偏序集与完备格？
好的，我们来聊聊偏序集和完备格，尽量用一种亲切自然的口吻来解读。
想象一下，我们生活中有很多东西，它们之间并不是完全能分出个“谁大谁小”或者“谁比谁更怎么样”。比如，我们可以比较两个人谁更高，但我们没法直接比较一个人是“更喜欢”猫还是“更喜欢”狗。这就是“偏”——部分有序。
偏序集，简单来说，就是一种“部分排序”的关系。
我们来具象化一下。
1. 偏序集：一个集合加上一种“小于等于”的规则
偏序集由两部分组成：
一个集合（Set）：里面装的是我们要比较的东西。可以是数字、字母、图形，甚至是抽象的概念，只要我们能给它们定义一种关系。
一个偏序关系（Partial Order Relation）：这是一个特殊的“小于等于”（我们通常用 $le$ 表示）的规则，它作用在这个集合的元素之间。这个规则有三个基本的要求：
自反性 (Reflexivity)：任何元素都“小于等于”它自己。这很好理解，任何事物都是它本身嘛。比如，数字 3 肯定小于等于 3。
反对称性 (Antisymmetry)：如果元素 a “小于等于”元素 b，并且同时元素 b 也“小于等于”元素 a，那么 a 和 b 必须是同一个元素。换句话说，如果两个不同的东西被“互相小于等于”，那就说明我们的关系定义有点问题，或者它们其实是一回事。比如，如果我说“甲比乙高”，又说“乙比甲高”，这只有在甲和乙是同一个人的时候才可能成立（当然，我们这里是严格意义上的“高”，不是“不矮”）。
传递性 (Transitivity)：如果元素 a “小于等于”元素 b，并且元素 b “小于等于”元素 c，那么元素 a 也一定“小于等于”元素 c。这就像我们常说的，“如果 A 赢了 B，B 赢了 C，那么 A 就赢了 C”一样，是一种逻辑上的顺延。
举几个例子，大家就更明白了：
自然数集合和“小于等于”关系： 这是我们最熟悉的。任何两个自然数，我们都能明确地说谁大谁小，或者相等。这是“全序”，是偏序的特例。
一个班级的学生和“身高不矮于”关系： 如果我们说“a 的身高不矮于 b”（也就是 a $ge$ b），那么：
每个人都“不矮于”自己（自反性）。
如果 a 不矮于 b，b 不矮于 a，那他们身高肯定一样（反对称性）。
如果 a 不矮于 b，b 不矮于 c，那 a 肯定也不矮于 c（传递性）。
这个例子里，我们是可以完全排序的，所以也是全序。
一个数学集合和“子集”关系： 考虑集合 {1, 2, 3} 的所有子集。我们定义关系为“子集于”（$subseteq$）。
任何集合都是自己的子集（自反性）。
如果 A $subseteq$ B 且 B $subseteq$ A，那么 A 和 B 是同一个集合（反对称性）。
如果 A $subseteq$ B 且 B $subseteq$ C，那么 A $subseteq$ C（传递性）。
这是一个典型的偏序集。但是，这里不是全序。比如，集合 {1} 和集合 {2} 之间，我们不能说谁是谁的子集。它们是“不可比的”。
画出偏序集：哈斯图 (Hasse Diagram)
为了更直观地理解偏序集，我们常常用一种叫做“哈斯图”的图来表示。它是一种简化的关系图，画的时候会遵循一些规则：
每个元素用一个点表示。
如果元素 a 严格“小于”（不是等于）元素 b，并且没有其他元素 c 夹在它们中间（即不存在 a < c < b），那么我们从 a 的点画一条线指向 b 的点，并且这条线是向上的。
省略掉自反和传递关系的“冗余”连接。
大家可以想象一下上面“子集”关系的哈斯图，你会看到各种集合之间层层嵌套的关系，但也会有一些集合是并列的，无法直接连接。
那完备格呢？它又是怎么来的？
偏序集给了我们一个框架去比较事物，但有时候，我们不仅想知道事物之间能不能比较，还想知道在这些事物集合中，有没有一些“特殊的”元素能够代表整个集合的某些“极限”行为。
完备格，可以理解为一种“足够好”的偏序集，它拥有一些非常方便的性质，能够处理集合中的“最大最小值”问题。
我们先来看看构成完备格的几个核心概念，它们都是基于偏序集来的：
1. 上确界 (Supremum) 和 下确界 (Infimum)
上界 (Upper Bound)：对于集合 A 中的任意元素 a，如果存在一个元素 b，使得 a $le$ b，那么 b 就是集合 A 的一个上界。你可以理解为所有比集合里所有东西都要“大”的那个东西。
上确界 (Supremum / Least Upper Bound, lub)：所有上界中“最小”的那一个。换句话说，它是满足“比集合里所有东西都大”的那些元素里，最小的那个。
下界 (Lower Bound)：对于集合 A 中的任意元素 a，如果存在一个元素 b，使得 b $le$ a，那么 b 就是集合 A 的一个下界。你可以理解为所有比集合里所有东西都要“小”的那个东西。
下确界 (Infimum / Greatest Lower Bound, glb)：所有下界中“最大”的那一个。换句话说，它是满足“比集合里所有东西都小”的那些元素里，最大的那个。
举个例子：
在自然数集（全序）中，考虑集合 {2, 5, 8}。
上界有很多，比如 8, 9, 100... 它们的上确界就是 8。
下界也很多，比如 2, 1, 0... 它们的下确界就是 2。
在子集关系那个偏序集中，考虑集合 { {1}, {2} }。
它们的上界是 {1, 2} 这个集合，以及 {1, 2, 3} 这个集合等等。上确界就是 {1, 2}。
它们没有共同的下界（除了空集，如果空集也在我们考虑的集合范围内的话），所以我们不能说它们有下确界（在这个例子中，如果我们只考虑非空子集的话）。
2. 格 (Lattice)
一个偏序集如果满足以下两个条件，就叫做一个格 (Lattice)：
任意两个元素都有上确界和下确界。 (即对于任意的 a, b，lub(a, b) 和 glb(a, b) 都存在。)
注意，这里的“任意两个元素”是指集合中的任何两个元素，而上面我们说的“上确界”和“下确界”是针对集合中的一个子集而言的。格要求的是任何两个元素都必须有上确界和下确界。
格可以看作是偏序集里“结构比较规整”的一种。我们常常用 $vee$ 表示上确界（并运算），用 $wedge$ 表示下确界（交运算）。所以格就满足任意两个元素都有运算 $vee$ 和 $wedge$ 的结果。
3. 完备格 (Complete Lattice)
最后，完备格就是一种“非常完备”的格。 它比普通的格要求更高：
一个偏序集，如果它其中的“任意子集”（包括空集和它本身）都存在上确界和下确界，那么它就是一个完备格。
这意味着，在完备格里，你不仅可以比较任意两个元素，你还可以拿整个集合（或者集合里的任何一部分）来计算它们的“最大公约数”（下确界）和“最小公倍数”（上确界）。
为什么完备格很重要？
完备格提供了一个非常强大的数学框架，在很多领域都有应用，比如：
形式概念分析 (Formal Concept Analysis, FCA)：用来分析数据中的概念和关系，完备格是其核心结构。
逻辑学和代数学：很多逻辑系统和代数结构都可以用完备格来描述。
程序语义学：用来理解和分析程序的行为。
集合论：幂集（一个集合的所有子集的集合）在子集关系下就构成了一个完备格。
完备格的一些有趣性质：
它一定有一个最小元素 (Bottom, $ot$) 和一个最大元素 (Top, $ op$)。最小元素是整个集合的下确界，最大元素是整个集合的上确界。
有限偏序集，如果它是一个格，那么它就是完备格。 这个性质非常方便，很多时候我们只需要考虑有限的情况就能知道它是不是完备格。
总结一下我们的旅程：
我们从“偏序集”出发，它描述了集合元素之间“部分排序”的关系。然后我们引入了“上确界”和“下确界”的概念，它们是集合中元素的“最大最小边界”。基于这两个概念，我们定义了“格”，要求任意两个元素都有上确界和下确界。最后，我们把要求升级到“任意子集”都存在上确界和下确界，这就得到了“完备格”。
完备格就像一个“结构完美”的偏序世界，它拥有足够多的“极限”元素，让我们能够在这个世界里做很多有意义的集合运算和分析。希望这样解释能让您觉得更亲切，也更了解它们之间的联系和各自的特点！
想象一下，我们生活中有很多东西，它们之间并不是完全能分出个“谁大谁小”或者“谁比谁更怎么样”。比如，我们可以比较两个人谁更高，但我们没法直接比较一个人是“更喜欢”猫还是“更喜欢”狗。这就是“偏”——部分有序。
偏序集，简单来说，就是一种“部分排序”的关系。
我们来具象化一下。
1. 偏序集：一个集合加上一种“小于等于”的规则
偏序集由两部分组成：
一个集合（Set）：里面装的是我们要比较的东西。可以是数字、字母、图形，甚至是抽象的概念，只要我们能给它们定义一种关系。
一个偏序关系（Partial Order Relation）：这是一个特殊的“小于等于”（我们通常用 $le$ 表示）的规则，它作用在这个集合的元素之间。这个规则有三个基本的要求：
自反性 (Reflexivity)：任何元素都“小于等于”它自己。这很好理解，任何事物都是它本身嘛。比如，数字 3 肯定小于等于 3。
反对称性 (Antisymmetry)：如果元素 a “小于等于”元素 b，并且同时元素 b 也“小于等于”元素 a，那么 a 和 b 必须是同一个元素。换句话说，如果两个不同的东西被“互相小于等于”，那就说明我们的关系定义有点问题，或者它们其实是一回事。比如，如果我说“甲比乙高”，又说“乙比甲高”，这只有在甲和乙是同一个人的时候才可能成立（当然，我们这里是严格意义上的“高”，不是“不矮”）。
传递性 (Transitivity)：如果元素 a “小于等于”元素 b，并且元素 b “小于等于”元素 c，那么元素 a 也一定“小于等于”元素 c。这就像我们常说的，“如果 A 赢了 B，B 赢了 C，那么 A 就赢了 C”一样，是一种逻辑上的顺延。
举几个例子，大家就更明白了：
自然数集合和“小于等于”关系： 这是我们最熟悉的。任何两个自然数，我们都能明确地说谁大谁小，或者相等。这是“全序”，是偏序的特例。
一个班级的学生和“身高不矮于”关系： 如果我们说“a 的身高不矮于 b”（也就是 a $ge$ b），那么：
每个人都“不矮于”自己（自反性）。
如果 a 不矮于 b，b 不矮于 a，那他们身高肯定一样（反对称性）。
如果 a 不矮于 b，b 不矮于 c，那 a 肯定也不矮于 c（传递性）。
这个例子里，我们是可以完全排序的，所以也是全序。
一个数学集合和“子集”关系： 考虑集合 {1, 2, 3} 的所有子集。我们定义关系为“子集于”（$subseteq$）。
任何集合都是自己的子集（自反性）。
如果 A $subseteq$ B 且 B $subseteq$ A，那么 A 和 B 是同一个集合（反对称性）。
如果 A $subseteq$ B 且 B $subseteq$ C，那么 A $subseteq$ C（传递性）。
这是一个典型的偏序集。但是，这里不是全序。比如，集合 {1} 和集合 {2} 之间，我们不能说谁是谁的子集。它们是“不可比的”。
画出偏序集：哈斯图 (Hasse Diagram)
为了更直观地理解偏序集，我们常常用一种叫做“哈斯图”的图来表示。它是一种简化的关系图，画的时候会遵循一些规则：
每个元素用一个点表示。
如果元素 a 严格“小于”（不是等于）元素 b，并且没有其他元素 c 夹在它们中间（即不存在 a < c < b），那么我们从 a 的点画一条线指向 b 的点，并且这条线是向上的。
省略掉自反和传递关系的“冗余”连接。
大家可以想象一下上面“子集”关系的哈斯图，你会看到各种集合之间层层嵌套的关系，但也会有一些集合是并列的，无法直接连接。
那完备格呢？它又是怎么来的？
偏序集给了我们一个框架去比较事物，但有时候，我们不仅想知道事物之间能不能比较，还想知道在这些事物集合中，有没有一些“特殊的”元素能够代表整个集合的某些“极限”行为。
完备格，可以理解为一种“足够好”的偏序集，它拥有一些非常方便的性质，能够处理集合中的“最大最小值”问题。
我们先来看看构成完备格的几个核心概念，它们都是基于偏序集来的：
1. 上确界 (Supremum) 和 下确界 (Infimum)
上界 (Upper Bound)：对于集合 A 中的任意元素 a，如果存在一个元素 b，使得 a $le$ b，那么 b 就是集合 A 的一个上界。你可以理解为所有比集合里所有东西都要“大”的那个东西。
上确界 (Supremum / Least Upper Bound, lub)：所有上界中“最小”的那一个。换句话说，它是满足“比集合里所有东西都大”的那些元素里，最小的那个。
下界 (Lower Bound)：对于集合 A 中的任意元素 a，如果存在一个元素 b，使得 b $le$ a，那么 b 就是集合 A 的一个下界。你可以理解为所有比集合里所有东西都要“小”的那个东西。
下确界 (Infimum / Greatest Lower Bound, glb)：所有下界中“最大”的那一个。换句话说，它是满足“比集合里所有东西都小”的那些元素里，最大的那个。
举个例子：
在自然数集（全序）中，考虑集合 {2, 5, 8}。
上界有很多，比如 8, 9, 100... 它们的上确界就是 8。
下界也很多，比如 2, 1, 0... 它们的下确界就是 2。
在子集关系那个偏序集中，考虑集合 { {1}, {2} }。
它们的上界是 {1, 2} 这个集合，以及 {1, 2, 3} 这个集合等等。上确界就是 {1, 2}。
它们没有共同的下界（除了空集，如果空集也在我们考虑的集合范围内的话），所以我们不能说它们有下确界（在这个例子中，如果我们只考虑非空子集的话）。
2. 格 (Lattice)
一个偏序集如果满足以下两个条件，就叫做一个格 (Lattice)：
任意两个元素都有上确界和下确界。 (即对于任意的 a, b，lub(a, b) 和 glb(a, b) 都存在。)
注意，这里的“任意两个元素”是指集合中的任何两个元素，而上面我们说的“上确界”和“下确界”是针对集合中的一个子集而言的。格要求的是任何两个元素都必须有上确界和下确界。
格可以看作是偏序集里“结构比较规整”的一种。我们常常用 $vee$ 表示上确界（并运算），用 $wedge$ 表示下确界（交运算）。所以格就满足任意两个元素都有运算 $vee$ 和 $wedge$ 的结果。
3. 完备格 (Complete Lattice)
最后，完备格就是一种“非常完备”的格。 它比普通的格要求更高：
一个偏序集，如果它其中的“任意子集”（包括空集和它本身）都存在上确界和下确界，那么它就是一个完备格。
这意味着，在完备格里，你不仅可以比较任意两个元素，你还可以拿整个集合（或者集合里的任何一部分）来计算它们的“最大公约数”（下确界）和“最小公倍数”（上确界）。
为什么完备格很重要？
完备格提供了一个非常强大的数学框架，在很多领域都有应用，比如：
形式概念分析 (Formal Concept Analysis, FCA)：用来分析数据中的概念和关系，完备格是其核心结构。
逻辑学和代数学：很多逻辑系统和代数结构都可以用完备格来描述。
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集合论：幂集（一个集合的所有子集的集合）在子集关系下就构成了一个完备格。
完备格的一些有趣性质：
它一定有一个最小元素 (Bottom, $ot$) 和一个最大元素 (Top, $ op$)。最小元素是整个集合的下确界，最大元素是整个集合的上确界。
有限偏序集，如果它是一个格，那么它就是完备格。 这个性质非常方便，很多时候我们只需要考虑有限的情况就能知道它是不是完备格。
总结一下我们的旅程：
我们从“偏序集”出发，它描述了集合元素之间“部分排序”的关系。然后我们引入了“上确界”和“下确界”的概念，它们是集合中元素的“最大最小边界”。基于这两个概念，我们定义了“格”，要求任意两个元素都有上确界和下确界。最后，我们把要求升级到“任意子集”都存在上确界和下确界，这就得到了“完备格”。
完备格就像一个“结构完美”的偏序世界，它拥有足够多的“极限”元素，让我们能够在这个世界里做很多有意义的集合运算和分析。希望这样解释能让您觉得更亲切，也更了解它们之间的联系和各自的特点！
网友意见
如果一个偏序集的任意子集都有上确界，则构成完备格，为什么？求证明
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