请问一条满足: 法向量和法向量二阶导数平行的空间曲线是什么曲线？

好的，咱们来聊聊这个有趣的几何问题。你问的是什么空间曲线，它自身的法向量和法向量的二阶导数能“平行”？这听起来有点绕，但拆解开来，我们就能找到答案。

首先，咱们得明确一下“法向量”和“法向量的二阶导数”指的是什么。

什么是法向量？

在曲线论里，我们通常用单位切向量 $mathbf{t}(s)$ 来描述曲线的方向，这里的 $s$ 是弧长参数。单位切向量表示了曲线在某个点上朝哪个方向“前进”。

然后，对于一个光滑的空间曲线，在曲率不为零的点，我们还能定义一个单位主法向量 $mathbf{n}(s)$。这个向量的方向指向曲线弯曲的“内侧”。可以这样理解：如果你沿着曲线前进，主法向量就是你看向弯曲方向的那个方向。

数学上，单位主法向量 $mathbf{n}(s)$ 是单位切向量 $mathbf{t}(s)$ 对弧长 $s$ 求导后，进行单位化得到的结果（当然，前提是求导结果不为零向量，也就是曲率不为零）：

$mathbf{n}(s) = frac{mathbf{t}'(s)}{||mathbf{t}'(s)||}$

其中 $||mathbf{t}'(s)|| = kappa(s)$ 就是曲线在参数 $s$ 处的曲率。

那么，法向量的“二阶导数”是什么？

你提到的“法向量的二阶导数”，在通常的曲线几何描述中，指的是单位主法向量 $mathbf{n}(s)$ 本身对弧长 $s$ 求导。也就是说，我们关心的是 $mathbf{n}'(s)$ 这个向量。

这个 $mathbf{n}'(s)$ 向量有什么意义呢？它是描述主法向量方向变化率的向量。主法向量 $mathbf{n}(s)$ 描绘了曲线的弯曲方向，那么 $mathbf{n}'(s)$ 就告诉你这个弯曲方向本身是如何变化的。

核心问题：$mathbf{n}(s)$ 和 $mathbf{n}'(s)$ 平行

现在我们回到你的问题：一条空间曲线，它的单位主法向量 $mathbf{n}(s)$ 和 $mathbf{n}'(s)$ 是平行的。

“平行”在向量意义上，意味着一个向量是另一个向量的标量倍数。所以，我们要在找的曲线满足的条件是：

$mathbf{n}'(s) = c cdot mathbf{n}(s)$

对于某个常数 $c$。

让我们来推导一下

我们知道 $mathbf{n}(s) = frac{mathbf{t}'(s)}{kappa(s)}$。
为了计算 $mathbf{n}'(s)$，我们可以对 $mathbf{n}(s)$ 进行求导：

$mathbf{n}'(s) = frac{d}{ds} left( frac{mathbf{t}'(s)}{kappa(s)} ight)$

使用求导法则（特别是商法则）：

$mathbf{n}'(s) = frac{mathbf{t}''(s) kappa(s) mathbf{t}'(s) kappa'(s)}{kappa(s)^2}$

根据弗雷奈公式 (FrenetSerret formulas)，我们知道：
1. $mathbf{t}'(s) = kappa(s) mathbf{n}(s)$
2. $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)$，其中 $ au(s)$ 是挠率，$mathbf{b}(s)$ 是单位副法向量 ($mathbf{b} = mathbf{t} imes mathbf{n}$)。

将第一个弗雷奈公式代入上面对 $mathbf{n}'(s)$ 的推导：

$mathbf{n}'(s) = frac{mathbf{t}''(s) kappa(s) (kappa(s) mathbf{n}(s)) kappa'(s)}{kappa(s)^2}$
$mathbf{n}'(s) = frac{mathbf{t}''(s) kappa(s)}{kappa(s)^2} frac{kappa(s) mathbf{n}(s) kappa'(s)}{kappa(s)^2}$
$mathbf{n}'(s) = frac{mathbf{t}''(s)}{kappa(s)} frac{kappa'(s)}{kappa(s)} mathbf{n}(s)$

现在，我们把 $mathbf{t}''(s)$ 也用弗雷奈公式表示出来。我们知道 $mathbf{t}'(s) = kappa(s) mathbf{n}(s)$。对两边求导：

$mathbf{t}''(s) = kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) mathbf{n}'(s)$
再代入 $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)$:
$mathbf{t}''(s) = kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) (kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s))$
$mathbf{t}''(s) = kappa(s)^2 mathbf{t}(s) + kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) au(s) mathbf{b}(s)$

把这个 $mathbf{t}''(s)$ 代入我们之前推导的 $mathbf{n}'(s)$ 式子：

$mathbf{n}'(s) = frac{1}{kappa(s)} [kappa(s)^2 mathbf{t}(s) + kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) au(s) mathbf{b}(s)] frac{kappa'(s)}{kappa(s)} mathbf{n}(s)$
$mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + frac{kappa'(s)}{kappa(s)} mathbf{n}(s) + au(s) mathbf{b}(s) frac{kappa'(s)}{kappa(s)} mathbf{n}(s)$
$mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)$

这又回到了第二个弗雷奈公式，说明我们的推导没问题。

回到平行条件

我们的目标是 $mathbf{n}'(s) = c cdot mathbf{n}(s)$，其中 $c$ 是常数。
我们得到 $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)$。

所以，要让 $mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 平行，必须满足：

$kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s) = c cdot mathbf{n}(s)$

请注意，$mathbf{t}(s)$、$mathbf{n}(s)$、$mathbf{b}(s)$ 是相互正交的单位向量（构成了弗雷奈标架）。
在一个相互正交的基底下，一个向量只能通过该基底的相应分量来表示。
因此，要使等式成立，$mathbf{t}(s)$ 和 $mathbf{b}(s)$ 的系数必须是零。

1. $kappa(s) = 0$
2. $ au(s) = 0$

但是，我们之前说了，主法向量 $mathbf{n}(s)$ 是在曲率不为零 ($kappa(s) eq 0$) 的点定义的。所以，第一个条件 $kappa(s) = 0$ 与 $kappa(s) eq 0$ 矛盾。

这意味着什么呢？

这说明，如果我们严格按照“单位主法向量 $mathbf{n}(s)$”的定义，不存在一条曲线使得 $mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 始终平行（当曲率不为零时）。

重新审视问题：是否理解有偏差？

也许，你说的“法向量”并不是特指“单位主法向量”，或者“平行”的含义略有不同？

让我们假设，“法向量”可能指的是法平面的法向量。但空间曲线通常只有一个法平面（在曲率不为零处），其法向量就是单位主法向量。

另一种可能性是，你指的是曲率向量。曲率向量 $mathbf{k}(s)$ 的定义是 $mathbf{k}(s) = kappa(s) mathbf{n}(s)$。
那么， $mathbf{k}'(s) = kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) mathbf{n}'(s)$。
如果 $mathbf{k}(s)$ 和 $mathbf{k}'(s)$ 平行， $mathbf{k}'(s) = c mathbf{k}(s)$。
$kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) mathbf{n}'(s) = c kappa(s) mathbf{n}(s)$。
$kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) (kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)) = c kappa(s) mathbf{n}(s)$。
$kappa(s)^2 mathbf{t}(s) + (kappa'(s) c kappa(s)) mathbf{n}(s) + kappa(s) au(s) mathbf{b}(s) = mathbf{0}$。
这依然要求 $kappa(s)^2 = 0$ 和 $kappa(s) au(s) = 0$，从而 $kappa(s) = 0$，这又回到了退化的情况。

也许问题在于“二阶导数”的定义？

一种可能性是，你指的是某种与法向量相关的向量的二阶导数。

让我们考虑一个稍微不同的角度。如果我们关注的是曲线自身的几何性质，那么“法向量”和“法向量的二阶导数”的平行性，最终会限制曲线的形状。

排除曲线本身平坦的情况

首先，如果曲线是在一个平面上的，那么它的挠率 $ au(s)$ 恒为零。
在平面曲线的情况下，$mathbf{b}(s)$ 向量是恒为零（或者说，它总是垂直于平面）。
弗雷奈公式在平面曲线上的简化是：
$mathbf{t}'(s) = kappa(s) mathbf{n}(s)$
$mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s)$

在这种情况下，$mathbf{n}'(s)$ 总是平行于 $mathbf{t}(s)$（因为 $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s)$）。
那么，如果你的“法向量”指的是 $mathbf{n}(s)$，而“法向量的二阶导数”指的是 $mathbf{n}'(s)$，那么所有平面曲线都满足 $mathbf{n}'(s)$ 平行于 $mathbf{t}(s)$。

但是，你问的是“法向量 $mathbf{n}(s)$ 和法向量二阶导数 $mathbf{n}'(s)$ 平行”。
也就是 $mathbf{n}'(s) = c mathbf{n}(s)$。
对于平面曲线，我们有 $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s)$。
所以，我们要求 $kappa(s) mathbf{t}(s) = c mathbf{n}(s)$。
因为 $mathbf{t}(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 是正交的，并且都是非零向量（除非曲率是零），要让这个等式成立，必须 $kappa(s) = 0$ 并且 $c mathbf{n}(s) = mathbf{0}$。
$kappa(s) = 0$ 意味着曲线是直线，直线没有唯一的“法向量”定义。

让我们再回到空间曲线，并假设“法向量”的定义有某种灵活性。

假设你说的“法向量”指的是一个随曲线运动的，且始终垂直于切向量的向量场 $mathbf{v}(s)$，并且 $mathbf{v}(s)$ 是单位向量。
那么 $mathbf{v}(s) cdot mathbf{t}(s) = 0$。
对这个等式两边求导：
$mathbf{v}'(s) cdot mathbf{t}(s) + mathbf{v}(s) cdot mathbf{t}'(s) = 0$
$mathbf{v}'(s) cdot mathbf{t}(s) + mathbf{v}(s) cdot (kappa(s) mathbf{n}(s)) = 0$
$mathbf{v}'(s) cdot mathbf{t}(s) + kappa(s) (mathbf{v}(s) cdot mathbf{n}(s)) = 0$

如果 $mathbf{v}(s)$ 是单位主法向量 $mathbf{n}(s)$，那么 $mathbf{n}(s) cdot mathbf{n}(s) = 1$，求导得到 $2 mathbf{n}(s) cdot mathbf{n}'(s) = 0$，所以 $mathbf{n}'(s)$ 垂直于 $mathbf{n}(s)$。
这意味着 $mathbf{n}'(s)$ 永远不可能平行于 $mathbf{n}(s)$ （除非 $mathbf{n}'(s)$ 是零向量，但这需要 $kappa(s)$ 为常数且 $ au(s)=0$，而且 $mathbf{n}'(s)$ 还是零向量，这是非常特殊的情况）。

这是一个关键点：
对于单位向量 $mathbf{u}(s)$，其导数 $mathbf{u}'(s)$ 总是垂直于 $mathbf{u}(s)$。
因为 $||mathbf{u}(s)||^2 = 1$。
对它求导：$2 mathbf{u}(s) cdot mathbf{u}'(s) = 0$。
所以，$mathbf{u}'(s) perp mathbf{u}(s)$。

所以，如果“法向量”是指单位主法向量 $mathbf{n}(s)$，那么 $mathbf{n}'(s)$ 永远垂直于 $mathbf{n}(s)$。
那么，$mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 只能在两种情况下“平行”：
1. $mathbf{n}'(s) = mathbf{0}$ 且 $mathbf{n}(s) eq mathbf{0}$：这要求 $kappa(s)$ 是常数，且 $ au(s)=0$（使得 $mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s)$）。如果 $mathbf{n}'(s) = mathbf{0}$，则 $kappa(s) mathbf{t}(s) = mathbf{0}$。由于 $mathbf{t}(s)$ 是单位向量，这要求 $kappa(s) = 0$。但 $kappa(s)=0$ 意味着曲线是直线，这又回到了退化情况，且此时没有定义主法向量。
2. $mathbf{n}(s) = mathbf{0}$：这不可能，因为 $mathbf{n}(s)$ 是单位向量。

所以，从数学严格定义出发，没有一条空间曲线能满足“单位主法向量 $mathbf{n}(s)$ 和它的导数 $mathbf{n}'(s)$ 平行”这个条件，除非是退化情况（例如直线，但直线本身没有明确的主法向量）。

那么，什么情况最接近你的描述？

让我们反过来思考，如果 $mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 是平行的，那么 $mathbf{n}'(s) = c mathbf{n}(s)$。
如前所述，这意味着 $mathbf{n}'(s)$ 必须平行于 $mathbf{n}(s)$。
但我们知道 $mathbf{n}'(s)$ 垂直于 $mathbf{n}(s)$。
所以，唯一的可能就是 $mathbf{n}'(s) = mathbf{0}$，并且 $mathbf{n}(s)$ 是非零的。
如前所述，$mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)$。
若 $mathbf{n}'(s) = mathbf{0}$，则 $kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s) = mathbf{0}$。
因为 $mathbf{t}(s)$ 和 $mathbf{b}(s)$ 是正交的非零向量，这要求 $kappa(s) = 0$ 且 $ au(s) = 0$。
$kappa(s) = 0$ 意味着曲线是直线，在直线的情况下，曲率和挠率都是零，弗雷奈框架无法定义，因此主法向量也没有定义。

结论：问题的可能含义或特殊情况

如果我们要给出一个“答案”，那可能是因为问题本身的表述或者我们对“法向量”的理解有一些约定俗成的“宽松”。

最符合“法向量和法向量二阶导数平行”且非退化的情况，可能指向的是某种平面曲线，并且是将“法向量”理解为指向曲线中心的那个径向向量，或者在某种特殊的参数化下。

但是，严格按照弗雷奈塞雷公式和单位主法向量的定义，这样的空间曲线不存在。

让我们换个角度，考虑一个更直观的几何形状：螺旋线

考虑一个标准的螺旋线，参数化为：
$mathbf{r}(t) = (a cos(t), a sin(t), bt)$
其中 $a > 0$ 是半径，$b$ 是高度。

计算其弗雷奈框架：
$mathbf{r}'(t) = (a sin(t), a cos(t), b)$
$||mathbf{r}'(t)|| = sqrt{a^2 sin^2(t) + a^2 cos^2(t) + b^2} = sqrt{a^2 + b^2}$
设 $L = sqrt{a^2 + b^2}$，这是一个常数。

$mathbf{t}(s) = frac{mathbf{r}'(s)}{L} = frac{1}{L}(a sin(t), a cos(t), b)$ （假设 $s$ 是弧长，但这里直接用 $t$ 也可以，因为 $L$ 是常数）

$mathbf{t}'(t) = frac{1}{L}(a cos(t), a sin(t), 0)$
曲率 $kappa(t) = ||mathbf{t}'(t)|| = frac{1}{L} sqrt{a^2 cos^2(t) + a^2 sin^2(t)} = frac{a}{L}$ （曲率是常数）

$mathbf{n}(t) = frac{mathbf{t}'(t)}{kappa(t)} = frac{1}{L} (a cos(t), a sin(t), 0) cdot frac{L}{a}$
$mathbf{n}(t) = (cos(t), sin(t), 0)$

现在，计算 $mathbf{n}'(t)$:
$mathbf{n}'(t) = (sin(t), cos(t), 0)$

现在我们要看 $mathbf{n}(t)$ 和 $mathbf{n}'(t)$ 是否平行。
$mathbf{n}(t) = (cos(t), sin(t), 0)$
$mathbf{n}'(t) = (sin(t), cos(t), 0)$

它们是平行的，当且仅当 $mathbf{n}'(t) = c cdot mathbf{n}(t)$。
$(sin(t), cos(t), 0) = c cdot (cos(t), sin(t), 0)$
这就要求：
1. $sin(t) = c cos(t)$
2. $cos(t) = c sin(t)$

从第一个式子，如果 $cos(t) eq 0$，则 $c = frac{sin(t)}{cos(t)} = an(t)$。
代入第二个式子：$cos(t) = ( an(t)) sin(t) = an(t) sin(t)$。
$cos(t) = frac{sin(t)}{cos(t)} sin(t) = frac{sin^2(t)}{cos(t)}$
$cos^2(t) = sin^2(t)$
$sin^2(t) + cos^2(t) = 0$
$1 = 0$

这是不可能的。

所以，即使是螺旋线，单位主法向量 $mathbf{n}(t)$ 和它的导数 $mathbf{n}'(t)$ 也不平行。

那么，什么情况下 $mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 会“有某种关系”？

如果问题是问，是否存在一个向量场 $mathbf{v}(s)$ 沿曲线运动，它总是垂直于切向量 $mathbf{t}(s)$，并且 $mathbf{v}'(s)$ 平行于 $mathbf{v}(s)$？
这意味着 $mathbf{v}(s)$ 是单位向量，且 $mathbf{v}'(s) = c mathbf{v}(s)$。
如前所述，单位向量的导数总是垂直于自身，所以 $mathbf{v}'(s) perp mathbf{v}(s)$。
要使 $mathbf{v}'(s)$ 平行于 $mathbf{v}(s)$，唯一的可能就是 $mathbf{v}'(s) = mathbf{0}$。
这又会导致 $mathbf{v}(s)$ 是一个常向量，但常向量的导数是零向量。如果 $mathbf{v}(s)$ 是常向量，它不随 $s$ 变化，那么它与曲线的运动方向 $mathbf{t}(s)$ 的关系也会改变，除非 $mathbf{t}(s)$ 也是常向量（直线）。

思考一下“平行”的更广义的理解：

会不会是问题的表述中，省略了某些前提？例如：
“法向量”是否可以理解为一个包含在法平面内的向量？
“法向量的二阶导数”是否指某个固定方向的向量的二阶导数？

让我们尝试一个非常规的解释：

如果“法向量”不是指单位主法向量，而是指曲率向量 $mathbf{k}(s) = kappa(s) mathbf{n}(s)$。
那么“法向量的二阶导数”可能是指 $mathbf{k}'(s)$。
问题就是 $mathbf{k}'(s)$ 和 $mathbf{k}(s)$ 平行。
$mathbf{k}'(s) = c mathbf{k}(s)$
$kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) mathbf{n}'(s) = c kappa(s) mathbf{n}(s)$
$kappa'(s) mathbf{n}(s) + kappa(s) (kappa(s) mathbf{t}(s) + au(s) mathbf{b}(s)) = c kappa(s) mathbf{n}(s)$
$kappa(s)^2 mathbf{t}(s) + (kappa'(s) c kappa(s)) mathbf{n}(s) + kappa(s) au(s) mathbf{b}(s) = mathbf{0}$

要让这个等式成立，必须：
1. $kappa(s)^2 = 0 implies kappa(s) = 0$ (退化)
2. $kappa(s) au(s) = 0$
3. $kappa'(s) c kappa(s) = 0$

如果 $kappa(s) eq 0$，那么第一项 $kappa(s)^2$ 就不为零，所以 $mathbf{t}(s)$ 的系数不为零，无法和零向量相等。

回到原点：

以标准定义来说，问题描述的条件是不可能实现的，除非曲线退化成直线。

那么，是什么样的曲线，才能“显得”是这样的？

最接近的，可能是那些 曲率变化平缓 的曲线，或者 挠率很小 的曲线。

平面曲线：挠率 $ au=0$，$mathbf{n}'(s) = kappa(s) mathbf{t}(s)$。 $mathbf{n}'(s)$ 始终与 $mathbf{t}(s)$ 平行。如果要求 $mathbf{n}'(s)$ 和 $mathbf{n}(s)$ 平行，那还是需要 $kappa(s) = 0$。

如果“法向量”不是单位向量，而是某个固定的、垂直于切向量的向量？
比如，我们定义一个向量场 $mathbf{u}(s)$，使得 $mathbf{u}(s) cdot mathbf{t}(s) = 0$ 且 $||mathbf{u}(s)||$ 是一个常数（比如说1，那就是单位主法向量）。
如果 $mathbf{u}(s)$ 的定义不严格绑定在弗雷奈框架上，而是某种“人为指定”的法向量。

想象一下：

一条曲线，它的“法向量”一直在往一个固定的方向指，而这个“法向量”本身的变化率也恰好沿着这个固定方向。
但是，一个单位向量的导数总是垂直于自身。所以，导数不可能是它本身的常数倍，除非导数为零。

最终的可能性：

1. 问题中的“法向量”可能不是指标准的单位主法向量 $mathbf{n}(s)$。
2. 问题可能是指在非常特殊的、退化的情况下（例如直线），但通常我们讨论空间曲线时会排除直线。
3. 是否存在一种非标准但几何上合理的“法向量”定义，使得导数能够平行？

一个猜想：

如果“法向量”和“法向量的二阶导数”都指同一个方向。
已知 $mathbf{n}'(s)$ 垂直于 $mathbf{n}(s)$。
所以，它们要平行，唯一的可能就是都是零向量。
$mathbf{n}'(s) = mathbf{0}$ 且 $mathbf{n}(s) eq mathbf{0}$。
这意味着 $mathbf{n}'(s) = kappa(s)mathbf{t}(s) + au(s)mathbf{b}(s) = mathbf{0}$。
这需要 $kappa(s)=0$ 且 $ au(s)=0$。
这恰恰是直线的特征。

结论：

按照空间曲线的规范几何定义（弗雷奈框架），不存在满足“单位主法向量 $mathbf{n}(s)$ 和它的导数 $mathbf{n}'(s)$ 平行”的非退化空间曲线。

如果一定要找一个“最接近”的答案，那可能是需要重新解释“法向量”或者“平行”的含义。但在标准意义上，答案是否定的。

或许，这更像是一个“陷阱题”，旨在考察对单位向量导数性质的理解。

列方程

设空间正则曲线的位置向量 ，其中 为弧长参数. 单位切向量 满足 ，于是 是曲线（曲率）法向量.

由题目条件 ，设 ，其中 . 代入，得方程组：

此为 方程，做代换 得到一阶非线性微分方程：

求解

我们看几个特殊情况.

• 
  
  此时解得
  
  
  
• 
  
  
  
  
  
  
  
  

更一般的情况的解就很凶残了，略.

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我这个考虑的情况是曲率法向量。如果是单位法向量，用 Frenet 标架算就很容易，另一个答主写得很好了。我一开始原本也是这么写的，但后来觉得题主没有要求非得是单位法向量，然后就想“偷懒”，结果更麻烦了……