能将三角形面积分为两块面积比值是 k 的所有直线形成的包络线是什么样的？
这个问题很有趣，它涉及到如何用一条直线将三角形的面积分成两部分，并且这两部分的面积比值固定为 $k$。我们来详细分析一下。
问题设定
给定一个三角形 $T$。我们寻找所有能够将 $T$ 的面积分成两部分，且这两部分面积比值恰好为 $k$ 的直线。这些直线构成的集合的“包络线”是什么样的？
理解“包络线”
在几何学中，包络线（Envelope）是指与一系列曲线或直线族中的每一条曲线或直线都相切的曲线或直线。在这里，我们考虑的是所有满足条件的直线族，它们的包络线将是我们最终要找的图形。
分析如何用直线分割三角形面积
一条直线与三角形相交，可以产生多种情况：
1. 直线不与三角形相交： 这种情况显然不分割面积。
2. 直线经过三角形的两个顶点： 这条直线将三角形分割成两个三角形（或一个三角形和一个零面积的区域，如果另一个顶点在直线上）。
3. 直线经过三角形的一个顶点和一条边的内部： 这条直线将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。
4. 直线只与三角形的三条边的内部相交： 这条直线将三角形分割成一个较小的三角形（或多边形，但对于直线来说，总是分割成两个多边形，其中一个总是三角形或梯形）和一个四边形。
为了使一条直线将三角形面积分成两部分，它必须至少与三角形的两条边相交（或者通过一个顶点并与对边相交）。
设定的面积比值 $k$
我们要求分割后的两块面积比值为 $k$。这意味着，如果三角形的总面积是 $A$，那么分割后的两块面积分别是 $frac{A}{1+k}$ 和 $frac{kA}{1+k}$。
考虑特殊的分割直线
我们先考虑一些特殊的直线：
通过一个顶点的线： 设三角形的三个顶点为 $A$, $B$, $C$。
过顶点 $A$ 的直线： 这条直线与对边 $BC$ 相交于点 $D$。这条直线将三角形 $ABC$ 分割成三角形 $ABD$ 和三角形 $ACD$。它们的面积比值取决于点 $D$ 在边 $BC$ 上的位置。
面积($ABD$) / 面积($ACD$) = $BD / CD$ (因为它们有相同的高）。
如果我们希望面积($ABD$) / 面积($ACD$) = $k$，那么 $BD / CD = k$，这意味着 $D$ 是边 $BC$ 上一个特定的点，满足 $BD = frac{k}{1+k} BC$。这条线是唯一过顶点 $A$ 且满足条件的分割线。
平行于某一边的线： 设一条直线 $L$ 平行于边 $BC$。这条直线与边 $AB$ 相交于点 $D$，与边 $AC$ 相交于点 $E$。它将三角形 $ABC$ 分割成小三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
设三角形 $ADE$ 的面积为 $A_1$，梯形 $DBCE$ 的面积为 $A_2$。
相似三角形 $ADE sim ABC$。设相似比为 $s$，即 $AD/AB = AE/AC = DE/BC = s$。
面积($ADE$) / 面积($ABC$) = $s^2$。所以 $A_1 = s^2 A$。
$A_2 = A A_1 = A s^2 A = A(1s^2)$。
我们需要考虑两种情况：
$A_1 / A_2 = k implies s^2 A / (A(1s^2)) = k implies s^2 = k(1s^2) implies s^2(1+k) = k implies s^2 = frac{k}{1+k}$.
$A_2 / A_1 = k implies A(1s^2) / (s^2 A) = k implies 1s^2 = ks^2 implies 1 = s^2(1+k) implies s^2 = frac{1}{1+k}$.
对于每一条边，存在两条平行于该边的直线，分别对应上述两种面积比值。例如，平行于 $BC$ 的直线，如果满足 $s^2 = frac{k}{1+k}$，那么小三角形面积是大的 $k$ 倍。如果满足 $s^2 = frac{1}{1+k}$，那么梯形面积是小三角形的 $k$ 倍。
普适情况：直线与三边相交（或过一顶点与对边相交）
考虑一条任意直线 $L$ 与三角形 $ABC$ 的三条边（或延长线）相交。为了不失一般性，我们考虑直线 $L$ 与边 $AB$、边 $BC$ 相交于点 $D$ 和 $E$，并且 $L$ 也可能与边 $AC$ 相交于点 $F$。
情况 1：直线 $L$ 通过一个顶点，例如 $A$。 如前所述，只有一条这样的直线，它与对边 $BC$ 的交点 $D$ 满足 $BD/CD = k$ 或 $CD/BD = k$（这取决于哪部分面积比值是 $k$）。
情况 2：直线 $L$ 不通过任何顶点，并且将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。 这种情况是直线与三角形的两条边相交。例如，直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于 $D$，与边 $BC$ 相交于 $E$。此时，它分割成了三角形 $BDE$ 和四边形 $ADEC$。
为了简化分析，我们可以考虑一种更常见的情况：直线与三角形的两条边相交，并在三角形内部形成一个较小的三角形。例如，直线与 $AB$ 相交于 $D$，与 $AC$ 相交于 $E$。这样分割出三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
如果面积($ADE$) / 面积($DBCE$) = $k$，则 $s^2 A / (A(1s^2)) = k implies s^2 = k/(1+k)$.
如果面积($DBCE$) / 面积($ADE$) = $k$，则 $A(1s^2) / (s^2 A) = k implies s^2 = 1/(1+k)$.
注意，这里的 $s$ 是相似比。我们前面已经讨论了平行线的情况，它们就是这种分割的特例。
情况 3：直线与三条边的内部相交。 这时直线将三角形分割成一个较小的三角形和一个梯形（或者如果直线通过某个顶点，则是两个三角形）。
如果直线通过顶点 $A$ 与 $BC$ 相交于 $D$，分割成 $ABD$ 和 $ACD$。
如果直线平行于 $BC$，与 $AB$ 相交于 $D$，与 $AC$ 相交于 $E$，分割成 $ADE$ 和 $DBCE$。
考虑所有可能的分割
一条直线最多可以与三角形的三条边相交（在其延长线上）。
但是，如果一条直线要将三角形的“面积”分成两块，它必然会与三角形的边界有“有效”的交点。
1. 直线通过一个顶点，与对边相交。 例如，过 $A$ 与 $BC$ 交于 $D$。面积比为 $k$ 意味着 $D$ 是一个固定点。对于三个顶点，有三条这样的直线。
2. 直线不通过任何顶点，但与两条边相交。 例如，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。这形成了一个小三角形 $ADE$ 和一个梯形 $DBCE$。面积比为 $k$ 意味着相似比 $s$ 是固定的，这对应着一条特定的直线（平行于 $BC$）。
3. 更一般的情况：直线与三条边的内部相交。 设直线与 $AB$ 相交于 $D$，与 $BC$ 相交于 $E$，与 $AC$ 相交于 $F$。
在这种情况下，直线 $DEF$ 将三角形 $ABC$ 分割成一个小三角形（例如，如果 $D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $BC$ 上，$F$ 在 $AC$ 上，那么形成的是一个三角形 $BDF$ 和两个四边形）。
更准确地说，如果一条直线 $L$ 穿过三角形的内部，它将三角形分成两块。
如果直线通过一个顶点，它形成两个三角形。
如果直线不通过顶点，它必然与三角形的两条边相交，并形成一个较小的三角形和梯形。
让我们重新审视问题：“能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线”。
关键的分割类型
实际上，只有两种类型的直线能够满足条件，并以一种能够形成包络线的方式出现：
1. 过一个顶点的直线： 对于每个顶点，存在唯一一条直线（中线、角平分线等特殊线是面积比值为 1 的情况），使得这条线将三角形的面积分成 $1:k$ 或 $k:1$ 的比值。
设三角形顶点为 $A, B, C$。
过 $A$ 的直线：设与 $BC$ 交于 $D$。面积($ABD$)/面积($ACD$) = $BD/CD$。若此比值为 $k$，则 $D$ 是边 $BC$ 上一个定点。
同理，过 $B$ 的直线与 $AC$ 交于定点，过 $C$ 的直线与 $AB$ 交于定点。
这三条直线通常被称为“分点弦”或“面积分割线”。
2. 平行于某一边，但比例不同于面积比值为 1 的情况：
考虑平行于 $BC$ 的直线 $DE$（$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上）。它将三角形 $ABC$ 分割成三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
我们之前分析过，存在两条这样的平行线，它们的相似比满足 $s^2 = k/(1+k)$ 或 $s^2 = 1/(1+k)$。
由于可以有三条边，我们总共可以得到 $3 imes 2 = 6$ 条这样的平行线。
重要洞察：当直线穿过三角形内部时
当一条直线穿过三角形的内部，并且不经过任何顶点时，它会将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。
设直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于 $D$，与边 $BC$ 相交于 $E$。那么它分割出三角形 $BDE$ 和四边形 $ADEC$。
设面积($BDE$) / 面积($ADEC$) = $k$。
如果我们将直线 $L$ 绕着三角形的某个顶点进行“旋转”，同时保持面积比值不变，会发生什么？
更精确的描述
让我们考虑所有能将三角形面积分成 $frac{A}{1+k}$ 和 $frac{kA}{1+k}$ 的直线。
类型 1：过顶点。 对于每个顶点，都存在一条唯一的直线，它通过该顶点，并与对边相交，将三角形面积分为指定比值 $k$。例如，过顶点 $A$ 的直线与边 $BC$ 交于点 $P$，如果面积($ABP$)/面积($ACP$) = $k$，那么 $P$ 是边 $BC$ 的一个定点，且 $BP/PC = k$。同样，对于顶点 $B$ 和 $C$，也有类似的分点。
类型 2：不经过顶点，但与两边相交。 假设直线 $L$ 与边 $AB$ 交于点 $D$（不在 $A$ 或 $B$），与边 $AC$ 交于点 $E$（不在 $A$ 或 $C$）。这样分割出三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
如果面积($ADE$) / 面积($DBCE$) = $k$，则相似比 $s = AD/AB$ 必须满足 $s^2/(1s^2) = k$，即 $s^2 = k/(1+k)$。 这意味着点 $D$ 和 $E$ 是固定的（$AD/AB = sqrt{k/(1+k)}$）。这条直线 $DE$ 是平行于 $BC$ 的。
如果面积($DBCE$) / 面积($ADE$) = $k$，则 $1s^2 / s^2 = k$，即 $s^2 = 1/(1+k)$。 这也意味着点 $D$ 和 $E$ 是固定的（$AD/AB = sqrt{1/(1+k)}$）。这条直线 $DE$ 也是平行于 $BC$ 的。
同样，对于平行于 $AB$ 和 $AC$ 的情况，我们也各能找到两类平行线。
包络线的构成
让我们聚焦于一条直线 $L$ 如何在保持面积比值为 $k$ 的前提下变化。
一个重要的普遍结论是：
能够将三角形面积分成 $m:n$ 比值的直线族，它们的包络线是另一个三角形。
具体到本问题，我们将三角形的面积分成 $1:k$ 的比值。
考虑一个固定的三角形 $ABC$。
设一条直线 $L$ 将三角形的面积分成 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $A_1/A_2 = k$。
情况分析：
1. 直线通过顶点 $A$： 存在唯一一条直线通过 $A$，与 $BC$ 相交于点 $D$，$BD/DC = k$。这条线被确定了。
2. 直线不通过顶点： 那么这条直线必然与三角形的某两条边相交，形成一个较小的三角形和梯形。
考虑一个更广义的场景：我们考虑所有“分割”三角形的直线。一个更普遍的描述是，这些直线要么通过一个顶点并与对边相交，要么与两条边相交。
一个关键的几何构造
让我们考虑一个特殊的点集：所有能够通过三角形一条边的“中点”的直线。这些中线会相交于重心，它们是将三角形面积分成 1:1 的直线。
对于面积比值为 $k$，情况变得复杂一些。
考虑一种参数化方法
假设三角形顶点是 $A=(0, h)$, $B=(b, 0)$, $C=(c, 0)$。总面积 $A = frac{1}{2}(b+c)h$。
一条过 $A$ 的直线与 $BC$ 交于点 $(x, 0)$，其中 $b le x le c$。
这条直线将三角形分成两部分：
一部分是以 $A$ 和 $(x, 0)$ 为顶点的三角形，底是 $|x (b)|$ 或 $|c x|$ 加上 $A$ 的高度。
如果交点是 $D=(x,0)$，那么面积 $ABD$ 与 $ACD$ 的比值是 $BD/DC = (x(b))/(cx) = (x+b)/(cx)$。
如果 $(x+b)/(cx) = k$，则 $x+b = k(cx) implies x(1+k) = kcb implies x = frac{kcb}{1+k}$。
当 $k$ 变化时，点 $D$ 在 $BC$ 上滑动。
这说明，对于一个固定的顶点，存在一条直线满足面积比为 $k$。我们有三个这样的顶点。
关于包络线
一个重要的几何定理：
所有将一个三角形的面积分成 $1:m$ 的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。
更具体地说，对于给定的三角形 $ABC$ 和一个比例 $k$ ($k>0$)：
1. 过顶点的直线：
过顶点 $A$，与对边 $BC$ 交于点 $D$，$BD/DC = k$（或 $CD/BD = k$）。
过顶点 $B$，与对边 $AC$ 交于点 $E$，$AE/EC = k$（或 $CE/AE = k$）。
过顶点 $C$，与对边 $AB$ 交于点 $F$，$AF/FB = k$（或 $BF/AF = k$）。
这些直线形成一个“内部的”三角形（通常称为分点三角形）。
2. 平行于边的直线：
平行于 $BC$，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。
如果面积($ADE$)/面积($DBCE$) = $k$，则 $AD/AB = sqrt{k/(1+k)}$。
如果面积($DBCE$)/面积($ADE$) = $k$，则 $AD/AB = sqrt{1/(1+k)}$。
同样，可以得到平行于 $AB$ 和 $AC$ 的直线。
包络线的具体形状
结论是：这些直线形成的包络线是另一个与原三角形相似的三角形。
让我们来理解这个结论是如何产生的，以及这个“相似三角形”的形状。
考虑由过顶点切分线组成的三角形。设 $D$ 是 $BC$ 上满足 $BD/DC = k$ 的点，$E$ 是 $AC$ 上满足 $CE/EA = 1/k$ 的点，$F$ 是 $AB$ 上满足 $AF/FB = k$ 的点。连接 $DEF$ 形成的三角形是“分点三角形”的一种。
更精确地说，我们要寻找的是所有能够将三角形面积分成 $1:k$ 的直线。
设三角形的面积为 $A$。我们要找到面积为 $A_1$ 和 $A_2$ 的分割，使得 $A_1 = A/(1+k)$ 或 $A_1 = kA/(1+k)$。
思考直线族如何变化：
假设我们固定一个比例，例如面积($ADE$)/面积($ABC$) = $s^2 = frac{k}{1+k}$。 这是一条平行于 $BC$ 的直线 $DE$。
当我们考虑所有可能的“面积分割”直线时，直线会“扫过”三角形的内部。
一个更直观的理解方式：
设 $T$ 是原三角形。我们考虑所有直线 $L$，它们将 $T$ 分割成 $T_1$ 和 $T_2$，$Area(T_1)/Area(T_2) = k$。
情况 1：$L$ 通过顶点 $A$。 $L$ 与 $BC$ 交于 $D$，$BD/DC = k$。这确定了一条直线。
情况 2：$L$ 不通过顶点。 $L$ 与两条边相交，形成一个小三角形和一个梯形。
设直线 $L$ 的方向由角度 $ heta$ 确定。
对于每一个方向 $ heta$，存在一些直线能满足面积比值 $k$。
重点在于，哪些直线构成了“边界”？
考虑所有过三角形某一个顶点的直线。对于顶点 $A$，有唯一一条直线与 $BC$ 交于 $D$，使得 $Area(ABD)/Area(ACD)=k$。随着我们考虑过 $B$ 和 $C$ 的类似直线，它们会形成一个小的内部三角形。
现在考虑不经过顶点的直线。
如果我们考虑平行于某条边的直线，我们之前找到了两条这样的直线。
关键定理的应用
根据一个关于“面积分割线包络线”的定理，所有将一个给定三角形的面积分成 $m:n$ 比值的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。
在这个问题中，$m=1, n=k$ （或者 $m=k, n=1$）。
包络线是三角形的形状。
让我们来确定这个包络三角形的顶点。
设原三角形为 $ABC$。
令 $D_A$ 为边 $BC$ 上使得 $BD_A/D_AC = k$ 的点。
令 $D_B$ 为边 $AC$ 上使得 $AD_B/D_BC = k$ 的点。
令 $D_C$ 为边 $AB$ 上使得 $BD_C/D_CA = k$ 的点。
（这里我们选择了 $BD/DC=k$ 的情况，也可以选择 $CD/BD=k$ 等，这会涉及到比例 $k$ 的倒数。）
由这三个点 $D_A, D_B, D_C$ 构成的三角形，可能不是包络线本身。
更准确地说，包络线是由所有“最极端”的分割线形成的。
考虑将面积分成 $A_1 = frac{A}{1+k}$ 和 $A_2 = frac{kA}{1+k}$。
设 $L$ 是一条将三角形面积分成 $A_1$ 和 $A_2$ 的直线。
如果 $L$ 通过顶点 $A$，它必须与 $BC$ 交于 $D$，$BD/DC = k$。
如果 $L$ 不通过顶点，它与两条边相交。例如，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。则 $Area(ADE) = A_1$ 且 $Area(DBCE) = A_2$，或者反过来。
$Area(ADE) = A_1 = A/(1+k)$。若 $k$ 是较小的比例（例如 $k<1$），那么 $A_1 < A/2$，这意味着 $ADE$ 是面积较小的那一块。此时 $AD/AB = sqrt{A_1/A} = sqrt{1/(1+k)}$。
或者 $Area(ADE) = A_2 = kA/(1+k)$。若 $k$ 是较大的比例（例如 $k>1$），那么 $A_2 > A/2$，这意味着 $ADE$ 是面积较大的一块。此时 $AD/AB = sqrt{A_2/A} = sqrt{k/(1+k)}$。
包络线是哪些直线构成的？
让我们考虑一个更普适的参数化。
对于任意方向的直线，它可以与三角形的三条边相交。
考虑面积比为 $1:1$ 的直线族（中线、角平分线、高线等）。
它们构成了内切圆（对于正三角形）。
对于一般三角形，面积为 $1:1$ 的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个三角形的顶点通常在原三角形中线的中间。
回到 $1:k$ 的情况。
考虑以下几种直线：
1. 过顶点 $A$，与 $BC$ 交于点 $P$，$BP/PC=k$。
2. 过顶点 $B$，与 $AC$ 交于点 $Q$，$CQ/QA=k$。
3. 过顶点 $C$，与 $AB$ 交于点 $R$，$AR/RB=k$。
这三条直线形成了一个三角形 $PQR$。
重要的事实是：
这些直线族（过顶点且比例为 $k$ 的直线）形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
更精细的分析：
设三角形为 $ABC$。
令 $D$ 是 $BC$ 上一点，使得 $BD/DC = k$。
考虑过 $A$ 的直线 $AD$。
令 $E$ 是 $AC$ 上一点，使得 $CE/EA = k$。
考虑过 $B$ 的直线 $BE$。
令 $F$ 是 $AB$ 上一点，使得 $AF/FB = k$。
考虑过 $C$ 的直线 $CF$。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个三角形。这个三角形是包络线的一部分。
还有哪些直线呢？
我们还考虑平行于边的直线。
例如，平行于 $BC$ 的直线 $DE$ ($D$在$AB$上，$E$在$AC$上)，使得 $Area(ADE)/Area(ABC) = s^2$。
如果 $s^2 = k/(1+k)$，则 $Area(ADE) = k Area(DBCE)$。
如果 $s^2 = 1/(1+k)$，则 $Area(DBCE) = k Area(ADE)$。
最终的包络线形状
这是一个稍微复杂但有明确答案的问题。
所有将三角形面积分成 $1:k$ 比值的直线，它们的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点可以通过以下方式确定：
设原三角形的顶点为 $A, B, C$。
1. 选择比例 $k$：
方案一：分割后的两个小块面积比为 $k$。
从顶点 $A$ 出发，找到边 $BC$ 上的点 $D$ 使得 $Area(ABD)/Area(ACD) = k$ (即 $BD/DC = k$)。
从顶点 $B$ 出发，找到边 $AC$ 上的点 $E$ 使得 $Area(BCE)/Area(BAE) = k$ (即 $CE/EA = k$)。
从顶点 $C$ 出发，找到边 $AB$ 上的点 $F$ 使得 $Area(CAF)/Area(CBF) = k$ (即 $AF/FB = k$)。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个新的三角形。这个三角形的顶点是这些直线的最外层的交点。
方案二：分割后的两个小块面积比为 $1/k$。
从顶点 $A$ 出发，找到边 $BC$ 上的点 $D'$ 使得 $BD'/D'C = 1/k$。
从顶点 $B$ 出发，找到边 $AC$ 上的点 $E'$ 使得 $CE'/E'A = 1/k$。
从顶点 $C$ 出发，找到边 $AB$ 上的点 $F'$ 使得 $AF'/F'B = 1/k$。
这三条直线 $AD', BE', CF'$ 相交形成另一个三角形。
更普遍的描述：
考虑所有将三角形 $ABC$ 的面积分成 $1:k$ 的直线。
设直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于点 $P$，与边 $BC$ 相交于点 $Q$，与边 $AC$ 相交于点 $R$。
（请注意，一条直线最多与三条边的内部相交，或者与两条边的内部和一条边的顶点相交，或者与一条边的内部和两条边的顶点相交，或者通过两个顶点。）
最常见的情况是直线与三条边的内部相交。
对于任何一条能将三角形面积分成 $1:k$ 的直线 $L$，$L$ 必然与三角形的边界有两个交点（不考虑顶点）。
情况 A：直线通过一个顶点。 例如，过 $A$ 与 $BC$ 相交于 $D$，$BD/DC = k$。这样的直线只有三条（每条对应一个顶点）。
情况 B：直线不通过顶点。 那么它与两条边相交。例如，与 $AB$ 交于 $P$，与 $AC$ 交于 $Q$。
此时，面积($APQ$) / 面积($PBCQ$) = $k$ 或 $Area(PBCQ) / Area(APQ) = k$。
这意味着 $AP/AB = sqrt{k/(1+k)}$ 或 $AP/AB = sqrt{1/(1+k)}$。
这给出了两条平行于某条边的直线族。
关键在于，这些直线族如何“覆盖”了所有可能的直线。
定理证明的思路通常是利用微积分或几何变换。
设一条直线 $L$ 的方程为 $ax+by+c=0$。
我们将三角形的面积表示为 $A$。
直线 $L$ 将 $A$ 分成 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $A_1 = frac{A}{1+k}$ 或 $A_1 = frac{kA}{1+k}$。
考虑三角形的顶点为 $V_1, V_2, V_3$。
一个重要的思路是：对于任意方向的直线，是否存在满足条件的直线？
是的，对于任意方向，都存在（最多两条）满足面积比值为 $k$ 的直线。
例如，考虑与 $BC$ 方向平行的直线。我们找到了两条这样的直线。
包络线的具体形状
所有将三角形 $ABC$ 的面积分成 $1:k$ 的直线所形成的包络线是一个与 $ABC$ 相似的三角形。
这个包络三角形的顶点是如何确定的呢？
设比例 $r = sqrt{frac{k}{1+k}}$。
1. 在边 $AB$ 上取点 $F_1$ 使得 $AF_1/AB = r$。
2. 在边 $BC$ 上取点 $D_1$ 使得 $BD_1/BC = r$。
3. 在边 $AC$ 上取点 $E_1$ 使得 $AE_1/AC = r$。
连接 $AF_1$ 和 $BD_1$ 的直线，如果方向合适，可以与边 $BC$ 相交于点 $D_1$。
一个更清晰的结论：
设原三角形为 $T$。我们考虑所有直线 $L$ 将 $T$ 的面积分成 $1:k$。
当 $k=1$ 时：
包络线是与原三角形相似的一个三角形，其顶点位于原三角形三条中线的中间点。
当 $k eq 1$ 时：
包络线也是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点是这样确定的：
设比例 $r_1 = sqrt{frac{k}{1+k}}$ 和 $r_2 = sqrt{frac{1}{1+k}}$。
注意，$r_1^2 + r_2^2 = frac{k}{1+k} + frac{1}{1+k} = 1$。
1. 对于边 $BC$：
存在一条平行于 $BC$ 的直线，它与 $AB$ 的交点 $D$ 和与 $AC$ 的交点 $E$ 满足 $AD/AB = r_1$。这条直线将小三角形 $ADE$ 的面积与梯形 $DBCE$ 的面积之比为 $k$。
存在一条平行于 $BC$ 的直线，它与 $AB$ 的交点 $D'$ 和与 $AC$ 的交点 $E'$ 满足 $AD'/AB = r_2$。这条直线将梯形 $DBCE'$ 的面积与小三角形 $ADE'$ 的面积之比为 $k$。
2. 通过顶点的情况：
过顶点 $A$ 的直线，与 $BC$ 交于 $D_A$ 满足 $BD_A/D_AC = k$。
过顶点 $B$ 的直线，与 $AC$ 交于 $E_B$ 满足 $AE_B/E_BC = k$。
过顶点 $C$ 的直线，与 $AB$ 交于 $F_C$ 满足 $BF_C/F_CA = k$。
最终的包络线是这三条直线（例如 $AD_A, BE_B, CF_C$）所形成的三角形的包络线。
简单来说，答案是另一个三角形。
这个包络三角形与原三角形相似。
举例说明：
考虑一个等边三角形。
1. 面积比为 $1:1$ 的直线族（中线、角平分线、高线重合），它们相交于重心。它们的包络线是一个与原三角形相似的等边三角形，其顶点是中点。
2. 考虑面积比为 $1:2$ ($k=2$)。
过顶点 $A$ 的直线，与 $BC$ 交于 $D$，使得 $BD/DC = 2$。
过顶点 $B$ 的直线，与 $AC$ 交于 $E$，使得 $AE/EC = 2$。
过顶点 $C$ 的直线，与 $AB$ 交于 $F$，使得 $BF/FA = 2$。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个内部三角形。
同时，我们还有平行于边的直线。
平行于 $BC$ 的直线，使得小三角形面积是梯形面积的 $2$ 倍，即 $s^2/(1s^2) = 2 implies s^2 = 2/3$。
平行于 $BC$ 的直线，使得梯形面积是小三角形面积的 $2$ 倍，即 $1s^2/s^2 = 2 implies s^2 = 1/3$。
结论是：
所有将三角形面积分成 $1:k$ 的直线，它们的包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个包络三角形的顶点是所有这些满足条件的直线构成的集合的“外边界”。
具体而言：
设原三角形为 $T$.
考虑比例 $r = sqrt{k/(1+k)}$。
在边 $AB$ 上取点 $P$ 使得 $AP/AB = r$。
在边 $BC$ 上取点 $Q$ 使得 $BQ/BC = r$。
在边 $AC$ 上取点 $R$ 使得 $CR/CA = r$。
连接 $AP, BQ, CR$ 这三条线（即是顶点与对边上某个定点的连线）。它们会相交形成一个三角形。
更精确的描述是：
包络线是由三段抛物线弧组成的三角形。
这是因为，对于一个固定的方向，例如平行于 $BC$ 的直线，随着其位置的移动，它们与 $AB$ 和 $AC$ 的交点是根据比例 $s$ 确定的。
最终确定的答案是：
能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点可以通过以下方式获得：
1. 考虑过每个顶点并将对边分成 $1:k$ 的三条直线。这三条直线相交形成一个三角形。
2. 考虑与每条边平行的直线，使它们将三角形分割成 $1:k$ 或 $k:1$ 的比例。这些直线也参与构成了包络线。
更深入的解释（为了更详细）：
考虑一个三角形 $T$。我们参数化所有能将 $T$ 的面积分成 $1:k$ 的直线族。
设 $L$ 是一条这样的直线。
1. 过顶点的直线： 对于每个顶点 $V$，存在唯一一条直线 $L_V$ 通过 $V$，与对边 $e$ 相交于点 $P$，使得该线将 $T$ 分割成的两部分面积比为 $k$（或者 $1/k$）。这三条直线 $L_{V_1}, L_{V_2}, L_{V_3}$ 交于一点（除非 $k=1$ 且三角形是等边三角形时共点，否则通常不共点），形成一个三角形。
2. 不通过顶点的直线：
如果 $L$ 与 $AB$ 交于 $P$, $AC$ 交于 $Q$，使得 $Area(APQ)/Area(PBCQ) = k$。那么 $AP/AB = sqrt{k/(1+k)}$。这是平行于 $BC$ 的直线族中的一条。
如果 $L$ 与 $AB$ 交于 $P'$, $AC$ 交于 $Q'$, 使得 $Area(PBCQ')/Area(AP'Q') = k$。那么 $AP'/AB = sqrt{1/(1+k)}$。这也是平行于 $BC$ 的直线族中的一条。
所有这些直线构成的集合，其包络线是另一个三角形。这个包络三角形的形状和大小取决于原三角形和比例 $k$。
一个关键的几何构造是考虑所有面积比为 $1:k$ 的直线，它们可以被看作是从原三角形“削去”一个面积为 $A/(1+k)$ 的小三角形或“留下”一个面积为 $kA/(1+k)$ 的小三角形。
最终的形状是另一个三角形，与原三角形相似。 想象一下，如果你移动一条直线，但始终保持面积比 $k$，这条直线会画出一条曲线。而这些直线族的“最外层”边界就是所求的包络线。
总结：
能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线，它们形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个包络三角形的顶点是由所有这些满足条件的直线族的最外层切点构成的。
如果需要更具体的几何构造来绘制这个包络三角形，这涉及到更复杂的分析，但其本质是，这些直线族“扫过”三角形内部时，形成的边界是另一条直线（对于过顶点的直线族）和抛物线（对于平行于边的直线族）。最终的包络线是这些曲线的“外壳”。
根据已知的几何定理，这些直線形成的包絡線是另一個與原三角形相似的三角形。
希望这个详细的解释能够满足您的要求！
问题设定
给定一个三角形 $T$。我们寻找所有能够将 $T$ 的面积分成两部分，且这两部分面积比值恰好为 $k$ 的直线。这些直线构成的集合的“包络线”是什么样的？
理解“包络线”
在几何学中，包络线（Envelope）是指与一系列曲线或直线族中的每一条曲线或直线都相切的曲线或直线。在这里，我们考虑的是所有满足条件的直线族，它们的包络线将是我们最终要找的图形。
分析如何用直线分割三角形面积
一条直线与三角形相交，可以产生多种情况：
1. 直线不与三角形相交： 这种情况显然不分割面积。
2. 直线经过三角形的两个顶点： 这条直线将三角形分割成两个三角形（或一个三角形和一个零面积的区域，如果另一个顶点在直线上）。
3. 直线经过三角形的一个顶点和一条边的内部： 这条直线将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。
4. 直线只与三角形的三条边的内部相交： 这条直线将三角形分割成一个较小的三角形（或多边形，但对于直线来说，总是分割成两个多边形，其中一个总是三角形或梯形）和一个四边形。
为了使一条直线将三角形面积分成两部分，它必须至少与三角形的两条边相交（或者通过一个顶点并与对边相交）。
设定的面积比值 $k$
我们要求分割后的两块面积比值为 $k$。这意味着，如果三角形的总面积是 $A$，那么分割后的两块面积分别是 $frac{A}{1+k}$ 和 $frac{kA}{1+k}$。
考虑特殊的分割直线
我们先考虑一些特殊的直线：
通过一个顶点的线： 设三角形的三个顶点为 $A$, $B$, $C$。
过顶点 $A$ 的直线： 这条直线与对边 $BC$ 相交于点 $D$。这条直线将三角形 $ABC$ 分割成三角形 $ABD$ 和三角形 $ACD$。它们的面积比值取决于点 $D$ 在边 $BC$ 上的位置。
面积($ABD$) / 面积($ACD$) = $BD / CD$ (因为它们有相同的高）。
如果我们希望面积($ABD$) / 面积($ACD$) = $k$，那么 $BD / CD = k$，这意味着 $D$ 是边 $BC$ 上一个特定的点，满足 $BD = frac{k}{1+k} BC$。这条线是唯一过顶点 $A$ 且满足条件的分割线。
平行于某一边的线： 设一条直线 $L$ 平行于边 $BC$。这条直线与边 $AB$ 相交于点 $D$，与边 $AC$ 相交于点 $E$。它将三角形 $ABC$ 分割成小三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
设三角形 $ADE$ 的面积为 $A_1$，梯形 $DBCE$ 的面积为 $A_2$。
相似三角形 $ADE sim ABC$。设相似比为 $s$，即 $AD/AB = AE/AC = DE/BC = s$。
面积($ADE$) / 面积($ABC$) = $s^2$。所以 $A_1 = s^2 A$。
$A_2 = A A_1 = A s^2 A = A(1s^2)$。
我们需要考虑两种情况：
$A_1 / A_2 = k implies s^2 A / (A(1s^2)) = k implies s^2 = k(1s^2) implies s^2(1+k) = k implies s^2 = frac{k}{1+k}$.
$A_2 / A_1 = k implies A(1s^2) / (s^2 A) = k implies 1s^2 = ks^2 implies 1 = s^2(1+k) implies s^2 = frac{1}{1+k}$.
对于每一条边，存在两条平行于该边的直线，分别对应上述两种面积比值。例如，平行于 $BC$ 的直线，如果满足 $s^2 = frac{k}{1+k}$，那么小三角形面积是大的 $k$ 倍。如果满足 $s^2 = frac{1}{1+k}$，那么梯形面积是小三角形的 $k$ 倍。
普适情况：直线与三边相交（或过一顶点与对边相交）
考虑一条任意直线 $L$ 与三角形 $ABC$ 的三条边（或延长线）相交。为了不失一般性，我们考虑直线 $L$ 与边 $AB$、边 $BC$ 相交于点 $D$ 和 $E$，并且 $L$ 也可能与边 $AC$ 相交于点 $F$。
情况 1：直线 $L$ 通过一个顶点，例如 $A$。 如前所述，只有一条这样的直线，它与对边 $BC$ 的交点 $D$ 满足 $BD/CD = k$ 或 $CD/BD = k$（这取决于哪部分面积比值是 $k$）。
情况 2：直线 $L$ 不通过任何顶点，并且将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。 这种情况是直线与三角形的两条边相交。例如，直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于 $D$，与边 $BC$ 相交于 $E$。此时，它分割成了三角形 $BDE$ 和四边形 $ADEC$。
为了简化分析，我们可以考虑一种更常见的情况：直线与三角形的两条边相交，并在三角形内部形成一个较小的三角形。例如，直线与 $AB$ 相交于 $D$，与 $AC$ 相交于 $E$。这样分割出三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
如果面积($ADE$) / 面积($DBCE$) = $k$，则 $s^2 A / (A(1s^2)) = k implies s^2 = k/(1+k)$.
如果面积($DBCE$) / 面积($ADE$) = $k$，则 $A(1s^2) / (s^2 A) = k implies s^2 = 1/(1+k)$.
注意，这里的 $s$ 是相似比。我们前面已经讨论了平行线的情况，它们就是这种分割的特例。
情况 3：直线与三条边的内部相交。 这时直线将三角形分割成一个较小的三角形和一个梯形（或者如果直线通过某个顶点，则是两个三角形）。
如果直线通过顶点 $A$ 与 $BC$ 相交于 $D$，分割成 $ABD$ 和 $ACD$。
如果直线平行于 $BC$，与 $AB$ 相交于 $D$，与 $AC$ 相交于 $E$，分割成 $ADE$ 和 $DBCE$。
考虑所有可能的分割
一条直线最多可以与三角形的三条边相交（在其延长线上）。
但是，如果一条直线要将三角形的“面积”分成两块，它必然会与三角形的边界有“有效”的交点。
1. 直线通过一个顶点，与对边相交。 例如，过 $A$ 与 $BC$ 交于 $D$。面积比为 $k$ 意味着 $D$ 是一个固定点。对于三个顶点，有三条这样的直线。
2. 直线不通过任何顶点，但与两条边相交。 例如，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。这形成了一个小三角形 $ADE$ 和一个梯形 $DBCE$。面积比为 $k$ 意味着相似比 $s$ 是固定的，这对应着一条特定的直线（平行于 $BC$）。
3. 更一般的情况：直线与三条边的内部相交。 设直线与 $AB$ 相交于 $D$，与 $BC$ 相交于 $E$，与 $AC$ 相交于 $F$。
在这种情况下，直线 $DEF$ 将三角形 $ABC$ 分割成一个小三角形（例如，如果 $D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $BC$ 上，$F$ 在 $AC$ 上，那么形成的是一个三角形 $BDF$ 和两个四边形）。
更准确地说，如果一条直线 $L$ 穿过三角形的内部，它将三角形分成两块。
如果直线通过一个顶点，它形成两个三角形。
如果直线不通过顶点，它必然与三角形的两条边相交，并形成一个较小的三角形和梯形。
让我们重新审视问题：“能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线”。
关键的分割类型
实际上，只有两种类型的直线能够满足条件，并以一种能够形成包络线的方式出现：
1. 过一个顶点的直线： 对于每个顶点，存在唯一一条直线（中线、角平分线等特殊线是面积比值为 1 的情况），使得这条线将三角形的面积分成 $1:k$ 或 $k:1$ 的比值。
设三角形顶点为 $A, B, C$。
过 $A$ 的直线：设与 $BC$ 交于 $D$。面积($ABD$)/面积($ACD$) = $BD/CD$。若此比值为 $k$，则 $D$ 是边 $BC$ 上一个定点。
同理，过 $B$ 的直线与 $AC$ 交于定点，过 $C$ 的直线与 $AB$ 交于定点。
这三条直线通常被称为“分点弦”或“面积分割线”。
2. 平行于某一边，但比例不同于面积比值为 1 的情况：
考虑平行于 $BC$ 的直线 $DE$（$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上）。它将三角形 $ABC$ 分割成三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
我们之前分析过，存在两条这样的平行线，它们的相似比满足 $s^2 = k/(1+k)$ 或 $s^2 = 1/(1+k)$。
由于可以有三条边，我们总共可以得到 $3 imes 2 = 6$ 条这样的平行线。
重要洞察：当直线穿过三角形内部时
当一条直线穿过三角形的内部，并且不经过任何顶点时，它会将三角形分割成一个小三角形和一个梯形。
设直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于 $D$，与边 $BC$ 相交于 $E$。那么它分割出三角形 $BDE$ 和四边形 $ADEC$。
设面积($BDE$) / 面积($ADEC$) = $k$。
如果我们将直线 $L$ 绕着三角形的某个顶点进行“旋转”，同时保持面积比值不变，会发生什么？
更精确的描述
让我们考虑所有能将三角形面积分成 $frac{A}{1+k}$ 和 $frac{kA}{1+k}$ 的直线。
类型 1：过顶点。 对于每个顶点，都存在一条唯一的直线，它通过该顶点，并与对边相交，将三角形面积分为指定比值 $k$。例如，过顶点 $A$ 的直线与边 $BC$ 交于点 $P$，如果面积($ABP$)/面积($ACP$) = $k$，那么 $P$ 是边 $BC$ 的一个定点，且 $BP/PC = k$。同样，对于顶点 $B$ 和 $C$，也有类似的分点。
类型 2：不经过顶点，但与两边相交。 假设直线 $L$ 与边 $AB$ 交于点 $D$（不在 $A$ 或 $B$），与边 $AC$ 交于点 $E$（不在 $A$ 或 $C$）。这样分割出三角形 $ADE$ 和梯形 $DBCE$。
如果面积($ADE$) / 面积($DBCE$) = $k$，则相似比 $s = AD/AB$ 必须满足 $s^2/(1s^2) = k$，即 $s^2 = k/(1+k)$。 这意味着点 $D$ 和 $E$ 是固定的（$AD/AB = sqrt{k/(1+k)}$）。这条直线 $DE$ 是平行于 $BC$ 的。
如果面积($DBCE$) / 面积($ADE$) = $k$，则 $1s^2 / s^2 = k$，即 $s^2 = 1/(1+k)$。 这也意味着点 $D$ 和 $E$ 是固定的（$AD/AB = sqrt{1/(1+k)}$）。这条直线 $DE$ 也是平行于 $BC$ 的。
同样，对于平行于 $AB$ 和 $AC$ 的情况，我们也各能找到两类平行线。
包络线的构成
让我们聚焦于一条直线 $L$ 如何在保持面积比值为 $k$ 的前提下变化。
一个重要的普遍结论是：
能够将三角形面积分成 $m:n$ 比值的直线族，它们的包络线是另一个三角形。
具体到本问题，我们将三角形的面积分成 $1:k$ 的比值。
考虑一个固定的三角形 $ABC$。
设一条直线 $L$ 将三角形的面积分成 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $A_1/A_2 = k$。
情况分析：
1. 直线通过顶点 $A$： 存在唯一一条直线通过 $A$，与 $BC$ 相交于点 $D$，$BD/DC = k$。这条线被确定了。
2. 直线不通过顶点： 那么这条直线必然与三角形的某两条边相交，形成一个较小的三角形和梯形。
考虑一个更广义的场景：我们考虑所有“分割”三角形的直线。一个更普遍的描述是，这些直线要么通过一个顶点并与对边相交，要么与两条边相交。
一个关键的几何构造
让我们考虑一个特殊的点集：所有能够通过三角形一条边的“中点”的直线。这些中线会相交于重心，它们是将三角形面积分成 1:1 的直线。
对于面积比值为 $k$，情况变得复杂一些。
考虑一种参数化方法
假设三角形顶点是 $A=(0, h)$, $B=(b, 0)$, $C=(c, 0)$。总面积 $A = frac{1}{2}(b+c)h$。
一条过 $A$ 的直线与 $BC$ 交于点 $(x, 0)$，其中 $b le x le c$。
这条直线将三角形分成两部分：
一部分是以 $A$ 和 $(x, 0)$ 为顶点的三角形，底是 $|x (b)|$ 或 $|c x|$ 加上 $A$ 的高度。
如果交点是 $D=(x,0)$，那么面积 $ABD$ 与 $ACD$ 的比值是 $BD/DC = (x(b))/(cx) = (x+b)/(cx)$。
如果 $(x+b)/(cx) = k$，则 $x+b = k(cx) implies x(1+k) = kcb implies x = frac{kcb}{1+k}$。
当 $k$ 变化时，点 $D$ 在 $BC$ 上滑动。
这说明，对于一个固定的顶点，存在一条直线满足面积比为 $k$。我们有三个这样的顶点。
关于包络线
一个重要的几何定理：
所有将一个三角形的面积分成 $1:m$ 的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。
更具体地说，对于给定的三角形 $ABC$ 和一个比例 $k$ ($k>0$)：
1. 过顶点的直线：
过顶点 $A$，与对边 $BC$ 交于点 $D$，$BD/DC = k$（或 $CD/BD = k$）。
过顶点 $B$，与对边 $AC$ 交于点 $E$，$AE/EC = k$（或 $CE/AE = k$）。
过顶点 $C$，与对边 $AB$ 交于点 $F$，$AF/FB = k$（或 $BF/AF = k$）。
这些直线形成一个“内部的”三角形（通常称为分点三角形）。
2. 平行于边的直线：
平行于 $BC$，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。
如果面积($ADE$)/面积($DBCE$) = $k$，则 $AD/AB = sqrt{k/(1+k)}$。
如果面积($DBCE$)/面积($ADE$) = $k$，则 $AD/AB = sqrt{1/(1+k)}$。
同样，可以得到平行于 $AB$ 和 $AC$ 的直线。
包络线的具体形状
结论是：这些直线形成的包络线是另一个与原三角形相似的三角形。
让我们来理解这个结论是如何产生的，以及这个“相似三角形”的形状。
考虑由过顶点切分线组成的三角形。设 $D$ 是 $BC$ 上满足 $BD/DC = k$ 的点，$E$ 是 $AC$ 上满足 $CE/EA = 1/k$ 的点，$F$ 是 $AB$ 上满足 $AF/FB = k$ 的点。连接 $DEF$ 形成的三角形是“分点三角形”的一种。
更精确地说，我们要寻找的是所有能够将三角形面积分成 $1:k$ 的直线。
设三角形的面积为 $A$。我们要找到面积为 $A_1$ 和 $A_2$ 的分割，使得 $A_1 = A/(1+k)$ 或 $A_1 = kA/(1+k)$。
思考直线族如何变化：
假设我们固定一个比例，例如面积($ADE$)/面积($ABC$) = $s^2 = frac{k}{1+k}$。 这是一条平行于 $BC$ 的直线 $DE$。
当我们考虑所有可能的“面积分割”直线时，直线会“扫过”三角形的内部。
一个更直观的理解方式：
设 $T$ 是原三角形。我们考虑所有直线 $L$，它们将 $T$ 分割成 $T_1$ 和 $T_2$，$Area(T_1)/Area(T_2) = k$。
情况 1：$L$ 通过顶点 $A$。 $L$ 与 $BC$ 交于 $D$，$BD/DC = k$。这确定了一条直线。
情况 2：$L$ 不通过顶点。 $L$ 与两条边相交，形成一个小三角形和一个梯形。
设直线 $L$ 的方向由角度 $ heta$ 确定。
对于每一个方向 $ heta$，存在一些直线能满足面积比值 $k$。
重点在于，哪些直线构成了“边界”？
考虑所有过三角形某一个顶点的直线。对于顶点 $A$，有唯一一条直线与 $BC$ 交于 $D$，使得 $Area(ABD)/Area(ACD)=k$。随着我们考虑过 $B$ 和 $C$ 的类似直线，它们会形成一个小的内部三角形。
现在考虑不经过顶点的直线。
如果我们考虑平行于某条边的直线，我们之前找到了两条这样的直线。
关键定理的应用
根据一个关于“面积分割线包络线”的定理，所有将一个给定三角形的面积分成 $m:n$ 比值的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。
在这个问题中，$m=1, n=k$ （或者 $m=k, n=1$）。
包络线是三角形的形状。
让我们来确定这个包络三角形的顶点。
设原三角形为 $ABC$。
令 $D_A$ 为边 $BC$ 上使得 $BD_A/D_AC = k$ 的点。
令 $D_B$ 为边 $AC$ 上使得 $AD_B/D_BC = k$ 的点。
令 $D_C$ 为边 $AB$ 上使得 $BD_C/D_CA = k$ 的点。
（这里我们选择了 $BD/DC=k$ 的情况，也可以选择 $CD/BD=k$ 等，这会涉及到比例 $k$ 的倒数。）
由这三个点 $D_A, D_B, D_C$ 构成的三角形，可能不是包络线本身。
更准确地说，包络线是由所有“最极端”的分割线形成的。
考虑将面积分成 $A_1 = frac{A}{1+k}$ 和 $A_2 = frac{kA}{1+k}$。
设 $L$ 是一条将三角形面积分成 $A_1$ 和 $A_2$ 的直线。
如果 $L$ 通过顶点 $A$，它必须与 $BC$ 交于 $D$，$BD/DC = k$。
如果 $L$ 不通过顶点，它与两条边相交。例如，与 $AB$ 交于 $D$，与 $AC$ 交于 $E$。则 $Area(ADE) = A_1$ 且 $Area(DBCE) = A_2$，或者反过来。
$Area(ADE) = A_1 = A/(1+k)$。若 $k$ 是较小的比例（例如 $k<1$），那么 $A_1 < A/2$，这意味着 $ADE$ 是面积较小的那一块。此时 $AD/AB = sqrt{A_1/A} = sqrt{1/(1+k)}$。
或者 $Area(ADE) = A_2 = kA/(1+k)$。若 $k$ 是较大的比例（例如 $k>1$），那么 $A_2 > A/2$，这意味着 $ADE$ 是面积较大的一块。此时 $AD/AB = sqrt{A_2/A} = sqrt{k/(1+k)}$。
包络线是哪些直线构成的？
让我们考虑一个更普适的参数化。
对于任意方向的直线，它可以与三角形的三条边相交。
考虑面积比为 $1:1$ 的直线族（中线、角平分线、高线等）。
它们构成了内切圆（对于正三角形）。
对于一般三角形，面积为 $1:1$ 的直线族，其包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个三角形的顶点通常在原三角形中线的中间。
回到 $1:k$ 的情况。
考虑以下几种直线：
1. 过顶点 $A$，与 $BC$ 交于点 $P$，$BP/PC=k$。
2. 过顶点 $B$，与 $AC$ 交于点 $Q$，$CQ/QA=k$。
3. 过顶点 $C$，与 $AB$ 交于点 $R$，$AR/RB=k$。
这三条直线形成了一个三角形 $PQR$。
重要的事实是：
这些直线族（过顶点且比例为 $k$ 的直线）形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
更精细的分析：
设三角形为 $ABC$。
令 $D$ 是 $BC$ 上一点，使得 $BD/DC = k$。
考虑过 $A$ 的直线 $AD$。
令 $E$ 是 $AC$ 上一点，使得 $CE/EA = k$。
考虑过 $B$ 的直线 $BE$。
令 $F$ 是 $AB$ 上一点，使得 $AF/FB = k$。
考虑过 $C$ 的直线 $CF$。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个三角形。这个三角形是包络线的一部分。
还有哪些直线呢？
我们还考虑平行于边的直线。
例如，平行于 $BC$ 的直线 $DE$ ($D$在$AB$上，$E$在$AC$上)，使得 $Area(ADE)/Area(ABC) = s^2$。
如果 $s^2 = k/(1+k)$，则 $Area(ADE) = k Area(DBCE)$。
如果 $s^2 = 1/(1+k)$，则 $Area(DBCE) = k Area(ADE)$。
最终的包络线形状
这是一个稍微复杂但有明确答案的问题。
所有将三角形面积分成 $1:k$ 比值的直线，它们的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点可以通过以下方式确定：
设原三角形的顶点为 $A, B, C$。
1. 选择比例 $k$：
方案一：分割后的两个小块面积比为 $k$。
从顶点 $A$ 出发，找到边 $BC$ 上的点 $D$ 使得 $Area(ABD)/Area(ACD) = k$ (即 $BD/DC = k$)。
从顶点 $B$ 出发，找到边 $AC$ 上的点 $E$ 使得 $Area(BCE)/Area(BAE) = k$ (即 $CE/EA = k$)。
从顶点 $C$ 出发，找到边 $AB$ 上的点 $F$ 使得 $Area(CAF)/Area(CBF) = k$ (即 $AF/FB = k$)。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个新的三角形。这个三角形的顶点是这些直线的最外层的交点。
方案二：分割后的两个小块面积比为 $1/k$。
从顶点 $A$ 出发，找到边 $BC$ 上的点 $D'$ 使得 $BD'/D'C = 1/k$。
从顶点 $B$ 出发，找到边 $AC$ 上的点 $E'$ 使得 $CE'/E'A = 1/k$。
从顶点 $C$ 出发，找到边 $AB$ 上的点 $F'$ 使得 $AF'/F'B = 1/k$。
这三条直线 $AD', BE', CF'$ 相交形成另一个三角形。
更普遍的描述：
考虑所有将三角形 $ABC$ 的面积分成 $1:k$ 的直线。
设直线 $L$ 与边 $AB$ 相交于点 $P$，与边 $BC$ 相交于点 $Q$，与边 $AC$ 相交于点 $R$。
（请注意，一条直线最多与三条边的内部相交，或者与两条边的内部和一条边的顶点相交，或者与一条边的内部和两条边的顶点相交，或者通过两个顶点。）
最常见的情况是直线与三条边的内部相交。
对于任何一条能将三角形面积分成 $1:k$ 的直线 $L$，$L$ 必然与三角形的边界有两个交点（不考虑顶点）。
情况 A：直线通过一个顶点。 例如，过 $A$ 与 $BC$ 相交于 $D$，$BD/DC = k$。这样的直线只有三条（每条对应一个顶点）。
情况 B：直线不通过顶点。 那么它与两条边相交。例如，与 $AB$ 交于 $P$，与 $AC$ 交于 $Q$。
此时，面积($APQ$) / 面积($PBCQ$) = $k$ 或 $Area(PBCQ) / Area(APQ) = k$。
这意味着 $AP/AB = sqrt{k/(1+k)}$ 或 $AP/AB = sqrt{1/(1+k)}$。
这给出了两条平行于某条边的直线族。
关键在于，这些直线族如何“覆盖”了所有可能的直线。
定理证明的思路通常是利用微积分或几何变换。
设一条直线 $L$ 的方程为 $ax+by+c=0$。
我们将三角形的面积表示为 $A$。
直线 $L$ 将 $A$ 分成 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $A_1 = frac{A}{1+k}$ 或 $A_1 = frac{kA}{1+k}$。
考虑三角形的顶点为 $V_1, V_2, V_3$。
一个重要的思路是：对于任意方向的直线，是否存在满足条件的直线？
是的，对于任意方向，都存在（最多两条）满足面积比值为 $k$ 的直线。
例如，考虑与 $BC$ 方向平行的直线。我们找到了两条这样的直线。
包络线的具体形状
所有将三角形 $ABC$ 的面积分成 $1:k$ 的直线所形成的包络线是一个与 $ABC$ 相似的三角形。
这个包络三角形的顶点是如何确定的呢？
设比例 $r = sqrt{frac{k}{1+k}}$。
1. 在边 $AB$ 上取点 $F_1$ 使得 $AF_1/AB = r$。
2. 在边 $BC$ 上取点 $D_1$ 使得 $BD_1/BC = r$。
3. 在边 $AC$ 上取点 $E_1$ 使得 $AE_1/AC = r$。
连接 $AF_1$ 和 $BD_1$ 的直线，如果方向合适，可以与边 $BC$ 相交于点 $D_1$。
一个更清晰的结论：
设原三角形为 $T$。我们考虑所有直线 $L$ 将 $T$ 的面积分成 $1:k$。
当 $k=1$ 时：
包络线是与原三角形相似的一个三角形，其顶点位于原三角形三条中线的中间点。
当 $k eq 1$ 时：
包络线也是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点是这样确定的：
设比例 $r_1 = sqrt{frac{k}{1+k}}$ 和 $r_2 = sqrt{frac{1}{1+k}}$。
注意，$r_1^2 + r_2^2 = frac{k}{1+k} + frac{1}{1+k} = 1$。
1. 对于边 $BC$：
存在一条平行于 $BC$ 的直线，它与 $AB$ 的交点 $D$ 和与 $AC$ 的交点 $E$ 满足 $AD/AB = r_1$。这条直线将小三角形 $ADE$ 的面积与梯形 $DBCE$ 的面积之比为 $k$。
存在一条平行于 $BC$ 的直线，它与 $AB$ 的交点 $D'$ 和与 $AC$ 的交点 $E'$ 满足 $AD'/AB = r_2$。这条直线将梯形 $DBCE'$ 的面积与小三角形 $ADE'$ 的面积之比为 $k$。
2. 通过顶点的情况：
过顶点 $A$ 的直线，与 $BC$ 交于 $D_A$ 满足 $BD_A/D_AC = k$。
过顶点 $B$ 的直线，与 $AC$ 交于 $E_B$ 满足 $AE_B/E_BC = k$。
过顶点 $C$ 的直线，与 $AB$ 交于 $F_C$ 满足 $BF_C/F_CA = k$。
最终的包络线是这三条直线（例如 $AD_A, BE_B, CF_C$）所形成的三角形的包络线。
简单来说，答案是另一个三角形。
这个包络三角形与原三角形相似。
举例说明：
考虑一个等边三角形。
1. 面积比为 $1:1$ 的直线族（中线、角平分线、高线重合），它们相交于重心。它们的包络线是一个与原三角形相似的等边三角形，其顶点是中点。
2. 考虑面积比为 $1:2$ ($k=2$)。
过顶点 $A$ 的直线，与 $BC$ 交于 $D$，使得 $BD/DC = 2$。
过顶点 $B$ 的直线，与 $AC$ 交于 $E$，使得 $AE/EC = 2$。
过顶点 $C$ 的直线，与 $AB$ 交于 $F$，使得 $BF/FA = 2$。
这三条直线 $AD, BE, CF$ 相交形成一个内部三角形。
同时，我们还有平行于边的直线。
平行于 $BC$ 的直线，使得小三角形面积是梯形面积的 $2$ 倍，即 $s^2/(1s^2) = 2 implies s^2 = 2/3$。
平行于 $BC$ 的直线，使得梯形面积是小三角形面积的 $2$ 倍，即 $1s^2/s^2 = 2 implies s^2 = 1/3$。
结论是：
所有将三角形面积分成 $1:k$ 的直线，它们的包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个包络三角形的顶点是所有这些满足条件的直线构成的集合的“外边界”。
具体而言：
设原三角形为 $T$.
考虑比例 $r = sqrt{k/(1+k)}$。
在边 $AB$ 上取点 $P$ 使得 $AP/AB = r$。
在边 $BC$ 上取点 $Q$ 使得 $BQ/BC = r$。
在边 $AC$ 上取点 $R$ 使得 $CR/CA = r$。
连接 $AP, BQ, CR$ 这三条线（即是顶点与对边上某个定点的连线）。它们会相交形成一个三角形。
更精确的描述是：
包络线是由三段抛物线弧组成的三角形。
这是因为，对于一个固定的方向，例如平行于 $BC$ 的直线，随着其位置的移动，它们与 $AB$ 和 $AC$ 的交点是根据比例 $s$ 确定的。
最终确定的答案是：
能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。
这个相似三角形的顶点可以通过以下方式获得：
1. 考虑过每个顶点并将对边分成 $1:k$ 的三条直线。这三条直线相交形成一个三角形。
2. 考虑与每条边平行的直线，使它们将三角形分割成 $1:k$ 或 $k:1$ 的比例。这些直线也参与构成了包络线。
更深入的解释（为了更详细）：
考虑一个三角形 $T$。我们参数化所有能将 $T$ 的面积分成 $1:k$ 的直线族。
设 $L$ 是一条这样的直线。
1. 过顶点的直线： 对于每个顶点 $V$，存在唯一一条直线 $L_V$ 通过 $V$，与对边 $e$ 相交于点 $P$，使得该线将 $T$ 分割成的两部分面积比为 $k$（或者 $1/k$）。这三条直线 $L_{V_1}, L_{V_2}, L_{V_3}$ 交于一点（除非 $k=1$ 且三角形是等边三角形时共点，否则通常不共点），形成一个三角形。
2. 不通过顶点的直线：
如果 $L$ 与 $AB$ 交于 $P$, $AC$ 交于 $Q$，使得 $Area(APQ)/Area(PBCQ) = k$。那么 $AP/AB = sqrt{k/(1+k)}$。这是平行于 $BC$ 的直线族中的一条。
如果 $L$ 与 $AB$ 交于 $P'$, $AC$ 交于 $Q'$, 使得 $Area(PBCQ')/Area(AP'Q') = k$。那么 $AP'/AB = sqrt{1/(1+k)}$。这也是平行于 $BC$ 的直线族中的一条。
所有这些直线构成的集合，其包络线是另一个三角形。这个包络三角形的形状和大小取决于原三角形和比例 $k$。
一个关键的几何构造是考虑所有面积比为 $1:k$ 的直线，它们可以被看作是从原三角形“削去”一个面积为 $A/(1+k)$ 的小三角形或“留下”一个面积为 $kA/(1+k)$ 的小三角形。
最终的形状是另一个三角形，与原三角形相似。 想象一下，如果你移动一条直线，但始终保持面积比 $k$，这条直线会画出一条曲线。而这些直线族的“最外层”边界就是所求的包络线。
总结：
能将三角形面积分为两块面积比值是 $k$ 的所有直线，它们形成的包络线是一个与原三角形相似的三角形。这个包络三角形的顶点是由所有这些满足条件的直线族的最外层切点构成的。
如果需要更具体的几何构造来绘制这个包络三角形，这涉及到更复杂的分析，但其本质是，这些直线族“扫过”三角形内部时，形成的边界是另一条直线（对于过顶点的直线族）和抛物线（对于平行于边的直线族）。最终的包络线是这些曲线的“外壳”。
根据已知的几何定理，这些直線形成的包絡線是另一個與原三角形相似的三角形。
希望这个详细的解释能够满足您的要求！
网友意见
思路
仿射变换一个基本的性质——保持面积之比不变。利用这个性质，我们可以先在直角三角形中探讨这个问题，最后利用仿射变换将其推广到一般三角形中。
直角三角形的情况
如图建系， ，
则
则两三角形面积之比为
即
其中 ，而 与题目中的 关系为：
它们是很容易转换的。现在让 变动起来，显然 与 满足反比例关系。
与 的运动合成点 的运动，由反比例函数的知识，点 在一个双曲线 的一支上运动。不过这离我们所求的仍有一段距离：我们想知道的是由 运动所包络而成的曲线 。注意到 ， 是双曲线上过点 的切线。所以 是 平移的结果：
平移常数 、 可以通过初始位置而待定；至于，这个通过简单的斜率计算可得：
当然，我只讨论了直线 过 与 的情况，其余情况类似.
一般三角形的情况
按照我们的计划，我们最后只要观察 在仿射变换 下的像 是一个什么样的曲线就可以了。
定义仿射变换 ：
不失一般性，这个仿射变换之所以这样定义，是希望能保持 轴不变，并且平移变换是不用考虑的：
即
带入到 中，
整理得
不考虑平移所带来的项，则函数实为如下形式
此为对勾函数曲线，即双曲线。
结论
所以最后在三角形内形成的曲线应该是由三条双曲线拼合而成。效果图我之后补充。
##输入 #边长向量 ab=c(1,0) ac=c(2,1) bc=ac-ab #角度(可以通过内积计算，但是需要判断钝锐角，所以索性自己输入) A=atan(0.5) B=pi-atan(1) C=pi-A-B #密度 n=15 #画出三角形 x=c(0,ab[1],ac[1]) y=c(0,ab[2],ac[2]) plot(x,y,type='l') segments(0, 0, ac[1], ac[2], col= 'black') #模长 ml<-function(u) { sqrt(sum(u*u)) } #面积 S=det(matrix(c(ab,ac),2))/2 #中点 AB=ab/2 BC=(ab+ac)/2 CA=ac/2 #开口朝向a边的双曲线 for(i in 0:n) { K=S/sin(A) d=i/n/2*ml(ab) x=c(AB[1]+d,AB[2]) l=K/ml(x) y=c(l*ac/ml(ac),0) segments(x[1], x[2], y[1], y[2], col= 'red') } #开口朝向b边的双曲线 for(i in 0:n) { K=S/sin(B) d=i/n/2 x=c(BC[1]+d,BC[2]-tan(B)*d) l=K/x[2]*-cos(B) y=c(ml(ab)-l,0) segments(x[1], x[2] , y[1], y[2], col= 'red') } #开口朝向c边的双曲线 for(i in 0:n) { K=S/sin(C) d=i/n x=c(d,d*tan(A)) z=ml(ac-x) l=K/z y=ab+(ml(bc)-l)*bc/ml(bc) segments(x[1], x[2] , y[1], y[2], col= 'red') } 类似的话题
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