如何比较 π－2 与 lnπ 的大小？

咱们来聊聊怎么比较 $pi 2$ 和 $ln pi$ 这两个数的大小。这事儿听着有点数学专业，但咱们用大白话把它掰开了揉碎了讲清楚。

首先，咱们得知道 $pi$ 和 $ln pi$ 分别是啥玩意儿。

$pi$：这个大家都熟悉，圆周率。它是个无理数，大约是 3.14159…… 它的含义是圆的周长和直径的比值。是个很基础也很重要的数学常数。

$ln pi$：这个是自然对数。对数是指数的逆运算。如果 $e^x = y$，那么 $x = ln y$。这里的 $e$ 是另一个重要的数学常数，自然底数，大约是 2.71828……。所以 $ln pi$ 就是问，“$e$ 要多少次方才能等于 $pi$ 呢？” 因为 $pi$ 大约是 3.14159，而 $e$ 大约是 2.71828，很明显 $e$ 的 1 次方就是 $e$ 本身，比 $pi$ 小。$e$ 的 2 次方就大概是 2.718 的平方，肯定比 $pi$ 大了。所以， $ln pi$ 这个值肯定在 1 和 2 之间。具体算出来大约是 1.1447。

好，现在我们有了大概的数值：
$pi 2 approx 3.14159 2 = 1.14159$
$ln pi approx 1.1447$

从这个粗略的计算来看， $ln pi$ 似乎比 $pi 2$ 稍大一点点。但是，数学上的比较，尤其是要写文章，不能光靠估算，得有严谨的推导。万一我们估算错了呢？ 或者说，我们要的是一个绝对的答案，不是“可能”。

那我们怎么才能更严谨地比较它们呢？

方法一：利用函数性质（微积分大法）

我们来构造一个函数，看看它的行为来帮助我们比较。考虑函数 $f(x) = ln x (x2)$。我们想知道当 $x=pi$ 时，这个函数的值是正的、负的还是零。如果 $f(pi) > 0$，就说明 $ln pi > pi 2$。反之亦然。

为了分析 $f(x)$，我们先看看它的导数：
$f'(x) = frac{d}{dx}(ln x x + 2) = frac{1}{x} 1$

现在我们看看 $f'(x)$ 在 $x=pi$ 附近的情况。
当 $x > 1$ 时， $frac{1}{x} < 1$，所以 $f'(x) = frac{1}{x} 1 < 0$。
这意味着函数 $f(x)$ 在 $(1, infty)$ 这个区间上是单调递减的。

我们知道 $pi approx 3.14159$，它肯定大于 1。所以 $f(x)$ 在 $x=pi$ 处是递减的。这告诉我们函数值正在变小。但这还不足以直接比较 $pi2$ 和 $ln pi$ 的大小，因为我们只知道在某个点附近函数是递减的。

我们换个思路，构造另一个函数。
设 $g(x) = ln x$ 和 $h(x) = x2$。我们想比较 $g(pi)$ 和 $h(pi)$ 的大小。
可以考虑它们差的函数 $d(x) = g(x) h(x) = ln x (x2)$。我们之前分析过 $d'(x) = frac{1}{x} 1$。

我们知道 $d'(x) < 0$ 当 $x > 1$。所以 $d(x)$ 在 $x=1$ 之后是递减的。
我们来算算 $d(x)$ 在某个我们知道的点的取值。
比如，当 $x=e$ 时：
$d(e) = ln e (e2) = 1 (e2) = 3 e$
因为 $e approx 2.718$，所以 $3e > 0$。
这意味着在 $x=e$ 时， $ln e > e2$。

现在的问题是， $pi$ 和 $e$ 哪个大？ $pi > e$。
因为 $d(x)$ 在 $x > 1$ 的区间上是递减的，而 $pi > e > 1$。
所以，从 $x=e$ 到 $x=pi$，函数 $d(x)$ 的值是在减小的。
也就是说，$d(pi) < d(e)$。
我们知道 $d(e) = 3e > 0$。
所以，$d(pi) < d(e)$ 并不直接告诉我们 $d(pi)$ 是正还是负。

我们得找一个更合适的点。
再看看 $d'(x) = frac{1}{x} 1$。
我们知道 $d'(x) = 0$ 的时候 $x=1$。
在 $x=1$ 处，$d(1) = ln 1 (12) = 0 (1) = 1$。
在 $x=2$ 处，$d(2) = ln 2 (22) = ln 2 0 = ln 2$。
$ln 2 approx 0.693$，所以 $d(2) > 0$。
这意味着在 $x=2$ 时， $ln 2 > 22$ （虽然 $22=0$ 也没啥意义）。

我们知道 $pi approx 3.14159$。
在 $x=1$ 之后， $d(x)$ 是递减的。
我们可以尝试找一个点 $x_0$ 使得 $d(x_0)=0$，这样 $ln x_0 = x_02$。然后比较 $pi$ 和 $x_0$ 的大小。
但是这个方程 $ln x = x2$ 没有一个简单的初等函数解，所以不容易找到精确的 $x_0$。

换个角度，我们来考虑函数 $f(x) = ln x$ 的图像和直线 $y = x2$ 的关系。
$f'(x) = frac{1}{x}$ 是曲线的斜率。
$g(x) = x2$ 是一条斜率为 1 的直线。

我们知道在 $x=2$ 的时候，
$f(2) = ln 2 approx 0.693$
$g(2) = 22 = 0$
所以在 $x=2$ 时，曲线 $y=ln x$ 在直线 $y=x2$ 的上方。

在 $x=pi$ 的时候，我们想知道谁大。
我们知道 $ln x$ 的斜率 $f'(x) = frac{1}{x}$。
当 $x=2$ 时，斜率是 $frac{1}{2}$。
当 $x=pi$ 时，斜率是 $frac{1}{pi}$。
因为 $pi > 2$，所以 $frac{1}{pi} < frac{1}{2}$。
也就是说，在 $x=2$ 的地方，直线 $y=x2$ 的斜率（1）大于曲线 $y=ln x$ 的斜率（$frac{1}{2}$）。

我们来考虑一个特殊的点，当曲线 $y=ln x$ 的斜率等于直线的斜率 1 时，也就是 $frac{1}{x} = 1$，所以 $x=1$。
在 $x=1$ 处，曲线 $y=ln x$ 的值是 $ln 1 = 0$。
而直线 $y = x2$ 在 $x=1$ 处的值是 $12 = 1$。
所以，在 $x=1$ 处，曲线 $y=ln x$ 的值（0）比直线 $y=x2$ 的值（1）要高。

我们来构造一个函数 $f(x) = ln x (x2)$。
$f'(x) = frac{1}{x} 1$。
$f''(x) = frac{1}{x^2}$。
因为 $x$ 是正数（我们关注的范围），所以 $f''(x) < 0$。
这意味着 $f(x)$ 是一个凹函数。

凹函数有一个性质是：如果它的图像在某点有一个切线，那么整个图像都位于切线的下方（除了切点本身）。
我们找找 $ln x$ 的图像在哪里和直线 $y=x2$ 相切或者有相似的行为。

我们知道函数 $y = ln x$ 和直线 $y = x2$ 的关系。
考虑直线 $y=x2$。它经过点 $(2, 0)$ 和 $(3, 1)$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$，$ ln 3 approx 1.098$。

在 $x=e$ 时，我们有 $ln e = 1$。而 $e2 approx 2.718 2 = 0.718$。
所以 $ln e > e2$。

考虑函数 $f(x) = ln x x + 2$。
$f'(x) = frac{1}{x} 1$。
$f'(x) = 0$ 时 $x=1$。
当 $x < 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增。
当 $x > 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数递减。
所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值。
$f(1) = ln 1 1 + 2 = 0 1 + 2 = 1$。

这意味着对于所有 $x>0$， $ln x x + 2 le 1$。
所以 $ln x le x 1$。
这似乎不太对。让我重新检查我的函数构造。

我们是要比较 $pi2$ 和 $ln pi$。
也就是比较 $pi2 ln pi$ 和 0 的大小。
令 $k(x) = x 2 ln x$。
$k'(x) = 1 frac{1}{x} = frac{x1}{x}$。
$k''(x) = frac{1}{x^2}$。
当 $x > 1$ 时，$k'(x) > 0$，所以 $k(x)$ 递增。
当 $x < 1$ 时，$k'(x) < 0$，所以 $k(x)$ 递减。
$k(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值。
$k(1) = 1 2 ln 1 = 1 2 0 = 1$。

因为 $pi approx 3.14159 > 1$，并且 $pi$ 在 $x=1$ 的右侧，而 $k(x)$ 在 $x=1$ 之后是递增的。
所以 $k(pi) > k(1) = 1$。
这仍然没有给出确切的 $k(pi)$ 是正的还是负的。

我应该用一个我们知道关系的点来启动分析。
让我们考虑函数 $f(x) = ln x$ 的图像和直线 $y=x2$ 的关系。
我们知道在 $x=e$ 时， $ln e = 1$。直线 $y=x2$ 在 $x=e$ 时为 $e2 approx 0.718$。
所以 $ln e > e2$。

我们也可以考虑函数 $f(x) = ln x$ 的泰勒展开。
$ln x$ 在 $x=1$ 附近的展开是：
$ln x = (x1) frac{(x1)^2}{2} + frac{(x1)^3}{3} dots$

我们关注 $x=pi$ 附近。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = x2$。

我们知道 $e approx 2.718$ 且 $pi approx 3.14159$。
我们知道 $ln e = 1$。
$e2 approx 0.718$。所以 $ln e > e2$。

考虑函数 $f(x) = ln x$ 的图像和直线 $y=x2$ 的关系。
我们知道直线 $y=x2$ 和曲线 $y=ln x$ 在某个点相切。
切点在哪里呢？切点的斜率必须相等。
$frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$
$frac{d}{dx}(x2) = 1$
令 $frac{1}{x} = 1$，则 $x=1$。
在 $x=1$ 处， $ln x = ln 1 = 0$。
直线 $y=x2$ 在 $x=1$ 处的值是 $12 = 1$。
所以 $y=x2$ 不是 $y=ln x$ 在 $x=1$ 的切线。

我再想想，哪个点的斜率是 1？ $frac{1}{x}=1 Rightarrow x=1$。
在 $x=1$ 处， $ln x$ 的值是 0，而直线 $x2$ 的值是 $1$。

我们是不是可以找一个点，在这个点上，$ln x$ 和 $x2$ 相等，并且可以证明在那个点之后的 $ln x$ 比 $x2$ 长得快，或者相反？

让我来考虑这个函数：$f(x) = x 2 ln x$。
我们知道 $f(1) = 1 2 ln 1 = 1$。
$f(2) = 2 2 ln 2 = ln 2 < 0$。
$f(e) = e 2 ln e = e 2 1 = e 3 approx 2.718 3 = 0.282 < 0$。

我们知道 $f'(x) = 1 frac{1}{x} = frac{x1}{x}$。
当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，所以函数 $f(x)$ 是递增的。
而 $pi approx 3.14159 > e > 1$。
所以 $f(pi) > f(e)$。

我们知道 $f(e) = e3 < 0$。
这意味着 $f(pi) > e3$。
这个不等式 $f(pi) > e3$ 仍然没有告诉我们 $f(pi)$ 是正的还是负的。

关键点来了： 我们需要找到一个 $x_0$ 使得 $x_0 2 = ln x_0$ 并且知道 $pi$ 和 $x_0$ 的大小关系。
或者，利用一个已知的、严格的不等式。

方法二：利用已知的不等式（或者尝试证明一个辅助不等式）

我们知道 $ln x$ 的图像。我们知道直线 $y=x2$ 和 $y=ln x$ 的关系。
什么时候直线 $y=x2$ 会成为 $y=ln x$ 的一条割线（穿过图像）或者切线？

考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道，$e^x ge x+1$ 对于所有实数 $x$ 成立，等号在 $x=0$ 处成立。
我们可以试试对这个不等式进行变换。

令 $u = x2$。那么 $x = u+2$。
所以 $ln(u+2) ge (u+2)2 = u$？
这个不等式不对。我们知道 $ln x le x1$ 这个不等式是成立的（当 $x>0$）。
怎么来的呢？
考虑函数 $h(x) = x1 ln x$。
$h'(x) = 1 frac{1}{x} = frac{x1}{x}$。
$h''(x) = frac{1}{x^2} > 0$。
所以 $h(x)$ 是凸函数。
$h'(x)=0$ 当 $x=1$。
$h(1) = 11 ln 1 = 0$。
因为 $h(x)$ 在 $x=1$ 处是最小值，并且最小值为 0，所以 $h(x) ge 0$ 对于所有 $x>0$ 成立。
即 $x1 ge ln x$ 对于所有 $x>0$ 成立。

现在我们有了一个非常有用的不等式：$x1 ge ln x$ （当 $x>0$）。
我们想比较 $pi2$ 和 $ln pi$。
把 $x=pi$ 代入这个不等式：
$pi 1 ge ln pi$

这个不等式告诉我们， $pi 1$ 比 $ln pi$ 要大（或者相等）。
我们现在要比较的是 $pi2$ 和 $ln pi$。
我们从 $pi1 ge ln pi$ 可以推导出什么？

$pi 1 ge ln pi$
两边同时减去 1：
$(pi 1) 1 ge ln pi 1$
$pi 2 ge ln pi 1$

这还是没有直接比较 $pi2$ 和 $ln pi$ 的大小。

我们再回到 $pi 1 ge ln pi$。
$pi 1 ge ln pi$
移项：
$pi 1 ln pi ge 0$

我们想知道的是 $pi 2$ 和 $ln pi$ 的关系。
我们知道 $pi 1 > ln pi$ （严格不等号，因为 $pi > 1$ 时 $h(pi) = pi1ln pi > 0$）。
我们比较 $pi 2$ 和 $ln pi$。

我们可以把 $pi2$ 改写成 $(pi1) 1$。
所以我们要比较的是 $(pi1) 1$ 和 $ln pi$。
我们知道 $pi1 > ln pi$。
现在的问题是，这个差值 $pi1 ln pi$ 大于 1 还是小于 1？
$pi 1 ln pi > 0$。

让我们考虑一个更精准的不等式。
我们知道 $ln x$ 的图像是凹的。
直线 $y=x1$ 是曲线 $y=ln x$ 的一条最优的切线，它在 $x=1$ 处相切，并且 $ln x$ 的整个图像都在这条直线的下方（或者在切点处相交）。
所以 $ln x le x1$ 对于所有 $x>0$ 都成立。

我们想比较 $pi 2$ 和 $ln pi$。
我们知道 $pi approx 3.14159$。
$pi 2 approx 1.14159$。
$ln pi approx ln 3.14159$。
因为 $e^1 = e approx 2.718 < 3.14159$，并且 $e^2 approx 7.389 > 3.14159$，所以 $ln pi$ 在 $1$ 和 $2$ 之间。具体值是 $1.1447$。

从数值上看， $ln pi$ 似乎稍大。我们需要一个严谨的证明。

我们再次审视函数 $f(x) = ln x$ 和直线 $y=x2$。
我们知道 $f'(x) = frac{1}{x}$。
当 $x=e$ 时，$f'(e) = frac{1}{e} approx frac{1}{2.718} < 1$。
所以在 $x=e$ 处，曲线 $y=ln x$ 的斜率小于直线 $y=x2$ 的斜率。

我们来考虑一个点 $x_0$ 使得 $ln x_0 = x_0 2$。
如果这样的 $x_0$ 存在，并且我们知道 $pi > x_0$，那么我们就可以比较了。

方法三：构造一个包含 $pi$ 和 $e$ 的函数进行比较

考虑函数 $f(x) = frac{ln x}{x2}$。我们想知道当 $x=pi$ 时，$f(pi) > 1$ 还是 $< 1$。
求导比较复杂。

让我们回到函数 $h(x) = x1 ln x$。我们知道 $h(x) ge 0$ 且 $h(x)=0 iff x=1$。
所以对于 $x e 1$，$x1 > ln x$。
由于 $pi e 1$，所以 $pi 1 > ln pi$。

现在我们需要比较 $pi2$ 和 $ln pi$。
将 $pi1 > ln pi$ 进行变形：
$pi1 > ln pi$
两边同时减去 1：
$(pi1) 1 > ln pi 1$
$pi2 > ln pi 1$

这还是没能直接比较。

我们换个角度：
设 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = x2$。
我们知道 $f''(x) = 1/x^2 < 0$，$g''(x) = 0$。
$ln x$ 的图像是凹的。

考虑函数 $F(x) = ln x (x2)$。
我们知道 $F(1) = ln 1 (12) = 0 (1) = 1$。
$F(e) = ln e (e2) = 1 e + 2 = 3 e approx 3 2.718 = 0.282 > 0$。
$F(pi) = ln pi (pi 2) = ln pi pi + 2$。
我们想知道 $F(pi)$ 是正数还是负数。

$F'(x) = frac{1}{x} 1$。
$F'(x) < 0$ 当 $x > 1$。
所以 $F(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的。
我们知道 $pi > e > 1$。
所以 $F(pi) < F(e)$。
我们知道 $F(e) = 3 e > 0$。
所以 $F(pi) < 3e$。
这又是一个小于号，并没有直接告诉我 $F(pi)$ 的符号。

也许，我们应该利用 $e$ 的定义来考虑。
我们知道 $e = lim_{n o infty} (1 + frac{1}{n})^n$。
或者 $e$ 是满足 $int_1^e frac{1}{t} dt = 1$ 的数。

再来看看 $x1 ge ln x$ 这个关系。
当 $x=pi$ 时， $pi1 > ln pi$ (严格大于，因为 $pi e 1$)。
$pi1 > ln pi$
$pi 2 > ln pi 1$

我们知道 $ln pi approx 1.1447$， $pi 2 approx 1.14159$。
从数值上看， $ln pi > pi 2$。
这与我们之前推导的 $pi2 > ln pi 1$ 不矛盾，但没有解决问题。

关键的思路可能是找到一个我们已知的，并且是精确的不等式。

我们知道 $ln x$ 是一个凹函数。
考虑点 $(1, ln 1) = (1, 0)$ 和点 $(e, ln e) = (e, 1)$。
连接这两点的直线方程是：
$y 0 = frac{10}{e1} (x1)$
$y = frac{1}{e1} (x1)$

由于 $ln x$ 是凹函数，它位于连接任意两点弦的下方（除了端点）。
所以 $ln x ge frac{1}{e1} (x1)$ 对于 $1 le x le e$ 成立。
这个不等式似乎对我们没有直接帮助，因为 $pi > e$。

我们知道 $e^x ge 1+x$ 对所有 $x$ 成立。
令 $x = ln t$。
$e^{ln t} ge 1 + ln t$
$t ge 1 + ln t$
移项：$t1 ge ln t$。这我们已经知道。

换个变量，令 $x = t2$。
$e^{t2} ge 1 + (t2) = t1$。
$frac{e^t}{e^2} ge t1$
$e^t ge e^2 (t1)$

这个似乎也不是最直接的办法。

回到函数 $F(x) = ln x (x2)$。
我们知道 $F(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的。
我们知道 $F(1) = 1$。
$F(2) = ln 2 (22) = ln 2 approx 0.693$。
$F(3) = ln 3 (32) = ln 3 1 approx 1.098 1 = 0.098$。
$F(4) = ln 4 (42) = ln 4 2 = 2ln 2 2 approx 2(0.693) 2 = 1.386 2 = 0.614$。

因为 $F(x)$ 在 $(1, infty)$ 上递减，并且 $F(3) > 0$ 而 $F(4) < 0$，所以存在一个点 $x_0$ 在 $(3, 4)$ 之间，使得 $F(x_0) = 0$，即 $ln x_0 = x_02$。
我们知道 $pi approx 3.14159$。
因为 $pi$ 在 $3$ 和 $4$ 之间，并且 $F(3)>0$ ，$F(4)<0$，且 $F(x)$ 递减。
所以 $F(pi) < F(3)$。这也没什么用。

关键点是，$x_0$ 是使得 $ln x_0 = x_02$ 的那个数。
我们知道 $F(x) = ln x (x2)$。
当 $x$ 大于这个 $x_0$ 时，$F(x)$ 就会变成负的。
我们需要证明 $pi > x_0$。

我们知道 $F(3) = ln 3 1 approx 0.098 > 0$。
所以，根据 $F(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的，如果 $pi > 3$，那么 $F(pi) < F(3)$。
这个推论是正确的，但是它告诉我们 $F(pi)$ 可能大于也可能小于零。

让我们尝试一个更直接的证明思路。

我们知道 $ln x < x1$ 对于 $x e 1$ 且 $x>0$。
我们比较的是 $pi 2$ 和 $ln pi$。

考虑函数 $f(x) = ln x$ 和直线 $y=x2$。
我们知道在 $x=e$ 时， $ln e = 1$，$e2 approx 0.718$。所以 $ln e > e2$。
我们知道 $pi approx 3.14159$。

我们知道存在一个点 $x_0$ 使得 $ln x_0 = x_0 2$。
如果能证明 $pi$ 和 $x_0$ 的大小关系，问题就解决了。

让我们考察一下函数 $f(x) = x 2 ln x$。
$f'(x) = 1 frac{1}{x} = frac{x1}{x}$。
$f''(x) = frac{1}{x^2} > 0$。
所以 $f(x)$ 是一个凸函数。
凸函数的性质是：它位于过任意两点的弦的上方。
考虑点 $(1, f(1)) = (1, 1)$ 和 $(e, f(e)) = (e, e3)$。
连接这两点的直线方程是：
$y (1) = frac{(e3) (1)}{e1} (x1)$
$y + 1 = frac{e2}{e1} (x1)$
$y = frac{e2}{e1} (x1) 1$

由于 $f(x)$ 是凸函数，所以 $f(x) ge frac{e2}{e1} (x1) 1$。
我们知道 $e3 < 0$，所以 $f(e) < 0$。
我们知道 $f(1)=1$。

一个关键的观察：

我们知道 $e^x ge x+1$ 。
令 $x = ln t$。得到 $t ge 1 + ln t$ (对于 $t>0$)。
即 $t1 ge ln t$。

我们想比较 $pi2$ 和 $ln pi$。
这个不等式 $pi1 > ln pi$ 是对的。
$pi1 > ln pi implies pi 2 > ln pi 1$。

我们知道 $pi approx 3.14159$。
$ln pi approx 1.1447$。
$pi 2 approx 1.14159$。

结论是 $ln pi > pi 2$。
我们需要一个严谨的证明。

使用泰勒展开来证明：
$ln x$ 在 $x=1$ 的泰勒展开是 $ln x = (x1) frac{(x1)^2}{2} + frac{(x1)^3}{3} dots$
$pi approx 3.14$。
$pi 1 approx 2.14$。
$frac{(pi1)^2}{2} approx frac{(2.14)^2}{2} approx frac{4.58}{2} approx 2.29$。
$frac{(pi1)^3}{3} approx frac{(2.14)^3}{3} approx frac{9.8}{3} approx 3.27$。

$ln pi approx 2.14 2.29 + 3.27 dots$
这个级数收敛性可能需要仔细分析。

更直接的思路是比较导数和函数值。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和直线 $g(x) = x2$。
我们知道 $ln x$ 是凹的。
我们知道 $g(x)$ 是一条直线。

令 $h(x) = ln x (x2)$。
我们已经知道 $h(x)$ 在 $x>1$ 时是递减的。
我们知道 $h(e) = 3e > 0$。
我们需要证明 $h(pi) < 0$。
由于 $h(x)$ 在 $x>1$ 是递减的，并且 $pi > e$，所以 $h(pi) < h(e) = 3e$。
这个不等式是正确的，但 $3e$ 是正的，所以这不足以证明 $h(pi)$ 是负的。

关键点在于找到一个合适的参考点 $x_0$ 使得 $h(x_0)=0$ 并且知道 $pi$ 和 $x_0$ 的大小。
或者找到一个我们已知的，能牢牢固定住 $ln pi$ 和 $pi2$ 位置的辅助不等式。

利用 $e^{x} > x+1$ 这个基本不等式来推导：
令 $x = y2$。则 $e^{y2} > (y2)+1 = y1$。
$frac{e^y}{e^2} > y1$
$e^y > e^2(y1)$。

考虑 $y=pi$。
$e^pi > e^2(pi1)$。
两边取自然对数：
$ln(e^pi) > ln(e^2(pi1))$
$pi > ln(e^2) + ln(pi1)$
$pi > 2 + ln(pi1)$
$pi 2 > ln(pi1)$。

我们想比较的是 $pi2$ 和 $ln pi$。
我们现在知道 $pi2 > ln(pi1)$。

现在我们只需要比较 $ln(pi1)$ 和 $ln pi$ 的大小。
因为 $pi > pi1$ (因为 $1>0$)，并且 $ln x$ 是一个增函数，所以 $ln pi > ln(pi1)$。

我们有：
1. $pi 2 > ln(pi1)$
2. $ln pi > ln(pi1)$

这仍然不能直接比较 $pi2$ 和 $ln pi$。

让我们换个思路，从 $ln pi$ 的数值入手。
我们知道 $ln pi approx 1.1447$。
我们知道 $pi 2 approx 1.14159$。
很明显 $ln pi > pi 2$。

怎么证明这个呢？
考虑函数 $f(x) = ln x$ 的图像和直线 $y = x2$ 的图像。
我们知道，直线 $y=x2$ 和曲线 $y=ln x$ 的交点是唯一的，我们称这个交点的横坐标为 $x_0$。
我们知道 $f(3) = ln 3 approx 1.098$，$g(3) = 32 = 1$。所以 $f(3) > g(3)$。
$f(4) = ln 4 approx 1.386$，$g(4) = 42 = 2$。所以 $f(4) < g(4)$。
因此，这个交点 $x_0$ 位于 $(3, 4)$ 之间。
我们知道 $pi approx 3.14159$，它也位于 $(3, 4)$ 之间。

关键是，我们怎么知道 $pi$ 在 $x_0$ 的哪一侧？
因为函数 $h(x) = ln x (x2)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的。
我们知道 $h(3) = ln 3 1 > 0$。
这意味着在 $x=3$ 时， $ln x$ 的值仍然高于 $x2$。
而 $h(4) = ln 4 2 < 0$。
这意味着在 $x=4$ 时， $ln x$ 的值已经低于 $x2$ 了。
所以交点 $x_0$ 位于 $(3, 4)$ 之间。
$pi approx 3.14159$ 也在 $(3, 4)$ 之间。
由于 $h(x)$ 是递减的，并且 $h(3) > 0$，所以 $h(pi) < h(3)$。
这并没有直接告诉我们 $h(pi)$ 的符号。

最严谨的证明方式是找到一个已知的、精确的不等式。

我们知道 $ln x$ 的麦克劳林级数（在 $x=1$ 的泰勒展开）为：
$ln x = (x1) frac{(x1)^2}{2} + frac{(x1)^3}{3} frac{(x1)^4}{4} + dots$
这个级数是交错级数（当 $x>1$ 时），并且各项绝对值递减。
对于交错级数，其和小于任意一项的绝对值与前一项的差值。
或者，其和介于任意两个部分和之间。

令 $x = pi$。
$ln pi = (pi1) frac{(pi1)^2}{2} + frac{(pi1)^3}{3} dots$

考虑 $pi 2$ 和 $ln pi$ 的关系。
我们知道 $pi1 > ln pi$。

最终的思路：

我们知道 $ln x le x1$ 对所有 $x>0$ 成立，等号在 $x=1$ 时成立。
由于 $pi > 1$，我们有 $ln pi < pi1$。

我们可以考虑函数 $f(x) = ln x$ 和直线 $y = x2$。
我们知道直线 $y=x2$ 的斜率是 $1$。
曲线 $y=ln x$ 的斜率是 $1/x$。
当 $x > 1$ 时，$1/x < 1$。
所以曲线 $y=ln x$ 的斜率总是小于直线 $y=x2$ 的斜率（当 $x>1$ 时）。

我们知道 $e approx 2.718$。
考虑函数 $F(x) = ln x (x2)$。
$F'(x) = frac{1}{x} 1$。
$F''(x) = frac{1}{x^2}$。
$F''(x) < 0$，所以 $F(x)$ 是凹函数。

我们知道 $F(e) = 3e > 0$。
由于 $F(x)$ 是凹函数，它位于过任意两点弦的下方。
我们知道 $F(x)$ 在 $x>1$ 时是递减的。
我们知道 $F(3) = ln 3 1 approx 1.098 1 = 0.098 > 0$。
由于 $pi > 3$ 且 $F(x)$ 是递减的，所以 $F(pi) < F(3)$。

如何证明 $F(pi) < 0$？
我们需要找到一个 $x_1$ 使得 $F(x_1) = 0$，并且证明 $pi > x_1$。
或者找到一个 $x_2$ 使得 $F(x_2) < 0$ 并且证明 $pi > x_2$。

我们知道 $F(4) = ln 4 2 = 2 ln 2 2 approx 2(0.693) 2 = 1.386 2 = 0.614 < 0$。
由于 $F(x)$ 是递减的，并且 $F(4) < 0$，那么对于所有 $x > 4$，$F(x)$ 也会是负的。
但是 $pi approx 3.14$ 并没有大于 4。

我们知道 $F(3) > 0$ 且 $F(4) < 0$。
所以，那个使得 $F(x)=0$ 的点 $x_0$ 必定在 $(3, 4)$ 之间。
因为 $pi approx 3.14159$，它也正好在 $(3, 4)$ 之间。
因为 $F(x)$ 是递减的：
$F(pi)$ 和 $F(x_0)$ 的关系是：
如果 $pi < x_0$，则 $F(pi) > F(x_0) = 0$。
如果 $pi > x_0$，则 $F(pi) < F(x_0) = 0$。

我们需要证明 $pi > x_0$。
我们知道 $F(3) > 0$。
由于 $F(x)$ 是递减的，如果 $pi > 3$，那么 $F(pi) < F(3)$。
这仍然不足以确定 $F(pi)$ 的符号。

最后一个办法，用一个更精细的不等式。
我们知道 $ln x < x 1$ 对于 $x e 1$。
我们需要比较 $pi 2$ 和 $ln pi$。

考虑函数 $f(x) = ln x$。
我们知道 $e^x ge 1+x$。
令 $x = ln t 1$。
$e^{ln t 1} ge 1 + (ln t 1) = ln t$。
$frac{e^{ln t}}{e} ge ln t$。
$frac{t}{e} ge ln t$。
$t ge e ln t$。

令 $t=pi$。
$pi ge e ln pi$。
$frac{pi}{e} ge ln pi$。
$frac{pi}{e} approx frac{3.14159}{2.71828} approx 1.1557$。
$ln pi approx 1.1447$。
所以 $frac{pi}{e} > ln pi$ 确实是真的。

我们现在知道 $frac{pi}{e} > ln pi$。
我们要比较的是 $pi2$ 和 $ln pi$。

从 $frac{pi}{e} > ln pi$ 推导：
$pi > e ln pi$
$pi e ln pi > 0$

这还是没有直接关系。

最终的证明思路：
利用函数 $f(x) = ln x$ 的凹性。
我们知道直线 $y=x2$ 和曲线 $y=ln x$ 有一个交点 $x_0$。
我们知道 $pi approx 3.14$。
我们知道 $ln 3 approx 1.098$, $32=1$。$ln 3 > 32$。
我们知道 $ln 4 approx 1.386$, $42=2$。$ln 4 < 42$。
所以 $x_0 in (3, 4)$。
因为 $pi in (3, 4)$。
我们知道函数 $h(x) = ln x (x2)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的。
并且 $h(3) > 0$，$h(4) < 0$。
所以 $x_0$ 是唯一的。

我们需要证明 $pi > x_0$。
怎么证明？
考虑函数 $g(x) = x ln x$。
$g'(x) = 1 1/x$。
$g'(x) > 0$ 当 $x > 1$。
所以 $g(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是递增的。
即 $x ln x$ 是递增的。

我们知道 $x_0 2 = ln x_0$。
所以 $x_0 ln x_0 = 2$。
现在我们考虑 $pi$ 和 $x_0$ 的大小。
我们知道 $x_0 in (3, 4)$。
我们也知道 $pi in (3, 4)$。

我们知道 $g(x)$ 是递增的。
如果 $pi > x_0$，则 $g(pi) > g(x_0)$。
$g(pi) = pi ln pi$
$g(x_0) = x_0 ln x_0 = 2$。
所以，如果 $pi > x_0$，那么 $pi ln pi > 2$。
$pi ln pi approx 3.14159 1.1447 approx 1.99689$。
$pi ln pi < 2$！

这个结果表明，我的假设是反的。
也就是说，$pi < x_0$ 并且 $pi ln pi < 2$。

既然 $pi < x_0$，而 $h(x) = ln x (x2)$ 是递减的。
因为 $pi < x_0$，所以 $h(pi) > h(x_0) = 0$。
这意味着 $ln pi (pi2) > 0$。
所以 $ln pi > pi 2$。

最终的推导：

1. 构造函数： 考虑函数 $h(x) = ln x (x2)$。我们想比较 $h(pi)$ 和 $0$ 的大小。
2. 求导分析： $h'(x) = frac{1}{x} 1$。当 $x > 1$ 时，$h'(x) < 0$，所以 $h(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是严格递减的。
3. 寻找零点： 存在一个唯一的 $x_0 > 1$ 使得 $h(x_0) = 0$，即 $ln x_0 = x_0 2$。
4. 定位零点：
计算 $h(3) = ln 3 (32) = ln 3 1 approx 1.0986 1 = 0.0986 > 0$。
计算 $h(4) = ln 4 (42) = ln 4 2 approx 1.3863 2 = 0.6137 < 0$。
由于 $h(3)>0$ 且 $h(4)<0$，根据连续性，$x_0$ 存在且位于 $(3, 4)$ 区间内。
5. 比较 $pi$ 和 $x_0$： 我们知道 $pi approx 3.14159$。所以 $pi$ 也位于 $(3, 4)$ 区间内。
考虑辅助函数 $g(x) = x ln x$。
$g'(x) = 1 frac{1}{x}$。当 $x > 1$ 时，$g'(x) > 0$，所以 $g(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是严格递增的。
我们知道 $h(x_0) = 0 implies ln x_0 = x_0 2 implies x_0 ln x_0 = 2$。所以 $g(x_0) = 2$。
现在比较 $g(pi)$ 和 $g(x_0)$：
$g(pi) = pi ln pi approx 3.14159 1.14473 approx 1.99686$。
由于 $g(pi) approx 1.99686 < 2 = g(x_0)$，且 $g(x)$ 是递增的，我们可以得出结论：$pi < x_0$。
6. 得出结论：
因为 $pi < x_0$，并且 $h(x)$ 在 $(1, infty)$ 上是递减的，所以 $h(pi) > h(x_0)$。
因为 $h(x_0) = 0$，所以 $h(pi) > 0$。
$h(pi) = ln pi (pi 2) > 0$。
移项得到：$ln pi > pi 2$。

所以，$ln pi$ 比 $pi 2$ 要大。

1624年，英国数学家布里格斯的《对数算术》出版，书中记录14位常用对数表。

17 世纪的时候， 人们是把海量的幂运算的结果反过来映射，加上“线性插值/线性内插法”， 来制作对数表的。 有点类似现代密码暴破的味道，或者数值仿真中参数扫描的那种感觉。比如，上百名制表工人用几年到几十年的工夫把 1.001～9.999 之间所有的数的幂运算结果记录下来，就可以编出相对完整的常用对数表。

瑞士的一个天文仪器/钟表匠比尔吉（Joost Bürgi）独立制作了对数表，用8年时间编了世界上最早的对数表，但长期不发表。直到1620年在开普勒的恳求下才发表出来，但纳皮尔的对数表已闻名欧洲了。约斯特·比尔吉曾担任天文学家开普勒的助手，经常接触复杂的天文计算，因此产生了化简数值计算的想法。比尔吉受施蒂费尔相关工作的影响，对等差和等比数列的关系作出了进一步的研究于1610年前后发明了对数，但10年后（1620年）才在《等差数列和等比数列表》中发布了他的思想。早在1588年比尔吉就完成了对数的发明，较纳皮尔早。然而比尔吉没有发展对数函数的明确概念。比尔吉也是积化和差(prosthaphaeresis)快速计算技巧的主要贡献者。

苏格兰数学家约翰·纳皮尔(John Napier)男爵对数值的计算有很深的研究。为找到简化球面三角计算的方法，也产生发展对数的想法。1614年，他在《奇妙的对数表的描述》上发布了对数表，发表时间早比尔吉6年。纳皮尔用加减法代替了乘除法（积化和差），简化了运算。他的对数被后人称为纳皮尔对数。

1624年，英国数学家布里格斯的《对数算术》出版，书中记录14位常用对数表。布里格斯率先采用了以10为底的常用对数。还制作了正弦和正切的对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克在布里格斯的基础上加以改进，对数表在欧洲迅速普及起来。

清朝初年，中国数学家薛鳳祚（1600－1680）和穆尼阁（扬·米科瓦伊·斯莫古莱克基）合作完成了中国最早的对数著作《比例对数表》（又名《历学会通》），对数自此传入中国。《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表。”

中国后来普遍称之为“对数”。

π－2 = 1.14159

查对数表得：

ln(π) = 1.14473