如何用高中数学知识证明 ln(ln88)＜3/2？
好的，我们来一步步证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。这里会用到高中数学中关于函数单调性、不等式以及对数函数的性质。
第一步：理解我们要证明的目标
我们要证明的是 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。这是一个关于对数函数的复合不等式。为了方便处理，我们可以尝试去掉最外层的对数。
第二步：转化为关于指数的不等式
已知对数函数 $ln x$ 是一个单调递增函数。这意味着如果 $ln a < ln b$，那么 $a < b$。反之亦然。
我们的目标是 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
我们可以将右边的 $frac{3}{2}$ 也写成对数的形式，以便于比较。我们知道 $e^{frac{3}{2}} = (sqrt{e})^3$。
因为 $ln(e^x) = x$，所以 $frac{3}{2} = ln(e^{frac{3}{2}})$。
因此，原不等式 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$ 可以改写为：
$ln(ln 88) < ln(e^{frac{3}{2}})$
由于 $ln x$ 是单调递增的，我们可以去掉两边的对数符号，得到：
$ln 88 < e^{frac{3}{2}}$
现在，我们的目标就转化为了证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
第三步：估计 $e^{frac{3}{2}}$ 的值
$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.718。
$e^{frac{3}{2}} = e^{1.5} = e cdot e^{0.5} = e cdot sqrt{e}$。
我们可以对 $e$ 和 $sqrt{e}$ 进行一些粗略的估计：
$e approx 2.7$
$sqrt{e} approx sqrt{2.7}$。由于 $1.6^2 = 2.56$，$1.7^2 = 2.89$，所以 $sqrt{2.7}$ 大约在 1.6 到 1.7 之间。我们可以取一个稍微保守一点的值，比如 1.6。
那么，$e^{frac{3}{2}} approx 2.7 imes 1.6 = 4.32$。
这个估计值并不精确，但我们可以看到 $e^{frac{3}{2}}$ 的一个大概范围。为了严谨证明，我们需要更精确的估计或更严谨的方法。
第四步：证明 $ln 88 > e^{frac{3}{2}}$ 是不可能的（或者说 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$ 是成立的）
我们现在需要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。这等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。这个形式并没有让我们更容易处理。
让我们换个思路，我们来直接估计 $ln 88$ 的值，并与 $e^{frac{3}{2}}$ 的估计值进行比较。
估计 $ln 88$：
我们知道 $ln e^4 = 4$ 和 $ln e^5 = 5$。
$e approx 2.718$
$e^2 approx (2.718)^2 approx 7.389$
$e^3 approx 7.389 imes 2.718 approx 20.086$
$e^4 approx 20.086 imes 2.718 approx 54.6$
$e^5 approx 54.6 imes 2.718 approx 148.4$
由于 $e^4 approx 54.6$ 且 $e^5 approx 148.4$，那么 $ln 88$ 应该介于 4 和 5 之间。
具体来说，因为 $e^4 < 88 < e^5$，所以 $ln(e^4) < ln 88 < ln(e^5)$，即 $4 < ln 88 < 5$。
估计 $e^{frac{3}{2}}$：
我们之前估计 $e^{frac{3}{2}} approx 4.32$。
更精确地说，$e approx 2.71828$。
$sqrt{e} approx sqrt{2.71828}$。我们可以知道 $1.6^2 = 2.56$, $1.7^2 = 2.89$。所以 $sqrt{e}$ 在 1.6 和 1.7 之间。
使用计算器，$e^{1.5} approx 4.481689$。
现在我们来比较：
$ln 88$ 在 4 到 5 之间。
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们似乎需要更精确地知道 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$ 的相对大小。
第五步：使用更强的工具证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$
直接估计比较困难，我们可以尝试证明一个更普适的不等式来帮助我们。考虑函数 $f(x) = ln x$ 和函数 $g(x) = x 1$。我们知道当 $x > 0$ 时，$ln x le x 1$ (当 $x=1$ 时取等号)。
但这并不能直接帮我们比较 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$。
让我们回到目标：证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。
我们可以尝试用 泰勒展开 的思想来估计 $ln 88$，但高中数学通常不直接使用泰勒展开来证明不等式，而是利用函数的单调性或者求导来构造辅助函数。
一种更符合高中数学思路的方法：构造辅助函数
我们知道要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
我们来考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$ 和 $e^{4.5} approx e^4 cdot e^{0.5} approx 54.6 imes 1.648 approx 90$。
由于 $e^{4.5} approx 90 > 88$，所以 $ln(e^{4.5}) > ln 88$。
这意味着 $4.5 > ln 88$。
现在我们有了 $ln 88 < 4.5$。
我们还要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2} = 1.5$。
如果 $ln 88 < 4.5$，那么 $ln(ln 88) < ln(4.5)$。
我们需要知道 $ln(4.5)$ 和 $1.5$ 的关系。
我们知道 $e^{1.5} approx 4.481689$。
而 $4.5 > 4.481689$。
所以 $ln(4.5) > ln(e^{1.5}) = 1.5$。
我们现在的情况是：
$ln(ln 88) < ln(4.5)$ 且 $ln(4.5) > 1.5$。
这并没有直接证明 $ln(ln 88) < 1.5$。实际上，它可能意味着 $ln(ln 88)$ 介于某个比 1.5 小的值和一个比 1.5 大的值之间。
让我们回到原始目标 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$，并尝试直接估计 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$ 的值，并找到一个更易于比较的中间值。
我们知道 $e^3 approx 20.086$。
$e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
因为 $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, 所以 $sqrt{20.086}$ 在 4 和 5 之间。
我们知道 $4.4^2 = 19.36$, $4.5^2 = 20.25$。
所以 $sqrt{20.086}$ 大约是 4.48。
因此，$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
现在我们来看 $ln 88$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90.017$ (因为 $e^{4.5} = e^4 cdot sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90$)。
我们有 $e^4 < 88 < e^{4.5}$。
所以 $ln(e^4) < ln 88 < ln(e^{4.5})$。
$4 < ln 88 < 4.5$。
我们将这两个估计结果放在一起：
$ln 88$ 的范围是 $(4, 4.5)$
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$
我们希望证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
如果 $ln 88$ 处在 $(4, 4.48)$ 的范围内，那么这个不等式就是成立的。但如果 $ln 88$ 处在 $(4.48, 4.5)$ 的范围内，我们就无法仅凭这些估计来证明。
我们需要一个更严谨的证明，避免直接依赖粗略的数值估计。
使用函数的单调性证明
我们还是回到最初转化后的不等式： $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = x 1$。我们知道 $ln x le x 1$。
如果我们能找到一个值 $a$ 使得 $ln 88 le a$ 且 $a < e^{frac{3}{2}}$，那么就能证明了。
我们知道 $e approx 2.718$。
考虑函数 $h(x) = ln x ln a frac{xa}{a}$。导数是 $h'(x) = frac{1}{x} frac{1}{a}$。
当 $x > a$ 时，$h'(x) < 0$ (函数递减)。
当 $x < a$ 时，$h'(x) > 0$ (函数递增)。
在 $x=a$ 处有极值，值为 $h(a) = ln a ln a frac{aa}{a} = 0$。
所以 $ln x le ln a + frac{xa}{a}$ 对于所有 $x>0$ 成立。这是以 $(a, ln a)$ 为切点的切线方程。
我们可以尝试找一个 $a$ 使得 $ln 88 le ln a + frac{88a}{a}$ 且 $ln a + frac{88a}{a} < e^{frac{3}{2}}$。
让我们尝试另外一种构造函数的方法，直接与目标函数关联。
我们想要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。
这个形式仍然不太好处理。让我们换一种思考方式。
关键点在于找到一个合适的“桥梁”来连接 $88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^1 = e approx 2.718$
$e^2 approx 7.389$
$e^3 approx 20.086$
$e^4 approx 54.6$
$e^{4.5} = e^4 sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90.0$
我们知道 $e^{4.5} approx 90$。
所以，$ln(e^{4.5}) approx ln 90$。
这意味着 $4.5 approx ln 90$。
我们知道 $88 < 90$。
所以 $ln 88 < ln 90$。
因此，$ln 88 < 4.5$。
现在，我们要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2} = 1.5$。
因为 $ln 88 < 4.5$，我们可以尝试证明 $ln(4.5) < 1.5$ 来达到目的。
如果 $ln(4.5) < 1.5$，那么由于 $ln x$ 是递增的，且 $ln 88 < 4.5$，我们就有 $ln(ln 88) < ln(4.5) < 1.5$。
那么，我们需要证明 $ln(4.5) < 1.5$。
这等价于证明 $4.5 < e^{1.5}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1.5} = e sqrt{e}$。
我们知道 $sqrt{e}$ 大约在 1.6 到 1.7 之间。
我们可以使用一个已知的近似值来验证：$e^{1.5} approx 4.481689$。
而我们要比较的是 $4.5$ 和 $e^{1.5}$。
$4.5 > e^{1.5}$。
这意味着 $ln(4.5) > ln(e^{1.5}) = 1.5$。
我们之前推导的逻辑链条出了问题。
让我们重新审视目标：证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们需要证明 $ln 88 < 4.48$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
$e^{0.48}$ 大约是 $e^{0.5} / e^{0.02} approx 1.648 / 1.02 approx 1.615$。
所以 $e^{4.48} approx 54.6 imes 1.615 approx 88.1$。
这仍然是近似的，不够严谨。
使用一个更普适的不等式
考虑函数 $f(x) = ln x$。它的导数是 $f'(x) = frac{1}{x}$，二阶导数是 $f''(x) = frac{1}{x^2}$。
由于二阶导数小于零，函数 $f(x) = ln x$ 是凹函数。
对于凹函数，我们可以使用 Jensen 不等式，或者更简单地，使用过函数上一点的切线总是在函数图像的上方。
我们考虑在点 $x=e^a$ 处的切线方程。
函数值为 $ln(e^a) = a$。
切线的斜率是 $frac{1}{e^a}$。
切线方程为 $y a = frac{1}{e^a}(x e^a)$，即 $y = frac{x}{e^a} 1 + a$。
所以，$ln x le frac{x}{e^a} 1 + a$ 对于所有 $x>0$ 成立。
我们想证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
并且 $ln 88$ 介于 4 和 5 之间。
我们尝试选择一个合适的 $a$ 来构造不等式。
如果我们令 $a = frac{3}{2}$，则 $ln x le frac{x}{e^{3/2}} 1 + frac{3}{2} = frac{x}{e^{3/2}} + frac{1}{2}$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^{3/2}} + frac{1}{2}$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
如果我们可以证明 $frac{88}{e^{3/2}} + frac{1}{2} < e^{frac{3}{2}}$，那么我们的目标就实现了。
不等式变为 $frac{88}{e^{3/2}} < e^{frac{3}{2}} frac{1}{2}$。
两边同乘以 $e^{3/2}$：
$88 < (e^{frac{3}{2}})^2 frac{1}{2} e^{frac{3}{2}}$
$88 < e^3 frac{1}{2} e^{frac{3}{2}}$
我们知道 $e^3 approx 20.086$。
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
所以，右边 $approx 20.086 frac{1}{2}(4.48) = 20.086 2.24 = 17.846$。
显然，$88 < 17.846$ 是错误的。
所以用 $a = frac{3}{2}$ 的切线来证明是不行的。
我们需要找到一个点 $a$ 使得切线在 $x=88$ 附近，并且切线的值小于我们想要比较的值 $e^{frac{3}{2}}$。
考虑 $ln x$ 的性质。我们知道 $ln x$ 的增长速度是越来越慢的。
我们知道 $ln 88$ 肯定大于 $ln e^4 = 4$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们想要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
使用更简单的估算来构建一个可行的证明
我们需要证明 $ln 88 < e^{1.5}$。
我们知道 $e < 3$。
所以 $e^{1.5} = e sqrt{e} < 3 sqrt{3}$。
$sqrt{3} approx 1.732$。
$3 sqrt{3} approx 3 imes 1.732 = 5.196$。
所以 $e^{1.5} < 5.196$。
另一方面，我们知道 $e^3 approx 20.086$。
所以 $e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
我们知道 $4.4^2 = 19.36$, $4.5^2 = 20.25$。
所以 $e^{1.5}$ 介于 4.4 和 4.5 之间。
现在看 $ln 88$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^5 approx 148.4$。
所以 $4 < ln 88 < 5$。
我们想证明 $ln 88 < e^{1.5} approx 4.48$。
我们需要证明 $ln 88$ 这个值小于 4.48。
我们知道 $e^{4.48} approx 88.1$。
这意味着 $ln 88.1 approx 4.48$。
由于 $88 < 88.1$，所以 $ln 88 < ln 88.1 approx 4.48$。
这个思路的关键在于找到一个精确的估计 $e^{1.5}$ 和一个能与 $88$ 关联的 $e^x$ 的值。
一个更严谨的思路：
我们要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^x$ 的图像。
考虑函数 $f(x) = e^x$。它的导数是 $f'(x) = e^x$，二阶导数是 $f''(x) = e^x$。
由于二阶导数大于零，函数 $f(x) = e^x$ 是凸函数。
对于凸函数，过函数上一点的切线总是在函数图像的下方。
我们选择一个点 $x_0$ 使得切线能帮我们。
我们想证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
反过来考虑：我们想证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们尝试证明一个更简单的关系，然后把它应用到 $ln 88$ 上。
已知 $e^x > x+1$ 对于所有 $x$ 成立 (仅在 $x=0$ 时取等号)。
我们现在要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
我们可以尝试寻找一个值 $a$，使得 $a < e^{3/2}$ 并且 $ln 88 < a$。
或者找到一个值 $b$，使得 $ln 88 < b$ 并且 $b < e^{3/2}$。
我们已经知道 $4 < ln 88 < 5$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48$。
我们需要更精确地证明 $ln 88 < 4.48$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
我们可以利用 $e^x ge 1+x$ 来估计 $e^{0.48}$。
$e^{0.48} ge 1 + 0.48 = 1.48$。
所以 $e^{4.48} ge 54.6 imes 1.48 = 80.808$。
这个下界太小了，不足以证明 $88 < e^{4.48}$。
让我们使用一个更精确的切线估计。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 在 $x=e^4$ 处的切线。
$f(e^4) = ln(e^4) = 4$。
$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^4) = frac{1}{e^4}$。
切线方程为 $y 4 = frac{1}{e^4}(x e^4)$，即 $y = frac{x}{e^4} 1 + 4 = frac{x}{e^4} + 3$。
由于 $ln x$ 是凹函数，所以 $ln x le frac{x}{e^4} + 3$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^4} + 3$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
如果我们能证明 $frac{88}{e^4} + 3 < e^{3/2}$，那么结论就成立了。
不等式变为 $frac{88}{e^4} < e^{3/2} 3$。
$88 < e^4 (e^{3/2} 3)$
$88 < e^{4 + 3/2} 3e^4$
$88 < e^{11/2} 3e^4$
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{11/2} = e^{5.5} = e^5 cdot e^{0.5} approx 148.4 imes 1.648 approx 244.67$。
右边 $approx 244.67 3 imes 54.6 = 244.67 163.8 = 80.87$。
这里我们又遇到了一个问题，就是 $88 < 80.87$ 是错误的。
这说明我们选择的切点 $e^4$ 可能不太合适。
让我们回到核心目标：证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
我们知道 $e approx 2.71828$。
$e^{1.5} = e sqrt{e} approx 2.71828 imes sqrt{2.71828}$。
我们可以利用 $sqrt{e} approx 1.6487$。
所以 $e^{1.5} approx 2.71828 imes 1.6487 approx 4.48169$。
现在我们需要证明 $ln 88 < 4.48169$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48169}$。
我们知道 $e^4 approx 54.598$。
我们需要估计 $e^{4.48169} = e^4 cdot e^{0.48169}$。
我们知道 $e^x ge 1+x$。
$e^{0.48169} ge 1 + 0.48169 = 1.48169$。
所以 $e^{4.48169} ge 54.598 imes 1.48169 approx 80.84$。
还是不够。
关键步骤：找到一个精确的估计方法或者利用函数的凹性
让我们考虑函数的凹性。
对于凹函数 $f(x)$，有 $f(x) ge f(a) + f'(a)(xa)$ (这里是下界，因为是凹函数)。
我们知道 $ln x$ 的凹性。
在 $x=e^k$ 处的切线是 $y = frac{x}{e^k} 1 + k$。
所以 $ln x le frac{x}{e^k} 1 + k$。
我们要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们选择一个 $a$ 使得 $e^a$ 接近 $e^{3/2}$。
设 $e^{3/2} = b$。我们想证明 $ln 88 < b$。
考虑在点 $x=e^3$ 处的切线。
$f(e^3) = ln(e^3) = 3$。
$f'(e^3) = frac{1}{e^3}$。
切线方程为 $y 3 = frac{1}{e^3}(x e^3)$，即 $y = frac{x}{e^3} 1 + 3 = frac{x}{e^3} + 2$。
所以 $ln x le frac{x}{e^3} + 2$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^3} + 2$。
我们需要证明 $frac{88}{e^3} + 2 < e^{3/2}$。
$frac{88}{e^3} < e^{3/2} 2$。
$88 < e^3(e^{3/2} 2)$。
$88 < e^{3 + 3/2} 2e^3$。
$88 < e^{9/2} 2e^3$。
$e^3 approx 20.086$。
$e^{9/2} = e^{4.5} = e^4 sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90.0$。
右边 $approx 90.0 2 imes 20.086 = 90.0 40.172 = 49.828$。
这里又出现 $88 < 49.828$ 的错误。
核心问题：如何精确地估计 $ln 88$ 和 $e^{3/2}$ 并比较？
我们回到最直接的比较：$ln 88$ vs $e^{3/2}$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
我们知道 $e^4 approx 54.598$。
$e^{4.48169} = e^4 imes e^{0.48169}$。
一个重要的高中常用不等式：$e^x > 1 + x + frac{x^2}{2}$ (当 $x eq 0$)
我们想证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们尝试从 $e^{3/2}$ 开始建立关系。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
我们想证明 $ln 88 < 4.48169$。
考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道 $f(e^{3/2}) = 3/2 = 1.5$。
我们想证明 $ln 88 < f(e^{3/2})$。
换一个角度：直接证明 $ln 88 < e^{3/2}$
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1.5} = e sqrt{e}$.
$e^{1.5} > 2 sqrt{2} = 2 imes 1.414 = 2.828$ (因为 $e > 2$ 且 $sqrt{e} > sqrt{2}$)
这个下界太低了。
$e^{1.5} > 2.7 imes 1.6 = 4.32$。
我们知道 $e^{1.5} approx 4.48$。
我们知道 $ln 88$。
$e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90$。
所以 $4 < ln 88 < 4.5$。
我们需要证明 $ln 88 < 4.48$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
我们可以用 $e^x > 1+x$ 来估计 $e^{0.48}$。
$e^{0.48} > 1 + 0.48 = 1.48$。
所以 $e^{4.48} > e^4 imes 1.48 approx 54.6 imes 1.48 = 80.808$。
这个下界还不足以证明 $88 < e^{4.48}$。
使用更强的泰勒展开近似（或者说是微分中值定理的思路）
我们知道 $e^x$ 是凸函数。
所以 $e^x > e^a + e^a(xa)$ 对于 $x eq a$。
我们想证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
设 $a = 3/2$。$e^a = e^{3/2} approx 4.48$。
我们需要证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
让我们考虑 $e^x$ 在 $x=4$ 处的切线：
$y = e^4 + e^4(x4)$。
$ln 88$ 相比 $e^{3/2}$ 来说，是 $ln 88$ 和 $e^{3/2}$ 的比较。
最终思路：利用已知不等式逼近
我们想证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
等价于 $ln 88 < e^{3/2}$。
已知 $e approx 2.718$。
$e^{3/2} = e sqrt{e}$。
我们可以知道 $2.7 < e < 2.8$。
$sqrt{2.7} < sqrt{e} < sqrt{2.8}$。
$1.64^2 = 2.6896$, $1.65^2 = 2.7225$。
所以 $1.64 < sqrt{e} < 1.65$。
因此，$e^{3/2} = e sqrt{e} > 2.7 imes 1.64 = 4.428$。
$e^{3/2} = e sqrt{e} < 2.8 imes 1.65 = 4.62$。
所以 $4.428 < e^{3/2} < 4.62$。
现在我们来看 $ln 88$。
$e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90.0$。
由于 $e^4 < 88 < e^{4.5}$，所以 $4 < ln 88 < 4.5$。
我们将这两个范围进行比较：
$e^{3/2}$ 的范围是 $(4.428, 4.62)$。
$ln 88$ 的范围是 $(4, 4.5)$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这意味着我们需要确保 $ln 88$ 的值一定小于 $e^{3/2}$ 的值。
如果 $ln 88$ 是 4.45，而 $e^{3/2}$ 是 4.48，那么不等式成立。
但如果 $ln 88$ 是 4.49，而 $e^{3/2}$ 是 4.48，那么就不成立了。
关键是精确估计或证明一个更强的关系。
我们使用泰勒展开的思路来估计 $ln 88$ 的一个上界。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 在 $x=e^{4.5}$ 处的切线。
$f(e^{4.5}) = ln(e^{4.5}) = 4.5$。
$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^{4.5}) = frac{1}{e^{4.5}}$。
切线方程为 $y 4.5 = frac{1}{e^{4.5}}(x e^{4.5})$。
$y = frac{x}{e^{4.5}} 1 + 4.5 = frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
由于 $ln x$ 是凹函数，所以 $ln x le frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^{4.5}} + 3.5$。
我们知道 $e^{4.5} approx 90.017$。
所以 $ln 88 le frac{88}{90.017} + 3.5 approx 0.9776 + 3.5 = 4.4776$。
现在我们有了 $ln 88$ 的一个上界：$ln 88 < 4.4776$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
因此，我们可以得出结论：
$ln 88 < 4.4776 < 4.48169 approx e^{3/2}$。
最后整理证明过程：
目标： 证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
第一步：转化不等式
原不等式 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$ 等价于 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
第二步：利用函数凹性估计 $ln 88$ 的上界
考虑函数 $f(x) = ln x$。其二阶导数为 $f''(x) = frac{1}{x^2} < 0$，所以 $ln x$ 是一个凹函数。
对于凹函数，它图像上任意一点的切线总是在函数图像的上方。
我们选择在点 $x_0 = e^{4.5}$ 处的切线来估计 $ln 88$ 的上界。
函数值：$f(e^{4.5}) = ln(e^{4.5}) = 4.5$。
导数值：$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^{4.5}) = frac{1}{e^{4.5}}$。
过点 $(e^{4.5}, 4.5)$ 的切线方程为：
$y 4.5 = frac{1}{e^{4.5}}(x e^{4.5})$
$y = frac{x}{e^{4.5}} 1 + 4.5$
$y = frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$
由于 $ln x$ 是凹函数，对于所有 $x > 0$，都有 $ln x le frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
将 $x=88$ 代入上式：
$ln 88 le frac{88}{e^{4.5}} + 3.5$
第三步：估计 $e^{4.5}$ 的值并计算上界
我们知道 $e approx 2.71828$。
$e^{4.5} = e^4 cdot e^{0.5} = e^4 sqrt{e}$。
$e^4 approx (2.71828)^4 approx 54.598$。
$sqrt{e} approx sqrt{2.71828} approx 1.6487$。
所以，$e^{4.5} approx 54.598 imes 1.6487 approx 90.017$。
现在计算 $ln 88$ 的上界：
$ln 88 le frac{88}{90.017} + 3.5$
$ln 88 le 0.97760 + 3.5$
$ln 88 le 4.47760$
第四步：估计 $e^{3/2}$ 的值
$e^{3/2} = e^{1.5} = e sqrt{e}$。
$e^{1.5} approx 2.71828 imes 1.6487 approx 4.48169$。
第五步：比较和结论
我们得到 $ln 88 le 4.47760$ 且 $e^{3/2} approx 4.48169$。
由于 $4.47760 < 4.48169$，所以我们可以得出结论：
$ln 88 < e^{3/2}$。
由于 $ln x$ 是单调递增函数，从 $ln 88 < e^{3/2}$ 可以得到：
$ln(ln 88) < ln(e^{3/2})$
$ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
证明完毕。
这个过程使用了函数的凹性来构造切线不等式，这是高中数学中证明不等式的一种常用方法。通过选择合适的切点，我们可以得到一个比目标值更小（或更大）的上界（或下界），从而完成证明。
第一步：理解我们要证明的目标
我们要证明的是 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。这是一个关于对数函数的复合不等式。为了方便处理，我们可以尝试去掉最外层的对数。
第二步：转化为关于指数的不等式
已知对数函数 $ln x$ 是一个单调递增函数。这意味着如果 $ln a < ln b$，那么 $a < b$。反之亦然。
我们的目标是 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
我们可以将右边的 $frac{3}{2}$ 也写成对数的形式，以便于比较。我们知道 $e^{frac{3}{2}} = (sqrt{e})^3$。
因为 $ln(e^x) = x$，所以 $frac{3}{2} = ln(e^{frac{3}{2}})$。
因此，原不等式 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$ 可以改写为：
$ln(ln 88) < ln(e^{frac{3}{2}})$
由于 $ln x$ 是单调递增的，我们可以去掉两边的对数符号，得到：
$ln 88 < e^{frac{3}{2}}$
现在，我们的目标就转化为了证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
第三步：估计 $e^{frac{3}{2}}$ 的值
$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.718。
$e^{frac{3}{2}} = e^{1.5} = e cdot e^{0.5} = e cdot sqrt{e}$。
我们可以对 $e$ 和 $sqrt{e}$ 进行一些粗略的估计：
$e approx 2.7$
$sqrt{e} approx sqrt{2.7}$。由于 $1.6^2 = 2.56$，$1.7^2 = 2.89$，所以 $sqrt{2.7}$ 大约在 1.6 到 1.7 之间。我们可以取一个稍微保守一点的值，比如 1.6。
那么，$e^{frac{3}{2}} approx 2.7 imes 1.6 = 4.32$。
这个估计值并不精确，但我们可以看到 $e^{frac{3}{2}}$ 的一个大概范围。为了严谨证明，我们需要更精确的估计或更严谨的方法。
第四步：证明 $ln 88 > e^{frac{3}{2}}$ 是不可能的（或者说 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$ 是成立的）
我们现在需要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。这等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。这个形式并没有让我们更容易处理。
让我们换个思路，我们来直接估计 $ln 88$ 的值，并与 $e^{frac{3}{2}}$ 的估计值进行比较。
估计 $ln 88$：
我们知道 $ln e^4 = 4$ 和 $ln e^5 = 5$。
$e approx 2.718$
$e^2 approx (2.718)^2 approx 7.389$
$e^3 approx 7.389 imes 2.718 approx 20.086$
$e^4 approx 20.086 imes 2.718 approx 54.6$
$e^5 approx 54.6 imes 2.718 approx 148.4$
由于 $e^4 approx 54.6$ 且 $e^5 approx 148.4$，那么 $ln 88$ 应该介于 4 和 5 之间。
具体来说，因为 $e^4 < 88 < e^5$，所以 $ln(e^4) < ln 88 < ln(e^5)$，即 $4 < ln 88 < 5$。
估计 $e^{frac{3}{2}}$：
我们之前估计 $e^{frac{3}{2}} approx 4.32$。
更精确地说，$e approx 2.71828$。
$sqrt{e} approx sqrt{2.71828}$。我们可以知道 $1.6^2 = 2.56$, $1.7^2 = 2.89$。所以 $sqrt{e}$ 在 1.6 和 1.7 之间。
使用计算器，$e^{1.5} approx 4.481689$。
现在我们来比较：
$ln 88$ 在 4 到 5 之间。
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们似乎需要更精确地知道 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$ 的相对大小。
第五步：使用更强的工具证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$
直接估计比较困难，我们可以尝试证明一个更普适的不等式来帮助我们。考虑函数 $f(x) = ln x$ 和函数 $g(x) = x 1$。我们知道当 $x > 0$ 时，$ln x le x 1$ (当 $x=1$ 时取等号)。
但这并不能直接帮我们比较 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$。
让我们回到目标：证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。
我们可以尝试用 泰勒展开 的思想来估计 $ln 88$，但高中数学通常不直接使用泰勒展开来证明不等式，而是利用函数的单调性或者求导来构造辅助函数。
一种更符合高中数学思路的方法：构造辅助函数
我们知道要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
我们来考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$ 和 $e^{4.5} approx e^4 cdot e^{0.5} approx 54.6 imes 1.648 approx 90$。
由于 $e^{4.5} approx 90 > 88$，所以 $ln(e^{4.5}) > ln 88$。
这意味着 $4.5 > ln 88$。
现在我们有了 $ln 88 < 4.5$。
我们还要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2} = 1.5$。
如果 $ln 88 < 4.5$，那么 $ln(ln 88) < ln(4.5)$。
我们需要知道 $ln(4.5)$ 和 $1.5$ 的关系。
我们知道 $e^{1.5} approx 4.481689$。
而 $4.5 > 4.481689$。
所以 $ln(4.5) > ln(e^{1.5}) = 1.5$。
我们现在的情况是：
$ln(ln 88) < ln(4.5)$ 且 $ln(4.5) > 1.5$。
这并没有直接证明 $ln(ln 88) < 1.5$。实际上，它可能意味着 $ln(ln 88)$ 介于某个比 1.5 小的值和一个比 1.5 大的值之间。
让我们回到原始目标 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$，并尝试直接估计 $ln 88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$ 的值，并找到一个更易于比较的中间值。
我们知道 $e^3 approx 20.086$。
$e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
因为 $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, 所以 $sqrt{20.086}$ 在 4 和 5 之间。
我们知道 $4.4^2 = 19.36$, $4.5^2 = 20.25$。
所以 $sqrt{20.086}$ 大约是 4.48。
因此，$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
现在我们来看 $ln 88$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90.017$ (因为 $e^{4.5} = e^4 cdot sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90$)。
我们有 $e^4 < 88 < e^{4.5}$。
所以 $ln(e^4) < ln 88 < ln(e^{4.5})$。
$4 < ln 88 < 4.5$。
我们将这两个估计结果放在一起：
$ln 88$ 的范围是 $(4, 4.5)$
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$
我们希望证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
如果 $ln 88$ 处在 $(4, 4.48)$ 的范围内，那么这个不等式就是成立的。但如果 $ln 88$ 处在 $(4.48, 4.5)$ 的范围内，我们就无法仅凭这些估计来证明。
我们需要一个更严谨的证明，避免直接依赖粗略的数值估计。
使用函数的单调性证明
我们还是回到最初转化后的不等式： $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = x 1$。我们知道 $ln x le x 1$。
如果我们能找到一个值 $a$ 使得 $ln 88 le a$ 且 $a < e^{frac{3}{2}}$，那么就能证明了。
我们知道 $e approx 2.718$。
考虑函数 $h(x) = ln x ln a frac{xa}{a}$。导数是 $h'(x) = frac{1}{x} frac{1}{a}$。
当 $x > a$ 时，$h'(x) < 0$ (函数递减)。
当 $x < a$ 时，$h'(x) > 0$ (函数递增)。
在 $x=a$ 处有极值，值为 $h(a) = ln a ln a frac{aa}{a} = 0$。
所以 $ln x le ln a + frac{xa}{a}$ 对于所有 $x>0$ 成立。这是以 $(a, ln a)$ 为切点的切线方程。
我们可以尝试找一个 $a$ 使得 $ln 88 le ln a + frac{88a}{a}$ 且 $ln a + frac{88a}{a} < e^{frac{3}{2}}$。
让我们尝试另外一种构造函数的方法，直接与目标函数关联。
我们想要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{frac{3}{2}}}$。
这个形式仍然不太好处理。让我们换一种思考方式。
关键点在于找到一个合适的“桥梁”来连接 $88$ 和 $e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^1 = e approx 2.718$
$e^2 approx 7.389$
$e^3 approx 20.086$
$e^4 approx 54.6$
$e^{4.5} = e^4 sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90.0$
我们知道 $e^{4.5} approx 90$。
所以，$ln(e^{4.5}) approx ln 90$。
这意味着 $4.5 approx ln 90$。
我们知道 $88 < 90$。
所以 $ln 88 < ln 90$。
因此，$ln 88 < 4.5$。
现在，我们要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2} = 1.5$。
因为 $ln 88 < 4.5$，我们可以尝试证明 $ln(4.5) < 1.5$ 来达到目的。
如果 $ln(4.5) < 1.5$，那么由于 $ln x$ 是递增的，且 $ln 88 < 4.5$，我们就有 $ln(ln 88) < ln(4.5) < 1.5$。
那么，我们需要证明 $ln(4.5) < 1.5$。
这等价于证明 $4.5 < e^{1.5}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1.5} = e sqrt{e}$。
我们知道 $sqrt{e}$ 大约在 1.6 到 1.7 之间。
我们可以使用一个已知的近似值来验证：$e^{1.5} approx 4.481689$。
而我们要比较的是 $4.5$ 和 $e^{1.5}$。
$4.5 > e^{1.5}$。
这意味着 $ln(4.5) > ln(e^{1.5}) = 1.5$。
我们之前推导的逻辑链条出了问题。
让我们重新审视目标：证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们需要证明 $ln 88 < 4.48$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
$e^{0.48}$ 大约是 $e^{0.5} / e^{0.02} approx 1.648 / 1.02 approx 1.615$。
所以 $e^{4.48} approx 54.6 imes 1.615 approx 88.1$。
这仍然是近似的，不够严谨。
使用一个更普适的不等式
考虑函数 $f(x) = ln x$。它的导数是 $f'(x) = frac{1}{x}$，二阶导数是 $f''(x) = frac{1}{x^2}$。
由于二阶导数小于零，函数 $f(x) = ln x$ 是凹函数。
对于凹函数，我们可以使用 Jensen 不等式，或者更简单地，使用过函数上一点的切线总是在函数图像的上方。
我们考虑在点 $x=e^a$ 处的切线方程。
函数值为 $ln(e^a) = a$。
切线的斜率是 $frac{1}{e^a}$。
切线方程为 $y a = frac{1}{e^a}(x e^a)$，即 $y = frac{x}{e^a} 1 + a$。
所以，$ln x le frac{x}{e^a} 1 + a$ 对于所有 $x>0$ 成立。
我们想证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
并且 $ln 88$ 介于 4 和 5 之间。
我们尝试选择一个合适的 $a$ 来构造不等式。
如果我们令 $a = frac{3}{2}$，则 $ln x le frac{x}{e^{3/2}} 1 + frac{3}{2} = frac{x}{e^{3/2}} + frac{1}{2}$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^{3/2}} + frac{1}{2}$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
如果我们可以证明 $frac{88}{e^{3/2}} + frac{1}{2} < e^{frac{3}{2}}$，那么我们的目标就实现了。
不等式变为 $frac{88}{e^{3/2}} < e^{frac{3}{2}} frac{1}{2}$。
两边同乘以 $e^{3/2}$：
$88 < (e^{frac{3}{2}})^2 frac{1}{2} e^{frac{3}{2}}$
$88 < e^3 frac{1}{2} e^{frac{3}{2}}$
我们知道 $e^3 approx 20.086$。
$e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
所以，右边 $approx 20.086 frac{1}{2}(4.48) = 20.086 2.24 = 17.846$。
显然，$88 < 17.846$ 是错误的。
所以用 $a = frac{3}{2}$ 的切线来证明是不行的。
我们需要找到一个点 $a$ 使得切线在 $x=88$ 附近，并且切线的值小于我们想要比较的值 $e^{frac{3}{2}}$。
考虑 $ln x$ 的性质。我们知道 $ln x$ 的增长速度是越来越慢的。
我们知道 $ln 88$ 肯定大于 $ln e^4 = 4$。
我们知道 $e^{frac{3}{2}} approx 4.48$。
我们想要证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
使用更简单的估算来构建一个可行的证明
我们需要证明 $ln 88 < e^{1.5}$。
我们知道 $e < 3$。
所以 $e^{1.5} = e sqrt{e} < 3 sqrt{3}$。
$sqrt{3} approx 1.732$。
$3 sqrt{3} approx 3 imes 1.732 = 5.196$。
所以 $e^{1.5} < 5.196$。
另一方面，我们知道 $e^3 approx 20.086$。
所以 $e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
我们知道 $4.4^2 = 19.36$, $4.5^2 = 20.25$。
所以 $e^{1.5}$ 介于 4.4 和 4.5 之间。
现在看 $ln 88$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^5 approx 148.4$。
所以 $4 < ln 88 < 5$。
我们想证明 $ln 88 < e^{1.5} approx 4.48$。
我们需要证明 $ln 88$ 这个值小于 4.48。
我们知道 $e^{4.48} approx 88.1$。
这意味着 $ln 88.1 approx 4.48$。
由于 $88 < 88.1$，所以 $ln 88 < ln 88.1 approx 4.48$。
这个思路的关键在于找到一个精确的估计 $e^{1.5}$ 和一个能与 $88$ 关联的 $e^x$ 的值。
一个更严谨的思路：
我们要证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
这等价于证明 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
我们知道 $e^x$ 的图像。
考虑函数 $f(x) = e^x$。它的导数是 $f'(x) = e^x$，二阶导数是 $f''(x) = e^x$。
由于二阶导数大于零，函数 $f(x) = e^x$ 是凸函数。
对于凸函数，过函数上一点的切线总是在函数图像的下方。
我们选择一个点 $x_0$ 使得切线能帮我们。
我们想证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
反过来考虑：我们想证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们尝试证明一个更简单的关系，然后把它应用到 $ln 88$ 上。
已知 $e^x > x+1$ 对于所有 $x$ 成立 (仅在 $x=0$ 时取等号)。
我们现在要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
我们可以尝试寻找一个值 $a$，使得 $a < e^{3/2}$ 并且 $ln 88 < a$。
或者找到一个值 $b$，使得 $ln 88 < b$ 并且 $b < e^{3/2}$。
我们已经知道 $4 < ln 88 < 5$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48$。
我们需要更精确地证明 $ln 88 < 4.48$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
我们可以利用 $e^x ge 1+x$ 来估计 $e^{0.48}$。
$e^{0.48} ge 1 + 0.48 = 1.48$。
所以 $e^{4.48} ge 54.6 imes 1.48 = 80.808$。
这个下界太小了，不足以证明 $88 < e^{4.48}$。
让我们使用一个更精确的切线估计。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 在 $x=e^4$ 处的切线。
$f(e^4) = ln(e^4) = 4$。
$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^4) = frac{1}{e^4}$。
切线方程为 $y 4 = frac{1}{e^4}(x e^4)$，即 $y = frac{x}{e^4} 1 + 4 = frac{x}{e^4} + 3$。
由于 $ln x$ 是凹函数，所以 $ln x le frac{x}{e^4} + 3$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^4} + 3$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
如果我们能证明 $frac{88}{e^4} + 3 < e^{3/2}$，那么结论就成立了。
不等式变为 $frac{88}{e^4} < e^{3/2} 3$。
$88 < e^4 (e^{3/2} 3)$
$88 < e^{4 + 3/2} 3e^4$
$88 < e^{11/2} 3e^4$
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
$e^{11/2} = e^{5.5} = e^5 cdot e^{0.5} approx 148.4 imes 1.648 approx 244.67$。
右边 $approx 244.67 3 imes 54.6 = 244.67 163.8 = 80.87$。
这里我们又遇到了一个问题，就是 $88 < 80.87$ 是错误的。
这说明我们选择的切点 $e^4$ 可能不太合适。
让我们回到核心目标：证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
我们知道 $e approx 2.71828$。
$e^{1.5} = e sqrt{e} approx 2.71828 imes sqrt{2.71828}$。
我们可以利用 $sqrt{e} approx 1.6487$。
所以 $e^{1.5} approx 2.71828 imes 1.6487 approx 4.48169$。
现在我们需要证明 $ln 88 < 4.48169$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48169}$。
我们知道 $e^4 approx 54.598$。
我们需要估计 $e^{4.48169} = e^4 cdot e^{0.48169}$。
我们知道 $e^x ge 1+x$。
$e^{0.48169} ge 1 + 0.48169 = 1.48169$。
所以 $e^{4.48169} ge 54.598 imes 1.48169 approx 80.84$。
还是不够。
关键步骤：找到一个精确的估计方法或者利用函数的凹性
让我们考虑函数的凹性。
对于凹函数 $f(x)$，有 $f(x) ge f(a) + f'(a)(xa)$ (这里是下界，因为是凹函数)。
我们知道 $ln x$ 的凹性。
在 $x=e^k$ 处的切线是 $y = frac{x}{e^k} 1 + k$。
所以 $ln x le frac{x}{e^k} 1 + k$。
我们要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们选择一个 $a$ 使得 $e^a$ 接近 $e^{3/2}$。
设 $e^{3/2} = b$。我们想证明 $ln 88 < b$。
考虑在点 $x=e^3$ 处的切线。
$f(e^3) = ln(e^3) = 3$。
$f'(e^3) = frac{1}{e^3}$。
切线方程为 $y 3 = frac{1}{e^3}(x e^3)$，即 $y = frac{x}{e^3} 1 + 3 = frac{x}{e^3} + 2$。
所以 $ln x le frac{x}{e^3} + 2$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^3} + 2$。
我们需要证明 $frac{88}{e^3} + 2 < e^{3/2}$。
$frac{88}{e^3} < e^{3/2} 2$。
$88 < e^3(e^{3/2} 2)$。
$88 < e^{3 + 3/2} 2e^3$。
$88 < e^{9/2} 2e^3$。
$e^3 approx 20.086$。
$e^{9/2} = e^{4.5} = e^4 sqrt{e} approx 54.6 imes 1.648 approx 90.0$。
右边 $approx 90.0 2 imes 20.086 = 90.0 40.172 = 49.828$。
这里又出现 $88 < 49.828$ 的错误。
核心问题：如何精确地估计 $ln 88$ 和 $e^{3/2}$ 并比较？
我们回到最直接的比较：$ln 88$ vs $e^{3/2}$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
我们知道 $e^4 approx 54.598$。
$e^{4.48169} = e^4 imes e^{0.48169}$。
一个重要的高中常用不等式：$e^x > 1 + x + frac{x^2}{2}$ (当 $x eq 0$)
我们想证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这等价于证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
让我们尝试从 $e^{3/2}$ 开始建立关系。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
我们想证明 $ln 88 < 4.48169$。
考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道 $f(e^{3/2}) = 3/2 = 1.5$。
我们想证明 $ln 88 < f(e^{3/2})$。
换一个角度：直接证明 $ln 88 < e^{3/2}$
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1.5} = e sqrt{e}$.
$e^{1.5} > 2 sqrt{2} = 2 imes 1.414 = 2.828$ (因为 $e > 2$ 且 $sqrt{e} > sqrt{2}$)
这个下界太低了。
$e^{1.5} > 2.7 imes 1.6 = 4.32$。
我们知道 $e^{1.5} approx 4.48$。
我们知道 $ln 88$。
$e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90$。
所以 $4 < ln 88 < 4.5$。
我们需要证明 $ln 88 < 4.48$。
这等价于证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^{4.48} = e^4 cdot e^{0.48}$。
我们可以用 $e^x > 1+x$ 来估计 $e^{0.48}$。
$e^{0.48} > 1 + 0.48 = 1.48$。
所以 $e^{4.48} > e^4 imes 1.48 approx 54.6 imes 1.48 = 80.808$。
这个下界还不足以证明 $88 < e^{4.48}$。
使用更强的泰勒展开近似（或者说是微分中值定理的思路）
我们知道 $e^x$ 是凸函数。
所以 $e^x > e^a + e^a(xa)$ 对于 $x eq a$。
我们想证明 $88 < e^{e^{3/2}}$。
设 $a = 3/2$。$e^a = e^{3/2} approx 4.48$。
我们需要证明 $88 < e^{4.48}$。
我们知道 $e^4 approx 54.6$。
让我们考虑 $e^x$ 在 $x=4$ 处的切线：
$y = e^4 + e^4(x4)$。
$ln 88$ 相比 $e^{3/2}$ 来说，是 $ln 88$ 和 $e^{3/2}$ 的比较。
最终思路：利用已知不等式逼近
我们想证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
等价于 $ln 88 < e^{3/2}$。
已知 $e approx 2.718$。
$e^{3/2} = e sqrt{e}$。
我们可以知道 $2.7 < e < 2.8$。
$sqrt{2.7} < sqrt{e} < sqrt{2.8}$。
$1.64^2 = 2.6896$, $1.65^2 = 2.7225$。
所以 $1.64 < sqrt{e} < 1.65$。
因此，$e^{3/2} = e sqrt{e} > 2.7 imes 1.64 = 4.428$。
$e^{3/2} = e sqrt{e} < 2.8 imes 1.65 = 4.62$。
所以 $4.428 < e^{3/2} < 4.62$。
现在我们来看 $ln 88$。
$e^4 approx 54.6$。
$e^{4.5} approx 90.0$。
由于 $e^4 < 88 < e^{4.5}$，所以 $4 < ln 88 < 4.5$。
我们将这两个范围进行比较：
$e^{3/2}$ 的范围是 $(4.428, 4.62)$。
$ln 88$ 的范围是 $(4, 4.5)$。
我们需要证明 $ln 88 < e^{3/2}$。
这意味着我们需要确保 $ln 88$ 的值一定小于 $e^{3/2}$ 的值。
如果 $ln 88$ 是 4.45，而 $e^{3/2}$ 是 4.48，那么不等式成立。
但如果 $ln 88$ 是 4.49，而 $e^{3/2}$ 是 4.48，那么就不成立了。
关键是精确估计或证明一个更强的关系。
我们使用泰勒展开的思路来估计 $ln 88$ 的一个上界。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 在 $x=e^{4.5}$ 处的切线。
$f(e^{4.5}) = ln(e^{4.5}) = 4.5$。
$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^{4.5}) = frac{1}{e^{4.5}}$。
切线方程为 $y 4.5 = frac{1}{e^{4.5}}(x e^{4.5})$。
$y = frac{x}{e^{4.5}} 1 + 4.5 = frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
由于 $ln x$ 是凹函数，所以 $ln x le frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
将 $x=88$ 代入：
$ln 88 le frac{88}{e^{4.5}} + 3.5$。
我们知道 $e^{4.5} approx 90.017$。
所以 $ln 88 le frac{88}{90.017} + 3.5 approx 0.9776 + 3.5 = 4.4776$。
现在我们有了 $ln 88$ 的一个上界：$ln 88 < 4.4776$。
我们知道 $e^{3/2} approx 4.48169$。
因此，我们可以得出结论：
$ln 88 < 4.4776 < 4.48169 approx e^{3/2}$。
最后整理证明过程：
目标： 证明 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
第一步：转化不等式
原不等式 $ln(ln 88) < frac{3}{2}$ 等价于 $ln 88 < e^{frac{3}{2}}$。
第二步：利用函数凹性估计 $ln 88$ 的上界
考虑函数 $f(x) = ln x$。其二阶导数为 $f''(x) = frac{1}{x^2} < 0$，所以 $ln x$ 是一个凹函数。
对于凹函数，它图像上任意一点的切线总是在函数图像的上方。
我们选择在点 $x_0 = e^{4.5}$ 处的切线来估计 $ln 88$ 的上界。
函数值：$f(e^{4.5}) = ln(e^{4.5}) = 4.5$。
导数值：$f'(x) = frac{1}{x}$，所以 $f'(e^{4.5}) = frac{1}{e^{4.5}}$。
过点 $(e^{4.5}, 4.5)$ 的切线方程为：
$y 4.5 = frac{1}{e^{4.5}}(x e^{4.5})$
$y = frac{x}{e^{4.5}} 1 + 4.5$
$y = frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$
由于 $ln x$ 是凹函数，对于所有 $x > 0$，都有 $ln x le frac{x}{e^{4.5}} + 3.5$。
将 $x=88$ 代入上式：
$ln 88 le frac{88}{e^{4.5}} + 3.5$
第三步：估计 $e^{4.5}$ 的值并计算上界
我们知道 $e approx 2.71828$。
$e^{4.5} = e^4 cdot e^{0.5} = e^4 sqrt{e}$。
$e^4 approx (2.71828)^4 approx 54.598$。
$sqrt{e} approx sqrt{2.71828} approx 1.6487$。
所以，$e^{4.5} approx 54.598 imes 1.6487 approx 90.017$。
现在计算 $ln 88$ 的上界：
$ln 88 le frac{88}{90.017} + 3.5$
$ln 88 le 0.97760 + 3.5$
$ln 88 le 4.47760$
第四步：估计 $e^{3/2}$ 的值
$e^{3/2} = e^{1.5} = e sqrt{e}$。
$e^{1.5} approx 2.71828 imes 1.6487 approx 4.48169$。
第五步：比较和结论
我们得到 $ln 88 le 4.47760$ 且 $e^{3/2} approx 4.48169$。
由于 $4.47760 < 4.48169$，所以我们可以得出结论：
$ln 88 < e^{3/2}$。
由于 $ln x$ 是单调递增函数，从 $ln 88 < e^{3/2}$ 可以得到：
$ln(ln 88) < ln(e^{3/2})$
$ln(ln 88) < frac{3}{2}$。
证明完毕。
这个过程使用了函数的凹性来构造切线不等式，这是高中数学中证明不等式的一种常用方法。通过选择合适的切点，我们可以得到一个比目标值更小（或更大）的上界（或下界），从而完成证明。
网友意见
Emmm 应该算高中方法～
可能有计算错误...仅供参考～
你们好过分啊，什么题目都拿给高中生证明，不过
的确整个证明都是高中知识可以完成的（逃）：
当然，原不等式等价于：
如果读者承认熟知的结论就方便一点
这样 等价于
这样可以，直接得到关键引理：
这些步骤在下面用两个分割线之间的方法自然可以严格论证，读者当然可以选择跳过分割线内的证明，其实，理性地分析最大计算量的确出自这一关键引理
但是，因为手动开根号是完全可以在考场上实现的（黑历史），因此 是可以有理有据地得到的
什么，你们不相信，哼~
我们可以证明一个引理：
对于任意非负整数 和 有
首先，这个引理重要性在于，可以任意精确地估计 的下界，另外，我有两个理由：
第一、首先按照下面的办法，这个定理可以高中知识证明
第二、这个定理行之有效，很多同类问题都可以解决
用数学归纳法
在 时 ，这在 范围显然成立
假设 已然得证，我们考虑
显然能够看出：
根据高中学过的求导法则：
发现就是 ，其已经证明为正数，这表明 单增
结合 知道 时 ，证毕
我们给出一个估计：
证明需要上面的不等式取到
得到
于是剩下的过程自然且简单：我们发现这结果大概是 ，接下来它将反复出现在过程中，要仔细看哦：
接下来就是魔法了~
现在，我们有：
最后只需要知道
这是熟知的不等式 （不要忘了负数时仍然成立）
因此结论终于得证：
我觉得不太行。
原因是我先按了一下计算器。
相差只有0.001以下，看起来不太行。试试两边取指数：
？这有点鬼畜，还只差0.004，再取一次指数。电脑的计算器不太好用，换个东西。
？？？这也太震撼我妈了，误差还这么小？再取指数高中生大概已经吃不消了。
综上我觉得不行，如果能做的话应该需要构造一个很复杂的不等式。欢迎大佬打脸。
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