在集合的势的意义下，是否存在比实数集更大的全序集？

确实，在集合的势（cardinality）的意义下，存在比实数集更大的全序集。而且，这样的集合不止一个，数量上可以说是无穷无尽的。这听起来可能有些反直觉，因为实数集似乎已经“填满”了我们想象中的数轴。但从集合论的角度来看，我们拥有的工具可以构造出远比实数集“庞大”的全序集。

要理解这一点，我们首先需要明确几个关键概念：

1. 全序集 (Totally Ordered Set)：一个集合 $S$ 如果定义了一个关系 $le$（通常称为“小于或等于”）满足以下条件，那么它就是一个全序集：
自反性：对于 $S$ 中的任意元素 $a$，有 $a le a$。
反对称性：如果 $a le b$ 且 $b le a$，那么 $a = b$。
传递性：如果 $a le b$ 且 $b le c$，那么 $a le c$。
全理性（或称可比性）：对于 $S$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，要么 $a le b$，要么 $b le a$。

实数集 $mathbb{R}$ 配备标准的“小于或等于”关系就是最熟悉的例子。整数集 $mathbb{Z}$、自然数集 $mathbb{N}$ 也是全序集。

2. 集合的势 (Cardinality)：集合的势，或者说基数，是衡量集合“大小”的一种方式。直观地说，如果两个集合可以一一对应（即存在一个双射函数），那么它们的势就相等。
有限集合的势就是它元素的个数。
对于无限集合，我们用字母 $aleph$（读作“aleph”）来表示其势。最基本的可数无限集合，例如自然数集 $mathbb{N}$，其势记作 $aleph_0$（读作“alephnull”）。
实数集 $mathbb{R}$ 的势比 $aleph_0$ 要大。我们知道 $mathbb{R}$ 与单位区间 $[0, 1]$ 之间存在一个双射，而单位区间与所有自然数的笛卡尔积 $mathbb{N} imes mathbb{N}$ 之间也存在一个双射（这个可以证明）。因此，实数集的势实际上是和自然数的笛卡尔积的势一样大，都等于 $aleph_0$ 的下一个更大的基数，记作 $2^{aleph_0}$，或者有时也记作 $mathfrak{c}$（continuum 的缩写）。重要的事实是，$2^{aleph_0} > aleph_0$。

那么，是否存在比实数集 $mathbb{R}$（势为 $2^{aleph_0}$）更大的全序集呢？

答案是肯定的。而且，我们可以通过几种方式来构造。

方法一：构造一个“更长”的数轴

一个直观的想法是，既然实数集是连续的一条线，我们可以尝试在其“外部”再添加一些“点”，或者将某些“段”进行扩展，创造出更大的全序集。

考虑序数 (Ordinal Numbers) 这个概念。序数是用于描述集合的良序（wellordered）的次序的基数。一个良序集是一个全序集，其中每一个非空子集都有一个最小元素。自然数集 $mathbb{N}$ 加上其上的“小于”关系是一个良序集，其势是 $aleph_0$。

最小的无限序数是 $omega$（omega），它代表了自然数集的次序：$0, 1, 2, 3, dots$。$omega$ 本身是一个序数，也可以看作是一个全序集（即自然数集）。

我们可以构造比 $omega$ 更大的序数，例如 $omega + 1$。这个集合可以想象成自然数序列后面再加上一个“无穷大”的元素。它表示的次序是 $0, 1, 2, 3, dots, omega$。这个集合的势是多少呢？

集合 ${0, 1, 2, dots}$ 的势是 $aleph_0$。
集合 ${omega}$ 的势是 1。
集合 ${0, 1, 2, dots, omega}$ 的势是 $|mathbb{N} cup {omega}| = aleph_0 + 1 = aleph_0$。

虽然 $omega+1$ 是一个比自然数集 $mathbb{N}$ “次序更复杂”的全序集，但它的势与自然数集相同，也就是 $aleph_0$。这并没有比实数集大。

但是，序数运算可以产生势更大的集合。

考虑序数 $omega cdot 2 = omega + omega$。这个集合可以想象成两列自然数：
$(0, 0), (0, 1), (0, 2), dots, (1, 0), (1, 1), (1, 2), dots$
其中 $(0, n) < (0, m)$ 如果 $n < m$，$(1, n) < (1, m)$ 如果 $n < m$，并且 $(0, n) < (1, m)$ 对于所有 $n, m$ 都成立。
这个集合的势是 $aleph_0 + aleph_0 = aleph_0$。

我们可以继续构造：
$omega cdot omega$
$omega^omega$
$epsilon_0$ (epsilonnull) 等等。

这些序数在它们的自然次序下都是良序集，因此也都是全序集。但是，它们的势是什么呢？

一个关键的结论是：一个序数的势（在作为集合考虑时），取决于它“长度”的基数。

例如，对于序数 $alpha$，如果 $alpha$ 的势是 $|alpha|$，那么它本身作为集合时的势就是 $|alpha|$。

现在我们来考虑实数集的势 $2^{aleph_0}$。我们能否构造一个势比 $2^{aleph_0}$ 更大的序数（作为集合时）？

答案是肯定的。根据康托尔定理，对于任何集合 $A$，幂集 $mathcal{P}(A)$ 的势（即所有子集的集合）严格大于 $A$ 的势：$|mathcal{P}(A)| > |A|$。

所以，对于实数集 $mathbb{R}$，其幂集 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 的势是 $|mathcal{P}(mathbb{R})| = 2^{|mathbb{R}|} = 2^{2^{aleph_0}}$。这个势严格大于 $2^{aleph_0}$。

那么，$mathcal{P}(mathbb{R})$ 是否可以定义一个全序关系，使其成为一个更大的全序集呢？

是的。我们可以考虑 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 本身。$mathcal{P}(mathbb{R})$ 是实数集的所有子集的集合。我们可以给它定义一个全序关系，例如：
令 $A, B in mathcal{P}(mathbb{R})$。定义 $A le B$ 当且仅当 $A subseteq B$（包含关系）。

这个包含关系在 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 上定义了一个偏序关系。然而，对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，我们不能保证 $A subseteq B$ 或 $B subseteq A$。例如，集合 ${1}$ 和 ${2}$ 它们之间没有包含关系。所以，这是一个偏序集，而不是全序集。

我们需要找到一种方式，为 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 定义一个全序关系，使其势为 $2^{2^{aleph_0}}$。

一个常用的方法是利用“勒贝格测度”或其他的度量概念，但这会引入更多分析学的背景。从纯集合论的角度，我们可以利用“字典序”来构造更大的全序集。

方法二：利用字典序构造更大的全序集

考虑一个集合的笛卡尔积。例如，我们知道 $|mathbb{N} imes mathbb{N}| = aleph_0$。我们可以给 $mathbb{N} imes mathbb{N}$ 定义一个全序关系，比如字典序：
$(a, b) le (c, d)$ 当且仅当 $a < c$ 或者 ($a = c$ 且 $b le d$)。
这个集合就是一个可数无限的全序集。

现在，我们知道实数集 $mathbb{R}$ 的势是 $2^{aleph_0}$。我们可以考虑所有函数 $f: mathbb{N} o {0, 1}$ 的集合。这个集合的势是 $|{0, 1}^{mathbb{N}}| = 2^{|mathbb{N}|} = 2^{aleph_0}$。实数集和这个集合之间存在双射。

我们可以给这个函数集合定义一个全序关系，比如字典序（如果我们把函数看作一个序列）：
令 $f, g: mathbb{N} o {0, 1}$。
定义 $f le g$ 当且仅当存在某个 $n_0 in mathbb{N}$，使得对于所有 $n < n_0$，有 $f(n) = g(n)$，并且 $f(n_0) < g(n_0)$。
这相当于比较函数序列在第一个不相同的元素处的取值。例如，如果函数表示二进制小数的系数，这个顺序就类似于我们比较两个数的标准方式。

这个集合（具有字典序）是一个势为 $2^{aleph_0}$ 的全序集。这仍然是实数集的势。

如何构造更大的？

我们可以继续构造更大势的集合，并赋予它们全序关系。

考虑所有实数序列的集合 $S = mathbb{R}^{mathbb{N}}$。这个集合的势是 $|mathbb{R}^{mathbb{N}}| = |mathbb{R}|^{|mathbb{N}|} = (2^{aleph_0})^{aleph_0}$。
根据指数运算法则，$(a^b)^c = a^{bc}$。
所以，$(2^{aleph_0})^{aleph_0} = 2^{aleph_0 cdot aleph_0} = 2^{aleph_0}$。
所以，这个集合的势仍然是 $2^{aleph_0}$。

我们要构造的是势比 $2^{aleph_0}$ 更大的全序集。

回想一下幂集的势 $2^{2^{aleph_0}}$。我们可以尝试构造一个势为 $2^{2^{aleph_0}}$ 的全序集。

考虑一个“二阶”的对象集合。例如，所有实数的实数序列的集合。
令 $X = mathbb{R}^{mathbb{N}}$ 是所有从 $mathbb{N}$ 到 $mathbb{R}$ 的函数的集合。我们已经看到 $|X| = 2^{aleph_0}$。

现在考虑 $X$ 的幂集 $mathcal{P}(X)$。其势为 $2^{|X|} = 2^{2^{aleph_0}}$。
我们如何给 $mathcal{P}(X)$ 定义一个全序关系呢？

这里可以引入一个更抽象但强大的概念：良序化 (Wellordering)。
尽管我们不能直接证明实数集 $mathbb{R}$ 可以良序化（即是否存在一个良序关系 $prec$ 使得 $(mathbb{R}, prec)$ 是一个良序集），但在集合论公理化（ZFC）的框架下，选择公理（Axiom of Choice）保证了每一个集合都可以被良序化。

如果存在一个良序关系 $prec$ 使得 $(mathbb{R}, prec)$ 是一个良序集，那么它的势是什么呢？
根据良序的性质，如果一个集合可以良序化，那么它的势就等于某个序数。我们知道自然数集 $mathbb{N}$ 的良序（标准次序）对应的序数是 $omega$，其势是 $aleph_0$。
实数集 $mathbb{R}$ 的良序（如果存在）对应的序数 $ ho$ 的势是 $| ho| = |mathbb{R}| = 2^{aleph_0}$。
这是因为，如果实数集能良序化，那么它的势就和某些序数的势相等，而这些序数中的第一个，具有最小势的良序集合的那个，其势就是 $2^{aleph_0}$。

如何构造比 $2^{aleph_0}$ 更大的全序集？

最直接的思路是利用幂集的势。
考虑实数集 $mathbb{R}$。我们知道其势是 $2^{aleph_0}$。
根据康托尔定理，$|mathcal{P}(mathbb{R})| = 2^{|mathbb{R}|} = 2^{2^{aleph_0}}$。

尽管 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 上的包含关系不是全序关系，但我们可以构造一个新的全序集，其元素数量和 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 相同，并且这个全序集是“有序的”。

一个通用的构造方式是：
1. 找到一个势为 $kappa$ 的集合 $S$。
2. 根据选择公理，我们可以为 $S$ 找到一个良序关系 $prec$，使得 $(S, prec)$ 是一个良序集。其势仍然是 $kappa$。

那么，我们如何找到一个势比 $2^{aleph_0}$ 更大的集合 $S$，然后去良序化它呢？

构造一个势为 $2^{2^{aleph_0}}$ 的全序集：

考虑实数集 $mathbb{R}$。我们知道它的势是 $2^{aleph_0}$。
现在考虑所有从 $mathbb{R}$ 到 $mathbb{R}$ 的函数的集合 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$。
这个集合的势是 $|mathbb{R}^{mathbb{R}}| = |mathbb{R}|^{|mathbb{R}|} = (2^{aleph_0})^{(2^{aleph_0})}$。
这是一个非常大的势。我们知道 $(a^b)^c = a^{bc}$，但这里底数和指数都是无穷的。
更重要的是，我们知道 $2^{aleph_0} < 2^{2^{aleph_0}}$。
并且，$(2^{aleph_0})^{2^{aleph_0}} = 2^{aleph_0 cdot 2^{aleph_0}}$。
因为 $aleph_0 cdot 2^{aleph_0} = 2^{aleph_0}$ （这是因为可数集合与不可数集合的乘积的势等于不可数集合的势）。
所以，$|mathbb{R}^{mathbb{R}}| = 2^{2^{aleph_0}}$。

这个集合 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$（所有从 $mathbb{R}$ 到 $mathbb{R}$ 的函数组成的集合），其势是 $2^{2^{aleph_0}}$，比实数集的势 $2^{aleph_0}$ 要大。

现在，我们能否给 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$ 定义一个全序关系呢？

直接定义一个“有意义的”全序关系来匹配这个巨大的势可能会很复杂。但是，我们可以利用选择公理来保证这个集合可以被良序化。

根据选择公理，对于任何集合 $A$，都存在一个良序关系 $prec$ 定义在 $A$ 上，使得 $(A, prec)$ 是一个良序集。

所以，根据选择公理：
1. 考虑集合 $S = mathbb{R}^{mathbb{R}}$，其势为 $2^{2^{aleph_0}}$。
2. 存在一个良序关系 $prec$ 定义在 $S$ 上。
3. 那么 $(S, prec)$ 就是一个势为 $2^{2^{aleph_0}}$ 的全序集。

这个全序集 $(S, prec)$ 比实数集 $mathbb{R}$（势为 $2^{aleph_0}$）的势要大。

更进一步：生成更大的全序集

我们还可以继续这个过程，不断生成势更大的全序集。

1. 实数集 $mathbb{R}$ 是一个全序集，势为 $2^{aleph_0}$。
2. 考虑集合 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$，它也是一个全序集（通过良序化），势为 $2^{2^{aleph_0}}$。
3. 考虑集合 $(mathbb{R}^{mathbb{R}})^{mathbb{R}}$，它的势是 $(2^{2^{aleph_0}})^{2^{aleph_0}} = 2^{2^{aleph_0} cdot 2^{aleph_0}} = 2^{(2^{aleph_0})}$.
请注意，$(2^{aleph_0})^{(2^{aleph_0})}$ 是比 $2^{(2^{aleph_0})}$ 要大的。实际上，$(2^{aleph_0})^{(2^{aleph_0})} = 2^{aleph_0 cdot 2^{aleph_0}} = 2^{2^{aleph_0}}$。
所以，我们这里构造的是势为 $2^{2^{2^{aleph_0}}}$ 的全序集。
4. 我们还可以考虑幂集 $mathcal{P}(mathbb{R})$。虽然包含关系不是全序，但根据选择公理，$mathcal{P}(mathbb{R})$ 可以良序化，其势为 $2^{2^{aleph_0}}$。
5. 我们可以继续构造形如 $A^B$ 的集合，或者幂集 $mathcal{P}(A)$，每次都生成一个势更大的集合，然后通过良序化赋予它一个全序关系。

例如，我们可以定义一个序列：
$C_0 = mathbb{N}$（势 $aleph_0$）
$C_1 = mathcal{P}(C_0)$（势 $2^{aleph_0}$）
$C_2 = mathcal{P}(C_1)$（势 $2^{2^{aleph_0}}$）
$C_3 = mathcal{P}(C_2)$（势 $2^{2^{2^{aleph_0}}}$）
等等。

每个集合 $C_n$ 的势都严格大于前一个。并且，根据选择公理，每一个 $C_n$ 都可以被良序化，从而成为一个全序集。

如果我们想寻找一个比实数集 $mathbb{R}$（势为 $2^{aleph_0}$）更大的全序集，最直接的例子就是 $mathcal{P}(mathbb{R})$（经过良序化），它的势是 $2^{2^{aleph_0}}$。

总结一下：

是的，存在比实数集 $mathbb{R}$ 势更大的全序集。

1. 实数集的势：通过康托尔证明，实数集的势与自然数的幂集势相等，即 $2^{aleph_0}$，也记作 $mathfrak{c}$。
2. 幂集的势增长：康托尔定理指出，对于任何集合 $A$，其幂集 $mathcal{P}(A)$ 的势严格大于 $A$ 的势：$|mathcal{P}(A)| > |A|$。
3. 构造更大的集合：
考虑实数集 $mathbb{R}$。
那么它的幂集 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 的势是 $2^{|mathbb{R}|} = 2^{2^{aleph_0}}$。这个势比 $2^{aleph_0}$ 要大。
我们可以考虑形如 $S^T$ 的集合，例如 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$，其势是 $|mathbb{R}|^{|mathbb{R}|} = (2^{aleph_0})^{2^{aleph_0}} = 2^{2^{aleph_0}}$。
4. 赋予全序关系：根据集合论中的选择公理，每一个集合都可以被良序化。一个良序集必然是一个全序集。
因此，集合 $mathcal{P}(mathbb{R})$，虽然其自然元素（子集）之间的包含关系不是全序，但存在一个良序关系 $prec$，使得 $(mathcal{P}(mathbb{R}), prec)$ 是一个势为 $2^{2^{aleph_0}}$ 的全序集。
同样，集合 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$ 也可以被良序化，成为一个势为 $2^{2^{aleph_0}}$ 的全序集。

这些构造出来的全序集，例如经过良序化的 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 或 $mathbb{R}^{mathbb{R}}$，它们的势都比实数集 $mathbb{R}$ 的势要大。而且，我们可以通过迭代幂集运算来生成一个势越来越大的全序集序列：

$mathbb{N} o mathcal{P}(mathbb{N}) o mathcal{P}(mathcal{P}(mathbb{N})) o mathcal{P}(mathcal{P}(mathcal{P}(mathbb{N}))) o dots$

$aleph_0 o 2^{aleph_0} o 2^{2^{aleph_0}} o 2^{2^{2^{aleph_0}}} o dots$

每一个集合都可以被良序化，从而成为一个全序集。这个链条是无穷无尽的，所以存在无限多个比实数集更大的全序集。

Hartogs定理：对于集合 ，存在序数 使得 。

设 。每个 都序同构于一个唯一的序数 。令 以及 。若 ，则存在单射 ，其值域 。 诱导了 上的良序 。于是 ，然而这表明 ，矛盾。

于是在集合基数意义下存在任意大的序数。