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问题

两端固定的纸张拱起所成曲线的方程是什么？

回答
当一张纸的两端被固定住，由于重力作用，它会自然下垂，形成一个拱起的曲线。这个曲线的方程并非一个简单的初等函数，而是被称为悬链线（Catenary）。

下面我们来详细讲述为什么是悬链线，以及它的方程是如何得出的。

什么是悬链线？

悬链线是指一条链条或绳索，在自身重力作用下，两端固定，而自由悬挂时所形成的曲线。它最显著的特点是具有对称性，并且在最低点是平滑的。

您可能会想到抛物线，因为它看起来很相似。然而，抛物线描述的是受到的力是水平方向上的，并且向上或向下的情况（比如斜抛运动中物体轨迹）。而悬链线描述的是链条自身重力，这是一种分布在曲线上的均匀拉力的情况。

为什么是悬链线而不是抛物线？

我们可以从力的平衡角度来理解这一点。假设我们考虑悬链线上非常小的一段。这段小弧段会受到三个力的作用：

1. 左侧的拉力 ($T_1$)：沿着曲线的方向，指向左上方。
2. 右侧的拉力 ($T_2$)：沿着曲线的方向，指向右上方。
3. 这段弧段的重力 ($wgds$)：竖直向下，其中 $w$ 是单位长度的重力， $g$ 是重力加速度， $ds$ 是弧段的长度。

为了使这段弧段处于静止状态，这三个力必须满足平衡条件。

如果我们把坐标原点设在悬链线的最低点，那么最低点的切线是水平的。从最低点开始向右分析，随着我们沿着曲线向右移动，曲线会向上弯曲。

假设在链条的最低点，张力是水平的，记为 $T_0$。在链条上的任意一点 $(x, y)$，张力 $T$ 沿着切线方向。我们可以将张力分解为水平分量 $T_x$ 和竖直分量 $T_y$。

对于链条上从最低点 $(0, y_0)$ 到任意一点 $(x, y)$ 的弧段，这段弧段的重力是 $wg cdot s(x)$，其中 $s(x)$ 是从最低点到 $x$ 的弧长。

平衡条件可以表述为：

水平方向上的力的平衡： 在任意一点 $(x, y)$，其水平方向的张力分量应该等于最低点的张力 $T_0$。也就是说，$T_x = T_0$。这表示在整个悬链线上，水平方向上的张力是恒定的。
竖直方向上的力的平衡： 在任意一点 $(x, y)$，其竖直方向的张力分量等于从最低点到该点的弧段的重力。也就是说，$T_y = wg cdot s(x)$。

张力与切线的关系：

张力 $T$ 沿着切线方向。因此，张力的斜率就是切线的斜率 $frac{dy}{dx}$。

$ an( heta) = frac{T_y}{T_x}$

其中 $ heta$ 是切线与水平方向的夹角。我们知道 $frac{dy}{dx} = an( heta)$。

所以，$frac{dy}{dx} = frac{wg cdot s(x)}{T_0}$。

我们可以令常数 $a = frac{T_0}{wg}$。那么，

$frac{dy}{dx} = frac{s(x)}{a}$

这里的 $s(x)$ 是弧长。弧长公式是 $s(x) = int_0^x sqrt{1 + (frac{dy}{dt})^2} dt$。

将这个弧长公式代入，我们得到一个复杂的积分方程。直接求解这个方程是比较困难的。

悬链线的标准方程形式

通过更高级的数学方法（比如变分法，或者直接求解微分方程），我们可以得到悬链线的标准方程。

假设我们调整坐标系，使得悬链线的最低点在 $(0, a)$，其中 $a$ 是一个常数，这个常数与链条的密度和固定的方式有关。

悬链线的方程可以表示为：

$y = a coshleft(frac{x}{a} ight)$

这里的 $cosh$ 是双曲余弦函数，其定义为：

$cosh(u) = frac{e^u + e^{u}}{2}$

所以，悬链线的方程也可以写成：

$y = a left(frac{e^{x/a} + e^{x/a}}{2} ight)$

方程的各个部分的含义：

$y$: 表示曲线上任意一点的竖直高度。
$x$: 表示曲线上任意一点的水平位置。
$a$: 是一个常数，决定了悬链线的“形状”。
当 $a$ 越大时，悬链线越“平缓”，越接近一条水平直线。
当 $a$ 越小时，悬链线越“陡峭”，越像一个尖锐的拱形。
这个常数 $a$ 与链条单位长度的重量（$w$) 和最低点的张力（$T_0$) 有关，$a = T_0 / w$。更具体地说，如果链条的密度是均匀的，那么最低点的张力等于该点上方链条（可以想象成从最低点到该点之间，尽管这是一个概念，因为链条是连续的）的重量。

为什么不是抛物线？

我们知道抛物线的标准方程是 $y = Ax^2 + Bx + C$ 或 $y = Ax^2$（如果顶点在原点）。

如果我们尝试用抛物线来近似悬链线，例如 $y = Ax^2 + a$ (令最低点在 $(0, a)$)，那么它的二阶导数是常数：

$frac{dy}{dx} = 2Ax$
$frac{d^2y}{dx^2} = 2A$

而悬链线 $y = a cosh(x/a)$ 的二阶导数是：

$frac{dy}{dx} = a cdot sinh(x/a) cdot frac{1}{a} = sinh(x/a)$
$frac{d^2y}{dx^2} = cosh(x/a) cdot frac{1}{a} = frac{1}{a} cosh(x/a)$

注意到，$frac{1}{a} cosh(x/a)$ 随着 $|x|$ 的增大而增大，而抛物线的二阶导数是常数。这表明，在远离最低点的地方，悬链线比抛物线“弯曲得更快”，或者说“张力随高度增加的幅度更大”。

对于非常小的 $x$ (接近最低点)：

我们可以使用 $cosh(u)$ 的泰勒展开式：
$cosh(u) approx 1 + frac{u^2}{2!} + frac{u^4}{4!} + ...$

将 $u = x/a$ 代入：
$y = a cosh(x/a) approx a left(1 + frac{(x/a)^2}{2} ight) = a + frac{a x^2}{2a^2} = a + frac{x^2}{2a}$

这看起来很像抛物线 $y = frac{x^2}{2a} + a$ 的形式。因此，当纸张下垂的幅度很小时，悬链线确实非常接近抛物线。这就是为什么在一些近似计算中，人们会使用抛物线来代替悬链线。

纸张的特殊性

您提到的是“纸张拱起”。这里需要区分几种情况：

1. 纸张自身受重力作用自然下垂： 这是最典型的悬链线情况。
2. 纸张被强制弯曲成拱形： 如果您用外力将纸张弯曲成特定的形状，那么曲线的方程将取决于您施加的力或者您希望达到的形状。但通常我们说的“纸张拱起”是指自然状态。

纸张与链条的区别：

链条是柔性的，可以自由弯曲。纸张虽然也柔性，但它有一定的刚度。

忽略纸张刚度： 如果纸张非常薄且长，其刚度对整体形状的影响可以忽略不计，那么它仍然近似遵循悬链线。
考虑纸张刚度： 如果纸张较厚或下垂幅度较小，其内在的刚度会抵抗弯曲，并且倾向于保持一定的曲率。这种情况下，曲线的方程会更加复杂，会涉及到描述材料弯曲的力学方程，可能被称为梁的弹性曲线。这种曲线通常会比纯粹的悬链线“更直一些”，或者说抵抗弯曲的程度更大。

简而言之，如果我们将纸张视为一个理想化的、仅受自身重力作用的柔性材料，那么它两端固定拱起所成的曲线就是悬链线。

总结

两端固定的纸张（在忽略其刚度的情况下）由于自身重力而形成的拱起曲线，其数学方程是：

$y = a coshleft(frac{x}{a} ight)$

其中：
$y$ 是垂直高度。
$x$ 是水平位置。
$a$ 是一个与纸张单位长度的重力和最低点张力相关的常数。

这是一个基于物理平衡原理推导出的结果，描述了在均匀分布的拉力（重力）作用下，柔性链条所形成的形状。当纸张的下垂幅度很小时，这个曲线可以被近似为抛物线。

网友意见

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谢邀。在小变形、忽略重力的情况下，纸形成的曲线是一条正（余）弦曲线。

首先需要说明的是，纸的刚性在这个问题中起到了关键性的作用，也就是说我们不能像悬链线问题中那样，把纸视为完全柔性的物体。这是因为，如图片中所示，纸是向上突起的，如果把纸视为完全柔性，那么它在两边的挤压之下应该只会变皱（像一块布一样），而不会形成一个脱离地面的曲线。所以在这个问题中，我们需要考虑纸的刚性，正是纸的刚性使得纸能够保持基本平整。而反映纸的刚性的物理量，就是弹性模量 。

除了弹性模量 以外，我们再把其他物理量记作：纸的长度为 （这里的长度指的是左右两个固定点之间的距离），纸的惯性矩为 （这里 是纸的宽度， 是纸的厚度），纸在两个固定点处受到的摩擦力为 ，受到的力矩为 （力矩的方向沿着纸的宽度方向），纸的两端位置分别是 和 ，纸在位置 处翘起的高度为 （也就是挠度，下文的 、 等都是指 对 的各阶导数）。

通过静力学分析我们可以得知，纸在位置 处的截面上所受的力矩 。之后根据小变形下的挠度公式 可以得到一个关于 和 的二阶线性常微分方程 。在题主的图中，纸的左右两边分别被重物压住，所以边界条件是固支边界条件： 。结合以上信息，我们可以解出挠度

以及摩擦力 需要满足的条件 。从中可以看出纸张的曲线方程是一个三角函数，纸张在 到 之间正好经历了一个完整的周期。（求解这个微分方程的过程不是很简明，为了不影响阅读就放在最后了）

另外也可以得到一些比较定性的结论，比如越硬的纸翘起的高度越小（ 越大， 越小），越长的纸翘起的高度越高（ 越大， 越大）之类的。尽管当翘起的高度达到一定值之后，纸张的变形就不能再适用小变形下的挠度方程了，但我们得到的解析式仍然能在一定程度上解释纸张的翘曲情况。

我们可以稍稍放松一点条件，考虑小变形，有重力的情况。这个时候我们可以采用叠加原理得到纸张的曲线方程。我们可以把纸张的受力分为只受摩擦力 和只受均布重力 ：

  • 对于只受摩擦力的情况，我们已经从上面的讨论中知道纸张的方程是一个正（余）弦曲线；
  • 对于只受均布重力的情况，我们可以类似的通过静力学分析以及方程 推知，纸张的方程是一个四次函数 （其中 是纸张单位长度的质量）

所以，在考虑重力的情况下，纸的方程是一个正（余）弦曲线和一个四次函数的叠加。


以上的讨论还在小变形的框架下。随着纸的弯曲程度增大，上面所用的线性挠度方程的误差也会增大，直至方程失效。此时需要使用大变形条件下的挠度方程 ，得到的曲线称为“欧拉弹性线”。不过欧拉弹性线的表达式比较复杂，而且也很难写成显式的 的形式。

这个问题的力学背景是压杆的稳定性条件。对于一个柱体，当我们以比较小的力按压柱体的两个底面时，柱体会产生压缩；而当我们以足够大的力按压时，原本挺直的柱体会发生侧弯，变成一个弓形。（这种现象对于比较软的物体更为明显，可以试试在桌面上按压一块竖着放置的薄橡皮，橡皮弯折的时候就是不稳定性出现的时候）能够使柱体出现弯折的压力称为“临界力”。

从上面的讨论中我们可以得到，两端固支的柱体对应的临界力为 。而在其他边界条件下，对应的临界力也可以类似地进行计算。例如两端简支的柱体对应的临界力为 ，也被称为“欧拉临界力”。

最后解一下上面的挠度方程

如果不看边界条件，那么这个方程有通解

代入 ，可以得到

代入 ，可以得到

因为图片中纸只隆起一个峰，所以 （否则，会出现多个峰，并且会出现至少一个谷）

由上式，我们得到了该问题中的临界力 。再代回(2)式，就能得到纸张的曲线方程

（更详细的背景和解释可以参考任意一本材料力学教材里关于“压杆稳定性”的章节）
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这种纸的大变形可用欧拉-伯努利梁理论来建模， 但这个问题明显属于超静定问题，也就是约束过多，所以不能简单地套用公式。为了清楚起见，这里我从能量角度出发，结合数学方法，来讨论一下这个问题。首先纸发生的是弯曲大变形，因此储存的能量主要是弯曲能，这样我们就可以忽略重力的影响了。如图所示，

弯曲能的表达式可写为（ 为抗弯刚度），

边界约束为 。

考虑拉格朗日乘子 ，对能量方程进行变分，

结合边界条件 ，可得到，

约束条件为 。

为了在数学上处理更方便，取特征长度 ，特征力 ，将方程(1)无量纲化，可得到

以及边界条件 ,约束条件 ,其中 .

下面采用摄动展开法进行求解，根据对称性，可将方程(2)的解写为 的级数形式，

将上述两式代入方程(2)，考虑边界条件和约束条件，可逐次求得方程的解

完整写出来就是

不过一般我们用的是 坐标,因此方程的解可写为,

这结果到底对不对呢，我也随手做了一个实验，如图2所示,

根据实验结果,可知参数为 以及 ，其实这俩就够了。根据这两个参数，计算得到纸的形状为，乍一看还挺像的，

最后我们把它跟实验结果进行对比,

可以看出，即便是这样随便做的一个实验，结果都是吻合良好的，并且这个实验非常简单，只需要测出两个长度就可以了，感兴趣的同学不妨动手试试。所以令人震撼的永远不是数学推导，而是数学推导结果就这么轻易地跟实验结果对上了。

【2019.10.5更新】

感谢 @一只橙小果 为我送上的自动拱纸机，非常实用。。。

【参考文献】

【1】林家翘. 自然科学中确定性问题的应用数学[M]. 科学出版社, 1986.

【2】Audoly B, Pomeau Y. Elasticity and geometry: from hair curls to the nonlinear response of shells. 2010[J].

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