圆周率中各个位数字是不是「均匀分布的」？比如取 100 万位，是否每个数字出现次数都在 10 万左右？
关于圆周率（π）的数字分布，这是一个非常迷人的数学问题，也是很多人好奇的地方。简单来说，是的，圆周率到目前为止我们已知的所有足够长的位数，其各个数字（0到9）都表现出非常接近“均匀分布”的特性。
但这“均匀分布”究竟是什么意思，以及为什么会这样，我们可以详细聊聊。
什么是“均匀分布”？
想象一下，你手里有一袋弹珠，里面有0号、1号、2号……一直到9号的弹珠，总共有100万颗。如果你闭着眼睛一颗一颗地抓出来，并且把它们记录下来，然后在抓完之后统计一下每种号码的弹珠有多少颗，你期望的结果是：
0号弹珠大约有10万颗。
1号弹珠大约有10万颗。
……
9号弹珠大约有10万颗。
每个数字出现的次数都应该在10万这个“平均值”附近上下浮动，但总体来看，差异不会太大。这就是我们通常说的“均匀分布”。
圆周率的数字分布
数学家们对圆周率的数字分布进行了大量的计算和研究。他们已经计算到了小数点后数万亿位。在这些巨大的数字序列中，他们发现：
数字0出现的次数 接近于总位数 / 10。
数字1出现的次数 接近于总位数 / 10。
……
数字9出现的次数 同样接近于总位数 / 10。
所以，如果你取圆周率的100万位，我们确实可以预期每个数字（0到9）出现的次数大概在10万次左右。当然，这只是一个“概率上的平均值”。由于随机性（尽管圆周率的数字不是真正随机生成的，但它的分布行为非常像随机数），你不太可能恰好得到100,000次。实际的次数可能会是 99,876 次 0，100,123 次 1，99,950 次 2，等等。
为什么圆周率会呈现这种分布？
这才是问题的核心，也是最令人着迷的地方。圆周率是一个无理数，这意味着它的小数部分是无限不循环的。更进一步，它还是一个超越数，这比无理数更“特殊”一点，它不能是任何有理系数多项式的根。
尽管圆周率是由一个非常确定的几何概念（圆的周长与直径之比）定义的，但它的十进制展开却展现出了一种惊人的“随机性”——至少在数字分布的意义上是如此。
目前，数学界还没有一个完全严格的证明能够说明圆周率的小数展开是“正规的”（normal）。一个“正规数”就是指一个数的数字在任何进位制下都均匀分布，而且任何有限长度的数字序列（比如“123”）出现的频率也都与其他长度相同的序列一样。
但是，大量的计算证据和一些数学理论都强烈支持圆周率是正规的。 我们可以从几个角度来理解这种分布：
1. 缺乏周期性： 如果圆周率的小数部分有某种重复的模式，那么某些数字或数字组合就会比其他数字出现得更频繁。例如，如果它以“123123123”这样重复，那么1、2、3就会比其他数字多很多。但圆周率是无限不循环的，这为均匀分布打下了基础。
2. “混沌”般的行为： 尽管圆周率的生成过程是确定的，但它的值非常敏感于初始条件（虽然圆周率没有“初始条件”这种说法，但可以理解为它在数学定义上的“根源”）。这意味着即使在计算过程中有微小的改变，后续的数字也会发生巨大的变化，使其表现得像随机数列一样。这种“混沌”特性在很多自然现象中也能观察到，比如天气预报。
3. 概率论的启示： 虽然圆周率不是随机生成的，但很多数学家会从概率论的角度来思考它的性质。如果在足够大的样本中，如果一个数列的生成机制没有特别偏好某个数字，那么各个数字的出现次数就会趋于平均。圆周率的数学定义本身并没有任何理由去偏爱某个数字。
需要注意的几点：
“均匀分布”是渐近的： 只有在取足够多的位数时，这种均匀分布的趋势才会显现出来。如果你只看圆周率的前100位，可能会发现某些数字比其他数字出现的次数要多一些，这是完全正常的，就像你抛硬币10次，可能不会正好出现5次正面一样。但如果你抛100万次，出现50万次正面的概率就会大大增加。
并非真正的随机： 圆周率的数字是确定的，不是像抛硬币那样由不确定性决定的。它之所以看起来“像”随机数，是因为它的复杂性和缺乏规律性。
“正规数”的猜想： 尽管有大量证据，但圆周率是正规数（即所有数字和数字组合都均匀分布）仍然是一个悬而未决的数学猜想。
总而言之，当你谈论圆周率的100万位时，每个数字（0到9）出现的次数都应该非常接近10万次。这并不是说它们每次都恰好是10万次，而是说它们的出现频率非常均衡，体现了一种高度的“随机性”或“无规律性”。这种性质是圆周率作为无理数和超越数所展现出的迷人特征之一，尽管我们还没有完全证明其背后的数学原理，但它的确是这样运作的。
但这“均匀分布”究竟是什么意思，以及为什么会这样，我们可以详细聊聊。
什么是“均匀分布”？
想象一下，你手里有一袋弹珠，里面有0号、1号、2号……一直到9号的弹珠，总共有100万颗。如果你闭着眼睛一颗一颗地抓出来，并且把它们记录下来，然后在抓完之后统计一下每种号码的弹珠有多少颗，你期望的结果是：
0号弹珠大约有10万颗。
1号弹珠大约有10万颗。
……
9号弹珠大约有10万颗。
每个数字出现的次数都应该在10万这个“平均值”附近上下浮动，但总体来看，差异不会太大。这就是我们通常说的“均匀分布”。
圆周率的数字分布
数学家们对圆周率的数字分布进行了大量的计算和研究。他们已经计算到了小数点后数万亿位。在这些巨大的数字序列中，他们发现：
数字0出现的次数 接近于总位数 / 10。
数字1出现的次数 接近于总位数 / 10。
……
数字9出现的次数 同样接近于总位数 / 10。
所以，如果你取圆周率的100万位，我们确实可以预期每个数字（0到9）出现的次数大概在10万次左右。当然，这只是一个“概率上的平均值”。由于随机性（尽管圆周率的数字不是真正随机生成的，但它的分布行为非常像随机数），你不太可能恰好得到100,000次。实际的次数可能会是 99,876 次 0，100,123 次 1，99,950 次 2，等等。
为什么圆周率会呈现这种分布？
这才是问题的核心，也是最令人着迷的地方。圆周率是一个无理数，这意味着它的小数部分是无限不循环的。更进一步，它还是一个超越数，这比无理数更“特殊”一点，它不能是任何有理系数多项式的根。
尽管圆周率是由一个非常确定的几何概念（圆的周长与直径之比）定义的，但它的十进制展开却展现出了一种惊人的“随机性”——至少在数字分布的意义上是如此。
目前，数学界还没有一个完全严格的证明能够说明圆周率的小数展开是“正规的”（normal）。一个“正规数”就是指一个数的数字在任何进位制下都均匀分布，而且任何有限长度的数字序列（比如“123”）出现的频率也都与其他长度相同的序列一样。
但是，大量的计算证据和一些数学理论都强烈支持圆周率是正规的。 我们可以从几个角度来理解这种分布：
1. 缺乏周期性： 如果圆周率的小数部分有某种重复的模式，那么某些数字或数字组合就会比其他数字出现得更频繁。例如，如果它以“123123123”这样重复，那么1、2、3就会比其他数字多很多。但圆周率是无限不循环的，这为均匀分布打下了基础。
2. “混沌”般的行为： 尽管圆周率的生成过程是确定的，但它的值非常敏感于初始条件（虽然圆周率没有“初始条件”这种说法，但可以理解为它在数学定义上的“根源”）。这意味着即使在计算过程中有微小的改变，后续的数字也会发生巨大的变化，使其表现得像随机数列一样。这种“混沌”特性在很多自然现象中也能观察到，比如天气预报。
3. 概率论的启示： 虽然圆周率不是随机生成的，但很多数学家会从概率论的角度来思考它的性质。如果在足够大的样本中，如果一个数列的生成机制没有特别偏好某个数字，那么各个数字的出现次数就会趋于平均。圆周率的数学定义本身并没有任何理由去偏爱某个数字。
需要注意的几点：
“均匀分布”是渐近的： 只有在取足够多的位数时，这种均匀分布的趋势才会显现出来。如果你只看圆周率的前100位，可能会发现某些数字比其他数字出现的次数要多一些，这是完全正常的，就像你抛硬币10次，可能不会正好出现5次正面一样。但如果你抛100万次，出现50万次正面的概率就会大大增加。
并非真正的随机： 圆周率的数字是确定的，不是像抛硬币那样由不确定性决定的。它之所以看起来“像”随机数，是因为它的复杂性和缺乏规律性。
“正规数”的猜想： 尽管有大量证据，但圆周率是正规数（即所有数字和数字组合都均匀分布）仍然是一个悬而未决的数学猜想。
总而言之，当你谈论圆周率的100万位时，每个数字（0到9）出现的次数都应该非常接近10万次。这并不是说它们每次都恰好是10万次，而是说它们的出现频率非常均衡，体现了一种高度的“随机性”或“无规律性”。这种性质是圆周率作为无理数和超越数所展现出的迷人特征之一，尽管我们还没有完全证明其背后的数学原理，但它的确是这样运作的。
网友意见
谢邀，这个概念叫（simply）normal。你的问题用数学语言叫做圆周率是不是以10为基的（simple）normal的数。
什么叫(simply) normal，就是一个数如果以 进位制展开位无限小数，而且任何一个数是一致分布的，而且每个数出现的概率是 .比如以10进制展开，任何一个数0,1,2等都以1/10概率出现。假设 是b进位制的无限小数， 表示前 中数字 出现的个数，那么
。
这个概念可以推广到normal, 也就是对于任意长度为 的数 ,下面这个极限成立。
在某些数学家那里，他们的normal是这里的simply normal，这里的normal, 他们称之为absolutely normal.
到现在为止，数学家证明了几乎所有的数都是normal的（Borel定理），但是很诡异的是他们不能证明具体某些数是不是normal的，虽然大家相信 这几个数都是absolute normal的，因为做了数值上的试验，但是没人能证明出来 (笑)。
你有兴趣可以编个小程序演算一下。当然了，那不是严格的数学证明了。
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