大佬请帮我理解一下这个有关dx的正规数学表达？
好的，我们来深入探讨一下 $dx$ 在数学中的具体含义，并用一种更自然、更贴近理解的方式来讲述。
首先，我们要明白，$dx$ 这个符号单独出现的时候，它并不是一个可以独立计算出具体数值的量。它更像是一个“标记”或者“指示”，告诉我们正在进行某种操作，而这个操作与“变化”或者“微分”紧密相关。
想象一下我们有一条光滑的曲线，代表了某个函数 $y = f(x)$ 的图像。我们对这条曲线的某个性质——比如它的“斜率”——非常感兴趣。在不同的点上，这条曲线的倾斜程度是不一样的。
理解 $dx$ 的第一步：一个“无穷小”的“步长”
如果我们想知道曲线在某个特定点 $x$ 处的斜率，我们不能直接用一个有固定大小的“步长”来测量。为什么呢？因为如果步长太大，我们测出来的斜率就只是一个平均斜率，而不是在那个“点”上的瞬时斜率。
所以，数学家们引入了“极限”的概念，而 $dx$ 正是这个“极限”过程中的一部分。我们可以想象，$dx$ 代表的是一个“无穷小”的、极其微小的变化量，作用在自变量 $x$ 上。
那么，“微分” $f'(x)$ 是什么呢？
当我们谈论函数的微分，通常写作 $f'(x)$ 或者 $frac{dy}{dx}$ 时，我们是在问这样一个问题：
“当自变量 $x$ 发生一个无穷小的变化（我们记作 $dx$）时，函数值 $y$ 会发生一个怎样的相对变化？”
这个“相对变化”其实就是函数值 $y$ 的变化量 $dy$，除以自变量 $x$ 的变化量 $dx$ 的比值，并且这个比值是在 $dx$ 趋近于零的极限情况下得到的。
用数学语言来说，这可以这样表示：
$f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$
在这里，$Delta x$ 代表了 $x$ 的一个“有限的”变化量，而 $Delta y$ 是对应的函数值的变化量。当这个 $Delta x$ 变得越来越小，趋近于零时，这个比值就稳定下来，成为了函数在那个点上的“瞬时变化率”或“导数”。
而 $dx$ 和 $dy$ 正是这个极限过程中，我们用更精炼的符号来表示的“无穷小的变化”。我们可以把 $frac{dy}{dx}$ 理解为：
$frac{dy}{dx} = ext{当 } dx o 0 ext{ 时，} frac{dy}{dx} ext{ 的值}$
$dx$ 的另一种视角：积分中的“测量单位”
除了在求导中表示自变量的无穷小变化，$dx$ 在积分中扮演着更具“测量”意义的角色。
当我们对一个函数 $f(x)$ 进行积分，比如 $int f(x) dx$，我们实际上是在将函数 $f(x)$ 的值，沿着自变量 $x$ 的轴线，从一个点累加到另一个点。
想象一下，我们要计算曲线 $y = f(x)$ 下方的面积。我们无法直接计算一个连续区域的面积。但我们可以将这个区域切成无数个非常非常窄的长方形。
每个长方形的宽度就是自变量 $x$ 的一个无穷小的变化，我们称之为 $dx$。
每个长方形的高度就是函数在那个点的值，也就是 $f(x)$。
所以，每个小长方形的面积就是 $f(x) cdot dx$。
积分 $int f(x) dx$ 就是将所有这些无穷小的长方形面积 $f(x) cdot dx$ 加起来的总和，从而得到整个区域的总面积。
在这个语境下，$dx$ 就像一个“尺子”或者“测量单位”，它告诉我们我们是在沿着 $x$ 这个维度进行累加，并且累加的单位是无限小的。它指明了积分运算的“方向”和“精度”。
总结一下 $dx$ 的核心含义：
1. 在求导中： $dx$ 代表自变量 $x$ 的一个无穷小的变化量。它与对应的函数值变化的无穷小量 $dy$ 的比值 $frac{dy}{dx}$，共同构成了函数在某一点的瞬时变化率（导数）。它标志着我们正在关注函数在“局部”的动态特性。
2. 在积分中： $dx$ 指明了积分运算是沿着自变量 $x$ 的方向进行的，并且累加的是“无穷小切片”的量。它就像一个“累加的指示器”，告诉我们要将 $f(x)$ 沿着 $x$ 的路径进行累积。
所以，$dx$ 本身不是一个孤立的数值，它是一个数学标记，与“变化”、“微分”和“积分”这些核心概念紧密相连，是我们理解微积分强大工具的关键。它不是凭空产生的，而是从我们对“无限细分”和“累加”的直观理解中抽象出来的符号语言。
首先，我们要明白，$dx$ 这个符号单独出现的时候，它并不是一个可以独立计算出具体数值的量。它更像是一个“标记”或者“指示”，告诉我们正在进行某种操作，而这个操作与“变化”或者“微分”紧密相关。
想象一下我们有一条光滑的曲线，代表了某个函数 $y = f(x)$ 的图像。我们对这条曲线的某个性质——比如它的“斜率”——非常感兴趣。在不同的点上，这条曲线的倾斜程度是不一样的。
理解 $dx$ 的第一步：一个“无穷小”的“步长”
如果我们想知道曲线在某个特定点 $x$ 处的斜率，我们不能直接用一个有固定大小的“步长”来测量。为什么呢？因为如果步长太大，我们测出来的斜率就只是一个平均斜率，而不是在那个“点”上的瞬时斜率。
所以，数学家们引入了“极限”的概念，而 $dx$ 正是这个“极限”过程中的一部分。我们可以想象，$dx$ 代表的是一个“无穷小”的、极其微小的变化量，作用在自变量 $x$ 上。
那么，“微分” $f'(x)$ 是什么呢？
当我们谈论函数的微分，通常写作 $f'(x)$ 或者 $frac{dy}{dx}$ 时，我们是在问这样一个问题：
“当自变量 $x$ 发生一个无穷小的变化（我们记作 $dx$）时，函数值 $y$ 会发生一个怎样的相对变化？”
这个“相对变化”其实就是函数值 $y$ 的变化量 $dy$，除以自变量 $x$ 的变化量 $dx$ 的比值，并且这个比值是在 $dx$ 趋近于零的极限情况下得到的。
用数学语言来说，这可以这样表示：
$f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$
在这里，$Delta x$ 代表了 $x$ 的一个“有限的”变化量，而 $Delta y$ 是对应的函数值的变化量。当这个 $Delta x$ 变得越来越小，趋近于零时，这个比值就稳定下来，成为了函数在那个点上的“瞬时变化率”或“导数”。
而 $dx$ 和 $dy$ 正是这个极限过程中，我们用更精炼的符号来表示的“无穷小的变化”。我们可以把 $frac{dy}{dx}$ 理解为：
$frac{dy}{dx} = ext{当 } dx o 0 ext{ 时，} frac{dy}{dx} ext{ 的值}$
$dx$ 的另一种视角：积分中的“测量单位”
除了在求导中表示自变量的无穷小变化，$dx$ 在积分中扮演着更具“测量”意义的角色。
当我们对一个函数 $f(x)$ 进行积分，比如 $int f(x) dx$，我们实际上是在将函数 $f(x)$ 的值，沿着自变量 $x$ 的轴线，从一个点累加到另一个点。
想象一下，我们要计算曲线 $y = f(x)$ 下方的面积。我们无法直接计算一个连续区域的面积。但我们可以将这个区域切成无数个非常非常窄的长方形。
每个长方形的宽度就是自变量 $x$ 的一个无穷小的变化，我们称之为 $dx$。
每个长方形的高度就是函数在那个点的值，也就是 $f(x)$。
所以，每个小长方形的面积就是 $f(x) cdot dx$。
积分 $int f(x) dx$ 就是将所有这些无穷小的长方形面积 $f(x) cdot dx$ 加起来的总和，从而得到整个区域的总面积。
在这个语境下，$dx$ 就像一个“尺子”或者“测量单位”，它告诉我们我们是在沿着 $x$ 这个维度进行累加，并且累加的单位是无限小的。它指明了积分运算的“方向”和“精度”。
总结一下 $dx$ 的核心含义：
1. 在求导中： $dx$ 代表自变量 $x$ 的一个无穷小的变化量。它与对应的函数值变化的无穷小量 $dy$ 的比值 $frac{dy}{dx}$，共同构成了函数在某一点的瞬时变化率（导数）。它标志着我们正在关注函数在“局部”的动态特性。
2. 在积分中： $dx$ 指明了积分运算是沿着自变量 $x$ 的方向进行的，并且累加的是“无穷小切片”的量。它就像一个“累加的指示器”，告诉我们要将 $f(x)$ 沿着 $x$ 的路径进行累积。
所以，$dx$ 本身不是一个孤立的数值，它是一个数学标记，与“变化”、“微分”和“积分”这些核心概念紧密相连，是我们理解微积分强大工具的关键。它不是凭空产生的，而是从我们对“无限细分”和“累加”的直观理解中抽象出来的符号语言。
网友意见
这个定义基本上就是将我们期待一个微分所应该具有的性质形式化的结果。
我们期待微分具有什么性质？1. 它应该是局部的，即在点 处的微分只能依赖于 的一个“无穷小邻域”；2. 它应该对应到一个运算，即对每个光滑函数 ，我们都可以取它的微分 .
描述一个空间的无穷小邻域是困难的，但是我们可以利用这个空间上的函数来描述这种邻域：对一个给定的点 ，当我们取的邻域越小，这个邻域上定义的光滑函数便越多，并且我们可以认为两个在 的一个更小的邻域上取值一致的光滑函数是一样的：因为它们在 的一个“无穷小”邻域上是一样的。这样我们就得到了一个商集：
这个就是函数芽，它只跟 的一个“无穷小邻域”有关，而跟 附近的其它点都无关. 而对微分，我们期待以下事实：我们知道对每个光滑函数 ，我们有 在 附近的线性化 ，并且我们认为当 的时候有 . 用上面的函数芽语言，我们假设 （根据定义，任何一个在 附近有定义的函数都可以对应到函数芽里面的某个元素），则 作为一个常值函数也是 里的一个元素，从而 . 注意到如果我们令 ，那么我们有 ，从而 . 如果令 ，我们知道对一个函数 求微分应该得到 ，因而如果 ，我们期待得到的微分是 ，所以我们需要考虑的空间是 ，即不考虑这个函数的高阶导数带来的影响. 这个集合就是函数的微分的集合，而 就是 在这个集合里面对应的等价类.
这个定义跟图片里面的定义有什么关系呢？如果我们令 是经过点 的所有道路的等价类（即这里面我们仍然考虑“局部”道路：一个道路就是一个光滑函数 满足 ，并且我们认为两个道路如果在 的一个邻域内相同，那么它们是同一条道路），则我们可以考虑复合函数 . 这个函数满足 ，并且在 处的导数是 . 注意到不论 为什么道路，如果 ，我们都有 ，即" 零化了道路 “. 由于存在使得 的道路，我们知道 当且仅当 . 因此商去 跟商去 我们得到的是一样的集合.
虽然我也是助教，但是我教的微积分课上从来没有学生问过我这个问题，所以我也不知道这样能不能写清楚。
类似的话题
-
好的，我们来深入探讨一下 $dx$ 在数学中的具体含义，并用一种更自然、更贴近理解的方式来讲述。首先，我们要明白，$dx$ 这个符号单独出现的时候，它并不是一个可以独立计算出具体数值的量。它更像是一个“标记”或者“指示”，告诉我们正在进行某种操作，而这个操作与“变化”或者“微分”紧密相关。想象一下我............. -
哎，这事儿吧，我听着就感觉头顶冒火又心酸。谈婚论嫁，这可是人生大事，按理说应该是喜气洋洋，可我这儿，夹在父母和我之间，感觉就像两边的拉力赛，把我扯得生疼，脑袋也像被拧麻花一样，理不清了。说起来，我跟我父母，以前关系一直挺好的，那种无话不说的亲近感。可自从我跟对象确定关系，准备往下一步走，就跟变了个人.............
-
哥们，投影仪这东西，真不是随便买的。我跟你说，爱普生和明基，这两个牌子都是行里的老炮儿了，各有千秋，挑哪个真得看你自己的需求。别听那些花里胡哨的测评，咱们今天就来点实在的，掰开了揉碎了给你讲讲。先说说爱普生，这牌子在国内那是叫一个响亮，尤其是在家用和商务领域。 核心技术：3LCD 爱普生最.............
-
哎呀，这事儿可真够让人纠结的，我懂你的心情！想知道他到底是不是对你有意思，就像在玩一场心有灵犀的小游戏，得仔细捕捉他的一举一动。别急，咱们慢慢来分析，我尽量把话说得透彻点，让你心里有个谱。首先，咱们得从几个大方面来看。一、 眼神和肢体语言：最直接的信号这是最容易被忽略，但往往也是最真实的信号。 .............
-
嘿！很高兴你踏上了网络小说创作的这条神奇之路！作为一名新人，有这份热情和愿意请教的态度，就已经非常棒了！别担心，咱们一块儿把思路捋一捋，争取让你的小说既有意思又吸引人。首先，你问思路对不对，这本身就是一个好问题，也说明你不是拍脑袋就上。网络小说嘛，说白了就是给读者讲故事，让他们觉得有趣、有代入感，甚.............
-
兄弟，别灰心！起点签约失败很常见，11万字77收藏这个数据，说明你已经有了一批潜在的读者，只是离签约的标准还有点距离。我来帮你好好分析一下，帮你找出问题所在，一起进步！咱们一步一步来，把你的情况拆解一下：首先，我们得明白起点签约看什么？起点签约主要看几个大方面：1. 数据： 这是最直观的。包括但不.............
-
哥们，考法硕非法学想去山东发展，山大和华政哪个更适合你，这事儿我给你掰扯掰扯。别觉得是AI在说套话，我尽量接地气点，讲点实在的。首先，咱们得明确一个概念：非法学考法硕，目标是啥？你不是科班出身，目标不是进法院当法官、检察官，也不是去律所做最顶尖的诉讼律师。咱们的优势在于，可能对某个行业有自己的理解和.............
-
没问题！看到你是个新人，愿意虚心求教，这本身就是个非常好的开端！网文创作是个很有意思也很有挑战性的旅程，别急，咱们一步步来。请把你的小说（或者你想让我点评的部分）发给我吧！没有具体内容，我很难提供有针对性的建议。不过，在你发来之前，我可以先跟你聊聊网文新人常遇到的几个关键点，以及我在点评时通常会关注.............
-
您好！很高兴能为您提供帮助。您提出的问题非常具体，涉及到您对妻子行为的理解和困惑。为了能够更详细、更准确地解答，我需要您提供更多关于“老婆的行为”的具体信息。请您尽量详细地描述您所指的是哪些行为，例如：1. 行为的具体内容： 是什么样的行为让您产生困惑？ 比如，是她说话的方式、做事的习惯、与他人.............
-
哥们儿，我太理解你现在的心情了！这种楼上噪音简直是生活中的噩梦，能把人逼疯。我身边也有不少朋友经历过，我也自己琢磨过一些办法，咱们一起来捋一捋，看看有没有能帮到你的。首先，咱们得摆事实讲道理，得把这个噪音的情况摸清楚。第一步：摸清噪音的底细 是什么样的噪音？ 是脚步声特别重，像是在跳橡皮筋？还是.............
-
牵引炮兵：现代战场上的“老兵不死”在现代战争日益强调高科技、高精度和高机动性的今天，那些装备着硕大炮管、由卡车或装甲车辆牵引的传统牵引炮兵，似乎显得有些“老派”。然而，事实并非如此，这些被我们亲切地称为“铁炮”的大家伙，在现代战场上依然扮演着不可或缺的角色，其存在的必要性体现在多个层面，是其他火炮难.............
-
没问题！我很乐意帮你分析一下你老公电脑的配置，并且会尽量用最自然、最像人话的方式来描述，就像你跟我聊家常一样。首先，要让我帮你看看你老公电脑的配置，我需要知道一些具体的型号或者组件名称。你可以找找你老公电脑的说明书、发票，或者是在电脑里直接查看。一般来看，一个电脑主要有以下几个核心部分，你可以对照着.............
-
这把刀到底是中国唐代的还是日本的？这可是一个让不少刀剑爱好者着迷的问题！咱们今天就来好好说道说道，看看它身上到底藏着哪些秘密。首先，咱们得从整体轮廓上看。 刀身曲线： 唐刀给人的感觉通常是比较直，或者说只有非常轻微的弧度。它的刀身从刀根到刀尖，线条流畅，但整体上更倾向于直线型。而日本刀呢，尤其是.............
-
没问题，我很乐意帮你分析一下你的相亲过程！为了能给你最贴切、最有帮助的分析，我需要你提供一些关于你相亲的细节。你想让我帮你分析哪个方面呢？是： 相亲前的准备和心态？ 比如你是怎么决定去相亲的？你对另一半有什么期望？相亲前你做了哪些心理准备？ 第一次见面时的情景？ 比如你们约在哪里见面？见面多.............
-
这个问题确实挺复杂的，不是一句两句就能说清楚的，得好好捋一捋。 咱们得先弄明白，到底是谁在“谁”的问题上出了状况。 这背后可能牵扯到很多方面，就像拆一个精巧的机关，得一步一步来。首先，咱们得看看当事人双方，或者说涉及到这件事的各个角色，他们各自扮演的是什么位置，有什么样的立场和需求。 每个人看问.............
-
这个问题确实挺让人揪心的，毕竟感情里最怕的就是猜忌和不安。你问男朋友是不是“PC”了，这我理解，你大概是想知道他在游戏或者网络世界里有没有沉迷到影响现实生活，或者有没有跟其他网友产生不该有的关系。要判断这个，不能一概而论，得结合你平时的观察和感受来细细琢磨。首先，你得看看他投入时间和精力到游戏或者网.............
-
这事儿啊，我倒真想跟你好好聊聊，听你这意思，你们认识一段时间了，但对他这“妈宝”属性拿不准，是吧？这玩意儿你说复杂也复杂，说简单也简单，关键得看你观察的角度和细节。首先，咱得撇开那些刻板印象，什么“妈宝男就是没担当，啥事都问妈”，那太片面了。咱们得具体分析。你看他平时做决定的时候，是不是总会不自觉地.............
-
.......
-
.......
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有