，“属性”本身可以依赖于某个（已知的）集合。这是非常有力的，因为它允许我们从已有的集合出发，通过筛选来生成新的、更有针对性的集合。
总而言之，$(forall X)(exists {x in X : varphi(x,X)})$ 这个陈述的证明，归根结底是对分离公理模式的一次直接应用。我们只是需要理解，当原始的二元公式中的一个变量（这里的 $X$）被固定时，它就可以被视为一个定义集合元素性质的一元公式。
网友意见
辅证现有答案对Jech分离公理的引用，以下来自Schindler的set theory
集合X选好了以后，φ(x, X)不就是关于x的一元公式了吗
这么看来，这个“二元的分离模式公理”和分离模式公理就是等价的。
我的回答在这个语境下完全没有帮助。请大家不要采纳。
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