Γ(x+1)在x=0处如何泰勒展开？
要对 Γ(x+1) 在 x=0 处进行泰勒展开，我们需要计算函数在其展开点（在这里是 x=0）及其各阶导数的值。Γ(x+1) 就是我们熟悉的阶乘函数，但它被推广到了实数和复数域。它的定义是：
Γ(z) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t^(z1) e⁻ᵗ dt
那么 Γ(x+1) 就是：
Γ(x+1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt
我们知道 Γ(n+1) = n! 对于非负整数 n。所以，Γ(x+1) 在整数点上的值是阶乘，例如 Γ(1)=0!=1, Γ(2)=1!=1, Γ(3)=2!=2。
泰勒展开的公式
对于一个函数 f(x) 在点 a 处的泰勒展开是：
f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + f''(a)/2! (xa)² + f'''(a)/3! (xa)³ + ...
我们的函数是 Γ(x+1)，展开点是 a=0。所以公式变成：
Γ(x+1) = Γ(0+1) + Γ'(0+1)x + Γ''(0+1)/2! x² + Γ'''(0+1)/3! x³ + ...
Γ(x+1) = Γ(1) + Γ'(1)x + Γ''(1)/2! x² + Γ'''(1)/3! x³ + ...
计算各阶导数在 x=0 处的值
1. 零阶导数（函数值本身）：
我们知道 Γ(z+1) = zΓ(z)。
令 z=1，我们得到 Γ(1+1) = Γ(2) = 1Γ(1)。
由于 Γ(1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t¹⁻¹ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> e⁻ᵗ dt = [e⁻ᵗ]₀<0xE2><0x88><0x9E> = 0 (1) = 1。
所以，Γ(1) = 1。
因此，Γ(0+1) = Γ(1) = 1。
2. 一阶导数：
我们需要计算 Γ'(z+1) 在 z=0 的值，也就是 Γ'(1)。
我们使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 这个关系，对其两边关于 z 求导。
(Γ(z+1))' = (zΓ(z))'
Γ'(z+1) = 1·Γ(z) + zΓ'(z)
现在令 z=0：
Γ'(0+1) = Γ(1) + 0·Γ'(0)
Γ'(1) = Γ(1)
我们已经知道 Γ(1) = 1，所以 Γ'(1) = 1。
3. 二阶导数：
我们需要计算 Γ''(z+1) 在 z=0 的值，也就是 Γ''(1)。
我们从上一级的导数关系式开始：Γ'(z+1) = Γ(z) + zΓ'(z)。
再对两边关于 z 求导：
(Γ'(z+1))' = (Γ(z) + zΓ'(z))'
Γ''(z+1) = Γ'(z) + (1·Γ'(z) + zΓ''(z))
Γ''(z+1) = Γ'(z) + Γ'(z) + zΓ''(z)
Γ''(z+1) = 2Γ'(z) + zΓ''(z)
令 z=0：
Γ''(0+1) = 2Γ'(0) + 0·Γ''(0)
Γ''(1) = 2Γ'(0)
但是，我们在这里遇到了一个问题：Γ'(0) 的值。Γ'(z) 涉及到复伽马函数，而 Γ'(z) 在 z=0 处是发散的（或者说，它的泰勒展开在 0 处有一个极点）。我们通常用黎曼的 Gamma 函数定义来处理。更常用的做法是引入 ディガンマ函数 (digamma function)，记作 ψ(z)，它是 Γ'(z) / Γ(z) 的导数。
ψ(z) = Γ'(z) / Γ(z)
所以，Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
我们重新来计算导数，利用 ψ(z)。
Γ(z+1) = zΓ(z)
两边取对数：
ln(Γ(z+1)) = ln(z) + ln(Γ(z))
两边关于 z 求导：
Γ'(z+1)/Γ(z+1) = 1/z + Γ'(z)/Γ(z)
ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)
我们已知 ψ(1) = γ，其中 γ 是欧拉马斯刻罗尼常数 (γ ≈ 0.57721)。
利用 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)，令 z=1：
ψ(2) = 1/1 + ψ(1) = 1 γ。
现在回到 Γ'(z) 的计算。
Γ'(z+1) = Γ(z+1)ψ(z+1)
令 z=0：
Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) = 1 (γ) = γ。
等等，前面我计算的一阶导数似乎有误。让我们再仔细检查一下。
我们使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 关系。
令 z = x+1，那么 Γ(x+1) = xΓ(x)。
我们要在 x=0 处展开 Γ(x+1)。
Γ(x+1) 在 x=0 的值是 Γ(1) = 1。
现在计算导数。
d/dx [Γ(x+1)] = d/dx [xΓ(x)]
Γ'(x+1) = Γ(x) + xΓ'(x)
令 x=0：
Γ'(0+1) = Γ(0) + 0·Γ'(0)
Γ'(1) = Γ(0)
而 Γ(0) 是发散的。这说明我们不能直接使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 来计算 Γ'(0) 的值，因为 Γ(z) 在 z=0 处有一个极点。
正确的处理方法：
我们知道 Γ(x+1) 的定义是 ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt。
让我们直接对这个积分求导。
f(x) = Γ(x+1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt
f'(x) = d/dx [∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt]
我们可以将求导移到积分号内部（在某些条件下成立）：
f'(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (∂/∂x) [tˣ e⁻ᵗ] dt
f'(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t) e⁻ᵗ dt
f''(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (∂/∂x) [tˣ (ln t) e⁻ᵗ] dt
f''(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t)² e⁻ᵗ dt
f⁽ⁿ⁾(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t)ⁿ e⁻ᵗ dt
现在我们在 x=0 处计算这些导数的值：
f(0) = Γ(1):
f(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> e⁻ᵗ dt = [e⁻ᵗ]₀<0xE2><0x88><0x9E> = 1。
所以，f(0) = 1。
f'(0) = Γ'(1):
f'(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t) e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t) e⁻ᵗ dt
这个积分可以表示为 Γ'(1)。
我们知道 Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
所以 Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) = 1 (γ) = γ。
因此，f'(0) = γ。
f''(0) = Γ''(1):
f''(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t)² e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t)² e⁻ᵗ dt
这个积分表示 Γ''(1)。
利用 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)，我们对 ψ(z+1) 求导：
ψ'(z+1) = 1/z² + ψ'(z)
ψ'(z) 是二阶ディガンマ函数，记作 ψ₁(z)。
我们知道 ψ₁(1) = π²/6。
现在我们从 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z) 来计算 Γ''(1)。
我们知道 Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
Γ''(z) = Γ'(z)ψ(z) + Γ(z)ψ'(z)
Γ''(z) = Γ(z)ψ(z)² + Γ(z)ψ'(z)
令 z=1：
Γ''(1) = Γ(1)ψ(1)² + Γ(1)ψ'(1)
Γ''(1) = 1·(γ)² + 1·(π²/6)
Γ''(1) = γ² + π²/6。
因此，f''(0) = γ² + π²/6。
f'''(0) = Γ'''(1):
f'''(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t)³ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t)³ e⁻ᵗ dt
这个积分表示 Γ'''(1)。
我们从 Γ''(z) = Γ(z)ψ(z)² + Γ(z)ψ'(z) 求导：
Γ'''(z) = [Γ'(z)ψ(z)² + Γ(z)·2ψ(z)ψ'(z)] + [Γ'(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)]
Γ'''(z) = Γ(z)ψ(z)³ + 2Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)
Γ'''(z) = Γ(z)ψ(z)³ + 3Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)
令 z=1：
Γ'''(1) = Γ(1)ψ(1)³ + 3Γ(1)ψ(1)ψ'(1) + Γ(1)ψ''(1)
Γ'''(1) = 1·(γ)³ + 3·1·(γ)·(π²/6) + 1·ψ''(1)
Γ'''(1) = γ³ γπ²/2 + ψ''(1)
这里的 ψ''(z) 是三阶ディガンマ函数。我们需要知道 ψ''(1) 的值。
ψ''(1) = 2ζ(3)，其中 ζ(3) 是阿培里常数 (ζ(3) ≈ 1.2020569)。
所以，Γ'''(1) = γ³ γπ²/2 2ζ(3)。
因此，f'''(0) = γ³ γπ²/2 2ζ(3)。
将这些值代入泰勒展开公式：
Γ(x+1) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2! x² + f'''(0)/3! x³ + ...
Γ(x+1) = 1 + (γ)x + (γ² + π²/6)/2! x² + (γ³ γπ²/2 2ζ(3))/3! x³ + ...
Γ(x+1) = 1 γx + (γ²/2 + π²/12)x² + (γ³/6 γπ²/12 ζ(3)/3)x³ + ...
更简洁的表示
我们也可以利用 Gamma 函数与其倒数导数的关系来表示。
考虑 ζ(s, q) 是赫尔曼塔普拉纳函数 (Hurwitz zeta function)，它在 s=0 处的导数与上面涉及的常数有关。
更常见的一种表示方式是利用 Gamma 函数的级数展开式，其中会包含 Stieltjes 常数。
Γ(x+1) 的泰勒展开在 x=0 处，其系数由 γ 和 Stieltjes 常数组成。
记 Γ(x+1) = ∑_{n=0}^{∞} a_n xⁿ。
a₀ = Γ(1) = 1
a₁ = Γ'(1) = γ
a₂ = Γ''(1) / 2! = (γ² + π²/6) / 2 = γ²/2 + π²/12
a₃ = Γ'''(1) / 3! = (γ³ γπ²/2 2ζ(3)) / 6 = γ³/6 γπ²/12 ζ(3)/3
所以，展开为：
Γ(x+1) = 1 γx + (γ²/2 + π²/12)x² (γ³/6 + γπ²/12 + ζ(3)/3)x³ + ...
这个展开式中，γ 是欧拉马斯刻罗尼常数，π 是圆周率，ζ(3) 是阿培里常数。这些常数在数学中非常重要，它们出现在数论、分析学等多个领域。
简单来说，Γ(x+1) 在 x=0 处的泰勒展开，就像是在“观察”这个广义阶乘函数在原点附近的“行为”。它告诉我们，当 x 非常接近 0 时，Γ(x+1) 的值可以通过一个多项式来近似，这个多项式由 Γ(x+1) 本身在 0 点的值以及它在 0 点各阶导数的值（这些值用上了著名的数学常数）来决定。这个展开式是理解 Γ(x+1) 函数性质的一个重要工具。
Γ(z) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t^(z1) e⁻ᵗ dt
那么 Γ(x+1) 就是：
Γ(x+1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt
我们知道 Γ(n+1) = n! 对于非负整数 n。所以，Γ(x+1) 在整数点上的值是阶乘，例如 Γ(1)=0!=1, Γ(2)=1!=1, Γ(3)=2!=2。
泰勒展开的公式
对于一个函数 f(x) 在点 a 处的泰勒展开是：
f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + f''(a)/2! (xa)² + f'''(a)/3! (xa)³ + ...
我们的函数是 Γ(x+1)，展开点是 a=0。所以公式变成：
Γ(x+1) = Γ(0+1) + Γ'(0+1)x + Γ''(0+1)/2! x² + Γ'''(0+1)/3! x³ + ...
Γ(x+1) = Γ(1) + Γ'(1)x + Γ''(1)/2! x² + Γ'''(1)/3! x³ + ...
计算各阶导数在 x=0 处的值
1. 零阶导数（函数值本身）：
我们知道 Γ(z+1) = zΓ(z)。
令 z=1，我们得到 Γ(1+1) = Γ(2) = 1Γ(1)。
由于 Γ(1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t¹⁻¹ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> e⁻ᵗ dt = [e⁻ᵗ]₀<0xE2><0x88><0x9E> = 0 (1) = 1。
所以，Γ(1) = 1。
因此，Γ(0+1) = Γ(1) = 1。
2. 一阶导数：
我们需要计算 Γ'(z+1) 在 z=0 的值，也就是 Γ'(1)。
我们使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 这个关系，对其两边关于 z 求导。
(Γ(z+1))' = (zΓ(z))'
Γ'(z+1) = 1·Γ(z) + zΓ'(z)
现在令 z=0：
Γ'(0+1) = Γ(1) + 0·Γ'(0)
Γ'(1) = Γ(1)
我们已经知道 Γ(1) = 1，所以 Γ'(1) = 1。
3. 二阶导数：
我们需要计算 Γ''(z+1) 在 z=0 的值，也就是 Γ''(1)。
我们从上一级的导数关系式开始：Γ'(z+1) = Γ(z) + zΓ'(z)。
再对两边关于 z 求导：
(Γ'(z+1))' = (Γ(z) + zΓ'(z))'
Γ''(z+1) = Γ'(z) + (1·Γ'(z) + zΓ''(z))
Γ''(z+1) = Γ'(z) + Γ'(z) + zΓ''(z)
Γ''(z+1) = 2Γ'(z) + zΓ''(z)
令 z=0：
Γ''(0+1) = 2Γ'(0) + 0·Γ''(0)
Γ''(1) = 2Γ'(0)
但是，我们在这里遇到了一个问题：Γ'(0) 的值。Γ'(z) 涉及到复伽马函数，而 Γ'(z) 在 z=0 处是发散的（或者说，它的泰勒展开在 0 处有一个极点）。我们通常用黎曼的 Gamma 函数定义来处理。更常用的做法是引入 ディガンマ函数 (digamma function)，记作 ψ(z)，它是 Γ'(z) / Γ(z) 的导数。
ψ(z) = Γ'(z) / Γ(z)
所以，Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
我们重新来计算导数，利用 ψ(z)。
Γ(z+1) = zΓ(z)
两边取对数：
ln(Γ(z+1)) = ln(z) + ln(Γ(z))
两边关于 z 求导：
Γ'(z+1)/Γ(z+1) = 1/z + Γ'(z)/Γ(z)
ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)
我们已知 ψ(1) = γ，其中 γ 是欧拉马斯刻罗尼常数 (γ ≈ 0.57721)。
利用 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)，令 z=1：
ψ(2) = 1/1 + ψ(1) = 1 γ。
现在回到 Γ'(z) 的计算。
Γ'(z+1) = Γ(z+1)ψ(z+1)
令 z=0：
Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) = 1 (γ) = γ。
等等，前面我计算的一阶导数似乎有误。让我们再仔细检查一下。
我们使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 关系。
令 z = x+1，那么 Γ(x+1) = xΓ(x)。
我们要在 x=0 处展开 Γ(x+1)。
Γ(x+1) 在 x=0 的值是 Γ(1) = 1。
现在计算导数。
d/dx [Γ(x+1)] = d/dx [xΓ(x)]
Γ'(x+1) = Γ(x) + xΓ'(x)
令 x=0：
Γ'(0+1) = Γ(0) + 0·Γ'(0)
Γ'(1) = Γ(0)
而 Γ(0) 是发散的。这说明我们不能直接使用 Γ(z+1) = zΓ(z) 来计算 Γ'(0) 的值，因为 Γ(z) 在 z=0 处有一个极点。
正确的处理方法：
我们知道 Γ(x+1) 的定义是 ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt。
让我们直接对这个积分求导。
f(x) = Γ(x+1) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt
f'(x) = d/dx [∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ e⁻ᵗ dt]
我们可以将求导移到积分号内部（在某些条件下成立）：
f'(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (∂/∂x) [tˣ e⁻ᵗ] dt
f'(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t) e⁻ᵗ dt
f''(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (∂/∂x) [tˣ (ln t) e⁻ᵗ] dt
f''(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t)² e⁻ᵗ dt
f⁽ⁿ⁾(x) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> tˣ (ln t)ⁿ e⁻ᵗ dt
现在我们在 x=0 处计算这些导数的值：
f(0) = Γ(1):
f(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> e⁻ᵗ dt = [e⁻ᵗ]₀<0xE2><0x88><0x9E> = 1。
所以，f(0) = 1。
f'(0) = Γ'(1):
f'(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t) e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t) e⁻ᵗ dt
这个积分可以表示为 Γ'(1)。
我们知道 Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
所以 Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) = 1 (γ) = γ。
因此，f'(0) = γ。
f''(0) = Γ''(1):
f''(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t)² e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t)² e⁻ᵗ dt
这个积分表示 Γ''(1)。
利用 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)，我们对 ψ(z+1) 求导：
ψ'(z+1) = 1/z² + ψ'(z)
ψ'(z) 是二阶ディガンマ函数，记作 ψ₁(z)。
我们知道 ψ₁(1) = π²/6。
现在我们从 ψ(z+1) = 1/z + ψ(z) 来计算 Γ''(1)。
我们知道 Γ'(z) = Γ(z)ψ(z)。
Γ''(z) = Γ'(z)ψ(z) + Γ(z)ψ'(z)
Γ''(z) = Γ(z)ψ(z)² + Γ(z)ψ'(z)
令 z=1：
Γ''(1) = Γ(1)ψ(1)² + Γ(1)ψ'(1)
Γ''(1) = 1·(γ)² + 1·(π²/6)
Γ''(1) = γ² + π²/6。
因此，f''(0) = γ² + π²/6。
f'''(0) = Γ'''(1):
f'''(0) = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> t⁰ (ln t)³ e⁻ᵗ dt = ∫₀<0xE2><0x88><0x9E> (ln t)³ e⁻ᵗ dt
这个积分表示 Γ'''(1)。
我们从 Γ''(z) = Γ(z)ψ(z)² + Γ(z)ψ'(z) 求导：
Γ'''(z) = [Γ'(z)ψ(z)² + Γ(z)·2ψ(z)ψ'(z)] + [Γ'(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)]
Γ'''(z) = Γ(z)ψ(z)³ + 2Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)
Γ'''(z) = Γ(z)ψ(z)³ + 3Γ(z)ψ(z)ψ'(z) + Γ(z)ψ''(z)
令 z=1：
Γ'''(1) = Γ(1)ψ(1)³ + 3Γ(1)ψ(1)ψ'(1) + Γ(1)ψ''(1)
Γ'''(1) = 1·(γ)³ + 3·1·(γ)·(π²/6) + 1·ψ''(1)
Γ'''(1) = γ³ γπ²/2 + ψ''(1)
这里的 ψ''(z) 是三阶ディガンマ函数。我们需要知道 ψ''(1) 的值。
ψ''(1) = 2ζ(3)，其中 ζ(3) 是阿培里常数 (ζ(3) ≈ 1.2020569)。
所以，Γ'''(1) = γ³ γπ²/2 2ζ(3)。
因此，f'''(0) = γ³ γπ²/2 2ζ(3)。
将这些值代入泰勒展开公式：
Γ(x+1) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2! x² + f'''(0)/3! x³ + ...
Γ(x+1) = 1 + (γ)x + (γ² + π²/6)/2! x² + (γ³ γπ²/2 2ζ(3))/3! x³ + ...
Γ(x+1) = 1 γx + (γ²/2 + π²/12)x² + (γ³/6 γπ²/12 ζ(3)/3)x³ + ...
更简洁的表示
我们也可以利用 Gamma 函数与其倒数导数的关系来表示。
考虑 ζ(s, q) 是赫尔曼塔普拉纳函数 (Hurwitz zeta function)，它在 s=0 处的导数与上面涉及的常数有关。
更常见的一种表示方式是利用 Gamma 函数的级数展开式，其中会包含 Stieltjes 常数。
Γ(x+1) 的泰勒展开在 x=0 处，其系数由 γ 和 Stieltjes 常数组成。
记 Γ(x+1) = ∑_{n=0}^{∞} a_n xⁿ。
a₀ = Γ(1) = 1
a₁ = Γ'(1) = γ
a₂ = Γ''(1) / 2! = (γ² + π²/6) / 2 = γ²/2 + π²/12
a₃ = Γ'''(1) / 3! = (γ³ γπ²/2 2ζ(3)) / 6 = γ³/6 γπ²/12 ζ(3)/3
所以，展开为：
Γ(x+1) = 1 γx + (γ²/2 + π²/12)x² (γ³/6 + γπ²/12 + ζ(3)/3)x³ + ...
这个展开式中，γ 是欧拉马斯刻罗尼常数，π 是圆周率，ζ(3) 是阿培里常数。这些常数在数学中非常重要，它们出现在数论、分析学等多个领域。
简单来说，Γ(x+1) 在 x=0 处的泰勒展开，就像是在“观察”这个广义阶乘函数在原点附近的“行为”。它告诉我们，当 x 非常接近 0 时，Γ(x+1) 的值可以通过一个多项式来近似，这个多项式由 Γ(x+1) 本身在 0 点的值以及它在 0 点各阶导数的值（这些值用上了著名的数学常数）来决定。这个展开式是理解 Γ(x+1) 函数性质的一个重要工具。
网友意见
直接求各阶导数就行，求完以后把积分适当地展成级数。
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