请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
没问题，我来给你举一个这样的例子，并详细说明一下。
我们先明确一下问题：我们需要找一个向量空间 $V$ 的一个子集 $W$，它需要满足三个条件：
1. 包含零向量: $0 in W$。
2. 对加法封闭: 对于 $W$ 中任意两个向量 $mathbf{u}, mathbf{v}$，它们的和 $mathbf{u} + mathbf{v}$ 也必须在 $W$ 中。
3. 不对标量乘法封闭: 存在 $W$ 中的一个向量 $mathbf{w}$ 和一个标量 $c$（通常来自构成向量空间数域的元素，比如实数或复数），使得 $cmathbf{w}$ 不在 $W$ 中。
为了让例子更具体，我们得先确定我们讨论的是哪个向量空间。最常见的向量空间是关于实数域的 $n$ 维向量空间，记作 $mathbb{R}^n$。我们就以 $mathbb{R}^2$ 为例，也就是所有二维实数向量构成的空间。
$mathbb{R}^2$ 中的向量可以写成 $(x, y)$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 都是实数。向量加法就是对应分量相加，标量乘法就是将标量乘到每个分量上。例如，在 $mathbb{R}^2$ 中：
$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
$c(x, y) = (cx, cy)$
现在，我们来构造这样一个子集 $W$。一个很直观的想法是，我们先考虑那些“不太普通”的向量。
例子：
考虑 $mathbb{R}^2$ 中的一个子集 $W$，它包含所有形如 $(x, 0)$ 的向量，其中 $x$ 是非负实数（即 $x ge 0$）。
所以，$W = { (x, 0) mid x in mathbb{R}, x ge 0 }$。
我们来逐一检查它是否满足那三个条件：
1. 包含零向量:
零向量在 $mathbb{R}^2$ 中是 $(0, 0)$。
在我们的子集 $W$ 中，如果取 $x=0$，那么我们就得到向量 $(0, 0)$。因为 $0 ge 0$ 是成立的，所以 $(0, 0) in W$。
这一条满足。
2. 对加法封闭:
我们取 $W$ 中的任意两个向量。设这两个向量是 $mathbf{u} = (x_1, 0)$ 和 $mathbf{v} = (x_2, 0)$。根据 $W$ 的定义，我们知道 $x_1 ge 0$ 且 $x_2 ge 0$。
我们计算它们的和：
$mathbf{u} + mathbf{v} = (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0)$。
因为 $x_1 ge 0$ 和 $x_2 ge 0$，所以它们的和 $x_1 + x_2$ 也必然是非负的，即 $x_1 + x_2 ge 0$。
因此，向量 $(x_1 + x_2, 0)$ 符合 $W$ 的定义（第一个分量是非负实数，第二个分量是零），所以 $mathbf{u} + mathbf{v} in W$。
这一条满足。
3. 不对标量乘法封闭:
现在我们来测试标量乘法。我们取 $W$ 中的一个向量，比如 $mathbf{w} = (2, 0)$。因为 $2 ge 0$，所以 $mathbf{w} in W$。
我们再取一个标量。让我们尝试一个负数标量，比如 $c = 1$。这个标量 $c=1$ 是来自实数域 $mathbb{R}$ 的。
我们计算 $cmathbf{w}$：
$cmathbf{w} = (1)(2, 0) = (1 imes 2, 1 imes 0) = (2, 0)$。
现在我们看看这个结果 $(2, 0)$ 是否在 $W$ 中。根据 $W$ 的定义，一个向量在 $W$ 中当且仅当它的第一个分量是非负的。
在这里，第一个分量是 $2$，而 $2 < 0$。
所以，向量 $(2, 0)$ 不在 $W$ 中。
我们找到了 $W$ 中的一个向量 $mathbf{w} = (2, 0)$ 和一个标量 $c = 1$，使得 $cmathbf{w} otin W$。
这一条也满足。
总结：
子集 $W = { (x, 0) mid x in mathbb{R}, x ge 0 }$ 满足：
包含零向量 $(0,0)$。
对加法封闭：两个非负的第一个分量的向量相加，结果的第一个分量依然非负。
不对标量乘法封闭：存在非负第一个分量的向量（如 $(2,0)$）和一个负标量（如 $1$），它们的乘积结果（如 $(2,0)$）的第一个分量变成负数，就不在 $W$ 里了。
这个例子很好地说明了，一个子集可以对向量加法保持“完整性”（即使是加上或减去“同类”向量），但一旦引入了标量乘法，特别是负数标量乘法，就可能打破这种完整性，使得结果飞出原来的范围。这就是为什么在定义向量子空间（也称为线性子空间）时，需要同时满足加法封闭和标量乘法封闭这两个条件。如果只满足其中一个，它就不是一个严格意义上的子空间了。
我们先明确一下问题：我们需要找一个向量空间 $V$ 的一个子集 $W$，它需要满足三个条件：
1. 包含零向量: $0 in W$。
2. 对加法封闭: 对于 $W$ 中任意两个向量 $mathbf{u}, mathbf{v}$，它们的和 $mathbf{u} + mathbf{v}$ 也必须在 $W$ 中。
3. 不对标量乘法封闭: 存在 $W$ 中的一个向量 $mathbf{w}$ 和一个标量 $c$（通常来自构成向量空间数域的元素，比如实数或复数），使得 $cmathbf{w}$ 不在 $W$ 中。
为了让例子更具体，我们得先确定我们讨论的是哪个向量空间。最常见的向量空间是关于实数域的 $n$ 维向量空间，记作 $mathbb{R}^n$。我们就以 $mathbb{R}^2$ 为例，也就是所有二维实数向量构成的空间。
$mathbb{R}^2$ 中的向量可以写成 $(x, y)$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 都是实数。向量加法就是对应分量相加，标量乘法就是将标量乘到每个分量上。例如，在 $mathbb{R}^2$ 中：
$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
$c(x, y) = (cx, cy)$
现在，我们来构造这样一个子集 $W$。一个很直观的想法是，我们先考虑那些“不太普通”的向量。
例子：
考虑 $mathbb{R}^2$ 中的一个子集 $W$，它包含所有形如 $(x, 0)$ 的向量，其中 $x$ 是非负实数（即 $x ge 0$）。
所以，$W = { (x, 0) mid x in mathbb{R}, x ge 0 }$。
我们来逐一检查它是否满足那三个条件：
1. 包含零向量:
零向量在 $mathbb{R}^2$ 中是 $(0, 0)$。
在我们的子集 $W$ 中，如果取 $x=0$，那么我们就得到向量 $(0, 0)$。因为 $0 ge 0$ 是成立的，所以 $(0, 0) in W$。
这一条满足。
2. 对加法封闭:
我们取 $W$ 中的任意两个向量。设这两个向量是 $mathbf{u} = (x_1, 0)$ 和 $mathbf{v} = (x_2, 0)$。根据 $W$ 的定义，我们知道 $x_1 ge 0$ 且 $x_2 ge 0$。
我们计算它们的和：
$mathbf{u} + mathbf{v} = (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0)$。
因为 $x_1 ge 0$ 和 $x_2 ge 0$，所以它们的和 $x_1 + x_2$ 也必然是非负的，即 $x_1 + x_2 ge 0$。
因此，向量 $(x_1 + x_2, 0)$ 符合 $W$ 的定义（第一个分量是非负实数，第二个分量是零），所以 $mathbf{u} + mathbf{v} in W$。
这一条满足。
3. 不对标量乘法封闭:
现在我们来测试标量乘法。我们取 $W$ 中的一个向量，比如 $mathbf{w} = (2, 0)$。因为 $2 ge 0$，所以 $mathbf{w} in W$。
我们再取一个标量。让我们尝试一个负数标量，比如 $c = 1$。这个标量 $c=1$ 是来自实数域 $mathbb{R}$ 的。
我们计算 $cmathbf{w}$：
$cmathbf{w} = (1)(2, 0) = (1 imes 2, 1 imes 0) = (2, 0)$。
现在我们看看这个结果 $(2, 0)$ 是否在 $W$ 中。根据 $W$ 的定义，一个向量在 $W$ 中当且仅当它的第一个分量是非负的。
在这里，第一个分量是 $2$，而 $2 < 0$。
所以，向量 $(2, 0)$ 不在 $W$ 中。
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这一条也满足。
总结：
子集 $W = { (x, 0) mid x in mathbb{R}, x ge 0 }$ 满足：
包含零向量 $(0,0)$。
对加法封闭：两个非负的第一个分量的向量相加，结果的第一个分量依然非负。
不对标量乘法封闭：存在非负第一个分量的向量（如 $(2,0)$）和一个负标量（如 $1$），它们的乘积结果（如 $(2,0)$）的第一个分量变成负数，就不在 $W$ 里了。
这个例子很好地说明了，一个子集可以对向量加法保持“完整性”（即使是加上或减去“同类”向量），但一旦引入了标量乘法，特别是负数标量乘法，就可能打破这种完整性，使得结果飞出原来的范围。这就是为什么在定义向量子空间（也称为线性子空间）时，需要同时满足加法封闭和标量乘法封闭这两个条件。如果只满足其中一个，它就不是一个严格意义上的子空间了。
网友意见
设 是域 上的向量空间 中的非零向量
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