用坐标变换定义的张量和微分几何中的张量或张量场是什么关系？
当然，我们来深入探讨一下这个问题。
要理解这个问题，我们得先从两个不同的视角切入，然后看看它们是如何在数学的海洋中汇合的。
视角一：坐标变换下的“张量”——一个更基础的概念
在最初的物理和工程背景下，当我们谈论“用坐标变换定义的张量”时，我们通常是在描述一个对象（或者说是一组数），它在不同的坐标系下如何表现其数值。这里，“坐标变换”是核心。
想象一下，你在二维平面上描述一个点的位置。你可以用笛卡尔坐标 $(x, y)$，也可以用极坐标 $(r, heta)$。从 $(x, y)$ 变换到 $(r, heta)$ 需要一个特定的规则（比如 $x = r cos heta$, $y = r sin heta$）。这个规则本身就包含了重要的信息。
现在，我们不只是描述一个点，而是描述一个“量”。这个量可能是一个向量（比如速度），一个二阶张量（比如应力张量），或者更一般的对象。我们关心的是，当我们将描述这个量的坐标系从一个（比如 $x^i$）变换到另一个（比如 $y^j$）时，构成这个量的数值会按照某种特定的、可预测的方式发生变化。
举个例子：
向量： 一个二维向量 $(v^x, v^y)$ 在笛卡尔坐标下表示，如果我们将坐标系旋转一定角度，向量的组成部分 $(v'^x', v'^y')$ 会根据旋转矩阵发生变化。这种变化是线性的，并且有一定的规律性。例如，在直角坐标系下的向量分量 $v^i$ 在新的直角坐标系 $x'$ 下的分量 $v'^j$ 满足 $v'^j = sum_i frac{partial x'^j}{partial x^i} v^i$。这里的 $frac{partial x'^j}{partial x^i}$ 就是我们常说的雅可比矩阵的转置，它描述了新坐标相对于旧坐标的变化率。
二阶张量： 一个二阶张量 $T$ 在某个坐标系下可以用一个矩阵 $[T_{ij}]$ 表示。当坐标系变换时，这个矩阵的元素 $[T'_{kl}]$ 会发生一个二次的变换，即 $T'_{kl} = sum_{i,j} frac{partial x^i}{partial x'^k} frac{partial x^j}{partial x'^l} T_{ij}$。注意这里的雅可比矩阵是 逆变换 的雅可比。
从这个角度看，“用坐标变换定义的张量”强调的是一个“在坐标变换下具有特定变换法则的量”。这个定义本身更侧重于数值的变换规律，而不一定非得是在一个流形上。在许多工程和物理问题中，我们可能就在一个固定的欧几里得空间（比如三维空间）中，但我们需要描述的物理量（如应力、电场等）在不同的坐标系下有不同的数值表示。
视角二：微分几何中的张量或张量场——流形上的“几何对象”
微分几何则将我们带入一个更广阔的舞台——微分流形。流形可以看作是“局部上看起来像欧几里得空间”的空间，但整体结构可能更复杂，比如球面、圆环面等。
在微分几何中，一个张量场（Tensor Field）是一个更抽象的概念。它不仅仅是一组数，而是在流形上的每一点都附加了一个张量。就像一个向量场是在流形上的每一点附加了一个向量一样。
这里的关键在于：
1. 局部坐标系： 在流形上的每一点，我们都可以找到一个局部坐标系来描述它。就像你在地球表面上（一个近似的二维球面流形）的某个区域，可以用经纬度来描述点一样。
2. 局部表示： 在每个局部坐标系中，流形上的张量场在这一点上的张量都可以用一组分量来表示。
3. 坐标无关性： 微分几何的核心目标是定义那些不依赖于特定局部坐标系的几何性质和对象。 当我们说一个“几何对象”是“张量”或“张量场”时，我们真正强调的是，即使我们更换了描述流形上一点的局部坐标系，这个几何对象的本质（比如它所代表的物理意义或几何意义）是不变的，它只是其分量的表示方式会按照前面提到的特定坐标变换法则发生变化。
所以，在微分几何中，张量（或张量场）被定义为：一个在流形上，当局部坐标系发生变换时，其分量按照特定的多线性变换规则进行变换的几何对象。 这个“特定规则”正是前面提到的，与雅可比矩阵及其逆的乘积相关的规则。
两者的关系：交汇与升华
现在，我们来看看这两个视角是如何联系起来的：
1. 基础的共同点：变换法则。
“用坐标变换定义的张量”的核心在于其数值在坐标变换下的行为规律。
微分几何中的张量同样拥有这样的变换法则。事实上，微分几何中的张量就是那些遵循这些特定变换法则的几何对象。
因此，从数值变换的角度来看，两者共享了相同的数学框架和核心定义（即多线性变换法则）。
2. 概念的扩展与升华：从数值到几何对象。
“用坐标变换定义的张量”可能只是描述一个固定的数学对象在不同坐标系下的表现。它不一定需要一个变化的“点”。你可能只是在分析一个应力张量在飞机机翼上的不同坐标系表示。
微分几何中的张量场则是一个动态的、发生在流形上的概念。它是在流形上每一处都定义了一个遵循特定变换法则的张量。例如，流形上的曲率张量就是这样一个例子，它在流形的每一点都有一个曲率张量场值。这个张量场描述了流形在每一点的弯曲程度，而这个描述本身是坐标无关的。
3. 统一性：张量的本质是坐标无关性。
从某种意义上说，微分几何的定义是对“用坐标变换定义的张量”这个概念的升华和一般化。它不再仅仅关注一个固定对象在不同坐标下的数值，而是利用坐标变换的性质来定义和描述那些在几何上是客观存在的、独立于我们选择的坐标系的“东西”。
当我们在微分几何中谈论“张量”时，我们其实在寻找一种数学语言，来描述那些本质上不随我们描述它们的工具（坐标系）而改变的几何实体。张量的多线性变换法则正是为了实现这种坐标无关性而设计的。
举个更形象的比喻：
想象你在一个陌生的城市旅行。
“用坐标变换定义的张量”： 你可能拿到一张地图，上面用经纬度标记了各个景点。然后你又拿到另一张地图，是用当地的街道名称和门牌号标记的。当你从一种标记方式切换到另一种时，你会根据城市的路网（一个隐含的变换规则）来找到同一个景点。这里，“景点”是那个被描述的“量”，地图的标记方式是“坐标系”，而找到景点的过程就是“坐标变换”。这个过程本身是关于如何对应不同标记下的数值。
微分几何中的张量场： 现在，想象这个城市本身是一个不断在变化的、更复杂的空间（一个流形）。城市里每一点都有一个“天气状况”信息。这些信息可以用不同的方式来描述，比如温度、风速（向量场），或者某种“拥挤程度”描述（一个二阶张量场）。无论你使用哪种局部地图来描述城市的某一部分，这些“天气状况”的本质属性（比如某个地方今天就是比别的地方热）是不会改变的，只是我们记录这些属性的数值会根据你用的地图切换而改变。微分几何的张量场就是用来描述这些在城市（流形）的每个点上客观存在的“属性”，并且保证了这些属性的描述是独立于你使用的地图（局部坐标系）的。
总结来说：
用坐标变换定义的张量，可以看作是描述一个对象其数值在坐标变换下如何变化的一个数学工具或性质。而微分几何中的张量（场），则是利用这种数值变换性质，来定义和描述那些在流形上客观存在的、具有几何意义的、并且不依赖于局部坐标系的数学对象。后者是对前者的一个更抽象、更普适、更具几何内涵的推广和应用。
可以说，微分几何的张量就是那些遵循了特定坐标变换法则的、作用在流形上的几何实体。它们是用来捕捉流形内在几何结构的语言。
要理解这个问题，我们得先从两个不同的视角切入，然后看看它们是如何在数学的海洋中汇合的。
视角一：坐标变换下的“张量”——一个更基础的概念
在最初的物理和工程背景下，当我们谈论“用坐标变换定义的张量”时，我们通常是在描述一个对象（或者说是一组数），它在不同的坐标系下如何表现其数值。这里，“坐标变换”是核心。
想象一下，你在二维平面上描述一个点的位置。你可以用笛卡尔坐标 $(x, y)$，也可以用极坐标 $(r, heta)$。从 $(x, y)$ 变换到 $(r, heta)$ 需要一个特定的规则（比如 $x = r cos heta$, $y = r sin heta$）。这个规则本身就包含了重要的信息。
现在，我们不只是描述一个点，而是描述一个“量”。这个量可能是一个向量（比如速度），一个二阶张量（比如应力张量），或者更一般的对象。我们关心的是，当我们将描述这个量的坐标系从一个（比如 $x^i$）变换到另一个（比如 $y^j$）时，构成这个量的数值会按照某种特定的、可预测的方式发生变化。
举个例子：
向量： 一个二维向量 $(v^x, v^y)$ 在笛卡尔坐标下表示，如果我们将坐标系旋转一定角度，向量的组成部分 $(v'^x', v'^y')$ 会根据旋转矩阵发生变化。这种变化是线性的，并且有一定的规律性。例如，在直角坐标系下的向量分量 $v^i$ 在新的直角坐标系 $x'$ 下的分量 $v'^j$ 满足 $v'^j = sum_i frac{partial x'^j}{partial x^i} v^i$。这里的 $frac{partial x'^j}{partial x^i}$ 就是我们常说的雅可比矩阵的转置，它描述了新坐标相对于旧坐标的变化率。
二阶张量： 一个二阶张量 $T$ 在某个坐标系下可以用一个矩阵 $[T_{ij}]$ 表示。当坐标系变换时，这个矩阵的元素 $[T'_{kl}]$ 会发生一个二次的变换，即 $T'_{kl} = sum_{i,j} frac{partial x^i}{partial x'^k} frac{partial x^j}{partial x'^l} T_{ij}$。注意这里的雅可比矩阵是 逆变换 的雅可比。
从这个角度看，“用坐标变换定义的张量”强调的是一个“在坐标变换下具有特定变换法则的量”。这个定义本身更侧重于数值的变换规律，而不一定非得是在一个流形上。在许多工程和物理问题中，我们可能就在一个固定的欧几里得空间（比如三维空间）中，但我们需要描述的物理量（如应力、电场等）在不同的坐标系下有不同的数值表示。
视角二：微分几何中的张量或张量场——流形上的“几何对象”
微分几何则将我们带入一个更广阔的舞台——微分流形。流形可以看作是“局部上看起来像欧几里得空间”的空间，但整体结构可能更复杂，比如球面、圆环面等。
在微分几何中，一个张量场（Tensor Field）是一个更抽象的概念。它不仅仅是一组数，而是在流形上的每一点都附加了一个张量。就像一个向量场是在流形上的每一点附加了一个向量一样。
这里的关键在于：
1. 局部坐标系： 在流形上的每一点，我们都可以找到一个局部坐标系来描述它。就像你在地球表面上（一个近似的二维球面流形）的某个区域，可以用经纬度来描述点一样。
2. 局部表示： 在每个局部坐标系中，流形上的张量场在这一点上的张量都可以用一组分量来表示。
3. 坐标无关性： 微分几何的核心目标是定义那些不依赖于特定局部坐标系的几何性质和对象。 当我们说一个“几何对象”是“张量”或“张量场”时，我们真正强调的是，即使我们更换了描述流形上一点的局部坐标系，这个几何对象的本质（比如它所代表的物理意义或几何意义）是不变的，它只是其分量的表示方式会按照前面提到的特定坐标变换法则发生变化。
所以，在微分几何中，张量（或张量场）被定义为：一个在流形上，当局部坐标系发生变换时，其分量按照特定的多线性变换规则进行变换的几何对象。 这个“特定规则”正是前面提到的，与雅可比矩阵及其逆的乘积相关的规则。
两者的关系：交汇与升华
现在，我们来看看这两个视角是如何联系起来的：
1. 基础的共同点：变换法则。
“用坐标变换定义的张量”的核心在于其数值在坐标变换下的行为规律。
微分几何中的张量同样拥有这样的变换法则。事实上，微分几何中的张量就是那些遵循这些特定变换法则的几何对象。
因此，从数值变换的角度来看，两者共享了相同的数学框架和核心定义（即多线性变换法则）。
2. 概念的扩展与升华：从数值到几何对象。
“用坐标变换定义的张量”可能只是描述一个固定的数学对象在不同坐标系下的表现。它不一定需要一个变化的“点”。你可能只是在分析一个应力张量在飞机机翼上的不同坐标系表示。
微分几何中的张量场则是一个动态的、发生在流形上的概念。它是在流形上每一处都定义了一个遵循特定变换法则的张量。例如，流形上的曲率张量就是这样一个例子，它在流形的每一点都有一个曲率张量场值。这个张量场描述了流形在每一点的弯曲程度，而这个描述本身是坐标无关的。
3. 统一性：张量的本质是坐标无关性。
从某种意义上说，微分几何的定义是对“用坐标变换定义的张量”这个概念的升华和一般化。它不再仅仅关注一个固定对象在不同坐标下的数值，而是利用坐标变换的性质来定义和描述那些在几何上是客观存在的、独立于我们选择的坐标系的“东西”。
当我们在微分几何中谈论“张量”时，我们其实在寻找一种数学语言，来描述那些本质上不随我们描述它们的工具（坐标系）而改变的几何实体。张量的多线性变换法则正是为了实现这种坐标无关性而设计的。
举个更形象的比喻：
想象你在一个陌生的城市旅行。
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微分几何中的张量场： 现在，想象这个城市本身是一个不断在变化的、更复杂的空间（一个流形）。城市里每一点都有一个“天气状况”信息。这些信息可以用不同的方式来描述，比如温度、风速（向量场），或者某种“拥挤程度”描述（一个二阶张量场）。无论你使用哪种局部地图来描述城市的某一部分，这些“天气状况”的本质属性（比如某个地方今天就是比别的地方热）是不会改变的，只是我们记录这些属性的数值会根据你用的地图切换而改变。微分几何的张量场就是用来描述这些在城市（流形）的每个点上客观存在的“属性”，并且保证了这些属性的描述是独立于你使用的地图（局部坐标系）的。
总结来说：
用坐标变换定义的张量，可以看作是描述一个对象其数值在坐标变换下如何变化的一个数学工具或性质。而微分几何中的张量（场），则是利用这种数值变换性质，来定义和描述那些在流形上客观存在的、具有几何意义的、并且不依赖于局部坐标系的数学对象。后者是对前者的一个更抽象、更普适、更具几何内涵的推广和应用。
可以说，微分几何的张量就是那些遵循了特定坐标变换法则的、作用在流形上的几何实体。它们是用来捕捉流形内在几何结构的语言。
网友意见
第二次学GR，来回顾一下自己提的问题。
从整体微分几何的角度，张量场就是张量丛（作为切丛和余切丛的张量积）的截面。有时候我们会问，一个具体的的映射是否是（诱导自）一个张量场？比如为什么仿射联络 不是一个(1,2)型张量场，但是它的挠率张量 是一个(1,2)型张量场？
一个物理人会说仿射联络无非就是 个函数 ，它们按坐标变换的规则会出二阶导数，因而不符合张量的定义（按坐标变换定义的“张量”），同理挠率 符合(1,2)型张量的坐标变换，所以是张量。
事实上很难不引入局部坐标来讨论张量场（因为任何矢量丛都是纤维粘起来的，每个纤维上引入坐标卡，并检查相容性条件，就等价于检查矢量场符合对应的坐标变换规则），但是我们可以把这些封装到如下好用的定理：
映射 诱导了一个 型张量场当且仅当 是 多重线性的。
这种局部坐标变换的规则反映到整体上就是张量场作为 代数同态的性质，正如 @Triviality 的答案所言。比如仿射联络在定义上要求 ，多出来的 表明它对第二个位置不具有 线性（但仍然是 线性的，这表明张量场必须要在一个开集上考虑，在单点上的张量积空间上讨论多重线性是无意义的），因此不是一个张量场。
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