微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ?
微分和导数：有什么联系？
首先，我们要理解，微分和导数其实是同一个事物的不同侧面。它们都与函数的变化率息息相关，但侧重点略有不同。
导数（Derivative）： 导数描述的是函数在某一点上瞬时变化率的大小。它是一个比值，代表当自变量（比如 $x$）发生一个无穷小的变化时，函数值（比如 $y$）的无穷小变化量与自变量的无穷小变化量之比。
用数学语言来说，如果函数是 $y = f(x)$，那么在点 $x_0$ 处的导数记为 $f'(x_0)$ 或 $frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$。它的定义是：
$$f'(x_0) = lim_{Delta x o 0} frac{f(x_0 + Delta x) f(x_0)}{Delta x}$$
这里的 $Delta x$ 是自变量的变化量，当它趋向于零时，我们得到的就是瞬时变化率。
微分（Differential）： 微分描述的是函数在某一点上近似于线性变化的部分。它不是一个比值，而是一个量，代表当自变量发生一个微小变化时，函数值近似于改变了多少。
如果我们将自变量的变化量记为 $dx$（注意，这里我们不再强制它趋向于零，而是看作一个任意的、但非常小的量），那么函数 $y = f(x)$ 的微分，记作 $dy$ 或 $df(x)$，定义为：
$$dy = f'(x) dx$$
这里的 $f'(x)$ 就是函数在 $x$ 点的导数。
核心联系： 导数是连接微分和自变量变化量的“桥梁”。 $dy = f'(x) dx$ 这个公式告诉我们，函数值的微小变化 $dy$ 等于函数在某点的导数 $f'(x)$ 乘以自变量的微小变化 $dx$。
你可以这样理解：导数 $f'(x)$ 是一个倍数或者说一个比例因子，它告诉你，当自变量变化 $dx$ 时，函数值大致会变化 $f'(x)$ 倍的 $dx$。这个“大致”就是我们下面要讲的几何意义。
几何意义：有什么不同？
这里的几何意义非常直观，也最能帮助我们理解两者的区别。
导数的几何意义： 导数在几何上代表的是函数在某一点的切线的斜率。
想象一下函数 $y = f(x)$ 的图像。在函数图像上的某个点 $(x_0, f(x_0))$，我们可以画一条直线，这条直线与函数图像在该点“相切”，也就是说，它在这一点上的“倾斜程度”与函数图像在该点的倾斜程度完全一致。这条切线的斜率，就是函数在 $x_0$ 点的导数 $f'(x_0)$。
如果 $f'(x_0) > 0$，切线向上倾斜，函数在该点是递增的。
如果 $f'(x_0) < 0$，切线向下倾斜，函数在该点是递减的。
如果 $f'(x_0) = 0$，切线是水平的，函数在该点可能取得极值（极大或极小）。
微分的几何意义： 微分在几何上代表的是切线上函数值的变化量。
回到刚才的点 $(x_0, f(x_0))$，以及在那里的切线。如果我们让自变量从 $x_0$ 变化到一个新的值 $x_0 + dx$，那么在切线上，函数值对应的变化是多少呢？
切线的斜率是 $f'(x_0)$。所以，当自变量从 $x_0$ 变化到 $x_0 + dx$ 时，切线上对应的函数值变化（我们记作 $Delta y_{ ext{tangent}}$）就是：
$$Delta y_{ ext{tangent}} = f'(x_0) cdot ( (x_0 + dx) x_0 ) = f'(x_0) dx$$
这个 $Delta y_{ ext{tangent}}$ 就是 $dy$ 的几何意义。
因此，微分 $dy$ 就是函数在点 $x$ 处，沿着切线方向的函数值变化量。
关键点：
导数是切线的斜率（一个比值）。
微分是切线上函数值随自变量变化而产生的变化量（一个量），它是导数乘以自变量的微小变化。
当 $dx$ 非常非常小时，切线上函数值的变化量 $dy$ 会非常接近函数图像本身实际变化量 $Delta y = f(x_0 + dx) f(x_0)$。这就是为什么微分可以用来近似计算函数值的变化。
用图示来说就是：
导数 $f'(x_0)$ 是切线 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x x_0)$ 的斜率。
微分 $dy = f'(x) dx$ 是当 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0 + dx$ 时，切线上的 $y$ 值变化。
函数值的实际变化是 $Delta y = f(x_0 + dx) f(x_0)$。
微分 $dy$ 就是对 $Delta y$ 的一次线性近似。
为什么要定义微分？
定义微分，尽管它看起来只是导数和自变量变化量的一个简单乘积，但它具有非常深刻的意义和广泛的应用价值。主要体现在以下几个方面：
1. 近似计算（Approximation）：
这是最直接和最常用的原因。前面我们提到，当 $dx$ 非常小时，微分 $dy = f'(x) dx$ 是函数实际变化量 $Delta y = f(x + dx) f(x)$ 的一个非常好的近似。
我们可以写成：
$$f(x + dx) approx f(x) + dy = f(x) + f'(x) dx$$
这个公式非常有用。例如，如果我们知道一个函数的某个点的函数值和导数，并且想要估算一个非常接近该点的函数值，就可以利用这个公式。
比如，我们知道 $sqrt{4} = 2$。如果我们想估算 $sqrt{4.001}$ 的值，我们可以令 $f(x) = sqrt{x}$， $x=4$，$dx=0.001$。
$f'(x) = frac{1}{2sqrt{x}}$。
$f'(4) = frac{1}{2sqrt{4}} = frac{1}{4}$。
所以，$sqrt{4.001} approx f(4) + f'(4) cdot 0.001 = 2 + frac{1}{4} cdot 0.001 = 2 + 0.00025 = 2.00025$。
这个近似值非常接近真实值。
2. 概念的深化与推广（Conceptual Deepening and Generalization）：
线性化（Linearization）： 微分本质上是将复杂的、非线性的函数在某一点附近用一个最简单的线性函数（也就是切线）来代替。这种线性化思想在科学和工程的许多领域都至关重要。很多时候，我们只能处理线性问题，而通过线性化，我们可以将许多非线性问题转化为近似的线性问题来求解。
微分形式（Differential Forms）： 在更高级的数学，如微分几何和微分拓扑中，微分的概念被极大地扩展和深化。我们有了“微分形式”这样的工具，它们是多变量微积分、矢量微积分以及流形上积分的基础。这些概念是描述几何对象、物理场和分析性质的核心。
更清晰的“变化量”概念： 虽然导数已经描述了变化率，但微分 $dy$ 直接给出了当自变量变化 $dx$ 时，函数“应该”如何变化的量。它将变化率的概念转化为一个具体的“量值”的乘积，使得对变化的理解更加具体和直观。
3. 运算的便利性（Computational Convenience）：
在处理高阶导数和积分时，微分符号 $d$ 和 $frac{d}{dx}$ 的使用带来了形式上的统一和简洁。例如，二阶导数可以写成 $frac{d^2y}{dx^2}$，它暗示了对一个变化率（一阶导数）的变化率的关注。
在多变量微积分中，比如全微分的概念，使得我们能够统一地描述函数在多维空间中的“方向性”变化。对于一个函数 $z = f(x, y)$，其全微分是 $dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy$，这精确地描述了当 $x$ 和 $y$ 同时发生微小变化 $dx$ 和 $dy$ 时，$z$ 的总体的微小变化。这远比单独考虑 $frac{partial z}{partial x}$ 和 $frac{partial z}{partial y}$ 要全面。
4. 物理意义的对应（Physical Interpretation）：
在物理学中，许多基本定律和概念都是用微分形式来表达的。例如，牛顿第二定律 $F = ma$，在时间上的变化可以用微分来描述。速度是位移的微分，加速度是速度的微分。能量守恒、动量守恒等许多基本守恒定律，往往以微分方程的形式出现。微分提供了一种语言来精确描述物理过程中的瞬时变化。
总结一下：
关系： 导数是函数在某点的瞬时变化率，它是一个比值（斜率）。微分是函数在某点的线性近似的变化量，它是导数乘以自变量的微小变化。导数是连接自变量变化和函数近似变化的“比例因子”。
几何意义： 导数是函数图像在某点的切线斜率。微分是当自变量变化 $dx$ 时，在切线上，函数值所对应的变化量 $dy$。
为什么需要微分： 它是对函数局部行为进行线性近似的强大工具，使得我们能够进行估算、理解复杂的非线性行为，并在高阶微积分、微分几何和物理学中扮演核心角色。它提供了一种更具体、更实用的方式来思考和计算函数的微小变化。
希望这样的解释能够让你对微分和导数有一个更清晰、更深入的理解。它们是数学中非常美妙且强大的工具。
网友意见
函数的导数与微分的关系，是线性映射和线性映射作用在向量后的结果这二者之间的关系。
此话怎讲？一个函数的导数，是函数的局部线性近似。因此每点导数值是一个线性映射。微分呢？该线性映射作用在向量上。哪个向量？自变量的增量这个向量。作用的结果是什么？另一个向量（线性映射作用总是把一个向量变为另一个嘛）。这又是哪个向量？函数值的增量近似。
为何学微积分时不知道这一点？因为一元函数时，自变量和函数值增量近似都是一维向量，而某点导数对应的线性映射表现为1乘1矩阵，即一个数，也即是该点导数值。
当然这里说的是函数的导数。如果说的是求导数这个动作，就是另一回事了。
正好我这周五给大一新生们开的高数讲座，提到了导数和微分。
因此在这里简单写一下我自己的理解，也欢迎大家在评论区讨论。
一、微分和导数的定义
要搞清楚“微分和导数的关系是什么”，首先要知道微分和导数是什么。
首先来看导数，其实这个概念早在高中就出现了。
定义1.1 设函数 在 的某领域内有定义，如果极限 存在，则称 在 处可导（derivable），并称上述极限值为 在 处的导数（derivative），记作 。
根据上面的定义，可以看出，导数其实是曲线 上两个点 和 的连线的斜率 当 时的极限值。
这个值刻画着，随着 的变化（增加或减少）， 应该变化（增加或减少）多少。因此这个值也可以称作函数的变化率（rate of change）。
了解了导数之后，我们再来看微分的概念。
定义1.2 设函数 在 处连续，若存在实数 ，使得 其中 ，则称 在 处可微（differentiable），并称线性部分 为 在 处的微分（differential），记作 。
可以看出，微分的定义和导数的定义是非常像的，也可以将其写成 可以认为，微分是用线性函数 来替代函数 ，而在 时，这两个函数应该是无限接近的，因此 。
综上，导数的几何意义是“变化率”，而微分的几何意义是“线性替代”。
这便解决了“两者的几何意义有什么不同”的问题。
二、导数和微分的联系
可以证明， 在 处可微当且仅当 在 处可导。并且，微分值和导数值是相等的。
因此，导数也可以记作 ，可导和可微平时也是不做区分的。
但是，不能仅仅凭“直觉”就断定这两个定义是等价的，在下面给出证明。
（1）若函数 在 处可导，则其在 处连续，且极限 存在，记其的值为 ，则有 将其写成 整理可得 也即 在 处可微。
（2）若函数 在 处可微，则存在实数 ，使得 整理得 因此 也即 在 处可导。
以上过程说明了，可导性和可微性是等价的，同时导数值和微分值是相等的。
这便解决了“微分和导数的关系是什么”这个问题。
三、为什么要定义微分？
这是本题的最后一个问题。
既然导数和微分是等价的，那么微分这种“线性替代”思想，对我们有什么用呢？
首先便是，线性替代的思想可以推广至高阶替代。
在上面的过程中，我们使用线性函数来近似估计 ，也即 但是在有些时候，线性函数和实际的函数差距较大，我们可以再进一步，把函数近似为 以此类推，直至 到这里，Taylor展开式的思想就出现了。Taylor展开最早要解决的问题，就是找到函数的一个近似描述的方法，也即找到这样的一组 ，使得 这样就能便于研究函数的性质。
除此之外，在分析学中，许多问题都可以转化为线性问题求解。
在代数部分，我们已经学习了一定的矩阵和行列式的性质，了解了什么是线性变换和线性空间，可以认为线性的问题是被我们研究得非常透彻的。
因此，在解决一些问题时，如果能找到其的线性替代，处理起来就容易许多。
例如重积分的变量替换 其中 是定义在 上的一个连续可微的双射，若要直接证明上述定理，则较为复杂，但是通过构造 其中 是线性变换，便可以将 拆成两部分来处理，其中第一部分 是可以任意小的，而第二部分 是相对来说更为简单的情形，是容易处理的。
微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：
- 对于导数的链式法则， ，可以理解为 可以约去，所以两者相等。但假如有 ， ，通过消去我们是否可以推出 ？
- ，这里好像实实在在的消去了 。
- ，然后说 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法则， ，难道 和 不小！！
我当时脑袋一片混乱，到底 或者说 、 是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以？
其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史上去寻找答案。
我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对 这样的一元函数。
1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分
牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 ----维基百科 ）。
1.1 导数为什么出现？
导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。
曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：
直觉告诉我们，如果 越大，则这个近似越准确：
无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。
在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。
1.2 导数的古典定义
在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：
割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。
有了切线之后我们进一步去定义导数：
从这张图得出导数的定义 ，而 和 被称为 和 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。
1.3 无穷小量导致的麻烦
上一节的图实际上是有矛盾的：
所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还远远不止这一些， 的导数是这样计算的：
仔细看看运算过程， 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。
无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？
无穷小量还违反了 阿基米德公理 ，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。
一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。
1.4 对于古典微积分的总结
- 切线：通过无穷小量定义了切线
- 导数：导数就是切线的斜率
- 微分：微分是微小的增量，即无穷小量
2 基于极限重建微积分
莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。
解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。
2.1 极限
现在都是用 语言来描述极限：
可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。
2.2 导数的极限定义
维基百科
用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。
不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。
可以得出， 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：
，这是 的定义。
我们令 ，这个 的定义。
最后我们可以得到 ：
2.3 对于极限微积分的总结
- 导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
- 微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
- 切线：有了导数之后就可以被确定下来了
3 疑问的解答
微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。
3.1 古典微积分与极限微积分的对比
- 古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
- 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
- 古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
- 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
- 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
- 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。
古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。
3.2 疑问的解答
之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。
- ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 实际上是不同的函数。
- 古典微积分中， 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， 是求黎曼和，我们可以把 当作左括号， 当作右括号，就好比 ，计算完毕之后，括号自然就消失了。
- 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。
古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。
3.3 古典微积分的用处
我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。
并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。
4 无穷小量的逆袭
有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数， 超实数 。
基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。我对于超实数并不了解，大家感兴趣可以去学习非标准分析课程。
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