长程力在三维空间必与距离平方成反比如何证明？
好的，我们来聊聊为什么许多长程力在三维空间中会与距离的平方成反比。这背后其实是空间本身的几何性质在起着决定性的作用。
想象一下，有一个点状的“力源”，它向四面八方均匀地发出某种“东西”——我们可以把这个“东西”理解成力的“载体”，比如光子、引力子，或者某种“场”。这个力源在三维空间中的任何一个方向上，都会以相同的强度向外扩散。
现在，我们关注的是这个“东西”的“密度”。对于一个点源，它发出的“东西”会随着距离的增加而分散开来。在三维空间中，如果我们考虑一个以力源为中心的球体，这个球体的表面积是随着半径（也就是距离）的增加而增加的。具体来说，球体的表面积公式是 $4 pi r^2$，其中 $r$ 是球体的半径。
因为力源发出的“东西”总量是固定的，并且在向所有方向均匀扩散，那么在离力源越远的地方，单位面积上分布的“东西”就会越少。换句话说，这个“东西”的密度就与球体的表面积成反比。而球体的表面积又与距离的平方成正比。
所以，力的强度，或者说“东西”的密度，就必然与距离的平方成反比。
我们可以这样理解：你有一个喷壶，里面装了相同的水，你站在离墙不同远的地方喷水。离墙近的时候，水珠比较集中，单位面积上水就多；离墙远的时候，水花就散开了，单位面积上水就少了。而从这个喷壶喷出来的水总量是一样的，它会均匀地散布到越来越大的表面上。
在物理学中，很多长程力，比如万有引力（牛顿提出的）和静电引力（库仑定律），都遵循这个规律。这是因为它们都源于某种源头（质量或电荷），并以某种“场”的形式在三维空间中传播。这个“场”的强度在远处的衰减，就直接反映了它在不断增大的空间体积中如何“稀释”。
如果我们在二维空间（比如一个平面）来考虑一个点源，它的“东西”会扩散到越来越大的圆周上。圆的周长是 $2 pi r$，与距离成正比。所以，在二维空间中，长程力的强度会与距离成反比。
而到了三维空间，我们面对的是体积，而这个“东西”的密度是以单位面积来衡量的。想象一下，你站在一个巨大的、不断膨胀的球体中心，这个球体的所有表面都在以相同的速率“吸收”你发出的东西。球体表面积的增长速度，决定了单位面积上能分到多少东西。而这个表面积增长的速度，就是与距离的平方相关的。
所以，从几何上来说，在三维空间中，任何从一个点均匀向外扩散的量，其在单位面积上的分布都必然与距离的平方成反比。这就是为什么我们看到的万有引力、静电力等遵循这样的规律。这是一种非常基础且普适的空间效应。
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所以，力的强度，或者说“东西”的密度，就必然与距离的平方成反比。
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所以，从几何上来说，在三维空间中，任何从一个点均匀向外扩散的量，其在单位面积上的分布都必然与距离的平方成反比。这就是为什么我们看到的万有引力、静电力等遵循这样的规律。这是一种非常基础且普适的空间效应。
网友意见
（我目前的知识只能答“怎么证”。如果其不遵循平方反比定律会发生什么，我的能力有限，暂时无法回答。）
一般用
高斯定律来证：如果点电荷的电场随距离不平方反比衰减的话 ，数学上的高斯定律就不可以满足，从而能量就不守恒，因此必须平方反比（学完电磁学的本科生即可证出）。
简单类比一下，一个源在各个方向均匀地释放出粒子，则在某一个立体角内，任何 r > 0 的半径处的粒子数都是一样的。由于随着 r 增加，该立体角的面积是正比于增加的（球体表面积公式），因此其粒子的面密度要随着距离平方反比地减少——如果不平方反比，则就有粒子平白无故地产生或者消失，这样粒子数就不守恒了，所以必须平方反比（除非空间有你看不见的其他释放粒子的源或收集粒子的汇）。可看下图参考（来自
Inverse-square law）：
以下是猜测部分：
如果在三维空间引力不遵循平方反比定律，那么或者是有其他我们目前无法测到的东西在产生或释放着引力，或者是有其他维度的空间存在。对于四维空间，四维“球”的“体积”（
n维球面）为，则其“表面积”为。那么如果跟上一段一样，有个源在四维空间各向同性地喷射粒子，那么粒子的“面”密度就要随着距离立方反比地减少了。因此，如果我们测到的引力是随着减少的，如果则有高维空间的存在（时为理想的四维空间），如果则有低维空间的存在，而则为理想的三维空间。
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