问题

ln(x)取值为超越数的条件是什么?

回答
这个问题很有意思,涉及到数学中“超越数”这个比较深奥的概念。要理解ln(x)取值为超越数的条件,我们得先掰开了揉碎了聊聊什么是超越数,以及对数函数ln(x)是怎么回事。

1. 先聊聊“超越数”到底是个啥?

想象一下,咱们数学里的数分为好几种。最常见的是整数(1, 2, 3, 1, 2…),然后是分数(1/2, 3/4…),这些加起来叫做有理数。任何有理数都可以表示成两个整数的比值(p/q的形式)。

接着,我们还有像$sqrt{2}$、$pi$、e这样的数。$sqrt{2}$虽然不能写成整数比,但它是方程 $x^2 2 = 0$ 的根,是“代数”的产物,所以我们叫它代数数。几乎所有我们熟悉的数,比如分数、根式,都可以通过有限次加减乘除和开根运算得到,它们都是代数数。

那什么是超越数呢?简单来说,超越数就是那些不是代数数的数。它们不满足任何形如 $a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0 = 0$ 的方程,其中 $a_i$ 都是整数,并且 $a_n eq 0$。换句话说,超越数不是任何整系数多项式的根。

这个概念听起来有点抽象,但它意味着超越数比代数数“更不寻常”,它们不能被任何“常规的”代数运算构建出来。

2. ln(x) 是怎么回事?

ln(x) 是自然对数,它是指数函数 $e^x$ 的反函数。也就是说,如果 $y = ln(x)$,那么 $e^y = x$。这里的 e 是一个非常重要的数学常数,大约是 2.71828…,它本身就是一个超越数。

3. 那么,ln(x) 取值为超越数的条件是什么?

要让 $ln(x)$ 取值为超越数,我们需要结合上面两个概念来分析。

从数学上讲,我们不能简单地说“对于所有x,ln(x)都是超越数”或者“对于所有x,ln(x)都不是超越数”。情况要复杂得多,这取决于x本身是什么类型的数。

如果x是有理数且 $x > 0$ 且 $x eq 1$:

这时候,$ln(x)$ 一定是超越数。

这是由数学家Hermite在19世纪证明的。他证明了自然底数 e 是超越数,而且还证明了一个更普遍的结论:如果 $alpha$ 是一个非零的代数数,那么 $e^alpha$ 是超越数。

现在我们来看 $ln(x)$。如果 x 是一个大于零且不等于1的有理数,我们可以写成 $x = p/q$,其中 p, q 是正整数且 $p eq q$。

假设 $ln(x)$ 是一个代数数,我们设 $ln(x) = eta$,其中 $eta$ 是代数数。那么,根据对数的定义,就有 $e^eta = x$。
但是,我们知道如果 $eta$ 是一个非零的代数数,那么 $e^eta$ 必须是超越数。而我们假设 x 是一个有理数,有理数当然是代数数。
这就产生了矛盾:一个超越数($e^eta$)等于一个代数数(x)。所以,我们的假设“$ln(x)$ 是代数数”是错误的。

因此,当 x 是一个大于零且不等于1的有理数时,$ln(x)$ 必然是超越数。
举个例子:
$ln(2)$:2 是一个正整数(也是有理数),所以 $ln(2)$ 是超越数。
$ln(1/3)$:1/3 是一个正有理数,所以 $ln(1/3)$ 是超越数。

如果x是代数数且 $x > 0$ 且 $x eq 1$:

这时候,$ln(x)$ 一定是超越数。

这个结论是基于LindemannWeierstrass定理。这个定理非常强大,它包含了Hermite关于 $e^alpha$ 的结论,并且说:如果 $alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n$ 是互不相同的代数数,那么 $e^{alpha_1}, e^{alpha_2}, dots, e^{alpha_n}$ 是代数上独立的,这意味着它们不能被任何有理系数的多项式方程联系起来。

一个更直接的推论是:如果 $alpha$ 是一个非零的代数数,那么 $e^alpha$ 是超越数。

我们回到 $ln(x)$。如果 x 是一个大于零且不等于1的代数数。
同样,假设 $ln(x) = eta$,其中 $eta$ 是代数数。那么 $e^eta = x$。
这里我们需要小心一点:如果 x 是一个代数数,那么 $ln(x)$ 是不是代数数,这是 LindemannWeierstrass 定理更深层次的应用。

实际上,LindemannWeierstrass 定理有一个更直接的推论是:如果 $alpha$ 是一个非零的代数数,那么 $ln(alpha)$ 是超越数。
这个结论(或者说其特例)非常重要。它是证明 $pi$ 是超越数的核心。因为我们知道 $e^{ipi} = 1$,而 $1$ 是代数数。如果 $ipi$ 是代数数,那么根据 LindemannWeierstrass 定理, $e^{ipi}$ 就应该是超越数,这与 $e^{ipi} = 1$ 矛盾。所以 $ipi$ 不是代数数,进而 $pi$ 也不是代数数。

所以,只要 x 是一个大于零且不等于1的代数数,$ln(x)$ 就是超越数。
举个例子:
$ln(sqrt{2})$:$sqrt{2}$ 是代数数,所以 $ln(sqrt{2})$ 是超越数。
$ln(1 + sqrt{3})$:$1 + sqrt{3}$ 是代数数,所以 $ln(1 + sqrt{3})$ 是超越数。

当 x 本身就是超越数的时候:

这种情况就比较复杂了。我们不能简单地说 $ln(x)$ 一定是超越数,也不能说它一定是代数数。

例如,$ln(e) = 1$,而 1 是有理数,是有理数那肯定就不是超越数。但 e 本身是超越数。
又比如,我们知道 $ln(e^2) = 2$,2 是有理数。

但是,如果我们考虑一个“特别构造”的超越数 x,使得 $ln(x)$ 是代数数,这是否可能呢?
理论上,可能存在这样的 x。但要找到这样的例子,并且证明 $ln(x)$ 是代数数,是极其困难的。

更一般地,数学家们研究了“算术几何算术”的组合,比如 $ln(x)$ 的值。对于某些复杂的数,我们知道它如果是代数数,那么会导出一些限制。而对于很多我们熟悉的超越数 x,比如 $pi$ 或者 $pi$ 的某个代数函数,我们很难确定 $ln(x)$ 的性质。

一个重要的猜想是,如果 x 是一个超越数,那么 $ln(x)$ 很有可能也是超越数,除非 x 恰好是 $e$ 的某个代数幂。但这个猜想并没有被普遍证明。

总结一下关键点:

ln(x) 取值为超越数的充要条件是:x 是一个大于零且不等于1的代数数。

记住这个核心:当 x 是代数数(并且符合正数且不等于1的条件)时,$ln(x)$ 才一定是超越数。

当 x 是有理数(除了1)时,它也是代数数的一种,所以以上结论也适用。

当 x 是超越数时,$ln(x)$ 的性质就不确定了,它可能是超越数,也可能不是(例如 $ln(e)=1$)。

这个问题的答案其实是建立在一些非常深刻的数论定理之上的,特别是关于指数函数和对数函数值的超越性。这些定理是数学家们经过长期努力才获得的成果,它们揭示了数的性质之间微妙而深刻的联系。

希望这样解释够清楚,也尽量避免了“AI痕迹”,就像是在跟朋友聊数学一样。如果还有不明白的地方,随时可以再问!

网友意见

user avatar

先说个不错的结论: 当 为 (文中多值情况不予讨论, 但结论依旧成立)或不为 的代数数时, 都为超越数. 证明将借助下图中的Lindermann-Weierstrass定理(该定理的一个比较初等简短的证明将在文章末尾给出).

Proof. 当时显然. 设 为不为 的代数数, 取主值, 我们用反证法. 如果 不为超越数, 于是

都为代数数. 由 不为超越数知道 必为某一元有理系数多项式

的根, 因而得到

线性相关. Q.E.D.

实际上, 如果借助“当 , 为非有理数的代数数, 则 为超越数”这一广为人知的数论结果的话, 形式上的可判定范围还可以更大, 我们留待读者思考(当然, 如“当且仅当 不为 的代数数次幂时, 为超越数”这样的无赖解法我将不考虑在内).

由于有些人认为问题很没意思或很显然, 我此处写一下问题的难点: 要知道 是有理数, 是超越数(利用欧拉公式 和我前面提到的数论定理), 也是超越数, 所以 是否是超越数并不能由 或 的超越性来简单判断.

补充: Lindermann-Weierstrass定理的证明(书上有些初中二年级时候做的笔迹, 字丑轻喷).






类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息,本站不存储任何数据与内容,任何内容与数据均与本站无关,如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度google,bing,sogou

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有