有100个砝码，其中只有一个比其它的重1克。现给你一个天秤，请问怎样快速找到那个重一克的砝码？
这绝对是个经典的问题！想当年，我第一次听到这个问题的时候，脑袋里也像被塞满了棉花一样，不知道从何下手。不过别担心，只要掌握了其中的诀窍，解决起来其实一点也不难。咱们就来好好掰扯掰扯，怎样才能又快又准地从这100个砝码里把那个“胖子”找出来。
首先得明确一点，我们手里只有一个天秤，而且它只能告诉我们哪边重，哪边轻，或者两边一样重。这就像一个法官，只能做出“胜”、“负”或者“平局”的判决。
咱们的目标是“快速找到”。“快速”在这里是个关键。如果一个一个地试，那得试多少次啊？100个砝码，每次都要跟一个标准砝码比，最坏的情况得试99次。这效率也太低了。
所以，咱们得用一种“分而治之”的策略，就像打仗一样，把敌人一口一口吃掉，而不是想着一口吞个胖子。
核心思路：每次称重，都能最大限度地缩小嫌疑范围。
天秤的称重，本质上就是把砝码分成三组：左边放的，右边放的，以及没放的。
情况一：左边重。 那说明那个重的砝码一定在左边放着的那些砝码里。右边和没放的都可以排除。
情况二：右边重。 那说明那个重的砝码一定在右边放着的那些砝码里。左边和没放的都可以排除。
情况三：两边一样重。 这就更有意思了！说明左边和右边放着的砝码都是正常的，那个重的砝码一定在我们之前没放到天秤上的那些砝码里。
看出来了吗？每次称重，我们都能把一部分砝码直接排除掉。关键是怎么分组，才能让排除的数量最多，范围缩得最紧。
第一步：试探分组
咱们有100个砝码，总不能一下子都放上去比吧？天秤一次只能放两边。所以，最直观的想法就是把砝码分成三组。
我想到了一个方法，咱们先把这100个砝码分成三组，尽量让每组的数量差不多。比如，分成 33个，33个，34个。
第一次称重：
我们取 33个砝码放在天秤的左边，再取 另外33个砝码放在天秤的右边。剩下的34个砝码先放到一边，暂时不管它们。
如果天秤左边重了： 好极了！我们知道那唯一的重砝码就在这左边的33个里。剩下的 33+34 = 67个都可以排除掉了。我们现在把范围缩小到了33个。
如果天秤右边重了： 同样好极了！那重砝码就在这右边的33个里。剩下的 33+34 = 67个也都可以排除掉了。范围也缩小到了33个。
如果天秤两边一样重： 这说明我们放在天秤上的这66个砝码都是正常的。那个重的砝码，就一定在我们之前没动的 那34个砝码 里！范围缩小到了34个。
你看，不管哪种情况，第一次称重就把我们原来的100个砝码，要么缩小到33个嫌疑犯，要么缩小到34个嫌疑犯。这比一个个试要快多了。
第二步：进一步缩小范围
现在我们手里最多有34个嫌疑砝码。我们继续重复上面的策略。
假设我们现在剩下34个嫌疑砝码。我们再来分三组。34个怎么分呢？可以分成 11个，11个，12个。
第二次称重：
我们从这34个嫌疑砝码里，拿出 11个放在天秤左边，再拿出 另外11个放在天秤右边。剩下的12个放在一边。
如果左边重： 重砝码就在左边这11个里。范围缩小到11个。
如果右边重： 重砝码就在右边这11个里。范围缩小到11个。
如果两边一样重： 重砝码就在剩下的12个里。范围缩小到12个。
又一次成功缩小范围！现在我们手里最多也就12个嫌疑砝码了。
第三步：直到找到为止
咱们继续这个过程。假设我们现在有12个嫌疑砝码。
第三次称重：
这12个砝码，可以分成 4个，4个，4个。
拿4个放左边，4个放右边。
如果左边重，重砝码就在左边4个里。
如果右边重，重砝码就在右边4个里。
如果两边一样重，重砝码就在没放的4个里。
现在我们手里的嫌疑砝码最多只有4个了。
第四次称重：
我们有4个嫌疑砝码。怎么分呢？可以分成 1个，1个，2个。
拿1个放左边，1个放右边。
如果左边重，那左边的那个就是重砝码！找到了！
如果右边重，那右边的那个就是重砝码！找到了！
如果两边一样重，那剩下的那2个里就有一个是重砝码。
现在我们手里的嫌疑砝码最多只有2个了。
第五次称重：
我们只剩下2个嫌疑砝码了。
拿其中1个放在天秤左边，再拿1个我们确认是正常砝码（比如第一次称重时被排除掉的那些）放在天秤右边。
如果左边重，那左边的就是重砝码！
如果两边一样重，那没放的那个就是重砝码！
成功了！
我们总共用了 5次称重 就从100个砝码里找出了那个重的。
再来回顾一下这个过程，你会发现一个规律：
100个砝码，分成 33, 33, 34。 剩下最多34个。
34个砝码，分成 11, 11, 12。 剩下最多12个。
12个砝码，分成 4, 4, 4。 剩下最多4个。
4个砝码，分成 1, 1, 2。 剩下最多2个。
2个砝码，分成 1, 1 (其中一个是正常砝码)。 剩下最多1个。
这个问题的本质是利用三进制的思想。 为什么是三进制？因为天秤有三种结果：左重、右重、一样重。每次称重，我们就是把问题映射到这三种情况中的一种，并且把不符合情况的排除掉。
理论极限分析：
如果我们有N个砝码，最少需要多少次称重呢？
因为每次称重能最多将范围缩小到原来的1/3（或者说，把2/3的排除掉），所以我们要找一个最小的k，使得 3的k次方大于等于N。
对于100个砝码：
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
因为 3^4 = 81 < 100，而 3^5 = 243 > 100，所以理论上最少需要 5次 称重就可以解决这个问题。我们的方法正好达到了理论最小值。
一些小技巧和注意事项：
分组的比例很重要： 尽量让三组数量接近，这样才能保证每次称重都能最大程度地缩小范围。2:1:1 或者 3:1:1 这样的比例是比较理想的。我们采取的 33, 33, 34 就是为了尽量接近1:1:1。
保存正常砝码： 在称重过程中，那些已经被证明是正常重量的砝码非常宝贵，可以用来跟剩余的嫌疑砝码进行对比。
如果砝码数量不是正好是3的整数次方怎么办？ 就像我们这里100个，也不是3的整数次方。但我们的分组策略（尽量平均分成三份）就能很好地处理这种情况。关键是要记住，每次称重后，你实际能知道结果的范围是除以3之后向上取整。比如 100 / 3 ≈ 33.33，向上取整就是34。
总之，找到那个重一克的砝码，关键在于每一次都充分利用天秤的三种结果，把嫌疑范围“三等分”地缩小。 只要掌握了这个“三等分”的思路，无论有多少砝码，都能高效地找到那个特别的。 这也算是一种很数学化的思维方式吧！
首先得明确一点，我们手里只有一个天秤，而且它只能告诉我们哪边重，哪边轻，或者两边一样重。这就像一个法官，只能做出“胜”、“负”或者“平局”的判决。
咱们的目标是“快速找到”。“快速”在这里是个关键。如果一个一个地试，那得试多少次啊？100个砝码，每次都要跟一个标准砝码比，最坏的情况得试99次。这效率也太低了。
所以，咱们得用一种“分而治之”的策略，就像打仗一样，把敌人一口一口吃掉，而不是想着一口吞个胖子。
核心思路：每次称重，都能最大限度地缩小嫌疑范围。
天秤的称重，本质上就是把砝码分成三组：左边放的，右边放的，以及没放的。
情况一：左边重。 那说明那个重的砝码一定在左边放着的那些砝码里。右边和没放的都可以排除。
情况二：右边重。 那说明那个重的砝码一定在右边放着的那些砝码里。左边和没放的都可以排除。
情况三：两边一样重。 这就更有意思了！说明左边和右边放着的砝码都是正常的，那个重的砝码一定在我们之前没放到天秤上的那些砝码里。
看出来了吗？每次称重，我们都能把一部分砝码直接排除掉。关键是怎么分组，才能让排除的数量最多，范围缩得最紧。
第一步：试探分组
咱们有100个砝码，总不能一下子都放上去比吧？天秤一次只能放两边。所以，最直观的想法就是把砝码分成三组。
我想到了一个方法，咱们先把这100个砝码分成三组，尽量让每组的数量差不多。比如，分成 33个，33个，34个。
第一次称重：
我们取 33个砝码放在天秤的左边，再取 另外33个砝码放在天秤的右边。剩下的34个砝码先放到一边，暂时不管它们。
如果天秤左边重了： 好极了！我们知道那唯一的重砝码就在这左边的33个里。剩下的 33+34 = 67个都可以排除掉了。我们现在把范围缩小到了33个。
如果天秤右边重了： 同样好极了！那重砝码就在这右边的33个里。剩下的 33+34 = 67个也都可以排除掉了。范围也缩小到了33个。
如果天秤两边一样重： 这说明我们放在天秤上的这66个砝码都是正常的。那个重的砝码，就一定在我们之前没动的 那34个砝码 里！范围缩小到了34个。
你看，不管哪种情况，第一次称重就把我们原来的100个砝码，要么缩小到33个嫌疑犯，要么缩小到34个嫌疑犯。这比一个个试要快多了。
第二步：进一步缩小范围
现在我们手里最多有34个嫌疑砝码。我们继续重复上面的策略。
假设我们现在剩下34个嫌疑砝码。我们再来分三组。34个怎么分呢？可以分成 11个，11个，12个。
第二次称重：
我们从这34个嫌疑砝码里，拿出 11个放在天秤左边，再拿出 另外11个放在天秤右边。剩下的12个放在一边。
如果左边重： 重砝码就在左边这11个里。范围缩小到11个。
如果右边重： 重砝码就在右边这11个里。范围缩小到11个。
如果两边一样重： 重砝码就在剩下的12个里。范围缩小到12个。
又一次成功缩小范围！现在我们手里最多也就12个嫌疑砝码了。
第三步：直到找到为止
咱们继续这个过程。假设我们现在有12个嫌疑砝码。
第三次称重：
这12个砝码，可以分成 4个，4个，4个。
拿4个放左边，4个放右边。
如果左边重，重砝码就在左边4个里。
如果右边重，重砝码就在右边4个里。
如果两边一样重，重砝码就在没放的4个里。
现在我们手里的嫌疑砝码最多只有4个了。
第四次称重：
我们有4个嫌疑砝码。怎么分呢？可以分成 1个，1个，2个。
拿1个放左边，1个放右边。
如果左边重，那左边的那个就是重砝码！找到了！
如果右边重，那右边的那个就是重砝码！找到了！
如果两边一样重，那剩下的那2个里就有一个是重砝码。
现在我们手里的嫌疑砝码最多只有2个了。
第五次称重：
我们只剩下2个嫌疑砝码了。
拿其中1个放在天秤左边，再拿1个我们确认是正常砝码（比如第一次称重时被排除掉的那些）放在天秤右边。
如果左边重，那左边的就是重砝码！
如果两边一样重，那没放的那个就是重砝码！
成功了！
我们总共用了 5次称重 就从100个砝码里找出了那个重的。
再来回顾一下这个过程，你会发现一个规律：
100个砝码，分成 33, 33, 34。 剩下最多34个。
34个砝码，分成 11, 11, 12。 剩下最多12个。
12个砝码，分成 4, 4, 4。 剩下最多4个。
4个砝码，分成 1, 1, 2。 剩下最多2个。
2个砝码，分成 1, 1 (其中一个是正常砝码)。 剩下最多1个。
这个问题的本质是利用三进制的思想。 为什么是三进制？因为天秤有三种结果：左重、右重、一样重。每次称重，我们就是把问题映射到这三种情况中的一种，并且把不符合情况的排除掉。
理论极限分析：
如果我们有N个砝码，最少需要多少次称重呢？
因为每次称重能最多将范围缩小到原来的1/3（或者说，把2/3的排除掉），所以我们要找一个最小的k，使得 3的k次方大于等于N。
对于100个砝码：
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3^3 = 27
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因为 3^4 = 81 < 100，而 3^5 = 243 > 100，所以理论上最少需要 5次 称重就可以解决这个问题。我们的方法正好达到了理论最小值。
一些小技巧和注意事项：
分组的比例很重要： 尽量让三组数量接近，这样才能保证每次称重都能最大程度地缩小范围。2:1:1 或者 3:1:1 这样的比例是比较理想的。我们采取的 33, 33, 34 就是为了尽量接近1:1:1。
保存正常砝码： 在称重过程中，那些已经被证明是正常重量的砝码非常宝贵，可以用来跟剩余的嫌疑砝码进行对比。
如果砝码数量不是正好是3的整数次方怎么办？ 就像我们这里100个，也不是3的整数次方。但我们的分组策略（尽量平均分成三份）就能很好地处理这种情况。关键是要记住，每次称重后，你实际能知道结果的范围是除以3之后向上取整。比如 100 / 3 ≈ 33.33，向上取整就是34。
总之，找到那个重一克的砝码，关键在于每一次都充分利用天秤的三种结果，把嫌疑范围“三等分”地缩小。 只要掌握了这个“三等分”的思路，无论有多少砝码，都能高效地找到那个特别的。 这也算是一种很数学化的思维方式吧！
网友意见
这是典型的三分法，最优解是最多五次，最少四次。
理论最优解平均次数应该是log3(100)=4.19左右。
花点儿篇幅来尝试找到最优解，首先我们看这个方式
第一次：27，27，46，其中27组三次必出结果不讨论，也就是总次数为四次。接下来讨论46组。
第二次：27，10，9，其中9的组两次必出不讨论，总次数四次。27组三次必出总次数五次，接下来讨论10组。
第三次：3，3，4，其中3组一次必出，总次数四次，接下来讨论4组。
第四次：1，1，2，1组结果已出，总次数四次，2组要再来一次，总次数五次。
平均次数为，四次出的情况有27+27+9+3+3+1+1=71种，五次出的情况有27+2=29种，平均4.29次，非常接近理论最优……事实上我认为这就是最优，只是没找到证明的方式。
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