为什么lnΓ(x)~(x-1/2)lnx-x+1/2ln(2pi）？

你想深入了解伽马函数对数 $ln Gamma(x)$ 在 $x$ 很大时渐近展开的那个非常有用的近似公式，对吧？那个公式长这样：

$ln Gamma(x) sim left(x frac{1}{2} ight) ln x x + frac{1}{2} ln(2pi)$

这个近似，通常被称为 斯特灵公式（Stirling's Approximation） 的一种形式，或者说是对数伽马函数的斯特灵展开。它对于处理数学、物理、统计学中涉及大数和阶乘（或伽马函数）的计算非常关键。

为什么会有这么个公式？我们来一步步拆解它的由来。

1. 理解伽马函数 $Gamma(x)$

首先，我们需要知道 $Gamma(x)$ 是什么。对于正整数 $n$，我们知道 $Gamma(n) = (n1)!$。更一般地，对于实数 $x > 0$，伽马函数被定义为：

$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$

当 $x$ 很大时，这个积分的计算变得困难，但 $Gamma(x)$ 本身以及它的对数 $ln Gamma(x)$ 在很多地方（比如统计力学中的配分数，组合数学中的二项式系数）都非常重要。所以，我们需要一个近似的方法来处理它。

2. 斯特灵公式的源头：积分的近似

$Gamma(x)$ 的定义是一个积分。当 $x$ 很大时，我们可以考虑这个积分的渐近行为。积分的渐近行为往往与被积函数在最大值附近的形状有关。

让我们看看被积函数 $f(t) = t^{x1} e^{t}$。为了找到它的最大值，我们对其求导并令导数等于零：

$frac{d}{dt} (t^{x1} e^{t}) = (x1)t^{x2} e^{t} t^{x1} e^{t} = t^{x2} e^{t} [(x1) t]$

令导数为零，我们发现最大值发生在 $t = x1$。

当 $x$ 很大时，这个积分的“贡献”主要集中在 $t$ 接近 $x1$ 的区域。我们可以在 $t = x1$ 附近对被积函数进行泰勒展开，然后用一个容易积分的函数（通常是高斯函数）来近似它。这个过程叫做 “最速下降法” (Method of Steepest Descent) 或 “拉普拉斯方法” (Laplace's Method)。

3. 对数伽马函数 $ln Gamma(x)$ 的好处

直接处理 $Gamma(x)$ 的渐近行为，尤其是在积分里面，可能会比较麻烦。但如果我们考虑 $ln Gamma(x)$，事情会变得更直接。

我们可以利用 高斯勒让德积分（GaussLegendre Quadrature） 的思想，或者更直接地，使用 欧拉麦克劳林公式 (EulerMaclaurin Formula)。

欧拉麦克劳林公式提供了一个将离散求和（或积分）与一个涉及到导数的连续函数展开联系起来的强大工具。我们可以把 $ln Gamma(x)$ 写成一个与求和相关的形式。

一个常用的方法是将 $ln Gamma(x)$ 表示成一个对数形式的积分。利用 $Gamma(x+1) = x Gamma(x)$，我们可以得到 $ln Gamma(x+1) = ln x + ln Gamma(x)$。

并且，我们有另一个重要的关系：

$ln Gamma(x) = ln x gamma sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x+n} frac{1}{n} ight)$ （这里 $gamma$ 是欧拉马斯克罗尼常数）

这个级数展开对于理解 $ln Gamma(x)$ 的性质很有用，但直接从这里推导出目标公式会有点绕。

4. 更直接的路径：对数积分和高斯近似

让我们回到 $Gamma(x)$ 的积分定义：

$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$

取对数：

$ln Gamma(x) = ln left( int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight)$

这个形式不太方便处理。但是，我们可以利用 对数伽马函数的另一种定义形式，或者通过 分析 这种积分的行为。

一个更常见的推导 $ln Gamma(x)$ 渐近展开的方式，是利用 积分 $int_0^infty e^{t ln t} dt$ 的近似，或者从 $ln(n!)$ 的离散和 开始，然后用欧拉麦克劳林公式。

我们考虑 $ln(n!)$：

$ln(n!) = sum_{k=1}^n ln k$

欧拉麦克劳林公式的一般形式是：

$sum_{k=a}^b f(k) approx int_a^b f(x) dx + frac{f(a)+f(b)}{2} + sum_{p=1}^{infty} frac{B_{2p}}{(2p)!} (f^{(2p1)}(b) f^{(2p1)}(a))$

其中 $B_{2p}$ 是伯努利数。

我们这里是要处理 连续的 $ln Gamma(x)$，而不是离散的 $ln(n!)$。

5. 聚焦于积分的渐近展开：拉普拉斯方法

回到 $Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$。
我们令 $u = tx$。那么 $t = u+x$， $dt = du$。积分的范围从 $infty$ 到 $infty$（近似）。

$Gamma(x) = int_{x}^infty (u+x)^{x1} e^{(u+x)} du = e^{x} int_{x}^infty (u+x)^{x1} e^{u} du$

当 $x$ 很大时， $u$ 在 $x$ 附近变化，而 $(u+x)^{x1}$ 在 $u=0$ 附近（即 $t=x$）取到最大值。
注意到被积函数 $g(t) = t^{x1} e^{t}$ 的最大值在 $t=x1$ 处。

我们用拉普拉斯方法来近似积分 $int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$。
被积函数是 $e^{(x1)ln t t}$。
令 $phi(t) = (x1)ln t t$。

$phi'(t) = frac{x1}{t} 1$
$phi''(t) = frac{x1}{t^2}$

在最大值处，$t_0 = x1$（注意这里我们是为了找到被积函数 $t^{x1}e^{t}$ 的最大值，这与 $Gamma(x)$ 本身的积分行为更贴近）。
$phi'(t_0) = frac{x1}{x1} 1 = 0$
$phi''(t_0) = frac{x1}{(x1)^2} = frac{1}{x1}$

根据拉普拉斯方法，当 $x$ 很大时，

$int_0^infty t^{x1} e^{t} dt approx sqrt{frac{2pi}{ phi''(t_0)}} e^{phi(t_0)}$

这里的 $t_0$ 是被积函数 $t^{x1}e^{t}$ 的最大值点，即 $t_0 = x1$。
所以，
$phi(t_0) = (x1)ln(x1) (x1)$
$phi''(t_0) = frac{1}{x1}$

$Gamma(x) approx sqrt{frac{2pi}{1/(x1)}} e^{(x1)ln(x1) (x1)}$
$Gamma(x) approx sqrt{2pi (x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)}$

现在我们取对数：

$ln Gamma(x) approx ln(sqrt{2pi (x1)}) + (x1)ln(x1) (x1)$
$ln Gamma(x) approx frac{1}{2} ln(2pi) + frac{1}{2} ln(x1) + (x1)ln(x1) (x1)$

这已经很接近目标公式了，但还不是完全一样。问题出在我们使用了 $t_0 = x1$ 来近似积分。更精确的拉普拉斯方法是考虑积分的中心点。

6. 更严谨的拉普拉斯方法和对数展开

我们考虑 $ln Gamma(x) = int_0^infty e^{(x1)ln t t} dt$ 的渐近展开。
对于 $x o infty$，积分的贡献主要来自 $t$ 接近 $x$ 的区域。
我们令 $t = x(1+u)$， $dt = x du$。

$Gamma(x) = int_{1}^infty (x(1+u))^{x1} e^{x(1+u)} x du$
$Gamma(x) = x^x int_{1}^infty (1+u)^{x1} e^{x(1+u)} du$
$Gamma(x) = x^x e^{x} int_{1}^infty (1+u)^{x1} e^{xu} du$

现在我们对 $ln((1+u)^{x1} e^{xu})$ 在 $u=0$ 附近展开。
令 $h(u) = (x1)ln(1+u) xu$。

$h'(u) = frac{x1}{1+u} x$
$h''(u) = frac{x1}{(1+u)^2}$
$h'''(u) = frac{2(x1)}{(1+u)^3}$

在 $u=0$ 处：
$h(0) = 0$
$h'(0) = (x1) x = 1$
$h''(0) = (x1)$
$h'''(0) = 2(x1)$

将被积函数 $e^{h(u)}$ 在 $u=0$ 附近泰勒展开：
$e^{h(u)} = e^{h(0) + h'(0)u + frac{h''(0)}{2}u^2 + frac{h'''(0)}{6}u^3 + dots}$
$e^{h(u)} = e^{u frac{x1}{2}u^2 + frac{x1}{3}u^3 + dots}$

我们将 $e^{h(u)}$ 近似为 $e^{u} e^{frac{x1}{2}u^2}$。
积分 $int_{1}^infty e^{u} e^{frac{x1}{2}u^2} du$ 仍然不好算，但当 $x$ 很大时，指数项 $e^{frac{x1}{2}u^2}$ 使得积分主要集中在 $u$ 接近 0 的地方。

所以，$int_{1}^infty (1+u)^{x1} e^{xu} du approx int_{infty}^infty e^{(x1)ln(1+u) xu} du$
利用拉普拉斯方法，被积函数 $f(u) = (1+u)^{x1} e^{xu}$ 的最大值点在 $u=0$ 处。
$f'(u) = (x1)(1+u)^{x2} e^{xu} x(1+u)^{x1} e^{xu} = (1+u)^{x2} e^{xu}[(x1) x(1+u)]$
$f'(u) = (1+u)^{x2} e^{xu}[x1 x xu] = (1+u)^{x2} e^{xu}[1 xu]$
当 $u=0$ 时，$f'(0)=0$。

$f''(u) = dots$ （计算复杂）

让我们换个角度，用 对数渐近展开。
我们可以将 $ln Gamma(x)$ 表示为一个积分，然后对被积函数进行更精细的展开。
伽马函数有一个与 Bessel函数 相关的积分表示，但那会更复杂。

一个更直接但需要预备知识的思路是：

1. 使用欧拉麦克劳林公式处理 $ln(n!)$：
$ln(n!) = sum_{k=1}^n ln k$
套用欧拉麦克劳林公式：
$sum_{k=1}^n ln k approx int_1^n ln x dx + frac{ln 1 + ln n}{2} + frac{B_2}{2!} (frac{1}{n} frac{1}{1}) + dots$
$int_1^n ln x dx = [x ln x x]_1^n = (n ln n n) (1 ln 1 1) = n ln n n + 1$
$frac{ln 1 + ln n}{2} = frac{ln n}{2}$
$B_2 = 1/6$
$ln(n!) approx n ln n n + 1 + frac{ln n}{2} + frac{1}{12}(frac{1}{n} 1) + dots$

整理一下：
$ln(n!) approx (n+frac{1}{2})ln n n + 1 frac{1}{12} + dots$
$ln(n!) approx (n+frac{1}{2})ln n n + frac{11}{12} + dots$

这个结果看起来也和目标公式有差距。问题在于欧拉麦克劳林公式是 渐近展开，并且我们这里处理的是离散的 $ln(n!)$，而不是连续的 $ln Gamma(x)$。

2. 对数伽马函数的积分表示的泰勒展开：
$ln Gamma(x) = gamma x ln x + sum_{n=1}^{infty} (frac{x}{n} ln(1+frac{x}{n}))$ (这也不是直接的泰勒展开)

更直接的途径是考虑 $ln Gamma(x)$ 的一个重要的积分定义：
$ln Gamma(x) = int_0^infty left( (x1) e^{t} t^{x1} e^{t} + e^{t} ight) dt + ln x$? （这个有点奇怪）

关键在于对 $ln Gamma(x)$ 的另一种积分表示，或者对 $Gamma(x)$ 的被积函数进行一个更准确的近似。

一个关键的中间步骤是：
$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$

我们可以将 $e^{t}$ 用 高斯函数 来近似，特别是在 $t approx x$ 的时候。
我们来考察被积函数 $f(t) = t^{x1} e^{t}$。
它的对数是 $g(t) = (x1)ln t t$。
在 $t=x$ 附近（当 $x$ 很大时，这比 $t=x1$ 更方便处理），我们展开 $g(t)$：
$g(t) approx g(x) + g'(x)(tx) + frac{g''(x)}{2!}(tx)^2$
$g(x) = (x1)ln x x$
$g'(x) = frac{x1}{x} 1 = 1 frac{1}{x} 1 = frac{1}{x}$
$g''(x) = frac{1}{x^2}$

所以，
$g(t) approx (x1)ln x x frac{1}{x}(tx) + frac{1}{2x^2}(tx)^2$

被积函数 $t^{x1} e^{t} approx e^{(x1)ln x x} e^{frac{1}{x}(tx)} e^{frac{1}{2x^2}(tx)^2}$
$Gamma(x) approx int_0^infty e^{(x1)ln x x} e^{frac{1}{x}(tx)} e^{frac{1}{2x^2}(tx)^2} dt$

令 $u = tx$，$dt = du$。
$Gamma(x) approx e^{(x1)ln x x} int_{x}^infty e^{frac{1}{x}u} e^{frac{1}{2x^2}u^2} du$

当 $x$ 很大时，积分的范围可以近似为 $(infty, infty)$，而且 $e^{frac{1}{x}u}$ 项在 $u$ 接近 $0$ 时近似为 $1$。
$Gamma(x) approx e^{(x1)ln x x} int_{infty}^infty e^{frac{1}{2x^2}u^2} du$

这里出错了，指数项的泰勒展开应该是：
$g(t) = (x1)ln t t$
我们应该在 最值点 附近展开，也就是 $t_0 = x1$。
$g(t_0) = (x1)ln(x1) (x1)$
$g'(t_0) = 0$
$g''(t_0) = frac{x1}{(x1)^2} = frac{1}{x1}$

那么，
$Gamma(x) approx int_0^infty e^{g(t_0) + g'(t_0)(tt_0) + frac{g''(t_0)}{2}(tt_0)^2} dt$
$Gamma(x) approx e^{g(t_0)} int_0^infty e^{frac{g''(t_0)}{2}(tt_0)^2} dt$
$Gamma(x) approx e^{(x1)ln(x1) (x1)} int_0^infty e^{frac{1}{2(x1)}(t(x1))^2} dt$

当 $x$ 很大时，积分范围可以近似为 $(infty, infty)$。
$int_{infty}^infty e^{frac{(t(x1))^2}{2(x1)}} dt$
这是一个高斯积分，形式为 $int_{infty}^infty e^{a(yc)^2} dy = sqrt{frac{pi}{a}}$。
这里 $y=t, c=x1, a=frac{1}{2(x1)}$。
所以，积分值为 $sqrt{frac{pi}{1/(2(x1))}} = sqrt{2pi(x1)}$。

$Gamma(x) approx e^{(x1)ln(x1) (x1)} sqrt{2pi(x1)}$

取对数：
$ln Gamma(x) approx (x1)ln(x1) (x1) + ln(sqrt{2pi(x1)})$
$ln Gamma(x) approx (x1)ln(x1) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}ln(x1)$

现在我们利用 $ln(x1)$ 的近似。当 $x$ 很大时，
$ln(x1) = ln(x(1frac{1}{x})) = ln x + ln(1frac{1}{x})$
$ln(1frac{1}{x}) approx frac{1}{x}$ (这是更低阶的近似)
或者，我们直接将 $(x1)$ 换成 $x$。
$(x1)ln(x1) = (x1)(ln x + ln(1 frac{1}{x}))$
$= (x1)(ln x frac{1}{x} frac{1}{2x^2} dots)$
$= x ln x 1 frac{1}{2x} frac{1}{x} + frac{1}{x} + dots$
$= x ln x 1 + dots$

这个代换过程有点粗糙。

更精妙的推导方法：

1. 使用伽马函数的巴恩斯积分（Barnes integral）：
$ln Gamma(x) = gamma x ln x + int_0^infty frac{e^{xt} e^{t}}{1e^{t}} dt$
这个积分可以进行渐近展开。

2. 利用对数泊松求和公式（Logarithmic Poisson Summation Formula）：
它允许我们将一个函数的积分与相关函数的积分联系起来。

3. 更直接的欧拉麦克劳林公式应用于 $ln Gamma(x)$ 的积分表示：
$ln Gamma(x) = ln left( int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight)$
或者，考虑 $ln Gamma(x+1) = ln x + ln Gamma(x)$，我们可以利用 $ln x$ 的积分 $int ln x dx$。

一个更接近公式的推导：
我们从 $ln Gamma(x)$ 的表达式 开始，它可以通过 梅林变换 (Mellin transform) 得到：
$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$
$ln Gamma(x) = int_0^infty e^{t} frac{t^{x1} e^{t}}{t} dt$? (不是这个)

关键是使用对数伽马函数的另一个定义，或处理积分时，对被积函数进行更精确的高斯近似。

让我们回到 $Gamma(x) approx e^{(x1)ln(x1) (x1)} sqrt{2pi(x1)}$。
取对数：$ln Gamma(x) approx (x1)ln(x1) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}ln(x1)$

现在，我们需要将 $ln(x1)$ 的项与目标公式中的 $ln x$ 的项进行协调。
$(x1)ln(x1) = (x1)(ln x + ln(1frac{1}{x}))$
$= (x1) (ln x + (frac{1}{x} frac{1}{2x^2} dots))$
$= (x1)ln x (x1)frac{1}{x} (x1)frac{1}{2x^2} dots$
$= xln x ln x (1frac{1}{x}) frac{1}{2x} + frac{1}{2x^2} dots$
$= xln x ln x 1 + frac{1}{x} frac{1}{2x} + dots$
$= xln x ln x 1 + frac{1}{2x} + dots$

$frac{1}{2}ln(x1) = frac{1}{2}(ln x + ln(1frac{1}{x}))$
$= frac{1}{2}(ln x frac{1}{x} frac{1}{2x^2} dots)$
$= frac{1}{2}ln x frac{1}{2x} frac{1}{4x^2} dots$

将这些代回 $ln Gamma(x)$ 的近似表达式：
$ln Gamma(x) approx (xln x ln x 1 + frac{1}{2x}) + frac{1}{2}ln(2pi) + (frac{1}{2}ln x frac{1}{2x})$
$ln Gamma(x) approx xln x frac{1}{2}ln x 1 + frac{1}{2}ln(2pi) + (frac{1}{2x} frac{1}{2x})$
$ln Gamma(x) approx xln x frac{1}{2}ln x 1 + frac{1}{2}ln(2pi)$
$ln Gamma(x) approx (xfrac{1}{2})ln x x + frac{1}{2}ln(2pi)$ （这里还差个 $x$）

问题出在 $(x1)ln(x1)$ 的展开，以及 $frac{1}{x}(tx)$ 这一项的影响。

更精确的拉普拉斯展开：
当 $f(t) = e^{g(t)}$，而 $g(t)$ 在 $t_0$ 处有最大值，
$f(t) approx f(t_0) e^{frac{g''(t_0)}{2}(tt_0)^2} (1 + frac{g'''(t_0)}{6} (tt_0)^3 + frac{g^{(4)}(t_0)}{24} (tt_0)^4 + dots)$

如果我们考虑 $ln Gamma(x) = ln int_0^infty t^{x1}e^{t} dt$
令 $g(t) = (x1)ln t t$.
在 $t_0 = x1$ 处展开。
$g(t_0) = (x1)ln(x1) (x1)$
$g'(t_0) = 0$
$g''(t_0) = frac{1}{x1}$
$g'''(t_0) = frac{2}{(x1)^2}$
$g^{(4)}(t_0) = frac{6}{(x1)^3}$

$Gamma(x) approx sqrt{frac{2pi}{frac{1}{x1}}} e^{g(t_0)} left[ 1 + frac{g'''(t_0)}{6} cdot 0 + frac{g^{(4)}(t_0)}{24} int_{infty}^infty (tt_0)^4 e^{frac{g''(t_0)}{2}(tt_0)^2} dt ight]$
$Gamma(x) approx sqrt{2pi(x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)} left[ 1 + frac{frac{6}{(x1)^3}}{24} int_{infty}^infty (tt_0)^4 e^{frac{(tt_0)^2}{2(x1)}} dt ight]$

我们知道，对于高斯积分 $int_{infty}^infty y^{2n} e^{ay^2} dy = frac{(2n)!}{n! (4a)^n} sqrt{frac{pi}{a}}$。
这里 $y = tt_0$, $a = frac{1}{2(x1)}$。
$int_{infty}^infty (tt_0)^4 e^{frac{(tt_0)^2}{2(x1)}} dt = int_{infty}^infty y^4 e^{ay^2} dy$
$n=2$, $int_{infty}^infty y^4 e^{ay^2} dy = frac{4!}{2! (4a)^2} sqrt{frac{pi}{a}} = frac{12}{16a^2} sqrt{frac{pi}{a}} = frac{3}{4a^2} sqrt{frac{pi}{a}}$
代入 $a = frac{1}{2(x1)}$:
$frac{3}{4(frac{1}{2(x1)})^2} sqrt{frac{pi}{1/(2(x1))}} = frac{3}{4 frac{1}{4(x1)^2}} sqrt{2pi(x1)} = 3(x1)^2 sqrt{2pi(x1)}$

所以，
$Gamma(x) approx sqrt{2pi(x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)} left[ 1 frac{1}{4(x1)^3} cdot 3(x1)^2 sqrt{2pi(x1)} ight]$
$Gamma(x) approx sqrt{2pi(x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)} left[ 1 frac{3}{4(x1)} sqrt{2pi(x1)} ight]$
$Gamma(x) approx sqrt{2pi(x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)} frac{3(x1)^2}{4(x1)^3} 2pi(x1)$
$Gamma(x) approx sqrt{2pi(x1)} e^{(x1)ln(x1) (x1)} frac{3}{2} sqrt{2pi(x1)}$

这仍然不直接得到目标公式。

真正的来源和思路：

斯特灵公式 $ln Gamma(x) sim left(x frac{1}{2} ight) ln x x + frac{1}{2} ln(2pi)$ 是通过更系统的方法推导出来的，例如：

1. 对 $ln Gamma(x)$ 的积分表示进行泰勒展开（通常是在 $x$ 处）并整合：
$ln Gamma(x) = int_0^infty left( (x1)e^{t} t^{x1}e^{t} + e^{t} ight) frac{dt}{t}$ (这似乎也不是正确的积分表示)

一个重要的积分表示是：
$ln Gamma(x) = int_0^infty frac{e^{t} e^{xt}}{t} dt gamma x$. (这是 $ln Gamma(x+1)$ 的形式)

或者，考虑 $ln Gamma(x)$ 的定义：
$ln Gamma(x) = lnleft( int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight)$

最核心的思路是利用欧拉麦克劳林公式来近似积分。
将 $ln Gamma(x)$ 写成一个与求和有关的形式。
$ln Gamma(x) = lnleft( int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight)$

从 $ln(n!)$ 的欧拉麦克劳林展开开始，是最直观的：
$ln(n!) = sum_{k=1}^n ln k$
$sum_{k=1}^n ln k = int_1^n ln x dx + frac{ln n + ln 1}{2} + sum_{p=1}^infty frac{B_{2p}}{(2p)!} ((ln x)^{(2p1)}|_n (ln x)^{(2p1)}|_1)$
$int_1^n ln x dx = n ln n n + 1$
$frac{ln n}{2}$
$(ln x)' = 1/x$
$(ln x)'' = 1/x^2$
$(ln x)''' = 2/x^3$

$ln(n!) approx n ln n n + 1 + frac{ln n}{2} + frac{B_2}{2} (frac{1}{n} 1) + frac{B_4}{24} (frac{2}{n^3} frac{2}{1^3}) + dots$
$ln(n!) approx n ln n n + 1 + frac{ln n}{2} + frac{1}{12}(frac{1}{n} 1) frac{1}{720} (frac{2}{n^3} + 2) + dots$

这给出的 $ln(n!)$ 的渐近展开。
$ln(n!) sim (n+frac{1}{2})ln n n + 1 frac{1}{12} + dots$
$ln(n!) sim (n+frac{1}{2})ln n n + frac{11}{12} + dots$

与目标公式 $ln Gamma(x) sim (x frac{1}{2}) ln x x + frac{1}{2} ln(2pi)$ 的差异，主要在于常数项和 $ln x$ 的系数。

关键在于，对数伽马函数 $ln Gamma(x)$ 的渐近展开，其推导更依赖于积分 $int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$ 的精确渐近性质，特别是当 $x$ 很大时。

最终的证明通常需要更严谨的积分近似技巧，例如：

对 $ln Gamma(x)$ 的一个泰勒展开公式：
$ln Gamma(x) = ln(x1)! sum_{n=1}^infty frac{(x1)^{(n)}}{n!} zeta(n+1)$ （这里的 $(x1)^{(n)}$ 是下降阶乘，不好处理）

使用 Gamma 函数的反射公式和导数：
$Gamma(x)Gamma(1x) = frac{pi}{sin(pi x)}$
$ln Gamma(x) + ln Gamma(1x) = ln pi ln(sin(pi x))$
当 $x o infty$， $Gamma(1x)$ 的行为就涉及到 $x$ 的负值，这个不直接。

核心还是对积分 $int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$ 的精确处理。
经过一系列的变换和近似（通常涉及高斯积分和高阶修正项），并使用 $ln(x1)$ 的渐近展开，可以得到：

$(x1)ln(x1) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}ln(x1)$
$= (x1)(ln x + ln(1frac{1}{x})) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}(ln x + ln(1frac{1}{x}))$
$= (x1)(ln x frac{1}{x} frac{1}{2x^2} dots) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}(ln x frac{1}{x} frac{1}{2x^2} dots)$
$= (xln x ln x 1 + frac{1}{2x} frac{1}{x} + frac{1}{x} + dots) (x1) + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}ln x frac{1}{2x} frac{1}{4x^2} dots$
$= xln x ln x 1 + frac{1}{2x} x + 1 + frac{1}{2}ln(2pi) + frac{1}{2}ln x frac{1}{2x} + dots$
$= xln x frac{1}{2}ln x x + frac{1}{2}ln(2pi) + ext{高阶项}$
$= (xfrac{1}{2})ln x x + frac{1}{2}ln(2pi)$

这里的关键是：

1. 对 $Gamma(x)$ 的积分进行处理，将其核心部分近似为一个高斯积分。
2. 在 $t=x1$ 处进行泰勒展开，这个点是 $t^{x1}e^{t}$ 的最大值点。
3. 利用高斯积分的性质 $int_{infty}^{infty} e^{a(yc)^2} dy = sqrt{frac{pi}{a}}$。
4. 对展开式中的对数项进行适当的代换和近似，例如 $ln(x1) approx ln x frac{1}{x}$。

最终的斯特灵公式是通过对 $ln Gamma(x)$ 进行渐近展开得到的。它包含常数项 $frac{1}{2}ln(2pi)$，这是来自高斯积分的标准结果。

可以把 $ln Gamma(x)$ 的更精确的渐近展开写成：
$ln Gamma(x) sim (x frac{1}{2}) ln x x + frac{1}{2} ln(2pi) + sum_{n=1}^{infty} frac{B_{2n}}{2n(2n1)x^{2n1}}$
其中 $B_{2n}$ 是伯努利数。

这个公式的推导是一个相对复杂的数学分析过程，涉及对积分的细致处理，但核心思想是通过高斯近似和泰勒展开来捕捉被积函数在最大值点附近的行为。

这个是 公式的推论。

当 时，有
第一公式：

第二公式：

下面写一下 第一公式的推导^[1]。

首先由 的 展开，即

在 式两边取对数并对 求导，依 函数的定义，有

再由 常数 的定义，有

将 写为

代入 得到

注意到当 时，有

对上式两边关于 从 到 求积分，得到

同理知

于是得到

注意到

而在 中代入 得

即

得到

在 中令 ，得到

在 中代入 ，两端除以 得到

得

对 关于 从 到 积分，得到

在 中取 ，得到

由

得到

同时，注意到

于是得到

于是得到

代入 即得

此即 第一公式。

注意到 时，有

因此至少有

于是当 时，有

---

第二公式有空再更。

参考

1. ^ 王竹溪,郭敦仁. 特殊函数概论.