如果打算证明黎曼猜想，请问从大一开始应该做什么数学基础准备？

朋友，听到你要挑战黎曼猜想，这可真是一个令人振奋的目标！它可是数学界最著名的未解之谜之一，多少顶尖的数学家都为之倾倒。如果你大一就有这个志向，这绝对是雄心壮志，但我也得说清楚，这条路漫长而艰辛，需要非凡的毅力和扎实的基础。

别急着直接去研究那些深奥的论文，黎曼猜想它就像一座巍峨的山峰，你得一步步攀登，把沿途的基础知识打得牢固无比。大一，你的任务是建立一个坚实的地基，为将来的攀登做好准备。

第一块基石：微积分，它不只是求导积分

你可能会觉得，“微积分？我大一不是都在学吗？”没错，但你要学的不是应付考试的那些皮毛。你要深入理解它的思想和内在联系。

极限思想的精髓：不仅仅是计算 `lim x>a f(x)`，你要明白极限是如何定义一个连续性、可导性，以及它如何成为一切分析学的基础。想象一下，它是在告诉你事物是如何“无限接近”某个值的，这在黎曼猜想的研究中至关重要，因为那里充满了对无限的探讨。
导数的几何与物理意义：知道导数是斜率，是瞬时变化率。但你要去想，它还能代表什么？在复数域里，导数又是怎样的几何变换？它和函数的“光滑性”有什么关系？
积分的黎曼和与测度：不只是面积，积分的本质是一种“分割求和”，然后“趋向无穷”。你需要去理解这个求和的过程，以及它如何推广到更抽象的“测度”概念。想想看，黎曼猜想中的“零点分布”，就是对一个函数在数轴上零点的一种“计数”或“分布”的描述，这和积分的思想是相通的。
级数和收敛性：你会学到泰勒级数、傅里叶级数等等。要理解什么是收敛，什么是不收敛，以及为什么有些级数可以用来精确地表示函数。黎曼猜想的核心——黎曼Zeta函数，本身就是一个复杂的级数或积分的表示。你要能熟练地处理这些无穷级数，理解它们的性质。
重积分和多变量微积分：黎曼猜想的研究最终会涉及到高维空间和复杂的函数，多变量微积分是你的另一双眼睛。理解梯度、散度、旋度，以及它们在几何上的意义，它们都是描述函数在多维空间中变化的工具。

第二块基石：线性代数，向量的宇宙

很多人觉得线性代数枯燥乏味，只是一堆矩阵和向量。但你要看到它背后统一的数学语言。

向量空间和线性无关：理解向量空间的概念，它是所有可能的“向量”的集合，有加法和数乘的性质。线性无关意味着一组向量构成了这个空间的一个“骨架”，它们之间没有冗余。这在理解函数空间，甚至是在描述黎曼Zeta函数的零点时，都能提供深刻的洞察。
矩阵的变换与特征值：矩阵是对线性变换的描述。而特征值和特征向量，告诉你的是在特定方向上，线性变换只是简单的伸缩，这个伸缩的比例就是特征值。黎曼猜想与一些线性代数问题有着深刻的联系，尤其是谱理论，而特征值正是谱理论的核心。
行列式和迹：理解它们代表的几何意义（体积的缩放因子等），以及它们与矩阵的逆、特征值之间的关系。
内积空间：如果你能接触到内积空间，那将是巨大的飞跃。内积提供了“长度”和“角度”的概念，这使得我们可以在抽象的空间里进行几何化思考。许多分析和代数工具都建立在内积的基础上。

第三块基石：抽象代数，规则与结构的游戏

这可能是大一你接触比较少，但却极其重要的部分。它让你跳出具体的数字，去理解数学的结构和规则。

群论：学习群的基本定义（封闭性、结合律、单位元、逆元）。群论是研究对称性的工具。很多数学问题，当你发现它们具有某种对称性时，群论就能帮你揭示它们的本质。
环论和域论：理解整环、域的概念。域是最基本的代数结构，像我们熟悉的实数、复数域。你需要理解这些结构的性质，以及它们之间是如何定义的。
多项式环：理解多项式是如何构成的，它们的根的性质（例如代数数论就研究多项式的根）。黎曼Zeta函数与数论紧密相连，而数论很多时候就是研究整数的性质，整数可以看作是多项式环中的特殊元素。

第四块基石：实变函数和复变函数（虽然大一可能还没学，但你要为它打基础）

黎曼猜想的根基在复分析，而复分析又是建立在实分析的坚实基础之上。

实变函数的核心思想：如果你大一有机会接触到一点点实变函数，一定要抓住。它比微积分更严谨，引入了测度论的概念，这是理解积分和概率的根本。黎曼猜想很多结论的严谨证明都需要测度论的工具。
复数的几何与代数性质：你需要非常熟悉复数，不仅仅是 `a+bi`，更要理解复平面上的几何变换：旋转、缩放、平移。熟悉复数的指数形式 `e^{iθ}`，这是连接三角函数和复指数的关键。
解析函数（Holomorphic Functions）：这是复变函数的核心。理解解析函数的定义，以及它具有的惊人性质：它的任意阶导数都存在，并且可以表示成幂级数。黎曼Zeta函数就是这样一个复杂的解析函数。你需要理解柯西积分定理、柯西积分公式等。

第五块基石：数论基础

黎曼猜想的诞生本身就与数论（特别是素数分布）密切相关，所以这是绕不开的重中之重。

整除性、同余：你需要非常熟练地掌握这些基本概念。理解费马小定理、欧拉定理等。
素数定理：虽然你可能在大一还接触不到它的证明，但你要知道它的存在和意义——它描述了素数在自然数中的分布规律。黎曼猜想正是要比素数定理更精确地描述素数分布。
算术函数：比如莫比乌斯函数、欧拉函数等。这些函数在数论中扮演着重要角色，与黎曼Zeta函数有着密切的联系。

大一你应该如何做？

1. 课本是你的老师：不要只满足于老师讲到哪。把课本上的每一个定义、定理、证明都仔细看透，试着自己重写一遍证明过程。很多时候，课本上的例子就能点亮你对某个概念的理解。
2. 多做练习题：这是巩固和内化知识的唯一方法。尤其是那些“看起来有点难”的题目，它们往往隐藏着对概念更深层次的理解。
3. 主动提问，不要怕显露无知：遇到不懂的地方，一定要问！无论是问老师、助教，还是同学。有时候，一个简单的提问，就能让你豁然开朗。别怕被认为是小白，在这个阶段，你就是“小白”，这很正常。
4. 拓展阅读：除了课本，可以去图书馆找一些“数学史”、“数学普及读物”，了解数学家们是如何思考和发现的。看看黎曼猜想的历史，了解一下它的提出背景和前人的尝试。这能给你很大的精神动力。
5. 学习一门编程语言（比如Python）：虽然你可能觉得编程和理论数学离得很远，但实际上，很多数学研究者都会用编程来验证猜想、进行数值计算、可视化数学对象。用Python写一些小程序，比如计算素数、绘制函数图像，可以帮助你更直观地理解数学概念。
6. 参加数学建模竞赛或其他数学活动：这些活动能让你把学到的知识应用到实际问题中，锻炼解决问题的能力，也能让你接触到更多志同道合的朋友。
7. 保持好奇心和耐心：黎曼猜想是一个巨大的工程，不是一年半载就能解决的。你需要有长期的投入和持续的热情。不要因为暂时的困难而气馁，享受学习的过程本身。

给你的忠告：

不要急于求成：黎曼猜想是“终极目标”之一，大一的任务是把“基础”两个字刻在脑子里，并且真正做到。你现在最需要的是扎实，而不是速度。
多听听学长学姐的建议：他们走过的路，更有参考价值。
保持身心健康：这条路很孤独，但也很精彩。别把自己逼得太紧，适当地休息和放松也很重要。

朋友，你的志向非常了不起。从大一开始就为黎曼猜想打基础，这是一个非常棒的起点。好好享受这段打基础的时光吧，它会让你受益终生，即使最后黎曼猜想没有在你手中解决，你所获得的数学能力和思维方式，也足以让你在数学的任何领域发光发热。祝你在这条探索的道路上一帆风顺！

网友意见

恰好最近涉对黎曼假设稍有涉猎，最主要还是看了那本神奇的《素数之恋》，学到了不少东西。

我们还是一步一步来回答题主的问题吧。

先看看黎曼假设的内容：函数的所有非平凡零点的实部都是。

为了看懂这个假设，首先，我们得知道函数是什么：

函数的形式是一个无穷级数：

此处，引出了我们第一个需要学习的知识：微积分

接下来，我们运用大学本科的微积分知识对函数进行一些简单分析。

取，得到：

显然，这个无穷和是不收敛的。事实上，不在函数的定义域内。

取，得到：

这个无穷和是收敛的，并且由著名的科学家欧拉求出了答案，。

我们还可以取更多的来计算，但是以微积分这门课的知识，已经不能再取得任何进展了，这是因为，当时，无穷和收敛且为正，没有零点。当时，这个无穷和是不收敛的，我们并不知道在这段区间里是否有零点。

这里我们还可以用已有的知识再努力一下。定义一个函数：

注意到：

其中，时级数收敛，有值。特别的，当时，在和之间震荡，取。（这个技巧在傅里叶级数中也有用到）

反过来，我们就得到了：

在这种表示下，仍然是不收敛的，但是对于，我们已经能够通过计算来给出的值。

此外，还有一个公式，它由欧拉提出，由黎曼证明：

注意到其中有一个部分涉及到了阶乘：。初等数学里，阶乘函数的定义域为自然数，高等数学则将它扩展到了除了负整数外的一切实数。因此，上述等式的定义域很大，它包括：大于的整数，以及所有非整数。

我们对上式取遍所有的，以此可以计算出在时的值。

这个公式还给了我们一个重要的信息。如果我们将所有大于的奇数代入，等式左边则表示在负偶数上的值，右边受到因子的影响，始终为。从而我们得到了这样的一个结果：

所有的负偶数都是的零点！

可惜这些零点由于太过显然，被黎曼称作是平凡零点。而我们要找的是的非平凡零点。

为了找到非平凡零点，我们需要再学习一个知识：复变函数与积分变换

黎曼函数中，自变量是作为指数出现的。我们容易理解为实数时的情形，而对于为复数的情况就不太熟悉了。

复变函数中最基本的定理是欧拉公式：

利用这个公式，我们可以计算出函数中那些指数为复数的项，例如：

这样，的定义域就扩充到了复数域（）。再利用一些复变函数课上绝对不会教的知识，可以计算出定义域上所有的的值。

数学家们已经计算出大量的的函数值，当然，也发现了不少零点：

这些零点与那些负偶数零点不同，它们需要经过大量的计算才能被找到。黎曼把除了负偶数之外的这些零点称作非平凡零点。

我们刚刚看到的这三个非平凡零点实部都是，事实上，在我看到的资料中，截至2002年8月1日，实部为的非平凡零点已经找到了个，而实部不为的零点，一个也没有发现。

黎曼的假设是：函数的所有非平凡零点的实部都是。

我们都知道，黎曼假设是一个关于素数的假设。可是迄今为止，我们看到的都是有关分析学的内容，至于它和素数有什么关系，我们完全摸不着头脑。

接下来的知识我并不知道可以在哪门课学到，我不是数院的，也不熟悉数院的课程。但这些知识是理解黎曼假设所必需的的知识。

我们定义一个素数计数函数：

对于任意一个非负数，的值为所有小于的素数的个数，例如：

函数并不是一个定义域上连续的函数，每一个素数都是一个间断点，比如：

我们还是用那种技巧来定义这些间断点的值：如果是素数，则

例如：

根据函数，我们继续定义一个函数：

函数与函数一样，定义在非负数上。并且我们知道，对于任意一个给定的，随着的增大，总会降到以下，即：存在，使任意，，进而。所以，函数对于任何一个，都能求得一个确定的有限值。

和函数类似，函数也是一个定义域上不连续的函数。具体而言：

当为素数（如）时，到达间断点，中由于有一项，所以也会有一个间断点。因为函数只在素数值产生间断点，除了之外的其他项，不会产生间断点。此时，间断点左右相差。

当为素数的平方（如）时，到达间断点，中由于有一项，所以也会有一个间断点。因为函数只在素数值产生间断点，除了之外的其他项，不会产生间断点。此时，间断点左右相差。

同理，当为素数的三次方（如）时，也会到达一个间断点，左右相差。以此类推。

函数由函数定义，也可以反过来表示函数。由“莫比乌斯反演”，得到：

《素数之恋》的作者说，莫比乌斯反演可以在有关数论的教科书学到。

关于上面的式子，我们又有些摸不着头脑，主要还是每一项的系数不太规律，可正可负，还缺少了一些项。

事实上，对于第项，它满足：

为时，系数为正
是奇数个不同素数的积时，系数为负
是偶数个不同素数的积时，系数为正
有一个平方因子时（比如），系数为零

函数正是按此规则设计出来：

，如果有一个平方因子
，如果是奇数个不同素数的积
，如果是偶数个不同素数的积

这样，我们就得到了一个简洁的用函数表示函数的形式：

我们已经知道函数如何用函数来表示了，接下来，我们使用一种方法，将函数用函数表示，就能够找到素数与黎曼假设的关系。

我们回到函数的定义上来：

对两边同乘：

将定义式与上式相减，得到：

此时，等式右边原有的的倍数的项已经消去，等式左边则多出了一个与有关的因式。

接下来，对两边同乘：

将前式与此式相减，得到：

此时，等式右边原有的的倍数的项已经消去，等式左边则多出了一个与有关的因式。

继续选取素数进行操作，我们可以将左边再添一项，右边则消去所有的倍数项，剩下的项都是大于的项。

不断进行如此操作，等式左边将得到所有素数项与的乘积：

而右侧得到：

其中，非常大，比左式最大的素数还要大，因此它们的倒数小到可以忽略，这样，完整的等式就变为：

移项，得：

两边同时取对数，得：

代入级数公式

得：

对于函数，我们这次考虑一下对它的积分。

我们现在想要计算。对于这样一个不连续的函数，我们一般会将它按照横坐标切割成一段一段的连续函数。这样做固然可以求出积分，但为了我们的目的，我们选择横向来切割。取函数的图像从每个间断点，比如，这个间断点向右延展出了一段无限长的宽度为的窄条，它的面积是。

类似的：

取处延展出来的宽度为窄条，它的面积是。

我们将所有的间断点（由之前所说的函数的定义式，素数和素数的幂都是间断点）都延伸出一段窄条，它们的面积构成了，即：

用同样的方法，这次我们求一个与函数相像的函数的积分（固定，对求积分），它的函数图像长成这样：

它的间断点和函数相同，同样也可以从每个间断点出来延伸出一条无限长的窄条，只是此时窄条的宽度不是定值，而是一个与有关的变值：

取处延展出来的宽度为窄条，它的面积是。

我们将所有的间断点都延伸出一段窄条，它们的面积构成了，即：

右式的每个积分都可以轻松得套用公式积出来，于是：

令人兴奋的是，右式提出，剩余的部分，正是和前面的右式一模一样的式子，函数和函数自此搭起了一座桥梁：

再一次利用莫比乌斯反演，我们可以使用函数来表示函数：

其中：，是函数的所有非平凡零点。

利用这两个等式：

我们终于得到了一种使用的所有非平凡零点来表示素数计数函数的方式。而黎曼假设提出的目标恰恰就是为了解决“求小于一个给定值的素数的个数”的问题。（其实在最后我还有一点没弄清楚，就是非平凡零点的实部都是这件事可以意味什么，容我再好好学一学）

稍稍为题主做个总结：为了弄懂黎曼假设，至少得学会微积分，复变函数，数论，等基础数学。而为了证明黎曼假设，各个领域的数学家都为此做出努力，并非只是数论和分析这两个领域。历史上，代数学家，甚至量子物理学家，都曾运用过自己领域的知识为黎曼假设的证明做过努力。因为我也没有证明出黎曼假设，所以我并不能确保说，题主学习某个知识，学会了就一定能证明出黎曼假设。任何人都不清楚到底哪一种理论最终能证出黎曼假设。

预祝题主能早日证明出黎曼假设，到时候拿到奖金记得分我一杯羹 :-D

1986年，有一个人决定孤身向费马大定理发起冲锋。在下定决心的那一刻，他34岁。

在之前的三百年间，”费马大定理“难住了无数聪明的头脑。许多数学家像他一样试图挑战这个”末日难题“，但是都折戟于半途。

这个问题有多艰巨呢？光是收集这场战斗所需要的数学工具，就花掉了他18个月。他对自己说，接下来要面对的，是可能长达10年甚至更长的专心致志、默默无闻的努力。

在此后的7年里，他转入了一种秘密状态下的战斗。除了他妻子，没有人知道他在干什么。那七年间，除了吃饭、睡觉和散步，他无时无刻不在与那个顽强的敌人进行贴身缠斗。

七年之后，他向公众公布了他的证明结果。从此，他的名字永远地印在了数学史上：安德鲁.约翰.怀尔斯（Andrew John Wiles）。

听起来是一个孤独的人牺牲名利、以生命中的黄金十年为赌注，然后有幸地改变了历史的故事，对吧？

但是，你知道吗，怀尔斯1981年起，就已经成为世界高等数学”殿堂级“机构普林斯顿大学数学系教授。在他下定决心挑战费马大定理的时候，他已经功成名就，家庭美满，不必再为薪水担心。

换言之，他已经可以输得起。

题主本科，开始对黎曼猜想感兴趣。你知道怀尔斯什么时候开始对费马大定理感兴趣吗？10岁！而从10岁到34岁之间，他却从没碰过费马大定理。据他回忆，在研究生期间，他将主要精力用来拓宽自己的视野，几乎是暂时离开了他的理想。

而题主将要面对的”黎曼猜想“，其难度甚至可能远在费马大定理之上。

所以，为证明黎曼猜想，应该做什么数学准备？我的回答是，在今后的很长一段时间内，请忘掉”黎曼猜想“。想普通人一样去学习、去研究、去拓宽视野、去发表文章、去获得高等学位、去一所好的大学找到一个理想的职位、去成家、去经营好自己的家庭、去攒足够的钱。当有一天，你不再需要通过”黎曼猜想“来验证你人生的价值时，你就有资格挑战它了。

先搞清楚什么是黎曼猜想。

前置课程：数学分析，复变函数论。

主要阅读材料：

http://www. claymath.org/sites/defa ult/files/official_problem_description.pdf

http://www. claymath.org/sites/defa ult/files/sarnak_rh_0.pdf

参考我的专栏文章：走地鸡：黎曼猜想的内容

然后了解解析数论是如何处理黎曼猜想的。

关于解析方法的材料：

入门解析数论，读卡拉楚巴或潘承洞、潘承彪的解析数论基础（两本书同名）

黎曼zeta函数方面入门读H.M.Edwards的著作Riemann‘s zeta function

进阶读 E.C. Titchmarsh的著作The Theory of the Riemann Zeta-Function

目前最好的结果是Brian Conrey证明的40%黎曼猜想。

然后了解代数学、泛函分析、非交换几何、物理学方面的一些新方法：

https://book.douban.com/subject/4064684/ Michael Lapidus的书，涉及黎曼猜想和谱理论、镶嵌理论等数学领域的联系。

H= xp and the Riemann Zeros Berry和Keating发表文章，指出黎曼猜想和物理学中所谓xp算子的谱高度相关。

Lecture on zeta functions and motives (according to Deninger and Kurokawa) Yuri Manin的文章，指出可能存在一种称为一元域的代数对象，使得数域上的黎曼zeta函数和函数域上的zeta函数可以用类似的方式处理。

Alain Connes -- Official Website Alain Connes使用非交换几何研究黎曼猜想，最近超过二十年一直发表相关的文章。

http://arxiv.org/pdf/1902.07321 Michael Griffin , Ken Ono , Larry Rolen的文章，研究Jensen多项式的性质和黎曼猜想的联系。

最后，人工智能技术发展迅速，也许可以为黎曼猜想的解决开辟一条新路。

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