n - r = 基础解系的个数，这是为什么？
“n r = 基础解系的个数” 这个结论源自线性代数中关于齐次线性方程组和向量空间的概念。为了详细解释这个原因，我们需要一步步地深入理解相关概念。
核心概念：
1. 齐次线性方程组 (Homogeneous Linear System):
形式为 $Ax = 0$ 的线性方程组，其中 $A$ 是一个 $m imes n$ 的系数矩阵，$x$ 是一个 $n imes 1$ 的未知向量，而 $0$ 是一个 $m imes 1$ 的零向量。
2. 解空间 (Solution Space) / 核空间 (Null Space):
齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的所有解组成的集合，记作 $N(A)$。这个解空间是一个向量空间，并且是 $R^n$（如果 $x$ 是 $n$ 个变量的向量）的一个子空间。
3. 秩 (Rank) 的定义:
矩阵 $A$ 的秩，记作 $r$ 或 $ ext{rank}(A)$，是指矩阵 $A$ 的列向量或行向量所构成的线性无关组的最大个数。在齐次线性方程组 $Ax = 0$ 中，秩 $r$ 也等于将矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵（或行最简形矩阵）后，非零行的个数。
4. 零度 (Nullity) 的定义:
矩阵 $A$ 的零度，记作 $ ext{nullity}(A)$，是指其解空间 $N(A)$ 的维数。
基本定理：秩零度定理 (RankNullity Theorem)
对于一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$，其秩与零度之间存在一个重要的关系：
$$ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n $$
其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数（即未知向量 $x$ 的维数）。
为什么秩零度定理成立？
要理解为什么 $ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$，我们需要考察方程组 $Ax = 0$ 的解是如何构成的。
当我们把矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵（或行最简形矩阵）$U$ 时，方程组 $Ax = 0$ 就等价于 $Ux = 0$。在这个过程中，列的线性相关性不会改变。
假设矩阵 $A$ 的秩为 $r$。这意味着通过行初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵 $U$，其中有 $r$ 个非零行。这 $r$ 个非零行对应的变量与另外 $nr$ 个变量之间存在着固定的关系。
在行阶梯形矩阵 $U$ 中，我们可以识别出主元列 (pivot columns) 和自由列 (free columns)。
主元列: 包含主元的列，主元（pivot）通常是每行第一个非零元素。
自由列: 不包含主元的列。
关键点：
主元变量 (Pivot Variables): 与主元列对应的变量。
自由变量 (Free Variables): 与自由列对应的变量。
矩阵 $A$ 的秩 $r$ 恰好等于主元列的个数。
由于矩阵有 $n$ 列，并且 $r$ 列是主元列，所以就有 $n r$ 列是自由列。
因此，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有 $n r$ 个自由变量。
自由变量的意义：
自由变量的值可以任意选取（例如，可以是任意实数）。一旦自由变量的值确定了，主元变量的值也就唯一确定了。
如何构造基础解系？
基础解系是由一组线性无关的向量组成的，这些向量能够通过线性组合生成解空间中的任何一个解。对于齐次线性方程组 $Ax=0$，基础解系的个数就是解空间的维数，也就是零度 $ ext{nullity}(A)$。
我们知道有 $nr$ 个自由变量。我们可以通过为每个自由变量赋予一个特殊的取值来构造基础解向量：
1. 令第一个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
2. 令第二个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
3. ...
4. 令第 $(nr)$ 个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
这样，我们就可以得到 $nr$ 个特解向量。这些特解向量是线性无关的，并且它们的线性组合可以生成解空间中的任何一个解。因此，这 $nr$ 个特解向量就构成了齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系。
所以，基础解系的个数就等于自由变量的个数，也就是 $n r$。
正式证明（基于向量空间的基）：
设 $A$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，其秩为 $r$。对 $A$ 进行行初等变换得到行最简形矩阵 $U$。
方程组 $Ax = 0$ 的解集就是矩阵 $A$ 的核空间 $N(A)$。
根据秩零度定理，$ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$。
我们已经知道 $ ext{rank}(A) = r$。
所以，$ ext{nullity}(A) = n r$。
零度 $ ext{nullity}(A)$ 的定义就是核空间 $N(A)$ 的维数。
向量空间的维数等于构成该向量空间的一个基的向量的个数。
因此，解空间 $N(A)$ 的维数是 $n r$，这意味着我们可以找到 $n r$ 个线性无关的向量，它们构成了解空间的一个基。这 $nr$ 个向量就是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系。
总结：
齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解构成了矩阵 $A$ 的核空间 $N(A)$。
核空间 $N(A)$ 的维数（零度）决定了基础解系的个数。
矩阵的秩 $r$ 等于其列空间的维数，也等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数，更等于主元列的个数。
列的个数 $n$ 减去主元列的个数 $r$ 就是自由列的个数，也就是自由变量的个数 ($nr$)。
自由变量的个数直接决定了我们可以构造出多少个线性无关的基础解向量。每个自由变量独立取值（1 vs 0），产生一个基础解向量。
因此，$n r = ext{nullity}(A) = $ 基础解系的个数。
举例说明：
考虑方程组：
$$ egin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 end{cases} $$
矩阵形式为 $Ax=0$：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 end{pmatrix}, quad x = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} $$
将 $A$ 化为行阶梯形（甚至行最简形）：
$$ egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 end{pmatrix} xrightarrow{R_2 2R_1} egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
矩阵 $A$ 是 $2 imes 3$ 的，所以 $m=2, n=3$。
行阶梯形矩阵中的非零行个数为 1，所以秩 $r = ext{rank}(A) = 1$。
根据秩零度定理，$n r = 3 1 = 2$。这意味着基础解系的个数是 2。
在行最简形矩阵 $egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$ 中：
第一列是主元列（主元是 1）。
第二列和第三列是自由列。
主元变量是 $x_1$。
自由变量是 $x_2, x_3$。
我们有 $nr = 31 = 2$ 个自由变量 ($x_2, x_3$)。
现在，我们通过为自由变量赋予不同的值来构造基础解系：
1. 令 $x_2 = 1, x_3 = 0$。
根据方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们得到 $x_1 + 1 + 0 = 0$，所以 $x_1 = 1$。
得到第一个特解向量 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$。
2. 令 $x_2 = 0, x_3 = 1$。
根据方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们得到 $x_1 + 0 + 1 = 0$，所以 $x_1 = 1$。
得到第二个特解向量 $v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$。
向量 $v_1$ 和 $v_2$ 是线性无关的，并且它们构成了原方程组解空间的一个基。因此，基础解系的个数是 2，这与我们计算的 $n r = 3 1 = 2$ 相符。
这就是“n r = 基础解系的个数”的原因，它背后蕴含着线性代数中关于矩阵秩、向量空间维数以及齐次线性方程组解的深刻联系。
核心概念：
1. 齐次线性方程组 (Homogeneous Linear System):
形式为 $Ax = 0$ 的线性方程组，其中 $A$ 是一个 $m imes n$ 的系数矩阵，$x$ 是一个 $n imes 1$ 的未知向量，而 $0$ 是一个 $m imes 1$ 的零向量。
2. 解空间 (Solution Space) / 核空间 (Null Space):
齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的所有解组成的集合，记作 $N(A)$。这个解空间是一个向量空间，并且是 $R^n$（如果 $x$ 是 $n$ 个变量的向量）的一个子空间。
3. 秩 (Rank) 的定义:
矩阵 $A$ 的秩，记作 $r$ 或 $ ext{rank}(A)$，是指矩阵 $A$ 的列向量或行向量所构成的线性无关组的最大个数。在齐次线性方程组 $Ax = 0$ 中，秩 $r$ 也等于将矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵（或行最简形矩阵）后，非零行的个数。
4. 零度 (Nullity) 的定义:
矩阵 $A$ 的零度，记作 $ ext{nullity}(A)$，是指其解空间 $N(A)$ 的维数。
基本定理：秩零度定理 (RankNullity Theorem)
对于一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$，其秩与零度之间存在一个重要的关系：
$$ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n $$
其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数（即未知向量 $x$ 的维数）。
为什么秩零度定理成立？
要理解为什么 $ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$，我们需要考察方程组 $Ax = 0$ 的解是如何构成的。
当我们把矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵（或行最简形矩阵）$U$ 时，方程组 $Ax = 0$ 就等价于 $Ux = 0$。在这个过程中，列的线性相关性不会改变。
假设矩阵 $A$ 的秩为 $r$。这意味着通过行初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵 $U$，其中有 $r$ 个非零行。这 $r$ 个非零行对应的变量与另外 $nr$ 个变量之间存在着固定的关系。
在行阶梯形矩阵 $U$ 中，我们可以识别出主元列 (pivot columns) 和自由列 (free columns)。
主元列: 包含主元的列，主元（pivot）通常是每行第一个非零元素。
自由列: 不包含主元的列。
关键点：
主元变量 (Pivot Variables): 与主元列对应的变量。
自由变量 (Free Variables): 与自由列对应的变量。
矩阵 $A$ 的秩 $r$ 恰好等于主元列的个数。
由于矩阵有 $n$ 列，并且 $r$ 列是主元列，所以就有 $n r$ 列是自由列。
因此，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有 $n r$ 个自由变量。
自由变量的意义：
自由变量的值可以任意选取（例如，可以是任意实数）。一旦自由变量的值确定了，主元变量的值也就唯一确定了。
如何构造基础解系？
基础解系是由一组线性无关的向量组成的，这些向量能够通过线性组合生成解空间中的任何一个解。对于齐次线性方程组 $Ax=0$，基础解系的个数就是解空间的维数，也就是零度 $ ext{nullity}(A)$。
我们知道有 $nr$ 个自由变量。我们可以通过为每个自由变量赋予一个特殊的取值来构造基础解向量：
1. 令第一个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
2. 令第二个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
3. ...
4. 令第 $(nr)$ 个自由变量取值为 1，其余自由变量取值为 0。
这样，我们就可以得到 $nr$ 个特解向量。这些特解向量是线性无关的，并且它们的线性组合可以生成解空间中的任何一个解。因此，这 $nr$ 个特解向量就构成了齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系。
所以，基础解系的个数就等于自由变量的个数，也就是 $n r$。
正式证明（基于向量空间的基）：
设 $A$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，其秩为 $r$。对 $A$ 进行行初等变换得到行最简形矩阵 $U$。
方程组 $Ax = 0$ 的解集就是矩阵 $A$ 的核空间 $N(A)$。
根据秩零度定理，$ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$。
我们已经知道 $ ext{rank}(A) = r$。
所以，$ ext{nullity}(A) = n r$。
零度 $ ext{nullity}(A)$ 的定义就是核空间 $N(A)$ 的维数。
向量空间的维数等于构成该向量空间的一个基的向量的个数。
因此，解空间 $N(A)$ 的维数是 $n r$，这意味着我们可以找到 $n r$ 个线性无关的向量，它们构成了解空间的一个基。这 $nr$ 个向量就是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系。
总结：
齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解构成了矩阵 $A$ 的核空间 $N(A)$。
核空间 $N(A)$ 的维数（零度）决定了基础解系的个数。
矩阵的秩 $r$ 等于其列空间的维数，也等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数，更等于主元列的个数。
列的个数 $n$ 减去主元列的个数 $r$ 就是自由列的个数，也就是自由变量的个数 ($nr$)。
自由变量的个数直接决定了我们可以构造出多少个线性无关的基础解向量。每个自由变量独立取值（1 vs 0），产生一个基础解向量。
因此，$n r = ext{nullity}(A) = $ 基础解系的个数。
举例说明：
考虑方程组：
$$ egin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 end{cases} $$
矩阵形式为 $Ax=0$：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 end{pmatrix}, quad x = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix} $$
将 $A$ 化为行阶梯形（甚至行最简形）：
$$ egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 end{pmatrix} xrightarrow{R_2 2R_1} egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
矩阵 $A$ 是 $2 imes 3$ 的，所以 $m=2, n=3$。
行阶梯形矩阵中的非零行个数为 1，所以秩 $r = ext{rank}(A) = 1$。
根据秩零度定理，$n r = 3 1 = 2$。这意味着基础解系的个数是 2。
在行最简形矩阵 $egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$ 中：
第一列是主元列（主元是 1）。
第二列和第三列是自由列。
主元变量是 $x_1$。
自由变量是 $x_2, x_3$。
我们有 $nr = 31 = 2$ 个自由变量 ($x_2, x_3$)。
现在，我们通过为自由变量赋予不同的值来构造基础解系：
1. 令 $x_2 = 1, x_3 = 0$。
根据方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们得到 $x_1 + 1 + 0 = 0$，所以 $x_1 = 1$。
得到第一个特解向量 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$。
2. 令 $x_2 = 0, x_3 = 1$。
根据方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$，我们得到 $x_1 + 0 + 1 = 0$，所以 $x_1 = 1$。
得到第二个特解向量 $v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$。
向量 $v_1$ 和 $v_2$ 是线性无关的，并且它们构成了原方程组解空间的一个基。因此，基础解系的个数是 2，这与我们计算的 $n r = 3 1 = 2$ 相符。
这就是“n r = 基础解系的个数”的原因，它背后蕴含着线性代数中关于矩阵秩、向量空间维数以及齐次线性方程组解的深刻联系。
网友意见
所以该齐次线性方程组的解空间为
也就是说，解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间，即
由维数公式
我觉得这个观点很直观，可能我写得太简洁了，我举个例子说明吧。
解方程组：
我们把矩阵视为三个行向量的排列，
原方程组的解空间 是由三个集合的交集所决定的：
我们现在去分析每个 的几何意义是什么。
，内积为零，即两个向量正交。也就是说， 表示的是 中与 垂直的空间（正交补空间，可以证明这是一个线性空间），我们记为 ，故有
在解析几何中，
就表示法向量为 且过原点的平面。单个向量生成的空间维数是 ，平面（正交补空间）的维数是 ，两者之和恰好就是 的维数。即，
这个式子对于高维空间也成立。
如上图，红色向量是 ，红色平面是与之垂直的线性空间，其他向量与平面以此类推。
注意到 （红向量加蓝向量得到绿向量），这三个向量共面——线性相关。这三个向量实际上生成的空间是黄色的平面，它的维数是 ，等价于系数矩阵的秩等于 .
也就是说，我们最后要求的是与平面 正交的空间——刚好就是 轴，正是图片中三个平面相交的直线，即方程组的解 .
我们最后总结一下，
所以该齐次线性方程组的解空间为
也就是说，解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间，即
由维数公式 即可知，解空间的维数等于
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