S＝{a+b√3i | a∈Q, b∈Q} 是数域吗？
这道题确实有意思，我们来好好掰扯掰扯。要判断 S＝{a+b√3i | a∈Q, b∈Q} 是不是一个数域，我们得先过一遍数域的定义和它需要满足的几个基本条件。
数域的定义
一个非空集合 K，如果满足以下条件，就被称为一个数域：
1. 封闭性: 对于 K 中的任意两个元素 x 和 y，它们的和 (x+y)，差 (xy)，积 (xy) 都在 K 中。
2. 非零除法: 对于 K 中任意两个元素 x 和 y，如果 y 不等于 0，那么它们的商 (x/y) 也在 K 中。
3. 存在单位元: 存在两个不同的元素，一个叫加法单位元 (通常是 0)，对于 K 中的任意元素 x，都有 x + 0 = x；另一个叫乘法单位元 (通常是 1)，对于 K 中的任意元素 x，都有 x 1 = x。
4. 加法逆元和乘法逆元: 对于 K 中的任意元素 x，都存在一个元素 x 使得 x + (x) = 0 (加法逆元)；对于 K 中的任意非零元素 x，都存在一个元素 x⁻¹ 使得 x x⁻¹ = 1 (乘法逆元)。
简单来说，一个数域就是我们熟悉的实数域、复数域那样的“数学结构”，里面的数可以进行加减乘除（除了除以零），而且这些运算的结果不会“跑出去”。
我们来检验 S 这个集合
S 集合里的元素是形如 a+b√3i 的数，其中 a 和 b 都是有理数 (Q)。这些数看起来有点像复数，但虚部多了一个 √3 的系数。
让我们逐一验证 S 是否满足数域的条件：
1. 封闭性
这是最关键的一步。我们需要证明，取 S 中任意两个数，进行加法、减法、乘法运算后，结果仍然在 S 里。
加法:
设 x = a₁ + b₁√3i ∈ S，y = a₂ + b₂√3i ∈ S，其中 a₁, b₁, a₂, b₂ ∈ Q。
x + y = (a₁ + b₁√3i) + (a₂ + b₂√3i)
x + y = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)√3i
因为 a₁ 和 a₂ 是有理数，它们的和 (a₁ + a₂) 也是有理数。
同理，b₁ 和 b₂ 是有理数，它们的和 (b₁ + b₂) 也是有理数。
所以，x + y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x + y ∈ S。
加法封闭性满足。
减法:
x y = (a₁ + b₁√3i) (a₂ + b₂√3i)
x y = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)√3i
同样，(a₁ a₂) ∈ Q 且 (b₁ b₂) ∈ Q。
所以，x y ∈ S。
减法封闭性满足。
乘法:
x y = (a₁ + b₁√3i) (a₂ + b₂√3i)
x y = a₁a₂ + a₁b₂√3i + b₁a₂√3i + b₁b₂(√3i)²
我们知道 (√3i)² = (√3)² i² = 3 (1) = 3。
所以，x y = a₁a₂ + (a₁b₂ + b₁a₂)√3i 3b₁b₂
x y = (a₁a₂ 3b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)√3i
现在来看实部 (a₁a₂ 3b₁b₂)。因为 a₁, a₂, b₁, b₂ 都是有理数，有理数的乘法和减法运算结果仍然是有理数。所以 (a₁a₂ 3b₁b₂) ∈ Q。
再看虚部 (a₁b₂ + b₁a₂)。同样，有理数的乘法和加法运算结果仍然是有理数。所以 (a₁b₂ + b₁a₂) ∈ Q。
因此，x y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x y ∈ S。
乘法封闭性满足。
到目前为止，S 在加法、减法、乘法下都是封闭的。
2. 非零除法
设 x = a₁ + b₁√3i ∈ S，y = a₂ + b₂√3i ∈ S，且 y ≠ 0。
y ≠ 0 意味着 a₂ 和 b₂ 不能同时为零。
我们要计算 x/y：
x/y = (a₁ + b₁√3i) / (a₂ + b₂√3i)
为了计算这个商，我们通常会将分母乘以它的共轭复数来“实数化”。但这里的数不是标准的复数形式，它的“虚部”是 b√3i。如果直接类比复数，我们可以考虑乘以 (a₂ b₂√3i)。
x/y = [(a₁ + b₁√3i) (a₂ b₂√3i)] / [(a₂ + b₂√3i) (a₂ b₂√3i)]
分母：
(a₂ + b₂√3i) (a₂ b₂√3i) = a₂² (b₂√3i)²
= a₂² (b₂² (√3)² i²)
= a₂² (b₂² 3 (1))
= a₂² + 3b₂²
因为 a₂, b₂ ∈ Q，所以 a₂² ∈ Q 且 b₂² ∈ Q，从而 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q。
关键是，因为 y ≠ 0，所以 a₂ 和 b₂ 不能同时为零。如果 a₂ = 0，则 b₂ ≠ 0，此时分母是 3b₂² ≠ 0。如果 b₂ = 0，则 a₂ ≠ 0，此时分母是 a₂² ≠ 0。所以分母 (a₂² + 3b₂²) 必然是一个不为零的有理数。
分子：
(a₁ + b₁√3i) (a₂ b₂√3i) = a₁a₂ a₁b₂√3i + b₁a₂√3i b₁b₂(√3i)²
= a₁a₂ a₁b₂√3i + b₁a₂√3i 3b₁b₂(1)
= a₁a₂ + 3b₁b₂ + (b₁a₂ a₁b₂)√3i
所以，
x/y = [(a₁a₂ + 3b₁b₂) + (b₁a₂ a₁b₂)√3i] / (a₂² + 3b₂²)
x/y = [(a₁a₂ + 3b₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)] + [(b₁a₂ a₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)]√3i
现在我们来看 x/y 的实部和虚部系数：
实部系数：(a₁a₂ + 3b₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)
虚部系数：(b₁a₂ a₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)
因为 a₁, b₁, a₂, b₂ 都是有理数，并且 (a₂² + 3b₂²) 是一个不为零的有理数，所以根据有理数的除法性质，这两个系数都是有理数。
例如，(a₁a₂ + 3b₁b₂) ∈ Q 且 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 ≠ 0，所以它们的商也在 Q 中。
同理，(b₁a₂ a₁b₂) ∈ Q 且 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 ≠ 0，所以它们的商也在 Q 中。
因此，x/y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x/y ∈ S。
非零除法满足。
3. 存在单位元
加法单位元: 集合 S 中是否包含 0？
我们可以取 a=0, b=0。0 + 0√3i = 0。因为 0 是有理数，所以 0 ∈ S。
对于 S 中任意元素 x = a+b√3i，有 x + 0 = (a+b√3i) + 0 = a+b√3i = x。
加法单位元存在且是 0。
乘法单位元: 集合 S 中是否包含 1？
我们可以取 a=1, b=0。1 + 0√3i = 1。因为 1 是有理数，所以 1 ∈ S。
对于 S 中任意元素 x = a+b√3i，有 x 1 = (a+b√3i) 1 = a+b√3i = x。
乘法单位元存在且是 1。
同时，0 和 1 是不同的元素，满足数域的要求。
4. 加法逆元和乘法逆元
加法逆元:
对于 S 中的任意元素 x = a+b√3i，我们知道 a, b ∈ Q。
考虑元素 x = a b√3i。
因为 a ∈ Q，所以 a ∈ Q。因为 b ∈ Q，所以 b ∈ Q。
所以，x = a + (b)√3i 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x ∈ S。
并且 x + (x) = (a+b√3i) + (ab√3i) = (aa) + (bb)√3i = 0 + 0√3i = 0。
加法逆元存在。
乘法逆元:
对于 S 中任意非零元素 x = a+b√3i。我们已经证明了 x 的乘法逆元 x⁻¹ = 1/x 是存在的并且在 S 中（只要分母不为零）。
我们需要明确的是，x 的形式是 a+b√3i。
它的乘法逆元是 1/x = 1/(a+b√3i)。
我们上面在验证除法时已经计算过，对于 y = a₂ + b₂√3i ≠ 0，1/y = 1/(a₂ + b₂√3i) = [a₂ / (a₂² + 3b₂²)] + [(b₂) / (a₂² + 3b₂²)]√3i。
由于 a₂, b₂ ∈ Q 且 a₂² + 3b₂² ≠ 0，所以 a₂ / (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 (b₂) / (a₂² + 3b₂²) ∈ Q。
因此，1/x 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，即 1/x ∈ S。
乘法逆元存在。
结论
通过上述逐一验证，S 集合：
1. 对于加法、减法、乘法运算是封闭的。
2. 对于非零除法运算也是封闭的。
3. 包含加法单位元 0 和乘法单位元 1。
4. 其中的每个元素都有加法逆元，每个非零元素都有乘法逆元。
所以，S = {a+b√3i | a∈Q, b∈Q} 是一个数域。
这个数域可以看作是复数域 C 的一个子域，并且它还可以看作是 Q 上的一个二次扩域，形如 Q(√3)。它的结构和我们熟悉的数域非常相似，只是虚部系数带了一个 √3。
数域的定义
一个非空集合 K，如果满足以下条件，就被称为一个数域：
1. 封闭性: 对于 K 中的任意两个元素 x 和 y，它们的和 (x+y)，差 (xy)，积 (xy) 都在 K 中。
2. 非零除法: 对于 K 中任意两个元素 x 和 y，如果 y 不等于 0，那么它们的商 (x/y) 也在 K 中。
3. 存在单位元: 存在两个不同的元素，一个叫加法单位元 (通常是 0)，对于 K 中的任意元素 x，都有 x + 0 = x；另一个叫乘法单位元 (通常是 1)，对于 K 中的任意元素 x，都有 x 1 = x。
4. 加法逆元和乘法逆元: 对于 K 中的任意元素 x，都存在一个元素 x 使得 x + (x) = 0 (加法逆元)；对于 K 中的任意非零元素 x，都存在一个元素 x⁻¹ 使得 x x⁻¹ = 1 (乘法逆元)。
简单来说，一个数域就是我们熟悉的实数域、复数域那样的“数学结构”，里面的数可以进行加减乘除（除了除以零），而且这些运算的结果不会“跑出去”。
我们来检验 S 这个集合
S 集合里的元素是形如 a+b√3i 的数，其中 a 和 b 都是有理数 (Q)。这些数看起来有点像复数，但虚部多了一个 √3 的系数。
让我们逐一验证 S 是否满足数域的条件：
1. 封闭性
这是最关键的一步。我们需要证明，取 S 中任意两个数，进行加法、减法、乘法运算后，结果仍然在 S 里。
加法:
设 x = a₁ + b₁√3i ∈ S，y = a₂ + b₂√3i ∈ S，其中 a₁, b₁, a₂, b₂ ∈ Q。
x + y = (a₁ + b₁√3i) + (a₂ + b₂√3i)
x + y = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)√3i
因为 a₁ 和 a₂ 是有理数，它们的和 (a₁ + a₂) 也是有理数。
同理，b₁ 和 b₂ 是有理数，它们的和 (b₁ + b₂) 也是有理数。
所以，x + y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x + y ∈ S。
加法封闭性满足。
减法:
x y = (a₁ + b₁√3i) (a₂ + b₂√3i)
x y = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)√3i
同样，(a₁ a₂) ∈ Q 且 (b₁ b₂) ∈ Q。
所以，x y ∈ S。
减法封闭性满足。
乘法:
x y = (a₁ + b₁√3i) (a₂ + b₂√3i)
x y = a₁a₂ + a₁b₂√3i + b₁a₂√3i + b₁b₂(√3i)²
我们知道 (√3i)² = (√3)² i² = 3 (1) = 3。
所以，x y = a₁a₂ + (a₁b₂ + b₁a₂)√3i 3b₁b₂
x y = (a₁a₂ 3b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)√3i
现在来看实部 (a₁a₂ 3b₁b₂)。因为 a₁, a₂, b₁, b₂ 都是有理数，有理数的乘法和减法运算结果仍然是有理数。所以 (a₁a₂ 3b₁b₂) ∈ Q。
再看虚部 (a₁b₂ + b₁a₂)。同样，有理数的乘法和加法运算结果仍然是有理数。所以 (a₁b₂ + b₁a₂) ∈ Q。
因此，x y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x y ∈ S。
乘法封闭性满足。
到目前为止，S 在加法、减法、乘法下都是封闭的。
2. 非零除法
设 x = a₁ + b₁√3i ∈ S，y = a₂ + b₂√3i ∈ S，且 y ≠ 0。
y ≠ 0 意味着 a₂ 和 b₂ 不能同时为零。
我们要计算 x/y：
x/y = (a₁ + b₁√3i) / (a₂ + b₂√3i)
为了计算这个商，我们通常会将分母乘以它的共轭复数来“实数化”。但这里的数不是标准的复数形式，它的“虚部”是 b√3i。如果直接类比复数，我们可以考虑乘以 (a₂ b₂√3i)。
x/y = [(a₁ + b₁√3i) (a₂ b₂√3i)] / [(a₂ + b₂√3i) (a₂ b₂√3i)]
分母：
(a₂ + b₂√3i) (a₂ b₂√3i) = a₂² (b₂√3i)²
= a₂² (b₂² (√3)² i²)
= a₂² (b₂² 3 (1))
= a₂² + 3b₂²
因为 a₂, b₂ ∈ Q，所以 a₂² ∈ Q 且 b₂² ∈ Q，从而 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q。
关键是，因为 y ≠ 0，所以 a₂ 和 b₂ 不能同时为零。如果 a₂ = 0，则 b₂ ≠ 0，此时分母是 3b₂² ≠ 0。如果 b₂ = 0，则 a₂ ≠ 0，此时分母是 a₂² ≠ 0。所以分母 (a₂² + 3b₂²) 必然是一个不为零的有理数。
分子：
(a₁ + b₁√3i) (a₂ b₂√3i) = a₁a₂ a₁b₂√3i + b₁a₂√3i b₁b₂(√3i)²
= a₁a₂ a₁b₂√3i + b₁a₂√3i 3b₁b₂(1)
= a₁a₂ + 3b₁b₂ + (b₁a₂ a₁b₂)√3i
所以，
x/y = [(a₁a₂ + 3b₁b₂) + (b₁a₂ a₁b₂)√3i] / (a₂² + 3b₂²)
x/y = [(a₁a₂ + 3b₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)] + [(b₁a₂ a₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)]√3i
现在我们来看 x/y 的实部和虚部系数：
实部系数：(a₁a₂ + 3b₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)
虚部系数：(b₁a₂ a₁b₂) / (a₂² + 3b₂²)
因为 a₁, b₁, a₂, b₂ 都是有理数，并且 (a₂² + 3b₂²) 是一个不为零的有理数，所以根据有理数的除法性质，这两个系数都是有理数。
例如，(a₁a₂ + 3b₁b₂) ∈ Q 且 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 ≠ 0，所以它们的商也在 Q 中。
同理，(b₁a₂ a₁b₂) ∈ Q 且 (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 ≠ 0，所以它们的商也在 Q 中。
因此，x/y 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x/y ∈ S。
非零除法满足。
3. 存在单位元
加法单位元: 集合 S 中是否包含 0？
我们可以取 a=0, b=0。0 + 0√3i = 0。因为 0 是有理数，所以 0 ∈ S。
对于 S 中任意元素 x = a+b√3i，有 x + 0 = (a+b√3i) + 0 = a+b√3i = x。
加法单位元存在且是 0。
乘法单位元: 集合 S 中是否包含 1？
我们可以取 a=1, b=0。1 + 0√3i = 1。因为 1 是有理数，所以 1 ∈ S。
对于 S 中任意元素 x = a+b√3i，有 x 1 = (a+b√3i) 1 = a+b√3i = x。
乘法单位元存在且是 1。
同时，0 和 1 是不同的元素，满足数域的要求。
4. 加法逆元和乘法逆元
加法逆元:
对于 S 中的任意元素 x = a+b√3i，我们知道 a, b ∈ Q。
考虑元素 x = a b√3i。
因为 a ∈ Q，所以 a ∈ Q。因为 b ∈ Q，所以 b ∈ Q。
所以，x = a + (b)√3i 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，这意味着 x ∈ S。
并且 x + (x) = (a+b√3i) + (ab√3i) = (aa) + (bb)√3i = 0 + 0√3i = 0。
加法逆元存在。
乘法逆元:
对于 S 中任意非零元素 x = a+b√3i。我们已经证明了 x 的乘法逆元 x⁻¹ = 1/x 是存在的并且在 S 中（只要分母不为零）。
我们需要明确的是，x 的形式是 a+b√3i。
它的乘法逆元是 1/x = 1/(a+b√3i)。
我们上面在验证除法时已经计算过，对于 y = a₂ + b₂√3i ≠ 0，1/y = 1/(a₂ + b₂√3i) = [a₂ / (a₂² + 3b₂²)] + [(b₂) / (a₂² + 3b₂²)]√3i。
由于 a₂, b₂ ∈ Q 且 a₂² + 3b₂² ≠ 0，所以 a₂ / (a₂² + 3b₂²) ∈ Q 且 (b₂) / (a₂² + 3b₂²) ∈ Q。
因此，1/x 的形式是 (有理数) + (有理数)√3i，即 1/x ∈ S。
乘法逆元存在。
结论
通过上述逐一验证，S 集合：
1. 对于加法、减法、乘法运算是封闭的。
2. 对于非零除法运算也是封闭的。
3. 包含加法单位元 0 和乘法单位元 1。
4. 其中的每个元素都有加法逆元，每个非零元素都有乘法逆元。
所以，S = {a+b√3i | a∈Q, b∈Q} 是一个数域。
这个数域可以看作是复数域 C 的一个子域，并且它还可以看作是 Q 上的一个二次扩域，形如 Q(√3)。它的结构和我们熟悉的数域非常相似，只是虚部系数带了一个 √3。
网友意见
因为 。
最后一步是因为 ，而 是 ，所以素元生成了极大理想。
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