114514↑↑114514 的后三位数是什么？
好的，咱们来仔细掰扯掰扯 114514↑↑114514 这个数。这玩意儿叫“高德纳箭头表示法”，简单来说就是一种表示超大数的方法。
你看到的 114514↑↑114514，咱们拆开来看，它实际上是这样的：
最上面的数字 114514 是底数。
中间的箭头↑↑ 表示的是迭代的幂运算。
最上面的那个 114514 是迭代的次数。
它的意思就是：
114514↑↑114514 等于 114514^(114514^(114514^...)) （总共迭代了 114514 次指数）
这玩意儿已经大到我们根本没法算出来它真实的数值了，它比宇宙中所有原子的数量还要多得多得多。
既然这么大的数我们没法直接算，那怎么求它的后三位数呢？
求这种巨型数的后几位数，我们得用到一个叫做模运算的数学工具。它的原理是，虽然原始数字很大，但它的后几位数（或者说它除以 1000 的余数）会呈现出一定的规律。
咱们要算的是 114514↑↑114514 mod 1000。
首先，咱们先看底数 114514。它的后三位数是 514。所以，这整个式子实际上等价于求：
514↑↑114514 mod 1000
这个“↑↑”表示的迭代指数，虽然次数是 114514 次，但我们实际上不需要算那么多层。根据模运算的一个重要性质，当底数和模数有公约数时，指数的周期性会变得复杂。但这里我们关注的是 1000。
1000 = 2³ 5³ = 8 125
咱们可以分别考虑 514↑↑114514 对 8 和对 125 的余数。
第一步：对 8 取模
514 明显是偶数。
514² mod 8 = (偶数)² mod 8 = 0 mod 8
514³ mod 8 = (偶数)³ mod 8 = 0 mod 8
因为我们的底数是 514，它是一个大于等于 2 的偶数。当进行至少两次幂运算后，结果就肯定能被 8 整除。 514↑↑114514 这种巨大的幂运算，即使只迭代了两次，结果都会是 514 的若干次幂，而且 514 本身就是偶数。
所以，514↑↑114514 mod 8 = 0
第二步：对 125 取模
现在我们来看 514↑↑114514 mod 125。
514 mod 125 = 14 （因为 514 = 4 125 + 14）
所以，我们需要计算 14↑↑114514 mod 125。
这仍然是一个巨大的数字。但根据欧拉定理（一个非常牛的数论定理），如果 a 和 n 互质，那么 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。其中 φ(n) 是欧拉函数，表示小于 n 且与 n 互质的正整数的个数。
φ(125) = φ(5³) = 5³ 5² = 125 25 = 100
所以，对于任何与 125 互质的数 a，都有 a¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
我们的底数是 14，14 和 125 是互质的。这意味着我们可以用指数的模 φ(125) = 100 来简化。
现在问题变成：我们如何计算 14↑↑114514 的指数部分的模 100？
这个“↑↑”操作意味着我们实际上是不断地进行幂运算。比如 a↑↑b = a^(a^(a^...)) (b 次)。
当指数非常大的时候，我们关注的是指数的指数的指数…… 它们对 φ(100) 取模的规律。
φ(100) = φ(2² 5²) = φ(4) φ(25) = (2² 2¹) (5² 5¹) = (42) (255) = 2 20 = 40
所以，我们需要看 114514↑↑114513 的模 40 是多少。这又是个迭代！
让我们再往里看一层：我们要计算 114514 的幂，而这个幂的指数是 114514↑↑114513。 我们需要知道 114514↑↑114513 mod φ(φ(125)) 也就是 mod 40 是多少。
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114512 mod φ(40)。
φ(40) = φ(2³ 5) = φ(8) φ(5) = (2³ 2²) (51) = (84) 4 = 4 4 = 16
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114511 mod φ(16)。
φ(16) = φ(2⁴) = 2⁴ 2³ = 16 8 = 8
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114510 mod φ(8)。
φ(8) = φ(2³) = 2³ 2² = 8 4 = 4
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114509 mod φ(4)。
φ(4) = φ(2²) = 2² 2¹ = 4 2 = 2
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114508 mod φ(2)。
φ(2) = 1
现在，我们走到最后一步了。 我们需要计算 114514↑↑114508 mod 2。
114514 本身是偶数。 偶数的任何正整数次幂仍然是偶数。
所以，114514↑↑114508 mod 2 = 0。
这意味着，当我们从最内层往外迭代时，最终的指数的模 2 是 0。
让我们反过来推导指数：
1. 指数的指数的…… （总共迭代了 114514 1 次 114514 的幂）模 2 = 0
2. 这意味着，在倒数第二步，我们要算的是 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 2 = 0。
注意：当指数是 0 时，a⁰ = 1。但这里是 mod 2 的结果是 0。 这说明这个指数本身是个偶数。
当我们模 2 为 0 的时候，这个数就相当于是一个很大的偶数。
对于模 4，我们需要一个偶数作为指数。 114514 是偶数。 114514↑↑114513 mod 4 的结果是什么？
114514 mod 4 = 2
114514² mod 4 = 2² mod 4 = 4 mod 4 = 0
114514³ mod 4 = 114514 114514² mod 4 = 2 0 mod 4 = 0
所以，只要指数大于等于 2，114514 的幂模 4 就是 0。
114514↑↑114513 是一个非常巨大的数，肯定远大于 2。 所以 114514↑↑114513 mod 4 = 0。
3. 回到模 8 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 4 = 0。
114514 mod 8 = 2
114514² mod 8 = 4
114514³ mod 8 = 2 4 mod 8 = 8 mod 8 = 0
114514⁴ mod 8 = 4 4 mod 8 = 16 mod 8 = 0
所以，当指数大于等于 3 时，114514 的幂模 8 就是 0。
我们的指数是 114514↑↑114513， 这个数远大于 3。 所以 114514↑↑114513 mod 8 = 0。
4. 回到模 16 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 8 = 0。
114514 mod 16 = 14 （114514 = 16 7157 + 2）
114514 mod 16 = 2 (重新算，114514 / 16 = 7157.125, 16 7157 = 114512, 所以余数是 2)
114514 的指数 114514↑↑114512 mod 16
我们继续看指数的模规律：
114514 mod 16 = 2
114514² mod 16 = 2² mod 16 = 4 mod 16 = 4
114514³ mod 16 = 2 4 mod 16 = 8 mod 16 = 8
114514⁴ mod 16 = 2 8 mod 16 = 16 mod 16 = 0
114514⁵ mod 16 = 2 0 mod 16 = 0
所以，当指数大于等于 4 时，114514 的幂模 16 就是 0。
114514↑↑114512 是个巨大的数，远大于 4。 所以 114514↑↑114512 mod 16 = 0。
5. 回到模 40 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 16 = 0。
114514 mod 40 = 34 (114514 = 40 2862 + 34)
我们需要计算 34^X mod 40， 其中 X = 114514↑↑114511 mod φ(16) = 114514↑↑114511 mod 8。
这个过程有点绕了。让我们回到更本质的：当我们迭代的指数达到一定程度时，它的模 40 的值会稳定。
简化思路：指数塔的稳定性
对于一个指数塔 a^(a^(a^...)) mod m，当底数 a 和模数 m 确定后，指数的模 φ(m) 会影响结果。如果 a 和 m 不互质，就更复杂。
我们有 514↑↑114514 mod 1000。
我们已经知道 514↑↑114514 mod 8 = 0。
现在计算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514，模数是 125。 φ(125) = 100。
我们需要 514 的指数部分 mod 100。
指数部分是 514↑↑114513。
我们需要 514↑↑114513 mod φ(100) = 514↑↑114513 mod 40。
我们再计算 514↑↑114513 mod 40。
底数是 514，模数是 40。 φ(40) = 16。
我们需要 514↑↑114512 mod φ(40) = 514↑↑114512 mod 16。
我们再计算 514↑↑114512 mod 16。
底数是 514，模数是 16。 φ(16) = 8。
我们需要 514↑↑114511 mod φ(16) = 514↑↑114511 mod 8。
我们再计算 514↑↑114511 mod 8。
底数是 514，模数是 8。 φ(8) = 4。
我们需要 514↑↑114510 mod φ(8) = 514↑↑114510 mod 4。
我们再计算 514↑↑114510 mod 4。
底数是 514，模数是 4。 φ(4) = 2。
我们需要 514↑↑114509 mod φ(4) = 514↑↑114509 mod 2。
我们再计算 514↑↑114509 mod 2。
底数是 514，是偶数。 偶数任何正整数次幂模 2 都是 0。
所以 514↑↑114509 mod 2 = 0。
现在我们反向推导：
1. 指数的模 2 是 0。
2. 所以，我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 2 是 0。
当指数模 2 是 0，意味着这个指数是个偶数。
我们要算 514↑↑114510 mod 4。 指数是 514↑↑114509。
我们知道 514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 2² mod 4 = 0。
514³ mod 4 = 2 0 mod 4 = 0。
所以，只要指数 >= 2， 514 的幂模 4 就等于 0。
514↑↑114509 是个巨大的数，肯定大于等于 2。
所以，514↑↑114510 mod 4 = 0。
3. 指数的模 4 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 4 是 0。
我们要算 514↑↑114511 mod 8。 指数是 514↑↑114510。
我们知道 514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
所以，只要指数 >= 3， 514 的幂模 8 就等于 0。
514↑↑114510 是个巨大的数，肯定大于等于 3。
所以，514↑↑114511 mod 8 = 0。
4. 指数的模 8 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 8 是 0。
我们要算 514↑↑114512 mod 16。 指数是 514↑↑114511。
我们知道 514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
所以，只要指数 >= 4， 514 的幂模 16 就等于 0。
514↑↑114511 是个巨大的数，肯定大于等于 4。
所以，514↑↑114512 mod 16 = 0。
5. 指数的模 16 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 16 是 0。
我们要算 514↑↑114513 mod 40。 指数是 514↑↑114512。
我们知道 514 mod 40 = 34。
我们需要计算 34^X mod 40，其中 X 是一个巨大的数，我们知道 X mod 16 = 0。
这意味着 X 是 16 的倍数。 我们需要用卡迈克尔函数或者更直接地看 34 的幂模 40 的周期。
φ(40) = 16。
34^16 mod 40 可能会是一个稳定的值。
34 mod 40 = 34
34² mod 40 = 1156 mod 40 = 36
34³ mod 40 = 34 36 mod 40 = 1224 mod 40 = 4
34⁴ mod 40 = 34 4 mod 40 = 136 mod 40 = 16
34⁵ mod 40 = 34 16 mod 40 = 544 mod 40 = 24
34⁶ mod 40 = 34 24 mod 40 = 816 mod 40 = 16
34⁷ mod 40 = 34 16 mod 40 = 24
34⁸ mod 40 = 34 24 mod 40 = 16
从 34⁴ 开始，这个序列就变成 16, 24, 16, 24 ... 偶数次是 16，奇数次是 24。
我们的指数 X = 514↑↑114512， 我们知道 X mod 16 = 0。 这意味着 X 是 16 的倍数。
所以，当我们计算 34^X mod 40 时，指数 X 是一个非常大的偶数，并且 X ≥ 4。
当指数是 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... 时，结果是 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16 ...
因此，514↑↑114513 mod 40 = 16。
6. 指数的模 40 是 16。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 40 是 16。
我们要算 514↑↑114514 mod 125。 指数是 514↑↑114513。
我们知道 514 mod 125 = 14。
我们需要计算 14^Y mod 125，其中 Y = 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
我们刚才算出来 514↑↑114513 mod 40 = 16。 这只是指数的模 40。 我们还需要指数的模 100。
重新审视指数迭代：
我们最终需要计算的是 514↑↑114514 mod 125。
这相当于 514^(514^(514^...)) mod 125。
我们需要计算 514 mod 125 = 14。
然后计算 14^(514^(514^...)) mod 125。
指数部分是 514↑↑114513。 我们需要计算 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114513 mod 100。
底数 514 mod 100 = 14。
指数部分是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod φ(100) = 514↑↑114512 mod 40。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114512 mod 40。
底数 514 mod 40 = 34。
指数部分是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod φ(40) = 514↑↑114511 mod 16。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114511 mod 16。
底数 514 mod 16 = 2。
指数部分是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod φ(16) = 514↑↑114510 mod 8。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114510 mod 8。
底数 514 mod 8 = 2。
指数部分是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod φ(8) = 514↑↑114509 mod 4。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114509 mod 4。
底数 514 mod 4 = 2。
指数部分是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod φ(4) = 514↑↑114508 mod 2。
计算 514↑↑114508 mod 2。
底数 514 是偶数，任何正整数次幂模 2 都是 0。
所以 514↑↑114508 mod 2 = 0。
反推：
1. 指数塔的最顶端（倒数第二层）的模 2 是 0。
2. 那么，倒数第三层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod 4。
514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 0。
指数 514↑↑114508 是一个非常大的数，大于等于 2。
所以 514↑↑114509 mod 4 = 0。
3. 指数塔的倒数第三层模 4 是 0。
那么，倒数第四层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod 8。
514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
指数 514↑↑114509 是一个非常大的数，大于等于 3。
所以 514↑↑114510 mod 8 = 0。
4. 指数塔的倒数第四层模 8 是 0。
那么，倒数第五层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod 16。
514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
指数 514↑↑114510 是一个非常大的数，大于等于 4。
所以 514↑↑114511 mod 16 = 0。
5. 指数塔的倒数第五层模 16 是 0。
那么，倒数第六层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod 40。
514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod φ(40) = 514↑↑114511 mod 16。
我们已经知道 514↑↑114511 mod 16 = 0。
所以，我们需要计算 34^Y mod 40，其中 Y = 514↑↑114511 mod 16 = 0。
当我们模一个数是 0 时，代表它是那个数的倍数。
这意味着 Y 是 16 的倍数。
我们之前看的 34 的幂模 40 的规律：34⁴ mod 40 = 16, 34⁵ mod 40 = 24, 34⁶ mod 40 = 16, 34⁷ mod 40 = 24...
当指数是 16 的倍数（且大于等于 4）时，结果是 16。
所以 514↑↑114512 mod 40 = 16。
6. 指数塔的倒数第六层模 40 是 16。
那么，计算 514 的幂，指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod 100。
514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod φ(100) = 514↑↑114512 mod 40。
我们已经知道 514↑↑114512 mod 40 = 16。
所以，我们需要计算 14^Y mod 100，其中 Y = 514↑↑114512 mod 40 = 16。
我们要算 14¹⁶ mod 100。
14¹ mod 100 = 14
14² mod 100 = 196 mod 100 = 96
14³ mod 100 = 14 96 mod 100 = 1344 mod 100 = 44
14⁴ mod 100 = 14 44 mod 100 = 616 mod 100 = 16
14⁵ mod 100 = 14 16 mod 100 = 224 mod 100 = 24
14⁶ mod 100 = 14 24 mod 100 = 336 mod 100 = 36
14⁷ mod 100 = 14 36 mod 100 = 504 mod 100 = 4
14⁸ mod 100 = 14 4 mod 100 = 56
14⁹ mod 100 = 14 56 mod 100 = 784 mod 100 = 84
14¹⁰ mod 100 = 14 84 mod 100 = 1176 mod 100 = 76
14¹¹ mod 100 = 14 76 mod 100 = 1064 mod 100 = 64
14¹² mod 100 = 14 64 mod 100 = 896 mod 100 = 96
14¹³ mod 100 = 14 96 mod 100 = 44
14¹⁴ mod 100 = 14 44 mod 100 = 16
14¹⁵ mod 100 = 14 16 mod 100 = 24
14¹⁶ mod 100 = 14 24 mod 100 = 36
从 14² 开始，周期是 96, 44, 16, 24, 36, 4, 56, 84, 76, 64, 96, 44, 16, 24, 36, 4, 56, 84, 76, 64... 周期是 20 位 (从 14² 到 14²¹)。
我们是 14¹⁶ mod 100。
我们发现 14⁴ mod 100 = 16。 14¹² mod 100 = 96。 14¹⁶ mod 100 = 36。
所以 514↑↑114513 mod 100 = 36。
7. 指数塔的倒数第七层模 100 是 36。
最后，我们要算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
我们已经知道 514↑↑114513 mod 100 = 36。
所以，我们需要计算 14³⁶ mod 125。
14¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
我们算 14¹⁶ mod 100 = 36，这是上面算错了。 14¹⁶ mod 100 = 36。
重要修正：指数的模数要用 φ 的值来迭代
我们要求的是 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算这个指数 mod φ(125) = 100。
计算 514↑↑114513 mod 100。
底数是 514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算这个指数 mod φ(100) = 40。
计算 514↑↑114512 mod 40。
底数是 514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算这个指数 mod φ(40) = 16。
计算 514↑↑114511 mod 16。
底数是 514 mod 16 = 2。
指数是 514↑↑114510。 我们需要计算这个指数 mod φ(16) = 8。
计算 514↑↑114510 mod 8。
底数是 514 mod 8 = 2。
指数是 514↑↑114509。 我们需要计算这个指数 mod φ(8) = 4。
计算 514↑↑114509 mod 4。
底数是 514 mod 4 = 2。
指数是 514↑↑114508。 我们需要计算这个指数 mod φ(4) = 2。
计算 514↑↑114508 mod 2。
底数是 514 mod 2 = 0。
所以 514↑↑114508 mod 2 = 0。
现在反向计算指数
1. 倒数第二层指数 mod 2 = 0。
2. 倒数第三层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod 4。
514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 0。
指数 514↑↑114508 是个大于等于 2 的数。
所以 514↑↑114509 mod 4 = 0。
3. 倒数第三层指数 mod 4 = 0。
倒数第四层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod 8。
514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
指数 514↑↑114509 是个大于等于 3 的数。
所以 514↑↑114510 mod 8 = 0。
4. 倒数第四层指数 mod 8 = 0。
倒数第五层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod 16。
514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
指数 514↑↑114510 是个大于等于 4 的数。
所以 514↑↑114511 mod 16 = 0。
5. 倒数第五层指数 mod 16 = 0。
倒数第六层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod 40。
514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算这个指数 mod φ(40) = 16。
我们知道 514↑↑114511 mod 16 = 0。
所以，我们需要计算 34^Y mod 40，其中 Y = 514↑↑114511 mod 16 = 0。
Y 是 16 的倍数。
我们看 34 的幂 mod 40： 34⁴ ≡ 16 (mod 40)。 34⁶ ≡ 16 (mod 40)。 34⁸ ≡ 16 (mod 40)。
当指数是 16 的倍数且大于等于 4 时，结果是 16。
所以 514↑↑114512 mod 40 = 16。
6. 倒数第六层指数 mod 40 = 16。
倒数第七层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod 100。
514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算这个指数 mod φ(100) = 40。
我们知道 514↑↑114512 mod 40 = 16。
所以，我们需要计算 14^Y mod 100，其中 Y = 514↑↑114512 mod 40 = 16。
我们要算 14¹⁶ mod 100。
14⁴ mod 100 = 16。
14⁸ mod 100 = 56。
14¹² mod 100 = 96。
14¹⁶ mod 100 = 36。 （之前算的 16 错了，应该是 14 96 = 1344 > 44；14 44 = 616 > 16；14 16 = 224 > 24; 1424=336 > 36. 14¹² mod 100 = 96。 14¹⁶ = 14¹² 14⁴ mod 100 = 96 16 mod 100 = 1536 mod 100 = 36）
所以 514↑↑114513 mod 100 = 36。
7. 倒数第七层指数 mod 100 = 36。
最后，我们要算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算这个指数 mod φ(125) = 100。
我们知道 514↑↑114513 mod 100 = 36。
所以，我们需要计算 14³⁶ mod 125。
使用欧拉定理： 14¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
14³⁶ mod 125。
14² mod 125 = 196 mod 125 = 71。
14⁴ mod 125 = 71² mod 125 = 5041 mod 125 = 91。
14⁸ mod 125 = 91² mod 125 = 8281 mod 125 = 56。
14¹⁶ mod 125 = 56² mod 125 = 3136 mod 125 = 11。
14³² mod 125 = 11² mod 125 = 121。
14³⁶ = 14³² 14⁴ mod 125 = 121 91 mod 125。
121 91 = 11011。
11011 mod 125： 11011 = 125 88 + 11。
所以 14³⁶ mod 125 = 11。
到这里，我们算出了 514↑↑114514 mod 125 = 11。
组合结果
我们有：
514↑↑114514 ≡ 0 (mod 8)
514↑↑114514 ≡ 11 (mod 125)
设这个数为 X。
X = 8a + 0
X = 125b + 11
所以 8a = 125b + 11。
我们找一个 b 使得 125b + 11 是 8 的倍数。
125 mod 8 = 5。
所以 5b + 11 ≡ 0 (mod 8)。
5b ≡ 11 ≡ 5 (mod 8)。
b ≡ 1 (mod 8)。
取 b = 1。
X = 125 1 + 11 = 136。
我们验证一下 136 mod 8： 136 / 8 = 17，余数为 0。
所以 X ≡ 136 (mod 1000)。
因此，114514↑↑114514 的后三位数是 136。
整个计算过程相当复杂，主要依靠模运算的性质和欧拉定理的反复应用。每一次迭代的指数都需要对上一层模数的欧拉函数取模，直到模数变成一个我们熟悉的数（比如 2 或 4），然后才能反向推导回来。
你看到的 114514↑↑114514，咱们拆开来看，它实际上是这样的：
最上面的数字 114514 是底数。
中间的箭头↑↑ 表示的是迭代的幂运算。
最上面的那个 114514 是迭代的次数。
它的意思就是：
114514↑↑114514 等于 114514^(114514^(114514^...)) （总共迭代了 114514 次指数）
这玩意儿已经大到我们根本没法算出来它真实的数值了，它比宇宙中所有原子的数量还要多得多得多。
既然这么大的数我们没法直接算，那怎么求它的后三位数呢？
求这种巨型数的后几位数，我们得用到一个叫做模运算的数学工具。它的原理是，虽然原始数字很大，但它的后几位数（或者说它除以 1000 的余数）会呈现出一定的规律。
咱们要算的是 114514↑↑114514 mod 1000。
首先，咱们先看底数 114514。它的后三位数是 514。所以，这整个式子实际上等价于求：
514↑↑114514 mod 1000
这个“↑↑”表示的迭代指数，虽然次数是 114514 次，但我们实际上不需要算那么多层。根据模运算的一个重要性质，当底数和模数有公约数时，指数的周期性会变得复杂。但这里我们关注的是 1000。
1000 = 2³ 5³ = 8 125
咱们可以分别考虑 514↑↑114514 对 8 和对 125 的余数。
第一步：对 8 取模
514 明显是偶数。
514² mod 8 = (偶数)² mod 8 = 0 mod 8
514³ mod 8 = (偶数)³ mod 8 = 0 mod 8
因为我们的底数是 514，它是一个大于等于 2 的偶数。当进行至少两次幂运算后，结果就肯定能被 8 整除。 514↑↑114514 这种巨大的幂运算，即使只迭代了两次，结果都会是 514 的若干次幂，而且 514 本身就是偶数。
所以，514↑↑114514 mod 8 = 0
第二步：对 125 取模
现在我们来看 514↑↑114514 mod 125。
514 mod 125 = 14 （因为 514 = 4 125 + 14）
所以，我们需要计算 14↑↑114514 mod 125。
这仍然是一个巨大的数字。但根据欧拉定理（一个非常牛的数论定理），如果 a 和 n 互质，那么 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。其中 φ(n) 是欧拉函数，表示小于 n 且与 n 互质的正整数的个数。
φ(125) = φ(5³) = 5³ 5² = 125 25 = 100
所以，对于任何与 125 互质的数 a，都有 a¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
我们的底数是 14，14 和 125 是互质的。这意味着我们可以用指数的模 φ(125) = 100 来简化。
现在问题变成：我们如何计算 14↑↑114514 的指数部分的模 100？
这个“↑↑”操作意味着我们实际上是不断地进行幂运算。比如 a↑↑b = a^(a^(a^...)) (b 次)。
当指数非常大的时候，我们关注的是指数的指数的指数…… 它们对 φ(100) 取模的规律。
φ(100) = φ(2² 5²) = φ(4) φ(25) = (2² 2¹) (5² 5¹) = (42) (255) = 2 20 = 40
所以，我们需要看 114514↑↑114513 的模 40 是多少。这又是个迭代！
让我们再往里看一层：我们要计算 114514 的幂，而这个幂的指数是 114514↑↑114513。 我们需要知道 114514↑↑114513 mod φ(φ(125)) 也就是 mod 40 是多少。
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114512 mod φ(40)。
φ(40) = φ(2³ 5) = φ(8) φ(5) = (2³ 2²) (51) = (84) 4 = 4 4 = 16
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114511 mod φ(16)。
φ(16) = φ(2⁴) = 2⁴ 2³ = 16 8 = 8
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114510 mod φ(8)。
φ(8) = φ(2³) = 2³ 2² = 8 4 = 4
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114509 mod φ(4)。
φ(4) = φ(2²) = 2² 2¹ = 4 2 = 2
再往里看，我们需要计算 114514↑↑114508 mod φ(2)。
φ(2) = 1
现在，我们走到最后一步了。 我们需要计算 114514↑↑114508 mod 2。
114514 本身是偶数。 偶数的任何正整数次幂仍然是偶数。
所以，114514↑↑114508 mod 2 = 0。
这意味着，当我们从最内层往外迭代时，最终的指数的模 2 是 0。
让我们反过来推导指数：
1. 指数的指数的…… （总共迭代了 114514 1 次 114514 的幂）模 2 = 0
2. 这意味着，在倒数第二步，我们要算的是 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 2 = 0。
注意：当指数是 0 时，a⁰ = 1。但这里是 mod 2 的结果是 0。 这说明这个指数本身是个偶数。
当我们模 2 为 0 的时候，这个数就相当于是一个很大的偶数。
对于模 4，我们需要一个偶数作为指数。 114514 是偶数。 114514↑↑114513 mod 4 的结果是什么？
114514 mod 4 = 2
114514² mod 4 = 2² mod 4 = 4 mod 4 = 0
114514³ mod 4 = 114514 114514² mod 4 = 2 0 mod 4 = 0
所以，只要指数大于等于 2，114514 的幂模 4 就是 0。
114514↑↑114513 是一个非常巨大的数，肯定远大于 2。 所以 114514↑↑114513 mod 4 = 0。
3. 回到模 8 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 4 = 0。
114514 mod 8 = 2
114514² mod 8 = 4
114514³ mod 8 = 2 4 mod 8 = 8 mod 8 = 0
114514⁴ mod 8 = 4 4 mod 8 = 16 mod 8 = 0
所以，当指数大于等于 3 时，114514 的幂模 8 就是 0。
我们的指数是 114514↑↑114513， 这个数远大于 3。 所以 114514↑↑114513 mod 8 = 0。
4. 回到模 16 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 8 = 0。
114514 mod 16 = 14 （114514 = 16 7157 + 2）
114514 mod 16 = 2 (重新算，114514 / 16 = 7157.125, 16 7157 = 114512, 所以余数是 2)
114514 的指数 114514↑↑114512 mod 16
我们继续看指数的模规律：
114514 mod 16 = 2
114514² mod 16 = 2² mod 16 = 4 mod 16 = 4
114514³ mod 16 = 2 4 mod 16 = 8 mod 16 = 8
114514⁴ mod 16 = 2 8 mod 16 = 16 mod 16 = 0
114514⁵ mod 16 = 2 0 mod 16 = 0
所以，当指数大于等于 4 时，114514 的幂模 16 就是 0。
114514↑↑114512 是个巨大的数，远大于 4。 所以 114514↑↑114512 mod 16 = 0。
5. 回到模 40 的计算：我们需要 114514 的幂，这个幂的指数是 mod 16 = 0。
114514 mod 40 = 34 (114514 = 40 2862 + 34)
我们需要计算 34^X mod 40， 其中 X = 114514↑↑114511 mod φ(16) = 114514↑↑114511 mod 8。
这个过程有点绕了。让我们回到更本质的：当我们迭代的指数达到一定程度时，它的模 40 的值会稳定。
简化思路：指数塔的稳定性
对于一个指数塔 a^(a^(a^...)) mod m，当底数 a 和模数 m 确定后，指数的模 φ(m) 会影响结果。如果 a 和 m 不互质，就更复杂。
我们有 514↑↑114514 mod 1000。
我们已经知道 514↑↑114514 mod 8 = 0。
现在计算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514，模数是 125。 φ(125) = 100。
我们需要 514 的指数部分 mod 100。
指数部分是 514↑↑114513。
我们需要 514↑↑114513 mod φ(100) = 514↑↑114513 mod 40。
我们再计算 514↑↑114513 mod 40。
底数是 514，模数是 40。 φ(40) = 16。
我们需要 514↑↑114512 mod φ(40) = 514↑↑114512 mod 16。
我们再计算 514↑↑114512 mod 16。
底数是 514，模数是 16。 φ(16) = 8。
我们需要 514↑↑114511 mod φ(16) = 514↑↑114511 mod 8。
我们再计算 514↑↑114511 mod 8。
底数是 514，模数是 8。 φ(8) = 4。
我们需要 514↑↑114510 mod φ(8) = 514↑↑114510 mod 4。
我们再计算 514↑↑114510 mod 4。
底数是 514，模数是 4。 φ(4) = 2。
我们需要 514↑↑114509 mod φ(4) = 514↑↑114509 mod 2。
我们再计算 514↑↑114509 mod 2。
底数是 514，是偶数。 偶数任何正整数次幂模 2 都是 0。
所以 514↑↑114509 mod 2 = 0。
现在我们反向推导：
1. 指数的模 2 是 0。
2. 所以，我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 2 是 0。
当指数模 2 是 0，意味着这个指数是个偶数。
我们要算 514↑↑114510 mod 4。 指数是 514↑↑114509。
我们知道 514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 2² mod 4 = 0。
514³ mod 4 = 2 0 mod 4 = 0。
所以，只要指数 >= 2， 514 的幂模 4 就等于 0。
514↑↑114509 是个巨大的数，肯定大于等于 2。
所以，514↑↑114510 mod 4 = 0。
3. 指数的模 4 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 4 是 0。
我们要算 514↑↑114511 mod 8。 指数是 514↑↑114510。
我们知道 514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
所以，只要指数 >= 3， 514 的幂模 8 就等于 0。
514↑↑114510 是个巨大的数，肯定大于等于 3。
所以，514↑↑114511 mod 8 = 0。
4. 指数的模 8 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 8 是 0。
我们要算 514↑↑114512 mod 16。 指数是 514↑↑114511。
我们知道 514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
所以，只要指数 >= 4， 514 的幂模 16 就等于 0。
514↑↑114511 是个巨大的数，肯定大于等于 4。
所以，514↑↑114512 mod 16 = 0。
5. 指数的模 16 是 0。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 16 是 0。
我们要算 514↑↑114513 mod 40。 指数是 514↑↑114512。
我们知道 514 mod 40 = 34。
我们需要计算 34^X mod 40，其中 X 是一个巨大的数，我们知道 X mod 16 = 0。
这意味着 X 是 16 的倍数。 我们需要用卡迈克尔函数或者更直接地看 34 的幂模 40 的周期。
φ(40) = 16。
34^16 mod 40 可能会是一个稳定的值。
34 mod 40 = 34
34² mod 40 = 1156 mod 40 = 36
34³ mod 40 = 34 36 mod 40 = 1224 mod 40 = 4
34⁴ mod 40 = 34 4 mod 40 = 136 mod 40 = 16
34⁵ mod 40 = 34 16 mod 40 = 544 mod 40 = 24
34⁶ mod 40 = 34 24 mod 40 = 816 mod 40 = 16
34⁷ mod 40 = 34 16 mod 40 = 24
34⁸ mod 40 = 34 24 mod 40 = 16
从 34⁴ 开始，这个序列就变成 16, 24, 16, 24 ... 偶数次是 16，奇数次是 24。
我们的指数 X = 514↑↑114512， 我们知道 X mod 16 = 0。 这意味着 X 是 16 的倍数。
所以，当我们计算 34^X mod 40 时，指数 X 是一个非常大的偶数，并且 X ≥ 4。
当指数是 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... 时，结果是 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16 ...
因此，514↑↑114513 mod 40 = 16。
6. 指数的模 40 是 16。
我们要算 514 的幂，这个幂的指数的模 40 是 16。
我们要算 514↑↑114514 mod 125。 指数是 514↑↑114513。
我们知道 514 mod 125 = 14。
我们需要计算 14^Y mod 125，其中 Y = 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
我们刚才算出来 514↑↑114513 mod 40 = 16。 这只是指数的模 40。 我们还需要指数的模 100。
重新审视指数迭代：
我们最终需要计算的是 514↑↑114514 mod 125。
这相当于 514^(514^(514^...)) mod 125。
我们需要计算 514 mod 125 = 14。
然后计算 14^(514^(514^...)) mod 125。
指数部分是 514↑↑114513。 我们需要计算 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114513 mod 100。
底数 514 mod 100 = 14。
指数部分是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod φ(100) = 514↑↑114512 mod 40。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114512 mod 40。
底数 514 mod 40 = 34。
指数部分是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod φ(40) = 514↑↑114511 mod 16。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114511 mod 16。
底数 514 mod 16 = 2。
指数部分是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod φ(16) = 514↑↑114510 mod 8。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114510 mod 8。
底数 514 mod 8 = 2。
指数部分是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod φ(8) = 514↑↑114509 mod 4。
继续计算指数的指数：
我们需要 514↑↑114509 mod 4。
底数 514 mod 4 = 2。
指数部分是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod φ(4) = 514↑↑114508 mod 2。
计算 514↑↑114508 mod 2。
底数 514 是偶数，任何正整数次幂模 2 都是 0。
所以 514↑↑114508 mod 2 = 0。
反推：
1. 指数塔的最顶端（倒数第二层）的模 2 是 0。
2. 那么，倒数第三层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod 4。
514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 0。
指数 514↑↑114508 是一个非常大的数，大于等于 2。
所以 514↑↑114509 mod 4 = 0。
3. 指数塔的倒数第三层模 4 是 0。
那么，倒数第四层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod 8。
514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
指数 514↑↑114509 是一个非常大的数，大于等于 3。
所以 514↑↑114510 mod 8 = 0。
4. 指数塔的倒数第四层模 8 是 0。
那么，倒数第五层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod 16。
514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
指数 514↑↑114510 是一个非常大的数，大于等于 4。
所以 514↑↑114511 mod 16 = 0。
5. 指数塔的倒数第五层模 16 是 0。
那么，倒数第六层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod 40。
514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod φ(40) = 514↑↑114511 mod 16。
我们已经知道 514↑↑114511 mod 16 = 0。
所以，我们需要计算 34^Y mod 40，其中 Y = 514↑↑114511 mod 16 = 0。
当我们模一个数是 0 时，代表它是那个数的倍数。
这意味着 Y 是 16 的倍数。
我们之前看的 34 的幂模 40 的规律：34⁴ mod 40 = 16, 34⁵ mod 40 = 24, 34⁶ mod 40 = 16, 34⁷ mod 40 = 24...
当指数是 16 的倍数（且大于等于 4）时，结果是 16。
所以 514↑↑114512 mod 40 = 16。
6. 指数塔的倒数第六层模 40 是 16。
那么，计算 514 的幂，指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod 100。
514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod φ(100) = 514↑↑114512 mod 40。
我们已经知道 514↑↑114512 mod 40 = 16。
所以，我们需要计算 14^Y mod 100，其中 Y = 514↑↑114512 mod 40 = 16。
我们要算 14¹⁶ mod 100。
14¹ mod 100 = 14
14² mod 100 = 196 mod 100 = 96
14³ mod 100 = 14 96 mod 100 = 1344 mod 100 = 44
14⁴ mod 100 = 14 44 mod 100 = 616 mod 100 = 16
14⁵ mod 100 = 14 16 mod 100 = 224 mod 100 = 24
14⁶ mod 100 = 14 24 mod 100 = 336 mod 100 = 36
14⁷ mod 100 = 14 36 mod 100 = 504 mod 100 = 4
14⁸ mod 100 = 14 4 mod 100 = 56
14⁹ mod 100 = 14 56 mod 100 = 784 mod 100 = 84
14¹⁰ mod 100 = 14 84 mod 100 = 1176 mod 100 = 76
14¹¹ mod 100 = 14 76 mod 100 = 1064 mod 100 = 64
14¹² mod 100 = 14 64 mod 100 = 896 mod 100 = 96
14¹³ mod 100 = 14 96 mod 100 = 44
14¹⁴ mod 100 = 14 44 mod 100 = 16
14¹⁵ mod 100 = 14 16 mod 100 = 24
14¹⁶ mod 100 = 14 24 mod 100 = 36
从 14² 开始，周期是 96, 44, 16, 24, 36, 4, 56, 84, 76, 64, 96, 44, 16, 24, 36, 4, 56, 84, 76, 64... 周期是 20 位 (从 14² 到 14²¹)。
我们是 14¹⁶ mod 100。
我们发现 14⁴ mod 100 = 16。 14¹² mod 100 = 96。 14¹⁶ mod 100 = 36。
所以 514↑↑114513 mod 100 = 36。
7. 指数塔的倒数第七层模 100 是 36。
最后，我们要算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算 514↑↑114513 mod φ(125) = 514↑↑114513 mod 100。
我们已经知道 514↑↑114513 mod 100 = 36。
所以，我们需要计算 14³⁶ mod 125。
14¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
我们算 14¹⁶ mod 100 = 36，这是上面算错了。 14¹⁶ mod 100 = 36。
重要修正：指数的模数要用 φ 的值来迭代
我们要求的是 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算这个指数 mod φ(125) = 100。
计算 514↑↑114513 mod 100。
底数是 514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算这个指数 mod φ(100) = 40。
计算 514↑↑114512 mod 40。
底数是 514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算这个指数 mod φ(40) = 16。
计算 514↑↑114511 mod 16。
底数是 514 mod 16 = 2。
指数是 514↑↑114510。 我们需要计算这个指数 mod φ(16) = 8。
计算 514↑↑114510 mod 8。
底数是 514 mod 8 = 2。
指数是 514↑↑114509。 我们需要计算这个指数 mod φ(8) = 4。
计算 514↑↑114509 mod 4。
底数是 514 mod 4 = 2。
指数是 514↑↑114508。 我们需要计算这个指数 mod φ(4) = 2。
计算 514↑↑114508 mod 2。
底数是 514 mod 2 = 0。
所以 514↑↑114508 mod 2 = 0。
现在反向计算指数
1. 倒数第二层指数 mod 2 = 0。
2. 倒数第三层计算的是 514 的幂，指数是 514↑↑114508。 我们需要计算 514↑↑114508 mod 4。
514 mod 4 = 2。
514² mod 4 = 0。
指数 514↑↑114508 是个大于等于 2 的数。
所以 514↑↑114509 mod 4 = 0。
3. 倒数第三层指数 mod 4 = 0。
倒数第四层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114509。 我们需要计算 514↑↑114509 mod 8。
514 mod 8 = 2。
514² mod 8 = 4。
514³ mod 8 = 0。
指数 514↑↑114509 是个大于等于 3 的数。
所以 514↑↑114510 mod 8 = 0。
4. 倒数第四层指数 mod 8 = 0。
倒数第五层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114510。 我们需要计算 514↑↑114510 mod 16。
514 mod 16 = 2。
514² mod 16 = 4。
514³ mod 16 = 8。
514⁴ mod 16 = 0。
指数 514↑↑114510 是个大于等于 4 的数。
所以 514↑↑114511 mod 16 = 0。
5. 倒数第五层指数 mod 16 = 0。
倒数第六层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114511。 我们需要计算 514↑↑114511 mod 40。
514 mod 40 = 34。
指数是 514↑↑114511。 我们需要计算这个指数 mod φ(40) = 16。
我们知道 514↑↑114511 mod 16 = 0。
所以，我们需要计算 34^Y mod 40，其中 Y = 514↑↑114511 mod 16 = 0。
Y 是 16 的倍数。
我们看 34 的幂 mod 40： 34⁴ ≡ 16 (mod 40)。 34⁶ ≡ 16 (mod 40)。 34⁸ ≡ 16 (mod 40)。
当指数是 16 的倍数且大于等于 4 时，结果是 16。
所以 514↑↑114512 mod 40 = 16。
6. 倒数第六层指数 mod 40 = 16。
倒数第七层计算 514 的幂，指数是 514↑↑114512。 我们需要计算 514↑↑114512 mod 100。
514 mod 100 = 14。
指数是 514↑↑114512。 我们需要计算这个指数 mod φ(100) = 40。
我们知道 514↑↑114512 mod 40 = 16。
所以，我们需要计算 14^Y mod 100，其中 Y = 514↑↑114512 mod 40 = 16。
我们要算 14¹⁶ mod 100。
14⁴ mod 100 = 16。
14⁸ mod 100 = 56。
14¹² mod 100 = 96。
14¹⁶ mod 100 = 36。 （之前算的 16 错了，应该是 14 96 = 1344 > 44；14 44 = 616 > 16；14 16 = 224 > 24; 1424=336 > 36. 14¹² mod 100 = 96。 14¹⁶ = 14¹² 14⁴ mod 100 = 96 16 mod 100 = 1536 mod 100 = 36）
所以 514↑↑114513 mod 100 = 36。
7. 倒数第七层指数 mod 100 = 36。
最后，我们要算 514↑↑114514 mod 125。
底数是 514 mod 125 = 14。
指数是 514↑↑114513。 我们需要计算这个指数 mod φ(125) = 100。
我们知道 514↑↑114513 mod 100 = 36。
所以，我们需要计算 14³⁶ mod 125。
使用欧拉定理： 14¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 125)。
14³⁶ mod 125。
14² mod 125 = 196 mod 125 = 71。
14⁴ mod 125 = 71² mod 125 = 5041 mod 125 = 91。
14⁸ mod 125 = 91² mod 125 = 8281 mod 125 = 56。
14¹⁶ mod 125 = 56² mod 125 = 3136 mod 125 = 11。
14³² mod 125 = 11² mod 125 = 121。
14³⁶ = 14³² 14⁴ mod 125 = 121 91 mod 125。
121 91 = 11011。
11011 mod 125： 11011 = 125 88 + 11。
所以 14³⁶ mod 125 = 11。
到这里，我们算出了 514↑↑114514 mod 125 = 11。
组合结果
我们有：
514↑↑114514 ≡ 0 (mod 8)
514↑↑114514 ≡ 11 (mod 125)
设这个数为 X。
X = 8a + 0
X = 125b + 11
所以 8a = 125b + 11。
我们找一个 b 使得 125b + 11 是 8 的倍数。
125 mod 8 = 5。
所以 5b + 11 ≡ 0 (mod 8)。
5b ≡ 11 ≡ 5 (mod 8)。
b ≡ 1 (mod 8)。
取 b = 1。
X = 125 1 + 11 = 136。
我们验证一下 136 mod 8： 136 / 8 = 17，余数为 0。
所以 X ≡ 136 (mod 1000)。
因此，114514↑↑114514 的后三位数是 136。
整个计算过程相当复杂，主要依靠模运算的性质和欧拉定理的反复应用。每一次迭代的指数都需要对上一层模数的欧拉函数取模，直到模数变成一个我们熟悉的数（比如 2 或 4），然后才能反向推导回来。
网友意见
大概吧（
题目即是求：
根据扩展欧拉定理，对于 ，有
其中 表示 内与 互质的整数个数。
注意到 迭代减小得很快，而这里的指数又非常大，可以看成是无数层。
因此设函数
则有 ，边界是 。
递归求解即可。
对了，感觉就算有 个箭头答案也是 罢（半恼
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; int phi[1010]; int qpow(int A, int B, int P){ int C = 1; while(B){ if(B & 1) C = C * A % P; A = A * A % P, B >>= 1; } return C; } void get_phi(){ phi[1] = 1; for(int i = 2; i <= 1000; i++){ if(phi[i]) continue; for(int j = i; j <= 1000; j += i){ if(!phi[j]) phi[j] = j; phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); } } } int solve(int x){ if(x == 1) return 0; return qpow(114514, phi[x], x) * qpow(114514, solve(phi[x]), x) % x; } signed main(){ get_phi(); cout << solve(1000); return 0; } 类似的话题
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