考试砸了回到家，母亲打我的概率是 1/2，父亲打我的概率也是 1/2，那我被打的概率是多少？
这个问题看似简单，但实际上包含了概率论中一个重要的概念：事件的独立性。
我们一步步来分析：
1. 理解问题中的信息
事件 1：母亲打我
概率 P(母亲打我) = 1/2
事件 2：父亲打我
概率 P(父亲打我) = 1/2
我们需要计算的是“我被打的概率”，这意味着“母亲打我”和“父亲打我”中至少有一个发生的概率。
2. 关键假设：事件的独立性
在现实生活中，我们通常会假设父母的决定是独立的。也就是说：
母亲打不打我，不会影响父亲打不打我。
父亲打不打我，不会影响母亲打不打我。
如果父母之间会商量，或者一个打了我另一个就不打（这种情况不太可能，但从理论上讲是可能的），那么事件就不是独立的，计算方法也会不同。但根据题目给出的信息，最合理的理解就是它们是独立事件。
3. 分析可能的结果
由于母亲和父亲各自有打或不打两种可能，总共有四种可能的结果：
结果 A：母亲打我，父亲也打我。
结果 B：母亲打我，父亲不打我。
结果 C：母亲不打我，父亲打我。
结果 D：母亲不打我，父亲也不打我。
4. 计算每种结果发生的概率（基于独立性）
当两个事件是独立的时候，它们同时发生的概率是它们各自概率的乘积。
P(母亲不打我) = 1 P(母亲打我) = 1 1/2 = 1/2
P(父亲不打我) = 1 P(父亲打我) = 1 1/2 = 1/2
现在我们来计算每种结果的概率：
结果 A (母亲打，父亲打)：
P(A) = P(母亲打我) × P(父亲打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 B (母亲打，父亲不打)：
P(B) = P(母亲打我) × P(父亲不打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 C (母亲不打，父亲打)：
P(C) = P(母亲不打我) × P(父亲打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 D (母亲不打，父亲不打)：
P(D) = P(母亲不打我) × P(父亲不打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
检查： 这四种结果是所有可能的情况，它们的概率之和应该是 1。
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 = 1。 结果正确。
5. 计算“我被打的概率”
“我被打”意味着结果 A、结果 B 或结果 C 发生。这三种结果是互斥的（不可能同时发生，因为它们描述的是不同的场景）。所以，我们只需将这三种结果的概率相加：
P(我被打) = P(结果 A) + P(结果 B) + P(结果 C)
P(我被打) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
另一种更简便的计算方法（反向思考）：
“我被打”的对立面是“我没被打”。而“我没被打”只对应一种情况：母亲不打我，并且父亲也不打我（结果 D）。
我们已经计算出 P(结果 D) = 1/4。
那么，“我被打的概率”就是 1 减去“我没被打的概率”：
P(我被打) = 1 P(我没被打)
P(我被打) = 1 P(结果 D)
P(我被打) = 1 1/4 = 3/4
总结：
在假设母亲打我与父亲打我是两个独立事件的情况下，我被打的概率是 3/4。
详细解释：
这个问题可以被看作是两个独立二项事件的组合。母亲打你是一个概率为 1/2 的事件，父亲打你也是一个概率为 1/2 的事件。我们要求的是这两个事件中至少有一个发生的概率。
用集合论的语言来说，如果我们设事件 M 为“母亲打我”，事件 F 为“父亲打我”，那么我们要求的是 P(M ∪ F)。
根据概率加法公式：
P(M ∪ F) = P(M) + P(F) P(M ∩ F)
由于 M 和 F 是独立事件，P(M ∩ F) = P(M) P(F)。
所以：
P(M ∪ F) = P(M) + P(F) (P(M) P(F))
P(M ∪ F) = 1/2 + 1/2 (1/2 1/2)
P(M ∪ F) = 1 1/4
P(M ∪ F) = 3/4
这个结果说明，尽管每个家长打你的概率是 50%，但由于他们是独立行为的，你同时被两个人打的可能性虽然存在（1/4），但你完全不被打的可能性只有 1/4，因此你至少被一个人打的概率就大大提高了。
我们一步步来分析：
1. 理解问题中的信息
事件 1：母亲打我
概率 P(母亲打我) = 1/2
事件 2：父亲打我
概率 P(父亲打我) = 1/2
我们需要计算的是“我被打的概率”，这意味着“母亲打我”和“父亲打我”中至少有一个发生的概率。
2. 关键假设：事件的独立性
在现实生活中，我们通常会假设父母的决定是独立的。也就是说：
母亲打不打我，不会影响父亲打不打我。
父亲打不打我，不会影响母亲打不打我。
如果父母之间会商量，或者一个打了我另一个就不打（这种情况不太可能，但从理论上讲是可能的），那么事件就不是独立的，计算方法也会不同。但根据题目给出的信息，最合理的理解就是它们是独立事件。
3. 分析可能的结果
由于母亲和父亲各自有打或不打两种可能，总共有四种可能的结果：
结果 A：母亲打我，父亲也打我。
结果 B：母亲打我，父亲不打我。
结果 C：母亲不打我，父亲打我。
结果 D：母亲不打我，父亲也不打我。
4. 计算每种结果发生的概率（基于独立性）
当两个事件是独立的时候，它们同时发生的概率是它们各自概率的乘积。
P(母亲不打我) = 1 P(母亲打我) = 1 1/2 = 1/2
P(父亲不打我) = 1 P(父亲打我) = 1 1/2 = 1/2
现在我们来计算每种结果的概率：
结果 A (母亲打，父亲打)：
P(A) = P(母亲打我) × P(父亲打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 B (母亲打，父亲不打)：
P(B) = P(母亲打我) × P(父亲不打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 C (母亲不打，父亲打)：
P(C) = P(母亲不打我) × P(父亲打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
结果 D (母亲不打，父亲不打)：
P(D) = P(母亲不打我) × P(父亲不打我) = (1/2) × (1/2) = 1/4
检查： 这四种结果是所有可能的情况，它们的概率之和应该是 1。
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 = 1。 结果正确。
5. 计算“我被打的概率”
“我被打”意味着结果 A、结果 B 或结果 C 发生。这三种结果是互斥的（不可能同时发生，因为它们描述的是不同的场景）。所以，我们只需将这三种结果的概率相加：
P(我被打) = P(结果 A) + P(结果 B) + P(结果 C)
P(我被打) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
另一种更简便的计算方法（反向思考）：
“我被打”的对立面是“我没被打”。而“我没被打”只对应一种情况：母亲不打我，并且父亲也不打我（结果 D）。
我们已经计算出 P(结果 D) = 1/4。
那么，“我被打的概率”就是 1 减去“我没被打的概率”：
P(我被打) = 1 P(我没被打)
P(我被打) = 1 P(结果 D)
P(我被打) = 1 1/4 = 3/4
总结：
在假设母亲打我与父亲打我是两个独立事件的情况下，我被打的概率是 3/4。
详细解释：
这个问题可以被看作是两个独立二项事件的组合。母亲打你是一个概率为 1/2 的事件，父亲打你也是一个概率为 1/2 的事件。我们要求的是这两个事件中至少有一个发生的概率。
用集合论的语言来说，如果我们设事件 M 为“母亲打我”，事件 F 为“父亲打我”，那么我们要求的是 P(M ∪ F)。
根据概率加法公式：
P(M ∪ F) = P(M) + P(F) P(M ∩ F)
由于 M 和 F 是独立事件，P(M ∩ F) = P(M) P(F)。
所以：
P(M ∪ F) = P(M) + P(F) (P(M) P(F))
P(M ∪ F) = 1/2 + 1/2 (1/2 1/2)
P(M ∪ F) = 1 1/4
P(M ∪ F) = 3/4
这个结果说明，尽管每个家长打你的概率是 50%，但由于他们是独立行为的，你同时被两个人打的可能性虽然存在（1/4），但你完全不被打的可能性只有 1/4，因此你至少被一个人打的概率就大大提高了。
网友意见
你有25%的概率被打两顿。
有25%的概率不挨打。
有50%的概率被打一顿。
因此你被打的概率为：25%+50%=75%
而你被打顿数的期望值为：2顿*25%+1顿*50%=1顿
那要取决于你有几个父亲、几个母亲。
一个父亲（或母亲）有1/2概率打你，两个父亲（或母亲）有3/4的概率打你，三个有7/8的概率。
理论上只要父母足够多，挨打概率就能趋近于1。
例题0：
假设有N个父母，求被打概率。
答案：1-0.5^N
（评论区说为什么不写母亲，确实是我疏忽了，已经加上去了）
以上是父母数为固定常数的情况。
下面我们来讨论，假如父母数为随时间变化的函数、假如父母数为有关挨打概率的函数、假如父母数为有关挨打概率的导数的函数。
例题1：
假设父母总数x=0.02t，0≤t≤10求在第4-8秒内，挨打的概率。
例题2：
假设父亲数为x，母亲数为y，时间t。
x=0.02sint+1
y=0.01e^t
求0-2秒内挨揍几率。求几秒内，概率必为1（即必挨揍）。
如果继续拓展下去，题目可能会稍微复杂一些。
课后习题：
父亲数=x, 母亲数=y, 时间=t，单位时间内的挨打概率为p（x,y），总挨打概率为P（x,y,t)。当t=0时，x=y=1。
其中：
dy/dx+(y-1)^3=x^2
x=2t
p=0.0005x+0.0005y
P=∫pdt
求2天内，挨打概率。
家庭作业：
以《我的母亲》为题，写一篇500字的作文。
上一期作业，作文《我的父亲》，获得一等奖的是袁华同学写的《我的区长父亲》，获得二等奖的是于谦同学的《我的父亲们》。在这里批评吕布同学，作文写的太血腥暴力，0分。
兄弟们，我大学不是学数学专业的，这几个例题可能出的有bug，如果评论区发现，可以指出。
设随机变量则 。设你会挨打的概率是 , 则
因此 . 设 为 的相关系数，则我们有
由 可知 .
结论：父母行动越一致，你被打的概率越低。
- 如果父母喜欢同时行动，那么你只有 几率会被打；
- 如果两人行动完全不相关，此时两人的行动恰好也是独立的（由联合分布律可知），挨打几率为 ；
- 如果两人喜欢对着干，相关系数为 ，那你就惨了， 被打。
注意被打并不代表一定会被打。举个例子，从 上取点，父亲在小于 时打你，母亲在大于 时打你，此时 ，你虽然不被打几率是 ，但仍可能发生。实际上此时有 ，而必定被打指的是 。
最后注意如果父母打你几率不正好都是 ，相关系数 一般不能取满 。
被打概率=1-不被打的概率=1-0.5*0.5=0.75
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