打开概率为 1/8000 的保险箱，8000 次内一定能打开吗？
我们来聊聊一个关于概率和“一定”的问题，就像我们日常生活中常遇到的一些挺有意思的脑筋急转弯。你说，一个保险箱打开的概率是八千分之一，那么在八千次尝试之内，它就一定能打开吗？
这话说起来，感觉挺有道理的，对吧？就好像说，我扔硬币，正面朝上的概率是二分之一，那扔两次就一定能出现一次正面。但事情往往不是这么简单。
咱们先捋一捋“概率”这个概念。那八千分之一的概率，它说的是什么呢？它指的是，在任何一次独立的尝试中，保险箱打开的可能性有多大。每次尝试都是独立的，也就是说，上次成功了或者失败了，都不影响下一次尝试的概率。这就像扔骰子一样，你今天扔出六的概率永远是六分之一，不管你昨天扔了多少次。
那为什么说八千次内不“一定”能打开呢？咱们换个角度想想。如果一个事件的概率是 P，那么它不发生的概率就是 1P。在咱们这个例子里，保险箱打开的概率是 1/8000，所以它不打开的概率就是 1 1/8000 = 7999/8000。
现在咱们考虑连续进行八千次尝试。每一次尝试，保险箱都没打开的概率都是 7999/8000。如果我们要计算的是，在八千次尝试中，保险箱一次都没有打开的概率，那我们就要把这个概率乘上八千次：
(7999/8000) (7999/8000) ... (重复八千次)
用数学的语言来说，就是 (7999/8000) 的八千次方。
这个数是多少呢？大家可能听说过一个叫做“e”的数学常数，大约是 2.718。当我们看到 (1 1/n) 的 n 次方，随着 n 越来越大，这个值会越来越接近 1/e。在咱们这个例子里，n 是 8000，虽然不是无穷大，但 8000 已经是个不小的数字了。
所以，(7999/8000) 的八千次方，大致上就等于 (1 1/8000) 的八千次方，这个值会接近 1/e，也就是大约 1 / 2.718，大概是 0.367。
换句话说，在八千次尝试中，一次保险箱都没打开的概率，大约还有 36.7%！
这可能跟很多人一开始的直觉不太一样。我们总觉得，概率是八千分之一，那八千次不就“平均”能开一次，或者说有机会开一次吗？但“平均”和“一定”是有很大区别的。
“平均”说的是一种长期趋势，或者说期待值。如果你反复进行无数次“尝试八千次保险箱”这个实验，那么平均下来，每进行大约八千次这样的实验，你会打开一个保险箱。但是，在某一次“尝试八千次保险箱”的实验里，并不能保证你一定能打开。
所以，问题的答案是：不一定。
虽然八千次内打开的概率非常高，但仍然存在一部分可能性，就是你这八千次尝试，每次都“不走运”地没打开。这部分概率虽然不大，但却是真实存在的，大约是 36.7%。
就好比说，我们买彩票，中了头奖的概率可能是几百万分之一。我们买了几百万张彩票，也不能保证一定能中头奖，对吧？当然，概率会比只买一张高得多得多，但“一定”这个词，在概率的世界里，是非常非常强的限定。
总结一下：保险箱打开的概率是 1/8000，这意味着每一次独立的尝试，它都有可能被打开。在八千次尝试中，它打开的“期望次数”是 8000 (1/8000) = 1 次。但是，期望值不等于实际结果。因为每次尝试都是独立的，你连续八千次都碰到那“不打开”的七千九百九十九种情况的概率，虽然很小，但仍然存在。所以，八千次之内，并不能百分之百保证打开。
这话说起来，感觉挺有道理的，对吧？就好像说，我扔硬币，正面朝上的概率是二分之一，那扔两次就一定能出现一次正面。但事情往往不是这么简单。
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那为什么说八千次内不“一定”能打开呢？咱们换个角度想想。如果一个事件的概率是 P，那么它不发生的概率就是 1P。在咱们这个例子里，保险箱打开的概率是 1/8000，所以它不打开的概率就是 1 1/8000 = 7999/8000。
现在咱们考虑连续进行八千次尝试。每一次尝试，保险箱都没打开的概率都是 7999/8000。如果我们要计算的是，在八千次尝试中，保险箱一次都没有打开的概率，那我们就要把这个概率乘上八千次：
(7999/8000) (7999/8000) ... (重复八千次)
用数学的语言来说，就是 (7999/8000) 的八千次方。
这个数是多少呢？大家可能听说过一个叫做“e”的数学常数，大约是 2.718。当我们看到 (1 1/n) 的 n 次方，随着 n 越来越大，这个值会越来越接近 1/e。在咱们这个例子里，n 是 8000，虽然不是无穷大，但 8000 已经是个不小的数字了。
所以，(7999/8000) 的八千次方，大致上就等于 (1 1/8000) 的八千次方，这个值会接近 1/e，也就是大约 1 / 2.718，大概是 0.367。
换句话说，在八千次尝试中，一次保险箱都没打开的概率，大约还有 36.7%！
这可能跟很多人一开始的直觉不太一样。我们总觉得，概率是八千分之一，那八千次不就“平均”能开一次，或者说有机会开一次吗？但“平均”和“一定”是有很大区别的。
“平均”说的是一种长期趋势，或者说期待值。如果你反复进行无数次“尝试八千次保险箱”这个实验，那么平均下来，每进行大约八千次这样的实验，你会打开一个保险箱。但是，在某一次“尝试八千次保险箱”的实验里，并不能保证你一定能打开。
所以，问题的答案是：不一定。
虽然八千次内打开的概率非常高，但仍然存在一部分可能性，就是你这八千次尝试，每次都“不走运”地没打开。这部分概率虽然不大，但却是真实存在的，大约是 36.7%。
就好比说，我们买彩票，中了头奖的概率可能是几百万分之一。我们买了几百万张彩票，也不能保证一定能中头奖，对吧？当然，概率会比只买一张高得多得多，但“一定”这个词，在概率的世界里，是非常非常强的限定。
总结一下：保险箱打开的概率是 1/8000，这意味着每一次独立的尝试，它都有可能被打开。在八千次尝试中，它打开的“期望次数”是 8000 (1/8000) = 1 次。但是，期望值不等于实际结果。因为每次尝试都是独立的，你连续八千次都碰到那“不打开”的七千九百九十九种情况的概率，虽然很小，但仍然存在。所以，八千次之内，并不能百分之百保证打开。
网友意见
不一定——比如说这个保险箱有8000000种可能的密码，其中1000种可以打开
不过大多数保险箱只有一种密码吧
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