标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
在数学和物理的世界里，我们经常会遇到描述一个点或一个向量的概念。为了在脑海中清晰地勾勒出这些抽象事物的位置和方向，我们通常会依赖于一组数字，也就是“坐标”。但问题来了，如果我们说的是一个在 n 维空间里的点，是不是就必须得用 n 个坐标才能完整地描述它呢？
简单直接的回答是：通常情况下，是的。 但理解“通常”这个词背后的含义，以及是否存在一些“不那么通常”的情况，会让你对这个概念有更深入的认识。
让我们先从最直观的二维和三维空间说起。
从我们熟悉的二维空间说起（你在纸上画画的时候）
想象一下，你面前有一张白纸。纸的表面就是一个二维空间。要在上面找一个点，比如学校操场上的一个特定位置，你怎么跟你的朋友描述呢？你可能会说：“从教室门口出发，往东走 100 米，再往北走 50 米。” 你用了两个方向的指示，也就是两个数字（100 和 50），来唯一确定那个点的位置。
我们把东边定义为 x 轴，北边定义为 y 轴。那么这个点的位置就可以用坐标 (100, 50) 来表示。你不能只说“往东走 100 米”，因为这可以在无数个点上实现，它只确定了点在一条直线上。你也更不能只说一个数字，那根本无法确定纸上的任何一个确切位置。所以，在二维空间里，我们需要 两个坐标 来唯一地标识一个点。
再往三维空间看看（我们生活的空间）
现在，我们把视野放宽到我们生活的空间。除了东西和南北，我们还有上下。比如，我们要描述一个放在桌子上的苹果。你可以说：“从你站的位置出发，往前面走 2 米，往左边走 1 米，然后往上摸，大概 0.5 米就是那个苹果。”
我们把前面定义为 x 轴，左边定义为 y 轴，往上定义为 z 轴。那么这个苹果的位置就可以用坐标 (2, 1, 0.5) 来表示。如果只给两个坐标，比如 (2, 1)，那只能确定你在地面上的一个点，但不知道苹果是在地上，还是在桌子上，还是在天花板上。所以，在三维空间里，我们需要 三个坐标 来唯一地标识一个点。
那么，n 维空间呢？
数学就是这样，它喜欢把我们熟悉的模式推广到更抽象的领域。如果我们能想象三维空间，为什么不能想象一个有更多“方向”或“维度”的空间呢？
在数学定义上，一个 n 维向量空间（或者说，我们用来描述一个点在其中的“画布”）就是一个集合，其中的每个“点”都可以用一组 恰好包含 n 个数字 的有序列表（也就是 n 元组）来表示。
比如，一个在五维空间（我们很难想象，但数学上可以定义）的点，就可以用一个五元组来表示，就像这样： $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$。
$x_1$ 可能代表第一个维度上的位置。
$x_2$ 可能代表第二个维度上的位置。
以此类推，直到 $x_5$ 代表第五个维度上的位置。
你不能省略任何一个数字。如果你少给一个数字，比如 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$，你就无法在五维空间中唯一确定这个点。它可能在第五个维度上的任何一个位置，所以这是一个不完整的描述。
为什么说是“通常”呢？这里是关键的区分点：
虽然我们说“标记 n 维空间中的任意一个点/向量一定要用 n 个坐标”，这是一种非常普遍且重要的约定，但我们得明白，这里的“坐标”是建立在 选取了一组基 的前提下的。
在向量空间里，描述一个点或者向量，实际上是在这个空间里找一个组合。想象一下，你用你的两条胳膊（代表两个方向）可以伸到你面前的任何一个你能触及到的点。这两条胳膊就相当于二维空间里的两个“基向量”，它们定义了你活动的空间。
基 (Basis)：在向量空间中，一组基是一组 线性无关 的向量，它们可以组合（通过标量乘法和加法）生成空间中的任何一个向量。你可以把基向量想象成“基础方向”。
线性无关 (Linearly Independent)：一组向量是线性无关的，意味着其中任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。简单来说，它们指向的是“独立”的方向，没有重复或被包含。
维度 (Dimension)：一个向量空间中的基所包含的向量的数量，就是这个空间的维度。
所以，当我们说 n 维空间时，我们实际上是在说：
1. 这个空间可以由 n 个线性无关的基向量 来张成（生成）。
2. 在这个空间中的任何一个向量（或点），都可以 唯一地 表示为这组基向量的 线性组合。
这个线性组合的系数，就是我们通常意义上的 坐标。
例如，在三维空间 $mathbb{R}^3$ 中，最常用的基是标准基：
$e_1 = (1, 0, 0)$ （沿着 x 轴的单位向量）
$e_2 = (0, 1, 0)$ （沿着 y 轴的单位向量）
$e_3 = (0, 0, 1)$ （沿着 z 轴的单位向量）
那么，向量 $v = (5, 3, 2)$ 就可以表示为 $v = 5e_1 + 3e_2 + 2e_3$。这里的系数 (5, 3, 2) 就是向量 $v$ 在这组标准基下的坐标。我们用了 3 个坐标来描述它，因为我们处在 3 维空间，并且我们选择了 3 个基向量。
但这里就引出了“不那么通常”的情况，或者说是对“坐标”的更广泛理解：
选取不同的基： 即使是在同一个 n 维空间，我们也可以选择不同的一组 n 个基向量。例如，在三维空间中，我们可以不使用标准的 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$，而是选择一组新的、同样线性无关的三个向量作为基。
假设我们选择了新的基：
$b_1 = (1, 1, 0)$
$b_2 = (0, 1, 1)$
$b_3 = (1, 0, 1)$
这三个向量是线性无关的，它们也能张成整个三维空间。
那么，原来用标准基表示为 $(5, 3, 2)$ 的向量 $v$，用这组新的基表示时，其坐标就会不同。你需要解方程组来找出满足 $v = c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3$ 的系数 $c_1, c_2, c_3$。这三个系数 $(c_1, c_2, c_3)$ 就是向量 $v$ 在这组新基下的坐标。
关键点在于： 无论你选择哪组基，对于一个特定的向量，它总能被这组基唯一地表示出来，而这个表示所需的系数数量正好等于基向量的数量，也就是空间的维度 n。所以，即使坐标值变了，但坐标的“个数”仍然是 n 个。
坐标的本质： 坐标的本质是衡量一个向量在各个“方向”上的“分量”。这些“方向”就是基向量所指示的。n 维空间意味着有 n 个独立的“方向”来组合出空间中的任何一个点或向量。因此，我们总是需要 n 个“度量”来完成这个描述。
非标准的表示方法（这里可能有些哲学意味，但要区分开）：
有时我们可能会遇到一些描述方式，它们看似不是 n 个数字，但实际上它们隐含了或依赖于一个 n 维的框架。例如：
参数方程： 一个在三维空间中运动的粒子，它的轨迹可以用参数 $t$ 来描述，形如 $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$。这看起来像是用一个参数 $t$ 来描述了一个三维位置。但请注意，这里 $x(t), y(t), z(t)$ 本身就是三个独立的函数，每个函数都对应着一个三维坐标的分量。所以，在任何一个确定的 $t$ 值下，我们仍然需要三个坐标 $(x(t), y(t), z(t))$ 来唯一确定粒子的位置。
某些几何描述： 比如，一个在三维空间中的平面，你可以用一个法向量和一个平面上任意一点来描述。但这本质上是在描述一个子空间，而不是空间中的一个点。描述一个点总归是需要足量的坐标。
总结一下：
在数学的线性代数框架下，当我们在一个 n 维向量空间中谈论一个点或向量时，它的表示是基于该空间的一组基。
1. n 维空间意味着这个空间可以由 n 个线性无关的向量（基）张成。
2. 空间中的任何一个向量都可以被这组基唯一地表示为这些基向量的线性组合。
3. 这个线性组合的系数就是该向量在这组基下的坐标。
4. 由于一个 n 维空间总共有 n 个“独立的度量方向”（由基向量提供），因此我们需要 n 个坐标 来完成这个唯一描述。
所以，是的，标记 n 维空间中任意一个点/向量，在标准定义和多数应用中，一定要用 n 个坐标，因为这 n 个坐标代表了该向量在 n 个独立方向上的分量，共同且唯一地确定了它在该空间中的位置或方向。即使你换了一组基，坐标的个数仍然是 n 个，只是具体数值会改变。这正是“维度”的含义所在。
简单直接的回答是：通常情况下，是的。 但理解“通常”这个词背后的含义，以及是否存在一些“不那么通常”的情况，会让你对这个概念有更深入的认识。
让我们先从最直观的二维和三维空间说起。
从我们熟悉的二维空间说起（你在纸上画画的时候）
想象一下，你面前有一张白纸。纸的表面就是一个二维空间。要在上面找一个点，比如学校操场上的一个特定位置，你怎么跟你的朋友描述呢？你可能会说：“从教室门口出发，往东走 100 米，再往北走 50 米。” 你用了两个方向的指示，也就是两个数字（100 和 50），来唯一确定那个点的位置。
我们把东边定义为 x 轴，北边定义为 y 轴。那么这个点的位置就可以用坐标 (100, 50) 来表示。你不能只说“往东走 100 米”，因为这可以在无数个点上实现，它只确定了点在一条直线上。你也更不能只说一个数字，那根本无法确定纸上的任何一个确切位置。所以，在二维空间里，我们需要 两个坐标 来唯一地标识一个点。
再往三维空间看看（我们生活的空间）
现在，我们把视野放宽到我们生活的空间。除了东西和南北，我们还有上下。比如，我们要描述一个放在桌子上的苹果。你可以说：“从你站的位置出发，往前面走 2 米，往左边走 1 米，然后往上摸，大概 0.5 米就是那个苹果。”
我们把前面定义为 x 轴，左边定义为 y 轴，往上定义为 z 轴。那么这个苹果的位置就可以用坐标 (2, 1, 0.5) 来表示。如果只给两个坐标，比如 (2, 1)，那只能确定你在地面上的一个点，但不知道苹果是在地上，还是在桌子上，还是在天花板上。所以，在三维空间里，我们需要 三个坐标 来唯一地标识一个点。
那么，n 维空间呢？
数学就是这样，它喜欢把我们熟悉的模式推广到更抽象的领域。如果我们能想象三维空间，为什么不能想象一个有更多“方向”或“维度”的空间呢？
在数学定义上，一个 n 维向量空间（或者说，我们用来描述一个点在其中的“画布”）就是一个集合，其中的每个“点”都可以用一组 恰好包含 n 个数字 的有序列表（也就是 n 元组）来表示。
比如，一个在五维空间（我们很难想象，但数学上可以定义）的点，就可以用一个五元组来表示，就像这样： $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$。
$x_1$ 可能代表第一个维度上的位置。
$x_2$ 可能代表第二个维度上的位置。
以此类推，直到 $x_5$ 代表第五个维度上的位置。
你不能省略任何一个数字。如果你少给一个数字，比如 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$，你就无法在五维空间中唯一确定这个点。它可能在第五个维度上的任何一个位置，所以这是一个不完整的描述。
为什么说是“通常”呢？这里是关键的区分点：
虽然我们说“标记 n 维空间中的任意一个点/向量一定要用 n 个坐标”，这是一种非常普遍且重要的约定，但我们得明白，这里的“坐标”是建立在 选取了一组基 的前提下的。
在向量空间里，描述一个点或者向量，实际上是在这个空间里找一个组合。想象一下，你用你的两条胳膊（代表两个方向）可以伸到你面前的任何一个你能触及到的点。这两条胳膊就相当于二维空间里的两个“基向量”，它们定义了你活动的空间。
基 (Basis)：在向量空间中，一组基是一组 线性无关 的向量，它们可以组合（通过标量乘法和加法）生成空间中的任何一个向量。你可以把基向量想象成“基础方向”。
线性无关 (Linearly Independent)：一组向量是线性无关的，意味着其中任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。简单来说，它们指向的是“独立”的方向，没有重复或被包含。
维度 (Dimension)：一个向量空间中的基所包含的向量的数量，就是这个空间的维度。
所以，当我们说 n 维空间时，我们实际上是在说：
1. 这个空间可以由 n 个线性无关的基向量 来张成（生成）。
2. 在这个空间中的任何一个向量（或点），都可以 唯一地 表示为这组基向量的 线性组合。
这个线性组合的系数，就是我们通常意义上的 坐标。
例如，在三维空间 $mathbb{R}^3$ 中，最常用的基是标准基：
$e_1 = (1, 0, 0)$ （沿着 x 轴的单位向量）
$e_2 = (0, 1, 0)$ （沿着 y 轴的单位向量）
$e_3 = (0, 0, 1)$ （沿着 z 轴的单位向量）
那么，向量 $v = (5, 3, 2)$ 就可以表示为 $v = 5e_1 + 3e_2 + 2e_3$。这里的系数 (5, 3, 2) 就是向量 $v$ 在这组标准基下的坐标。我们用了 3 个坐标来描述它，因为我们处在 3 维空间，并且我们选择了 3 个基向量。
但这里就引出了“不那么通常”的情况，或者说是对“坐标”的更广泛理解：
选取不同的基： 即使是在同一个 n 维空间，我们也可以选择不同的一组 n 个基向量。例如，在三维空间中，我们可以不使用标准的 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$，而是选择一组新的、同样线性无关的三个向量作为基。
假设我们选择了新的基：
$b_1 = (1, 1, 0)$
$b_2 = (0, 1, 1)$
$b_3 = (1, 0, 1)$
这三个向量是线性无关的，它们也能张成整个三维空间。
那么，原来用标准基表示为 $(5, 3, 2)$ 的向量 $v$，用这组新的基表示时，其坐标就会不同。你需要解方程组来找出满足 $v = c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3$ 的系数 $c_1, c_2, c_3$。这三个系数 $(c_1, c_2, c_3)$ 就是向量 $v$ 在这组新基下的坐标。
关键点在于： 无论你选择哪组基，对于一个特定的向量，它总能被这组基唯一地表示出来，而这个表示所需的系数数量正好等于基向量的数量，也就是空间的维度 n。所以，即使坐标值变了，但坐标的“个数”仍然是 n 个。
坐标的本质： 坐标的本质是衡量一个向量在各个“方向”上的“分量”。这些“方向”就是基向量所指示的。n 维空间意味着有 n 个独立的“方向”来组合出空间中的任何一个点或向量。因此，我们总是需要 n 个“度量”来完成这个描述。
非标准的表示方法（这里可能有些哲学意味，但要区分开）：
有时我们可能会遇到一些描述方式，它们看似不是 n 个数字，但实际上它们隐含了或依赖于一个 n 维的框架。例如：
参数方程： 一个在三维空间中运动的粒子，它的轨迹可以用参数 $t$ 来描述，形如 $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$。这看起来像是用一个参数 $t$ 来描述了一个三维位置。但请注意，这里 $x(t), y(t), z(t)$ 本身就是三个独立的函数，每个函数都对应着一个三维坐标的分量。所以，在任何一个确定的 $t$ 值下，我们仍然需要三个坐标 $(x(t), y(t), z(t))$ 来唯一确定粒子的位置。
某些几何描述： 比如，一个在三维空间中的平面，你可以用一个法向量和一个平面上任意一点来描述。但这本质上是在描述一个子空间，而不是空间中的一个点。描述一个点总归是需要足量的坐标。
总结一下：
在数学的线性代数框架下，当我们在一个 n 维向量空间中谈论一个点或向量时，它的表示是基于该空间的一组基。
1. n 维空间意味着这个空间可以由 n 个线性无关的向量（基）张成。
2. 空间中的任何一个向量都可以被这组基唯一地表示为这些基向量的线性组合。
3. 这个线性组合的系数就是该向量在这组基下的坐标。
4. 由于一个 n 维空间总共有 n 个“独立的度量方向”（由基向量提供），因此我们需要 n 个坐标 来完成这个唯一描述。
所以，是的，标记 n 维空间中任意一个点/向量，在标准定义和多数应用中，一定要用 n 个坐标，因为这 n 个坐标代表了该向量在 n 个独立方向上的分量，共同且唯一地确定了它在该空间中的位置或方向。即使你换了一组基，坐标的个数仍然是 n 个，只是具体数值会改变。这正是“维度”的含义所在。
网友意见
“是否可以用少于n个参数标记n维空间中的某一个点？ 或者用多于n个参数标记n维空间中的点但不重复？”
——还真的是可以的。然而，这样的记法会显得很不“完美”。
从哪个角度来讲，这都是特别好的问题，越是看似显然，却能够深入到不同领域的基础。以下放宽语言严谨性，但会尽量保证内容严谨。读者仅需知道一下连续映射、单射、满射、一一映射的概念。
(“一一”二字看起来永远都像破折号啊～心塞。)
我们记n维欧几里德空间为R^n，是由一组n个可以独立取值的实数坐标一一对应描述的空间。任意给定一组n个实数(x1,…,xn)，则唯一对应这个空间里的一个点。
事实上，对于不同的m和n，R^n和R^m之间存在一一映射。数学上讲，叫做它们具有相同的cardinality.
证明方法是很有趣的，其实若能证明R和R^2存在一一映射，便可归纳至高维。尤其是，它不涉及高深的数学(只要你会把实数写成小数形式就行了～微笑～)，题主完全可以理解。请见链接中第一个回答。
Examples of bijective map from $mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}$
那么我们move on，“n维空间的所有的点是否能完美地，不重复地变换到n-1维去？”
这就神秘了。什么叫做“完美”呢？
为什么说像上面这样的映射不完美呢？其实题主提到了积分中的坐标变换(通过雅可比行列式)，那么答案是明显的。它们之间的变换，应当连续，甚至光滑。而之前那个映射，不连续。
从数学上来讲， 我们的问题变成了：对于不同的m和n，是否存在R^m与R^n之间的一一映射，它是连续的，并且逆映射也连续？(同胚映射) (注：由于我们对于该映射及其逆映射提出了相同的连续性要求，因此仅需要对n>m或者n<m中的一种情况做出判断，则反过来的情况结论是一样的。)
它不存在。
拓扑学中有一个定理，叫做Invariance of Domain。
Brouwer’s fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert’s fifth problem
将截图中的推论(corollary)翻译过来，说的是对于n>m，R^n中的任意开集都没有到R^m中的连续单射，因此R^n与R^m就更不要提连续的一一映射了。
值得注意的是，常见的拓扑学教材(包括截图中的陶哲轩博客)都把该结论(R^n与R^m不存在同胚映射)称作是“intuitively obvious”，即直观上显然，从而衬托出“数学不能相信直观”，“直观上显然不代表数学上显然”的重点。而题主作为高三学生能自动把这件事当作一个不平凡的问题看待，实在不一般！
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