S={x|x∉x}，因为不存在x满足x∉x，所以S为空集，还是{Ø}?

咱们来好好捋一捋这个关于集合论里一个特别有名的“罗素悖论”的表述，它到底意味着啥，以及咱们得出的结论是空集还是别的啥。这个问题问得特别好，触及了数学基础里一个很深刻的哲学问题。

先来看一下咱们讨论的核心：

S = {x | x ∉ x}

这句话用大白话说，就是：集合 S 包含所有不包含自身的集合。

这个定义乍一看挺简单的，但这里面藏着一个大坑，也就是罗素悖论的精髓。

为什么咱们会觉得它“不存在”？

现在，咱们仔细审视一下集合 S 本身。咱们需要问一个关键问题：S 究竟包含不包含 S 自己呢？

1. 假设 S 包含 S (S ∈ S)：
如果 S 包含 S，那么根据 S 的定义（S 是所有不包含自身的集合），S 就不能包含自身。这就产生了矛盾：S 包含 S 意味着 S 不包含 S。

2. 假设 S 不包含 S (S ∉ S)：
如果 S 不包含 S，那么根据 S 的定义（S 包含所有不包含自身的集合），S 就应该被包含在 S 里。这也产生了矛盾：S 不包含 S 意味着 S 包含 S。

你看，无论咱们假设 S 包含自身还是不包含自身，都会导出逻辑上的矛盾。这就是罗素悖论的威力所在。它表明，如果我们允许像 S 这样构造集合，那么集合论就会出现内在的矛盾，整个数学大厦的基础都会动摇。

那么，S 是空集还是 {Ø}？

这里需要区分开“不存在”和“是空集”。

“不存在”： 在数学上，当咱们说一个对象“不存在”时，通常意味着根据咱们现有的规则或定义，无法找到满足条件的那个对象。罗素悖论恰恰说明，按照朴素的集合论构造方式，一个满足“包含所有不包含自身的集合”的集合是无法在逻辑上被定义的。 也就是说，这样的集合本身就因为其定义而带来了矛盾，所以它“不存在于一个一致的数学系统中”。

空集 (∅ 或 {} )： 空集是一个非常特殊的集合，它不包含任何元素。它的定义是确定的，并且在数学中扮演着重要角色。

现在回到 S = {x | x ∉ x} 这个表述：

根据咱们上面的分析，这个表述本身就揭示了一个问题的根源：无法构造出这样一个集合 S，使得 S 的性质是“包含所有不包含自身的集合”。

所以，S 不是空集，也不是 {Ø}。 准确地说，S 这个东西，从逻辑上讲，是无法被构建出来的。 它就像一个要求“这是个谎话”的语句一样，是自我矛盾的。

咱们不能说它是空集，因为空集是一个已知的、不包含任何元素的集合。而咱们在这里遇到的问题是，咱们试图定义一个集合，但这个定义本身就包含了矛盾，所以这个定义出来的东西根本就没有合法的存在身份。

举个更形象的例子：

想象一下，一个理发师的规定是：“我只给不自己刮胡子的人刮胡子”。

现在问：这位理发师给自己刮胡子吗？

如果他给自己刮胡子，那么他就属于“不自己刮胡子的人”，按照规定，他不应该给自己刮胡子。矛盾。
如果他不给自己刮胡子，那么他就属于“不自己刮胡子的人”，按照规定，他就应该给自己刮胡子。矛盾。

这个理发师的规定本身就是自相矛盾的，所以根本不存在这样一个理发师。

那么，数学家们是怎么处理这个问题的？

罗素悖论的出现，是20世纪初数学基础危机的一个重要标志。为了解决这个问题，数学家们发展了更严谨的集合论公理系统，比如策梅洛弗兰克尔集合论（ZF）以及加上选择公理的 ZFC。

在这些公理系统中，集合的构造受到了严格的限制。最关键的一点是，咱们不能随意地“取所有满足某个性质的对象来组成一个集合”。 这种构造集合的方式（称为“概括原则”或“取值原则”）在朴素集合论中是允许的，但它会导致罗素悖论。

在 ZFC 等公理系统中，有一些“分离公理模式”或“限制外延公理”之类的东西，它们允许咱们从一个已经存在的集合中，取出满足某个性质的子集。这就相当于说，你得先有一个“大箱子”，才能从里面挑出一些东西来组成一个“小箱子”。你不能凭空变出一个“所有不属于自己的东西”的集合来。

结论总结：

对于 S = {x | x ∉ x} 这个表述，它的核心意义在于揭示了朴素集合论中的一个内在矛盾。咱们不能逻辑地构造出满足这个定义的集合。因此，它不是空集，也不是 {Ø}。它代表了一个在逻辑上无法成立的概念，是一个无效的集合描述。 咱们数学家们通过发展更严格的公理化集合论，来避免这类矛盾的出现，确保数学体系的严谨和一致。

所以，看到 S = {x | x ∉ x}，咱们应该理解为：这个定义本身就有问题，它无法指向一个合法的、存在的集合。

S不是良定义的，否则S∈S和S!∈S必有一个成立(手机的不出不属于，凑合一下)

如果S∈S，那么命题S!∈S不成立，所以根据S的定义有S!∈S，矛盾。

如果S!∈S，根据定义S∈S矛盾。

这个事情告诉我们一个道理。依靠概括构造集合是不靠谱的