(lnx)'＝1/x，为什么 (ln3)'≠1/3？
这个问题其实触及了微积分中一个非常核心且容易混淆的概念：导数是函数在某一点的瞬时变化率，而对数函数 `ln(x)` 的导数公式 `(ln x)' = 1/x` 是一个普遍适用的结论，它描述的是函数 `ln(x)` 本身的“变化规律”。
我们来一层层剥开这个“为什么”：
1. 什么是导数？
导数，简单来说，就是衡量一个函数在某一个点上“有多快地变化”。想象一下你开车的速度表。速度表显示的就是你汽车位置函数关于时间的导数。无论你的位置函数是什么样子的（直线运动、曲线运动），速度表总能告诉你那一刻的速度。
在数学上，导数是通过极限来定义的。函数 `f(x)` 在点 `a` 的导数，记作 `f'(a)`，定义为：
$$ f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h} $$
这个公式的意思是：我们取函数在点 `a` 附近一个非常非常小的区间 `h`，计算函数值在这段区间上的变化量 `f(a+h) f(a)`，然后除以这个区间的长度 `h`。当这个区间 `h` 无限趋近于零的时候，这个比值就代表了函数在点 `a` 的“瞬时变化率”，也就是导数。
2. 对数函数 `ln(x)` 的导数
现在我们来看看对数函数 `ln(x)`。我们知道，通过上述的导数定义，经过一系列严谨的数学推导（涉及到对数的性质和一些极限的技巧），我们可以得出：
$$ (ln x)' = frac{1}{x} $$
这个公式 `(ln x)' = 1/x` 并不是说“`ln(x)` 这个函数的导数就是 `1/3`”。 而是说：
`1/x` 是函数 `ln(x)` 的“导函数”。导函数是指一个函数，它把输入值 `x` 映射到原函数在 `x` 点的导数值。
当我们要计算 `ln(x)` 在 特定值 `x = a` 处的导数时，我们就需要将 `a` 代入到导函数 `1/x` 中。
所以，`(ln x)' = 1/x` 描述的是 `ln(x)` 函数的“通用变化规律”。
3. 为什么 `(ln 3)' ≠ 1/3`？
这里出现了理解上的一个误区。`ln 3` 本身是一个 常数。
你可以这样理解：
`ln(x)` 是一个 函数。它的值会随着 `x` 的变化而变化。例如，`ln(2)` 是一个值，`ln(5)` 是另一个值。
`ln 3` 就是当 `x` 取值为 `3` 时，`ln(x)` 这个函数的值。`ln 3` 大约等于 `1.0986`。它是一个 固定的数值。
我们对函数求导，而不是对一个具体的数值求导。
如果我们说“对数函数 `ln(x)` 在 `x=3` 处的导数是多少”，那么答案就是 `1/3`。
用数学符号表示就是：
$$ (ln x)' igg|_{x=3} = frac{1}{3} $$
这里 `|x=3` 表示我们在计算导函数 `(ln x)'` 的值，而导函数就是 `1/x`，所以当 `x=3` 时，导函数的值就是 `1/3`。
打个比方：
想象一个物体的位置随着时间变化的函数 `s(t) = t^2`。
这个函数 `s(t)` 的导数（速度函数）是 `s'(t) = 2t`。
我们不能说 `(t^2)' = 2t` 里面的 `t` 是一个固定的数字，比如 `t=5`。
当我们要问“在 `t=5` 秒时，这个物体的速度是多少？”时，我们才把 `t=5` 代入到速度函数 `2t` 中，得到 `25 = 10`。
同样地：
`ln(x)` 是函数。
`(ln x)' = 1/x` 是它的导函数。
`ln 3` 是当 `x=3` 时，`ln(x)` 的函数值。这是一个常数。
常数的导数恒等于零。 因为常数不随任何变量的变化而变化，它的变化率为零。
所以，如果你真的去计算 `(ln 3)'`，这里的 `3` 被视为一个常数，那么根据常数求导的规则，结果就是 `0`。
总结一下：
`(ln x)' = 1/x` 是一个关于变量 `x` 的导函数公式。它告诉我们 `ln(x)` 这个函数是如何变化的。
`ln 3` 是一个常数（大约是 `1.0986`）。
对一个常数求导，结果永远是 0。所以 `(ln 3)' = 0`。
如果我们想知道函数 `ln(x)` 在 `x=3` 这一点上的导数（即变化率），那么我们需要将 `x=3` 代入到导函数 `1/x` 中，得到 `1/3`。
所以，`ln 3` 的导数是 `0`，而 `ln(x)` 在 `x=3` 处的导数是 `1/3`。这两者是不同的概念。
我们来一层层剥开这个“为什么”：
1. 什么是导数？
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$$ f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h} $$
这个公式的意思是：我们取函数在点 `a` 附近一个非常非常小的区间 `h`，计算函数值在这段区间上的变化量 `f(a+h) f(a)`，然后除以这个区间的长度 `h`。当这个区间 `h` 无限趋近于零的时候，这个比值就代表了函数在点 `a` 的“瞬时变化率”，也就是导数。
2. 对数函数 `ln(x)` 的导数
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$$ (ln x)' = frac{1}{x} $$
这个公式 `(ln x)' = 1/x` 并不是说“`ln(x)` 这个函数的导数就是 `1/3`”。 而是说：
`1/x` 是函数 `ln(x)` 的“导函数”。导函数是指一个函数，它把输入值 `x` 映射到原函数在 `x` 点的导数值。
当我们要计算 `ln(x)` 在 特定值 `x = a` 处的导数时，我们就需要将 `a` 代入到导函数 `1/x` 中。
所以，`(ln x)' = 1/x` 描述的是 `ln(x)` 函数的“通用变化规律”。
3. 为什么 `(ln 3)' ≠ 1/3`？
这里出现了理解上的一个误区。`ln 3` 本身是一个 常数。
你可以这样理解：
`ln(x)` 是一个 函数。它的值会随着 `x` 的变化而变化。例如，`ln(2)` 是一个值，`ln(5)` 是另一个值。
`ln 3` 就是当 `x` 取值为 `3` 时，`ln(x)` 这个函数的值。`ln 3` 大约等于 `1.0986`。它是一个 固定的数值。
我们对函数求导，而不是对一个具体的数值求导。
如果我们说“对数函数 `ln(x)` 在 `x=3` 处的导数是多少”，那么答案就是 `1/3`。
用数学符号表示就是：
$$ (ln x)' igg|_{x=3} = frac{1}{3} $$
这里 `|x=3` 表示我们在计算导函数 `(ln x)'` 的值，而导函数就是 `1/x`，所以当 `x=3` 时，导函数的值就是 `1/3`。
打个比方：
想象一个物体的位置随着时间变化的函数 `s(t) = t^2`。
这个函数 `s(t)` 的导数（速度函数）是 `s'(t) = 2t`。
我们不能说 `(t^2)' = 2t` 里面的 `t` 是一个固定的数字，比如 `t=5`。
当我们要问“在 `t=5` 秒时，这个物体的速度是多少？”时，我们才把 `t=5` 代入到速度函数 `2t` 中，得到 `25 = 10`。
同样地：
`ln(x)` 是函数。
`(ln x)' = 1/x` 是它的导函数。
`ln 3` 是当 `x=3` 时，`ln(x)` 的函数值。这是一个常数。
常数的导数恒等于零。 因为常数不随任何变量的变化而变化，它的变化率为零。
所以，如果你真的去计算 `(ln 3)'`，这里的 `3` 被视为一个常数，那么根据常数求导的规则，结果就是 `0`。
总结一下：
`(ln x)' = 1/x` 是一个关于变量 `x` 的导函数公式。它告诉我们 `ln(x)` 这个函数是如何变化的。
`ln 3` 是一个常数（大约是 `1.0986`）。
对一个常数求导，结果永远是 0。所以 `(ln 3)' = 0`。
如果我们想知道函数 `ln(x)` 在 `x=3` 这一点上的导数（即变化率），那么我们需要将 `x=3` 代入到导函数 `1/x` 中，得到 `1/3`。
所以，`ln 3` 的导数是 `0`，而 `ln(x)` 在 `x=3` 处的导数是 `1/3`。这两者是不同的概念。
网友意见
这里面包含了三个映射
1.代入 ：这是一个线性泛函，将一个函数映射为一个数， ；
2.求导 ：这是一个线性算子，将一个函数映射为另一个函数 ；
3.实数在函数空间中的嵌入 :将一个数映射为一个常值函数 。
这个事情就是说明了
映射的复合不交换不是一个很奇怪的事情吧。
你知道为什么函数可以代入么？
这不是显然的，而是由“代入原理”作为理论支撑。求导操作作为一个算子并不一定具有这类性质。
你这个不是常数吗？常数求导等于 0
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