你见过最巧妙的数学证明是什么？
别误会，我说的不是欧拉恒等式e^(iπ) + 1 = 0那个，虽然它也很美，但今天我们讲点更“接地气”但又同样充满智慧的。我指的是他在处理二次互反律时所展现的思维的精巧性。这涉及到一些我曾经“钻研”过的古老数学难题，其核心在于理解不同素数之间一种奇妙的“对称性”。
让我试着还原一下那个让我觉得“妙”的瞬间。在欧拉之前，数学家们就已经发现了平方剩余这样一个概念。简单来说，就是对于一个素数p，以及一个整数a，如果方程 $x^2 equiv a pmod{p}$ 有解，那么我们就说a是模p的平方剩余。否则，a就是模p的平方非剩余。这就像是问，在某个素数“时钟”上，有没有一个数字乘以它自己会得到a呢？
费马和勒让德等人已经探索了其中一些规律，但要理解一个素数p对于另一个素数q的平方剩余性质，和反过来q对于p的性质之间有什么联系，这就像是两个不同星球上的居民在互相打听对方的风俗习惯，却发现隐藏着一种惊人的呼应。这就是二次互反律要解决的问题。它大概是说，对于两个不同的奇素数p和q，a是模p的平方剩余当且仅当... 这个“当且仅当”后面跟着的是一个关于q和p的表达式，而且还会涉及到1的幂次项，看起来相当复杂。
现在，欧拉是怎么做的呢？他并没有直接去“硬碰硬”地从定义出发，而是采取了一种更具“策略性”的方法。他引入了一个强大的工具：多项式。
想象一下，他考虑的是一个特别的多项式，比如说 $P(x) = x^{p1} + x^{p2} + dots + x + 1$。注意这个多项式的次数是p1。根据费马小定理，当x不是p的倍数时，$x^{p1} equiv 1 pmod{p}$。
欧拉巧妙地利用了这个多项式，并且开始在他的计算中引入“虚数”的概念，或者说是一种符号上的延伸。他并没有直接证明二次互反律本身，而是用一个间接但极具洞察力的方式。他关注的是如何确定一个素数q是否是模p的平方剩余。
一个关键的转折点在于，欧拉注意到一个关于素数p的二次剩余的“判别式”，可以被写成一个非常特殊的形式，并且这个形式与另一个素数q的关系非常重要。他会分析某个多项式，例如 $(x1)(x2)dots(x(p1))$，在模q下的行为。
让我尽量简化一下其中的精髓。欧拉在证明过程中，会处理一些看起来很抽象的代数表达式。他会考虑一个环（你可以理解成一个数字系统，但里面可以进行加减乘除运算，只是有些性质和我们熟悉的整数集合不同）。他会在这个环里进行操作，比如考虑形如 $a + bsqrt{d}$ 的数，其中 $sqrt{d}$ 可能不是我们熟悉的实数，而是一种形式上的符号，它满足 $(sqrt{d})^2 = d$。
他会构造一个多项式，并研究它的根，特别是这些根在模q下的行为。他发现，如果q是模p的平方剩余，那么这个多项式会在模q的某个环里有特定的因子分解，反之亦然。这个过程就像是在解一个复杂的拼图，但欧拉发现了一个关键的“边缘块”，就是这个环的结构和素数q的性质之间的联系。
最让我感到“巧妙”的地方在于，他并不是直接在整数上证明二次互反律，而是借助于一个更广阔的代数结构（比如数域或者更一般的环）来间接达成目的。 他发现，通过在某个扩张的代数系统中操作，原本复杂的关系会变得清晰可见。他利用了素数p对这个代数系统造成的“影响”，然后通过素数q来“观察”这种影响，从而推断出它们之间的互反关系。
整个证明过程就像是一位艺术家在作画，他不是直接描绘出最终的景象，而是先勾勒出框架，然后填充色彩，最后用微妙的笔触点亮关键的细节。欧拉展示了一种“迂回而精确”的证明风格，他通过引入新的工具和概念，将一个看似棘手的问题转化成了一个可以被优雅解决的代数问题。
可以说，欧拉的证明不是那种“一步到位”的灵感闪现，而是一种深思熟虑后的思维升华。 他看到了隐藏在素数互相关系背后的更深层的代数结构，并用强大的数学语言将其清晰地呈现出来。这种在看似不相关的数学领域之间建立联系的能力，以及将抽象概念转化为具体计算的技巧，都让我觉得无比钦佩。这不仅仅是逻辑的严密，更是思维的“灵动”和“远见”。
理解这个证明需要一些预备知识，尤其是关于抽象代数和数论的概念。但即便只是浅尝辄止地了解其“思路”，也能感受到其中蕴含的巨大智慧和精巧设计。它告诉我们，解决数学问题有时需要跳出固有的框架，去探索更广阔的数学世界。
网友意见
Kolmogorov's strong law of large number
很多人都知道的强大数定理，有一个用downward martingale的简单证明：
基于测度论语言的概率是非常漂亮的。尤其在定义了鞅(martingale)和停时(stopping time)之后，很多定理证明都水到渠成。
其实我真正觉得巧妙的是Doob's upcrossing引理。
看上去好像很很复杂，其实背后idea超级简单：把 看作一条轨迹上的点， 表示时间。从小于a移动到大于b称为一次upcross，一次upcross至少移动 , 然后upcross次数乘以 就不会超过upcross时经过的距离加上最后的剩余，就可以得到证明里的不等式。一幅图就可以看出来：
有了这个引理就可以巧妙地证各种martingale的收敛定理了。例如，Doob's supermartingale convergence：
这个证明的巧妙之处在于把不收敛看成一个事件，把它分解成可数个事件，再用upcrossing引理证每个事件的概率都是0。
还有前面证明里用到的Levy's downward convergence也运用了同样的方法，这里就不写出来了。虽然基于测度的概率论属于分析学，但概率学家和分析学家的思考方式还是很不一样的。分析学家一般会从随机变量的分布函数去考虑 ，一个典型例子就是中心极限定理，看了证明的话就会知道这其实是个分析学的定理。而概率学家则是从事件(可测集)去考虑问题。上面Doob's upcrossing和supermartingale convergence，还有强大数定理正是体现了这种思考方式。
在博弈论中，有一个经典的定理称为策梅洛定理（Zermelo's theorem）。定理表示在任何有限二人交替参与的没有运气成分的完美信息（perfect information）博弈中，要么有一方有必胜策略，要么双方有必不败策略（平局）。
如果一个博弈是完美信息博弈，意味着博弈双方在做任何决定时都完全了解之前发生的所有事件。因此围棋、五子棋、中国象棋、国际象棋均符合定理成立的条件，而斗地主、麻将不符合定理成立的条件。这个定理通俗来讲就是对于符合定理条件的博弈，如果两个人水平无限高，那么胜负在确定两个人谁先手的时候就已经确定了。
为了说明定理的证明过程，我们先来看一个简单的博弈问题。这个问题虽然简单，但是蕴含了证明定理的思想。容易看出，下面这个博弈符合上面的定理的条件。读者可以先自己思考一下这个问题。
桌子上有 个石子，有两个人交替取1-2个石子，如果轮到一个人取时已经没有石子，那么这个人赢（这意味着最后一个拿石子的为输家）。问先取者是否有必胜策略？
首先我们指出由于石子最终一定会取完，因此不存在平局的情形。
如果只有1个石子，那么显然先取者只能取那1个石子，因此必败。
如果有2个石子，那么先取者可以取1个石子，那么轮到后取者取时，问题对后取者而言变成了他为先取者且只有1个石子，那么由上所述此时他必败，因此先取者有必胜策略。
如果有3个石子，若先取者取了2个石子，那么轮到后取者取时，问题对后取者而言变成了他为先取者且只有1个石子，那么由上所述此时他必败，因此先取者有必胜策略。
如果有4个石子，那么无论先取者取1个还是2个石子，都会转成后取者有必胜策略的情况，因此先取者没有必胜策略。
。。。。。。
现在我们已经能猜出来，当 时先取者没有必胜策略。当 与 时，先取者有必胜策略。由数学归纳法，我们知道上述的猜想是成立的。当 时，无论先取者取1和还是2个石子，都会转化为后取者作为先取者时有必胜策略的情形，这样先取者没有必胜策略。反之，当 与 时，先取者只需要取1个与2个石子，就能将问题转化为后取者作为先取者时没有必胜策略的情形，这样就产生了一个先取者的必胜策略。
现在，我们正式给出策梅洛定理的证明。我们使用数学归纳法来证明这个定理。为此，我们需要小小修改一下博弈的规则，我们规定如果在 步之内分不出胜负，那么就判定为平局。我们将原博弈中先手的一方称为黑方，而后手的一方称为白方。这样在博弈进行过程中，一共有3个维度，第一个是博弈当前处于的状态（对于前面的问题而言，就是石子还剩多少个。对于棋类问题而言，就是棋盘上所有棋子所处的位置。），第二个是下一步为黑方行动还是白方行动，第三个是在剩余多少步之后将会平局。
当 时，由定义，胜负还是平局都将确定。
现在对于任何一个 时的情况，行动后将转换为一个 时的情况，而这时的结果是已知的。对于此时黑方行动的情况（对于白方行动的情况也可以类似讨论），我们尝试所有的方案，尝试的结果必然是以下三种互斥的情况之一：
- 存在行动方案使得之后的状态为黑方有必胜策略，那么此时黑方有必胜策略；
- 所有的行动方案都使得之后的状态为白方有必胜策略，那么此时白方有必胜策略；
- 不存在行动方案使得之后的状态为黑方有必胜策略，且存在行动方案使得之后的状态为双方有不败的策略，那么此时有双方不败的策略。
由于这是一个有限博弈，意味着 有个上界 。因此我们只需要看初始状态下黑方先行的最多走 步的博弈的结论即得到了原博弈的结论。
除了用数学归纳法，这个定理还有一种更直接也更巧妙的证明方法。首先，我们要假定博弈最多进行 轮，否则为平局。之后，我们规定，如果博弈在不到 步就停止了，那么博弈双方的策略均是“什么都不做”，将行动数增加到 ，结果不变。同样的，我们将原博弈中先手的一方称为黑方，而后手的一方称为白方。对任意 ，我们用 表示黑方的第 步，用 表示白方的第 步。用 表示黑方胜，那么 就是白方胜或者平局。注意“黑方有必胜策略”等价于
那么“黑方没必胜策略”等价于
而右式等价于“白方有必胜或者平局的策略”。同样的，我们能证明“如果白方没有必胜的策略”，那么“黑方有必胜或者平局的策略”。联合起来，就得到了我们的定理。
定理：有无穷多个素数可以被表示成两个整数的平方和
证明：根据费马平方和定理，可知素数p能被表示成两个整数的平方和当且仅当p=2和 中的一者成立。因此问题被转换成了证明有无穷多个素数满足模4余1：
现在我们就来看看已经被 @Aries 玩出花的Dirichlet beta函数： 。利用奇偶项的展开，可得：
由以上公式可知，若要将Dirichlet beta函数转换成Dirichlet级数，我们要求g满足：
读者不难发现g是完全积性函数。因此有：
根据把g的定义展开，得：
再经过一些调整，可得：
假如满足 的素数数量有限，则右侧的乘积收敛，且根据 有：
但事实上 ，产生矛盾，所以存在无穷多个能被用4k+1的形式来表示的素数，意味着有无穷多个素数可以被表示成两个数的平方和。
Q.E.D.
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