如何积 1/ln(x)？
想积 1/ln(x)？这可不是一道简单的积分题，它涉及到一个被称为“对数积分函数”的特殊函数，即 li(x)。直接用初等函数把它积出来是不可能的，但我们可以通过一些巧妙的技巧来处理它。
为什么它这么“难缠”？
我们通常积分的都是一些“好孩子”，比如多项式、指数函数、三角函数等等，它们的导数或不定积分仍然是那些我们熟悉的函数。但是 1/ln(x) 就有点不一样了。
你可能会尝试一些常见的积分方法，比如：
换元法？ 尝试让 u = ln(x)，那么 x = e^u，dx = e^u du。代入后变成 ∫ (1/u) e^u du。咦，这个积分 ∫ e^u / u du 看起来好像还是挺麻烦的，而且 e^u / u 本身也没有一个简单的初等函数形式。
分部积分法？ 让我们试一下。设 u = 1/ln(x) 且 dv = dx。那么 du = 1/(x (ln x)^2) dx 且 v = x。
∫ (1/ln x) dx = x (1/ln x) ∫ x (1/(x (ln x)^2)) dx
= x/ln x + ∫ 1/(ln x)^2 dx
可以看到，我们只是把一个看起来有点难的问题 ∫ 1/ln(x) dx 转化成了另一个更复杂的 ∫ 1/(ln x)^2 dx。这似乎不是一条通往胜利的捷径。
怎么办？引入新的“朋友”——对数积分函数 li(x)
既然直接求导或者换元不行，数学家们就给这个积分起了一个名字，并给它定义了一个新的函数：对数积分函数，通常记作 li(x)。
定义：
li(x) = ∫ (1/ln t) dt （从某个常数到 x）
通常为了方便，我们使用主值积分（Cauchy principal value），并且积分下限设为一个不影响结果的常数，比如 2。这样定义的话，它就成为一个确定的函数了。
li(x) 的一些重要性质：
1. 与初等函数的关系： li(x) 本身不是用初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）可以表示出来的。这就像 π 不是一个简单的分数一样，li(x) 是一个独立的、有用的数学实体。
2. 导数： li(x) 的导数就是我们想要积分的函数 1/ln(x)。
d/dx [li(x)] = 1/ln(x)
这个是最直接的联系，也是定义对数积分函数的目的之一。
3. 级数展开： li(x) 可以用泰勒级数展开，这在计算或近似时非常有用。
li(x) = ∫ (1/ln t) dt
我们知道 1/(1u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... （当 |u|<1 时）
设 t = e^u，ln t = u，dt = e^u du。
1/ln t = 1/u
这个换元好像又绕回去了。
让我们换个思路。
考虑 1/ln(x) 的级数展开：
我们可以用几何级数来展开 1/ln(x)，但这个展开并不直接是关于 x 的幂级数。
更常见的方式是这样处理的：
∫ (1/ln t) dt
我们可以写成：
∫ (e^u / u) du （通过 t = e^u 换元）
这个 ∫ (e^u / u) du 是一个著名的指数积分函数 Ei(x) 的变种（通常定义为 ∫ (e^t / t) dt 从某个负无穷到 x）。
li(x) 可以表示为 Ei(ln x)。
另一个常见的表示方式是通过幂级数展开：
Consider 1/ln(x) = 1/ln(x/(x1+1)) = 1/(ln(x/(x1)) + ln(x1))
这也不太直观。
让我们考虑积分的另一个形式：
∫ (1/ln t) dt
利用积分的定义：
li(x) = ∫_0^x (1/ln t) dt （这里积分的下限是 0，但 1/ln(0) 是无穷大，所以需要取主值）
或者更常用的定义：
li(x) = ∫_2^x (1/ln t) dt + li(2)
其中 li(2) 是一个常数。
级数展开的另一种方式：
我们可以尝试对被积函数做一些处理，例如：
1/ln(x) = 1/ln(1 + (x1))
当 |x1| < 1 时，ln(1 + (x1)) = (x1) (x1)^2/2 + (x1)^3/3 ...
那么 1/ln(x) = 1 / [(x1) (x1)^2/2 + ...]
这展开起来非常复杂。
更直接的级数表示是基于指数积分：
li(x) = Ei(ln x)
而 Ei(z) 有级数展开：
Ei(z) = γ + ln|z| + Σ_{k=1}^∞ (z^k / (k k!)) （这里 γ 是欧拉马斯刻若尼常数）
所以，li(x) = γ + ln|ln x| + Σ_{k=1}^∞ ((ln x)^k / (k k!))
如何“积” 1/ln(x)？
既然 li(x) 是我们对 ∫ 1/ln(x) dx 的命名和定义，那么回答“如何积 1/ln(x)”就变成：
在数学理论中： 你就直接回答说，“1/ln(x) 的不定积分是对数积分函数 li(x) + C”。 li(x) 就像 tan(x) 的积分是 ln|cos(x)| + C 一样，是一种已知的、有名字的函数。
在需要数值计算时： 你需要使用 li(x) 的数值计算方法，或者其级数展开式来进行近似计算。例如，在编程中，你可以调用现有的数学库，它们通常提供了计算 li(x) 的函数。
总结一下：
1/ln(x) 的不定积分无法用初等函数表示，它被定义为一个特殊的函数——对数积分函数 li(x)。
所以，当我们问“如何积 1/ln(x)”时，最准确的答案就是：
∫ (1/ln x) dx = li(x) + C
其中 li(x) 是对数积分函数，它的定义就是那个积分本身（通常加上一个适当的积分下限来确定一个特定的函数）。在实际应用中，如果需要计算这个积分的值，就需要借助 li(x) 的数值算法或其级数展开。
这就像问“如何积 1/(1+x^2)？”一样，答案就是 arctan(x) + C，因为我们已经给那个积分起好了名字和符号。li(x) 就是 1/ln(x) 的“arctan(x)”。
希望这个解释足够详细，也去除了那些“AI味儿”！学会接受一些函数就是它们自己的名字，这是数学学习中非常重要的一步。
为什么它这么“难缠”？
我们通常积分的都是一些“好孩子”，比如多项式、指数函数、三角函数等等，它们的导数或不定积分仍然是那些我们熟悉的函数。但是 1/ln(x) 就有点不一样了。
你可能会尝试一些常见的积分方法，比如：
换元法？ 尝试让 u = ln(x)，那么 x = e^u，dx = e^u du。代入后变成 ∫ (1/u) e^u du。咦，这个积分 ∫ e^u / u du 看起来好像还是挺麻烦的，而且 e^u / u 本身也没有一个简单的初等函数形式。
分部积分法？ 让我们试一下。设 u = 1/ln(x) 且 dv = dx。那么 du = 1/(x (ln x)^2) dx 且 v = x。
∫ (1/ln x) dx = x (1/ln x) ∫ x (1/(x (ln x)^2)) dx
= x/ln x + ∫ 1/(ln x)^2 dx
可以看到，我们只是把一个看起来有点难的问题 ∫ 1/ln(x) dx 转化成了另一个更复杂的 ∫ 1/(ln x)^2 dx。这似乎不是一条通往胜利的捷径。
怎么办？引入新的“朋友”——对数积分函数 li(x)
既然直接求导或者换元不行，数学家们就给这个积分起了一个名字，并给它定义了一个新的函数：对数积分函数，通常记作 li(x)。
定义：
li(x) = ∫ (1/ln t) dt （从某个常数到 x）
通常为了方便，我们使用主值积分（Cauchy principal value），并且积分下限设为一个不影响结果的常数，比如 2。这样定义的话，它就成为一个确定的函数了。
li(x) 的一些重要性质：
1. 与初等函数的关系： li(x) 本身不是用初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）可以表示出来的。这就像 π 不是一个简单的分数一样，li(x) 是一个独立的、有用的数学实体。
2. 导数： li(x) 的导数就是我们想要积分的函数 1/ln(x)。
d/dx [li(x)] = 1/ln(x)
这个是最直接的联系，也是定义对数积分函数的目的之一。
3. 级数展开： li(x) 可以用泰勒级数展开，这在计算或近似时非常有用。
li(x) = ∫ (1/ln t) dt
我们知道 1/(1u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... （当 |u|<1 时）
设 t = e^u，ln t = u，dt = e^u du。
1/ln t = 1/u
这个换元好像又绕回去了。
让我们换个思路。
考虑 1/ln(x) 的级数展开：
我们可以用几何级数来展开 1/ln(x)，但这个展开并不直接是关于 x 的幂级数。
更常见的方式是这样处理的：
∫ (1/ln t) dt
我们可以写成：
∫ (e^u / u) du （通过 t = e^u 换元）
这个 ∫ (e^u / u) du 是一个著名的指数积分函数 Ei(x) 的变种（通常定义为 ∫ (e^t / t) dt 从某个负无穷到 x）。
li(x) 可以表示为 Ei(ln x)。
另一个常见的表示方式是通过幂级数展开：
Consider 1/ln(x) = 1/ln(x/(x1+1)) = 1/(ln(x/(x1)) + ln(x1))
这也不太直观。
让我们考虑积分的另一个形式：
∫ (1/ln t) dt
利用积分的定义：
li(x) = ∫_0^x (1/ln t) dt （这里积分的下限是 0，但 1/ln(0) 是无穷大，所以需要取主值）
或者更常用的定义：
li(x) = ∫_2^x (1/ln t) dt + li(2)
其中 li(2) 是一个常数。
级数展开的另一种方式：
我们可以尝试对被积函数做一些处理，例如：
1/ln(x) = 1/ln(1 + (x1))
当 |x1| < 1 时，ln(1 + (x1)) = (x1) (x1)^2/2 + (x1)^3/3 ...
那么 1/ln(x) = 1 / [(x1) (x1)^2/2 + ...]
这展开起来非常复杂。
更直接的级数表示是基于指数积分：
li(x) = Ei(ln x)
而 Ei(z) 有级数展开：
Ei(z) = γ + ln|z| + Σ_{k=1}^∞ (z^k / (k k!)) （这里 γ 是欧拉马斯刻若尼常数）
所以，li(x) = γ + ln|ln x| + Σ_{k=1}^∞ ((ln x)^k / (k k!))
如何“积” 1/ln(x)？
既然 li(x) 是我们对 ∫ 1/ln(x) dx 的命名和定义，那么回答“如何积 1/ln(x)”就变成：
在数学理论中： 你就直接回答说，“1/ln(x) 的不定积分是对数积分函数 li(x) + C”。 li(x) 就像 tan(x) 的积分是 ln|cos(x)| + C 一样，是一种已知的、有名字的函数。
在需要数值计算时： 你需要使用 li(x) 的数值计算方法，或者其级数展开式来进行近似计算。例如，在编程中，你可以调用现有的数学库，它们通常提供了计算 li(x) 的函数。
总结一下：
1/ln(x) 的不定积分无法用初等函数表示，它被定义为一个特殊的函数——对数积分函数 li(x)。
所以，当我们问“如何积 1/ln(x)”时，最准确的答案就是：
∫ (1/ln x) dx = li(x) + C
其中 li(x) 是对数积分函数，它的定义就是那个积分本身（通常加上一个适当的积分下限来确定一个特定的函数）。在实际应用中，如果需要计算这个积分的值，就需要借助 li(x) 的数值算法或其级数展开。
这就像问“如何积 1/(1+x^2)？”一样，答案就是 arctan(x) + C，因为我们已经给那个积分起好了名字和符号。li(x) 就是 1/ln(x) 的“arctan(x)”。
希望这个解释足够详细，也去除了那些“AI味儿”！学会接受一些函数就是它们自己的名字，这是数学学习中非常重要的一步。
网友意见
欧拉也思考过这个问题, 最后他发现这个无法用初等函数表达, 于是他规定 , 现代的证明则一般采用刘伟尔定理.
不过杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化情形就行了.
体会下这种思想:
考虑积分 , 其中 为多项式.
那它的积分是不是应该是 的形式?
很容易验证的呀, 两边求导:
怎么着也非零吧, 消掉
如果 是个有理函数, 那么我们也期望 也是个有理函数
设 , 其中 为互质多项式函数, 代入得
整理下也就是
综上所述:
若 是有理函数, 是多项式函数, 那么 初等的充要条件就是:
存在互质多项式 使得 成立.
于是我们就证明了刘伟尔定理的指数多项式情形, 其实也可以从刘伟尔定理特化得到, 就这样已经很强大了...
我们来考虑积分 ...
什么, 你问为什么不直接做题要考虑这个?
笨啊,变量替换啊
选取 , 代入化简得
中 叫重根或者重点, 叫重数或者重根数这个懂吧
因为 为多项式, 所以在复数域中必有零点, 设零点 , 其重数为
由于 为互质多项式, 所以 的重数为
若
则 既是 的重根,重数显然
且右边 的重根重数为
矛盾!
若 ,令 好了,代入原式有
仍然同时是左右两边的重根, 左边重数 ,右边为 ..GG
还是矛盾!
好吧那么假设 不是多项式而是常数
于是有 , 由上可知同样不行
重数还是矛盾!
于是综上所述 非初等, 无法表示成初等函数....
那么就只能规定 了啊...
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