甲有101个硬币，乙有100个硬币，两人随机撒在地面上，甲比乙正面朝上多的概率是多少？
这个问题很有意思，我们可以一步一步来算。
首先，我们得明确一个概念：抛硬币的独立性。甲抛硬币的结果和乙抛硬币的结果是完全分开的，谁抛出正面或者反面，都不会影响到另一个人。
我们假设每一枚硬币抛出正面和反面的概率是相等的，也就是 0.5（五五开）。
第一步：设定变量，明确我们要计算什么
设甲抛出正面朝上的硬币数量为 X。
设乙抛出正面朝上的硬币数量为 Y。
我们要计算的概率是：P(X > Y)，也就是甲正面朝上的数量严格大于乙正面朝上的数量。
第二步：考虑甲抛硬币的情况
甲有101个硬币。每次抛硬币，甲有2种可能：正面（H）或反面（T）。所以，甲总共有 2¹⁰¹ 种可能的结果。
同样，乙有100个硬币，总共有 2¹⁰⁰ 种可能的结果。
第三步：直接计算 P(X > Y) 的复杂性
如果我们想直接计算 X > Y 的概率，需要考虑所有 X 和 Y 的组合。例如：
甲正面101个，乙正面100个；
甲正面101个，乙正面99个；
...
甲正面1个，乙正面0个；
甲正面2个，乙正面0个；
甲正面2个，乙正面1个；
...
这会变得非常繁琐。每一种组合的概率都需要计算。
第四步：换个角度思考，利用对称性
有没有更巧妙的方法？我们可以考虑三种情况：
1. 甲正面比乙正面多的概率：P(X > Y)
2. 乙正面比甲正面多的概率：P(Y > X)
3. 甲乙正面数量相等的概率：P(X = Y)
这三个概率加起来，肯定等于 1（因为总是会发生这三种情况中的一种）。
P(X > Y) + P(Y > X) + P(X = Y) = 1
现在，我们仔细观察一下甲和乙抛硬币的情况。甲比乙多一个硬币。
第五步：关键的转化——把“多一个硬币”处理掉
我们不妨想象一个场景：
乙先抛完了他的100个硬币，我们知道了他正面朝上的数量 Y。
现在轮到甲抛剩下的101个硬币。
我们关注的是甲的“比乙多多少”。
让我们来做一个巧妙的比较：
情形一：甲抛了100个硬币，和乙进行比较。
设甲这100个硬币中，正面朝上的数量是 X'。
乙这100个硬币中，正面朝上的数量是 Y。
因为甲和乙抛硬币是完全独立的，并且他们抛的硬币数量相同（100个），所以：
甲正面比乙正面多的概率，P(X' > Y)，和乙正面比甲正面多的概率，P(Y > X')，是完全一样的。
甲正面等于乙正面朝上的概率，P(X' = Y)。
我们可以写出：P(X' > Y) + P(Y > X') + P(X' = Y) = 1
又因为 P(X' > Y) = P(Y > X')，所以：2 P(X' > Y) + P(X' = Y) = 1
由此推导出：P(X' > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2
情形二：甲多出来的那个硬币。
甲的第101个硬币，要么正面朝上（概率 0.5），要么反面朝上（概率 0.5）。
第六步：将情形一和情形二结合起来
现在我们回到甲比乙正面朝上的总数量 X > Y 的概率。
甲的101个硬币，我们可以分成两部分：
1. 甲的前100个硬币 (数量是 X')
2. 甲的第101个硬币 (正面朝上记为 H101，反面朝上记为 T101)
所以，甲正面朝上的总数 X = X' + (甲第101个硬币正面朝上的数量)。
我们要计算 P(X > Y)，也就是 P(X' + (甲第101个硬币正面朝上的数量) > Y)。
这又分成两种情况：
情况 A：甲的第101个硬币正面朝上 (H101)
这时，甲正面朝上的数量是 X' + 1。
我们关心的条件是 X' + 1 > Y，即 X' ≥ Y。
所以，这种情况下的概率是：P(H101) P(X' ≥ Y) = 0.5 P(X' ≥ Y)。
而 P(X' ≥ Y) = P(X' > Y) + P(X' = Y)。
情况 B：甲的第101个硬币反面朝上 (T101)
这时，甲正面朝上的数量是 X'。
我们关心的条件是 X' > Y。
所以，这种情况下的概率是：P(T101) P(X' > Y) = 0.5 P(X' > Y)。
第七步：整合计算
现在，我们把甲比乙正面多（X > Y）的总体概率写出来：
P(X > Y) = P(H101) P(X' ≥ Y) + P(T101) P(X' > Y)
P(X > Y) = 0.5 (P(X' > Y) + P(X' = Y)) + 0.5 P(X' > Y)
P(X > Y) = 0.5 P(X' > Y) + 0.5 P(X' = Y) + 0.5 P(X' > Y)
P(X > Y) = P(X' > Y) + 0.5 P(X' = Y)
我们之前知道：P(X' > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2
把这个代入上面的公式：
P(X > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2 + 0.5 P(X' = Y)
P(X > Y) = 0.5 0.5 P(X' = Y) + 0.5 P(X' = Y)
P(X > Y) = 0.5
结论：
经过这样一番推导，我们发现甲比乙正面朝上多的概率是 0.5。
这其实是一个非常巧妙的结果！
为什么会是0.5呢？
可以这样理解：
我们把甲的101个硬币拿出来，先让甲和乙各拿走100个硬币，进行比较。这时，甲比乙正面多的概率（P(X' > Y)）和乙比甲正面多的概率（P(Y > X')）是相等的。
剩下的就是甲的那个“多出来”的硬币。
如果甲的第101个硬币是正面，那么甲在比较的100个硬币上，如果正面数量等于或多于乙，甲就赢了。
如果甲的第101个硬币是反面，那么甲在比较的100个硬币上，必须正面数量严格多于乙，甲才能赢。
但由于抛硬币的完全随机性，甲那个额外的硬币，无论正面还是反面，都会以 0.5 的概率增加甲的总正面数量。
更直观一点，我们可以想象一个“修正”的过程：
1. 公平比较 (100 vs 100): 甲和乙各拿100个硬币。
如果甲的100个比乙的100个正面多，甲暂时领先。
如果乙的100个比甲的100个正面多，乙暂时领先。
如果一样多，平局。
2. 处理那个“多出来”的硬币: 甲还有一个硬币。
如果甲的第101个硬币是正面，甲的“优势”就增加了。
如果甲的第101个硬币是反面，甲的“优势”就减少了（相当于乙的优势增加了）。
因为那个多出来的硬币，甲和乙各有 0.5 的概率“拥有”它，并且这个硬币的结果是独立的，这就像是给其中一方增加一个 0.5 概率的“好处”。
结果就是，甲比乙正面多的概率，正好是 0.5。
总结一下，这个问题的核心在于利用对称性，将问题分解，并巧妙地处理那个多出来的硬币。最终的概率是 0.5。
首先，我们得明确一个概念：抛硬币的独立性。甲抛硬币的结果和乙抛硬币的结果是完全分开的，谁抛出正面或者反面，都不会影响到另一个人。
我们假设每一枚硬币抛出正面和反面的概率是相等的，也就是 0.5（五五开）。
第一步：设定变量，明确我们要计算什么
设甲抛出正面朝上的硬币数量为 X。
设乙抛出正面朝上的硬币数量为 Y。
我们要计算的概率是：P(X > Y)，也就是甲正面朝上的数量严格大于乙正面朝上的数量。
第二步：考虑甲抛硬币的情况
甲有101个硬币。每次抛硬币，甲有2种可能：正面（H）或反面（T）。所以，甲总共有 2¹⁰¹ 种可能的结果。
同样，乙有100个硬币，总共有 2¹⁰⁰ 种可能的结果。
第三步：直接计算 P(X > Y) 的复杂性
如果我们想直接计算 X > Y 的概率，需要考虑所有 X 和 Y 的组合。例如：
甲正面101个，乙正面100个；
甲正面101个，乙正面99个；
...
甲正面1个，乙正面0个；
甲正面2个，乙正面0个；
甲正面2个，乙正面1个；
...
这会变得非常繁琐。每一种组合的概率都需要计算。
第四步：换个角度思考，利用对称性
有没有更巧妙的方法？我们可以考虑三种情况：
1. 甲正面比乙正面多的概率：P(X > Y)
2. 乙正面比甲正面多的概率：P(Y > X)
3. 甲乙正面数量相等的概率：P(X = Y)
这三个概率加起来，肯定等于 1（因为总是会发生这三种情况中的一种）。
P(X > Y) + P(Y > X) + P(X = Y) = 1
现在，我们仔细观察一下甲和乙抛硬币的情况。甲比乙多一个硬币。
第五步：关键的转化——把“多一个硬币”处理掉
我们不妨想象一个场景：
乙先抛完了他的100个硬币，我们知道了他正面朝上的数量 Y。
现在轮到甲抛剩下的101个硬币。
我们关注的是甲的“比乙多多少”。
让我们来做一个巧妙的比较：
情形一：甲抛了100个硬币，和乙进行比较。
设甲这100个硬币中，正面朝上的数量是 X'。
乙这100个硬币中，正面朝上的数量是 Y。
因为甲和乙抛硬币是完全独立的，并且他们抛的硬币数量相同（100个），所以：
甲正面比乙正面多的概率，P(X' > Y)，和乙正面比甲正面多的概率，P(Y > X')，是完全一样的。
甲正面等于乙正面朝上的概率，P(X' = Y)。
我们可以写出：P(X' > Y) + P(Y > X') + P(X' = Y) = 1
又因为 P(X' > Y) = P(Y > X')，所以：2 P(X' > Y) + P(X' = Y) = 1
由此推导出：P(X' > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2
情形二：甲多出来的那个硬币。
甲的第101个硬币，要么正面朝上（概率 0.5），要么反面朝上（概率 0.5）。
第六步：将情形一和情形二结合起来
现在我们回到甲比乙正面朝上的总数量 X > Y 的概率。
甲的101个硬币，我们可以分成两部分：
1. 甲的前100个硬币 (数量是 X')
2. 甲的第101个硬币 (正面朝上记为 H101，反面朝上记为 T101)
所以，甲正面朝上的总数 X = X' + (甲第101个硬币正面朝上的数量)。
我们要计算 P(X > Y)，也就是 P(X' + (甲第101个硬币正面朝上的数量) > Y)。
这又分成两种情况：
情况 A：甲的第101个硬币正面朝上 (H101)
这时，甲正面朝上的数量是 X' + 1。
我们关心的条件是 X' + 1 > Y，即 X' ≥ Y。
所以，这种情况下的概率是：P(H101) P(X' ≥ Y) = 0.5 P(X' ≥ Y)。
而 P(X' ≥ Y) = P(X' > Y) + P(X' = Y)。
情况 B：甲的第101个硬币反面朝上 (T101)
这时，甲正面朝上的数量是 X'。
我们关心的条件是 X' > Y。
所以，这种情况下的概率是：P(T101) P(X' > Y) = 0.5 P(X' > Y)。
第七步：整合计算
现在，我们把甲比乙正面多（X > Y）的总体概率写出来：
P(X > Y) = P(H101) P(X' ≥ Y) + P(T101) P(X' > Y)
P(X > Y) = 0.5 (P(X' > Y) + P(X' = Y)) + 0.5 P(X' > Y)
P(X > Y) = 0.5 P(X' > Y) + 0.5 P(X' = Y) + 0.5 P(X' > Y)
P(X > Y) = P(X' > Y) + 0.5 P(X' = Y)
我们之前知道：P(X' > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2
把这个代入上面的公式：
P(X > Y) = (1 P(X' = Y)) / 2 + 0.5 P(X' = Y)
P(X > Y) = 0.5 0.5 P(X' = Y) + 0.5 P(X' = Y)
P(X > Y) = 0.5
结论：
经过这样一番推导，我们发现甲比乙正面朝上多的概率是 0.5。
这其实是一个非常巧妙的结果！
为什么会是0.5呢？
可以这样理解：
我们把甲的101个硬币拿出来，先让甲和乙各拿走100个硬币，进行比较。这时，甲比乙正面多的概率（P(X' > Y)）和乙比甲正面多的概率（P(Y > X')）是相等的。
剩下的就是甲的那个“多出来”的硬币。
如果甲的第101个硬币是正面，那么甲在比较的100个硬币上，如果正面数量等于或多于乙，甲就赢了。
如果甲的第101个硬币是反面，那么甲在比较的100个硬币上，必须正面数量严格多于乙，甲才能赢。
但由于抛硬币的完全随机性，甲那个额外的硬币，无论正面还是反面，都会以 0.5 的概率增加甲的总正面数量。
更直观一点，我们可以想象一个“修正”的过程：
1. 公平比较 (100 vs 100): 甲和乙各拿100个硬币。
如果甲的100个比乙的100个正面多，甲暂时领先。
如果乙的100个比甲的100个正面多，乙暂时领先。
如果一样多，平局。
2. 处理那个“多出来”的硬币: 甲还有一个硬币。
如果甲的第101个硬币是正面，甲的“优势”就增加了。
如果甲的第101个硬币是反面，甲的“优势”就减少了（相当于乙的优势增加了）。
因为那个多出来的硬币，甲和乙各有 0.5 的概率“拥有”它，并且这个硬币的结果是独立的，这就像是给其中一方增加一个 0.5 概率的“好处”。
结果就是，甲比乙正面多的概率，正好是 0.5。
总结一下，这个问题的核心在于利用对称性，将问题分解，并巧妙地处理那个多出来的硬币。最终的概率是 0.5。
网友意见
方法一：
记 =甲的101个硬币中，正面向上的个数
=乙的100个硬币中，正面向上的个数
=甲的101个硬币中，反面向上的个数
=乙的100个硬币中，反面向上的个数
由于对称性，
有
又因为
因此
又因为
所以
方法二：
记x=抛101个硬币，正面向上的个数
y=抛100个硬币，正面向上的个数
x和y都符合二项分布，且相互独立。它们的分布律为：
那么
简记为
令
其中 且
且
则 （通过变量变化法求二维随机变量的分布，原理详见《概率论与数理统计教程》（茆诗松）3.3.4节）
于是
换个思路，甲和乙赌博抛硬币，两个人各抛一枚硬币，如果相同则是平局，如果不同，正面朝上的赢一块钱。
抛一百次，很明显此时甲乙赢钱的概率都是零。
这个时候，乙不准抛硬币了，让甲抛一次，背面朝上平局，正面朝上赢。问甲赢的概率多少？
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