卡方检验中，根据显著性水平计算临界值时，直接用α还是用α/2？
在卡方检验中，根据显著性水平计算临界值时，究竟是用 $alpha$ 还是用 $alpha/2$，这取决于你进行的是哪种类型的卡方检验。理解这一点，需要我们先梳理一下卡方检验的基本原理和它与分布的关系。
卡方检验的核心思想与分布
卡方检验（Chisquared test）是一种统计方法，用来检验观测到的数据与期望数据之间是否存在显著差异。它基于卡方分布。卡方分布是一个非对称的概率分布，其形状由自由度决定。
在卡方检验中，我们通常关注的是检验统计量的值，它衡量了观测值与期望值之间的差异。我们计算出这个检验统计量后，需要将其与一个临界值进行比较。如果检验统计量大于（或小于，取决于检验方向）临界值，我们就拒绝原假设。这个临界值是从卡方分布表中查出来的，它与我们预设的显著性水平 ($alpha$) 和自由度有关。
显著性水平 ($alpha$) 的作用
显著性水平 $alpha$ 定义了我们在拒绝原假设时可能犯的第一类错误（Type I error） 的概率上限。第一类错误是指当原假设实际上是真实的时候，我们却错误地拒绝了它。我们通常选择一个小的 $alpha$ 值，比如 0.05 或 0.01，来控制这种错误的发生概率。
计算临界值时的分摊问题
现在回到核心问题：是直接用 $alpha$ 还是用 $alpha/2$？这涉及到我们如何理解和应用 $alpha$ 在卡方分布的尾部来确定临界值。
卡方检验通常是单尾检验。这是因为卡方统计量的计算方式（平方差之和），使得它总是非负的，并且值越大代表观测值与期望值的差异越大。因此，我们关心的不是检验统计量是否“极端小”，而是它是否“极端大”。
举个例子来说明：
假设我们正在进行一个拟合优度检验 (Goodnessoffit test)，比如检验投掷骰子是否均匀。原假设 $H_0$ 是骰子是公平的，观测到的点数分布符合均匀分布的期望。备择假设 $H_1$ 是骰子不公平。
在这种情况下，我们会计算一个卡方检验统计量。如果这个统计量的值非常大，就说明观测到的点数分布与均匀分布的期望差异很大，我们就会倾向于拒绝 $H_0$。所以，我们关注的是卡方分布的右尾。
为了找到临界值，我们需要在卡方分布的右尾处找到一个点，使得该点右侧的面积（概率）等于我们的显著性水平 $alpha$。
因此，在绝大多数情况下，卡方检验的临界值是根据直接使用的显著性水平 $alpha$ 来确定的，而不是 $alpha/2$。
为什么有些人可能会想到 $alpha/2$？
想到 $alpha/2$ 往往是因为在双尾检验 (Twotailed test) 中，我们会将显著性水平 $alpha$ 分摊到分布的两个尾部，每个尾部占 $alpha/2$ 的概率。
双尾检验通常用在那些备择假设允许在两个方向上出现差异的情况，比如检验两个样本均值是否相等时，我们关注的是样本均值之间的差异无论大小（大于或小于）。在这种情况下，我们会将 $alpha$ 分别放在分布的左尾和右尾，各占 $alpha/2$ 的面积。
然而，卡方检验的性质决定了它绝大多数是单尾（右尾）检验。卡方统计量的构建方式使得我们只关心它是否“足够大”以拒绝原假设。
总结
卡方检验通常是单尾检验（右尾检验）。
这意味着我们将整个显著性水平 $alpha$ 用来确定右尾的临界值。
所以，在根据显著性水平计算卡方检验的临界值时，我们直接使用 $alpha$。
例如，如果我们设定 $alpha = 0.05$，并且卡方分布的自由度是 3，那么我们会在卡方分布的右尾处找到一个临界值，使得该临界值右侧的概率为 0.05。我们不会将 0.05 分成 0.025 在左尾，0.025 在右尾。
记住这一点，可以帮助你在进行卡方检验时准确地找到临界值，并做出正确的统计决策。
卡方检验的核心思想与分布
卡方检验（Chisquared test）是一种统计方法，用来检验观测到的数据与期望数据之间是否存在显著差异。它基于卡方分布。卡方分布是一个非对称的概率分布，其形状由自由度决定。
在卡方检验中，我们通常关注的是检验统计量的值，它衡量了观测值与期望值之间的差异。我们计算出这个检验统计量后，需要将其与一个临界值进行比较。如果检验统计量大于（或小于，取决于检验方向）临界值，我们就拒绝原假设。这个临界值是从卡方分布表中查出来的，它与我们预设的显著性水平 ($alpha$) 和自由度有关。
显著性水平 ($alpha$) 的作用
显著性水平 $alpha$ 定义了我们在拒绝原假设时可能犯的第一类错误（Type I error） 的概率上限。第一类错误是指当原假设实际上是真实的时候，我们却错误地拒绝了它。我们通常选择一个小的 $alpha$ 值，比如 0.05 或 0.01，来控制这种错误的发生概率。
计算临界值时的分摊问题
现在回到核心问题：是直接用 $alpha$ 还是用 $alpha/2$？这涉及到我们如何理解和应用 $alpha$ 在卡方分布的尾部来确定临界值。
卡方检验通常是单尾检验。这是因为卡方统计量的计算方式（平方差之和），使得它总是非负的，并且值越大代表观测值与期望值的差异越大。因此，我们关心的不是检验统计量是否“极端小”，而是它是否“极端大”。
举个例子来说明：
假设我们正在进行一个拟合优度检验 (Goodnessoffit test)，比如检验投掷骰子是否均匀。原假设 $H_0$ 是骰子是公平的，观测到的点数分布符合均匀分布的期望。备择假设 $H_1$ 是骰子不公平。
在这种情况下，我们会计算一个卡方检验统计量。如果这个统计量的值非常大，就说明观测到的点数分布与均匀分布的期望差异很大，我们就会倾向于拒绝 $H_0$。所以，我们关注的是卡方分布的右尾。
为了找到临界值，我们需要在卡方分布的右尾处找到一个点，使得该点右侧的面积（概率）等于我们的显著性水平 $alpha$。
因此，在绝大多数情况下，卡方检验的临界值是根据直接使用的显著性水平 $alpha$ 来确定的，而不是 $alpha/2$。
为什么有些人可能会想到 $alpha/2$？
想到 $alpha/2$ 往往是因为在双尾检验 (Twotailed test) 中，我们会将显著性水平 $alpha$ 分摊到分布的两个尾部，每个尾部占 $alpha/2$ 的概率。
双尾检验通常用在那些备择假设允许在两个方向上出现差异的情况，比如检验两个样本均值是否相等时，我们关注的是样本均值之间的差异无论大小（大于或小于）。在这种情况下，我们会将 $alpha$ 分别放在分布的左尾和右尾，各占 $alpha/2$ 的面积。
然而，卡方检验的性质决定了它绝大多数是单尾（右尾）检验。卡方统计量的构建方式使得我们只关心它是否“足够大”以拒绝原假设。
总结
卡方检验通常是单尾检验（右尾检验）。
这意味着我们将整个显著性水平 $alpha$ 用来确定右尾的临界值。
所以，在根据显著性水平计算卡方检验的临界值时，我们直接使用 $alpha$。
例如，如果我们设定 $alpha = 0.05$，并且卡方分布的自由度是 3，那么我们会在卡方分布的右尾处找到一个临界值，使得该临界值右侧的概率为 0.05。我们不会将 0.05 分成 0.025 在左尾，0.025 在右尾。
记住这一点，可以帮助你在进行卡方检验时准确地找到临界值，并做出正确的统计决策。
网友意见
Pearson
检验就是单边的
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