可交换矩阵的求法有几种？

说起矩阵可交换性，这可不是一个简单的是非题，而是涉及一系列求解和判断的方法。当提到“可交换矩阵”时，我们通常指的是两个方阵 A 和 B 满足 AB = BA 的关系。求解这样一对矩阵，或者给定一个矩阵，找出所有与它可交换的矩阵，是线性代数中一个有趣且实用的课题。

下面我们就来详细聊聊，有哪些方法可以找到（或判断）可交换矩阵。我会尽量用大白话来解释，避免那些冷冰冰的术语，让你感觉就像在和老朋友聊天一样。

核心思想：核心是什么？

在深入各种方法之前，咱们先得明白一个根本性的道理：如果两个矩阵 A 和 B 可交换，那么它们在某些意义上是“相似”的。 这里的“相似”不是指元素完全一样，而是指它们在不同的基底下，可以用相同的“样子”表示。这就像你说你和你兄弟虽然长得不太一样，但你们的基因密码在核心部分是高度相似的一样。

基于这个核心思想，我们才有了下面这些主要的求解思路。

方法一：直接代入， bruteforce 的浪漫

这是最直观也是最“暴力”的方法，尤其适合处理小尺寸的矩阵，或者当你对一个给定矩阵 A 的结构非常有把握，并且想找一个形式简单的矩阵 B 来与之交换时。

怎么做？

1. 定义矩阵形式： 假设你想找一个和已知矩阵 A 可交换的矩阵 B。你首先要对 B 的形式做一个猜测。例如，如果你怀疑 A 和一个对角矩阵可交换，那么就设 B 是一个对角矩阵，对角线元素是未知数。如果你怀疑 B 是一个纯数量乘上单位矩阵（即 B = cI，其中 c 是一个常数），那么这种情况总是成立的（任何矩阵 A 乘以单位矩阵 cI 都等于 cIA，所以 A(cI) = (cI)A），这是一种最简单的情况。
2. 列出方程组： 将 A 和你设定的 B 的形式代入 AB = BA。写出矩阵乘法的具体计算过程，然后比较等式两边的每个对应元素。因为矩阵的每个元素都是一个关于 B 中未知数的表达式，这样一来，你就得到了一系列关于这些未知数的方程。
3. 求解方程组： 解这个方程组，如果能找到一组解，那么你就找到了一个可交换的矩阵 B。

举个例子（小而精）：

假设我们有一个 2x2 的矩阵 A =
$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

我们想找一个和它可交换的对角矩阵 B =
$egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix}$

计算 AB：
AB = $egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} = egin{pmatrix} a & 2b \ 3a & 4b end{pmatrix}$

计算 BA：
BA = $egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a & 2a \ 3b & 4b end{pmatrix}$

令 AB = BA，我们得到：
$egin{pmatrix} a & 2b \ 3a & 4b end{pmatrix} = egin{pmatrix} a & 2a \ 3b & 4b end{pmatrix}$

这就转化成了一组方程：
a = a (这个没用)
2b = 2a => b = a
3a = 3b => a = b
4b = 4b (这个也没用)

所以，我们只需要满足 a = b 这个条件。这意味着任何形如
$egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & a end{pmatrix}$
（也就是 a 乘以单位矩阵）的对角矩阵都和 A 可交换。

优点： 直观，容易理解，对于简单的矩阵形式（如对角矩阵、单位矩阵的倍数）非常有效。
缺点： 当矩阵尺寸增大，或者你想找的矩阵 B 形式复杂时，方程组会变得非常庞大且难以求解。而且，这种方法是“猜测式”的，你得猜对 B 的形式，否则可能找不到。

方法二：利用特征值和特征向量，最优雅的思路

这是最核心、最普遍的方法。它建立在矩阵相似理论的基础上。

核心定理：

如果矩阵 A 和 B 可交换（AB = BA），那么它们可以被同时对角化（如果它们各自可以对角化的话）。 这意味着存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D₁ 和 P⁻¹BP = D₂，其中 D₁ 和 D₂ 都是对角矩阵。
反过来，如果两个矩阵可以被同一个可逆矩阵 P 同时对角化，那么它们是可交换的。

怎么求解？

1. 找到矩阵 A 的特征值和特征向量： 这是第一步，也是最关键的一步。求解特征方程 det(A λI) = 0，得到特征值 λ₁，λ₂，...，λn。然后对每个特征值 λᵢ，求解 (A λᵢI)v = 0，得到对应的特征向量 vᵢ。
2. 构建对角化矩阵 P： 如果 A 是可对角化的，你就可以用它的线性无关的特征向量作为列向量来构造一个可逆矩阵 P。这样，P⁻¹AP 就是一个对角矩阵 D，其对角线元素就是 A 的特征值。
3. 生成可交换矩阵 B 的形式： 现在，任何与 A 可交换的矩阵 B，在同一个基底下，都可以表示成与 D 相似的形式。也就是说，B = P D' P⁻¹，其中 D' 是一个对角矩阵。
关键点在于 D' 的对角线元素。 D' 的对角线元素必须与 D 的对角线元素“兼容”。具体来说，如果 D 的对角线上是特征值 λ₁（对应第一个特征向量）、λ₂（对应第二个特征向量）、...，那么 D' 的对角线上也可以是任意的常数 d'₁、d'₂、...。
更进一步的理解： 如果一个特征值 λ 是重根（例如，k 重根），那么对应于这个重根的特征向量张成的子空间是 A 的一个特征子空间。任何与 A 可交换的矩阵 B，在作用于这个特征子空间时，也必须将这个子空间映射到自身，并且在这个子空间上，B 的作用方式与 A 的作用方式（即乘以 λ）是“协调”的。最简单协调的方式就是，B 在这个子空间上也是乘以同一个常数 d'ᵢ。
最常见的形式： 通常我们选择 D' 是一个对角矩阵，其对角线元素 d'ᵢ 就是我们为每一个特征值 λᵢ 指定的一个任意常数。所以 B 的形式就是 B = P diag(d'₁, d'₂, ..., d'n) P⁻¹。

举个例子：

假设我们有一个矩阵 A =
$egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$

求特征值： det(A λI) = det( $egin{pmatrix} 2lambda & 1 \ 0 & 2lambda end{pmatrix}$ ) = (2λ)² = 0。所以 λ = 2 是一个重根。
求特征向量： (A 2I)v = $egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$。解得 y = 0，x 可以是任意非零数。所以特征向量是形如 $egin{pmatrix} x \ 0 end{pmatrix}$。例如，v₁ = $egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$。

问题来了！ 这个矩阵 A 的特征向量不能张成整个二维空间，它只有一个线性无关的特征向量（至少我们直接求出来的只是一个）。这说明 A 不能被对角化成一个对角矩阵。在这种情况下，上面的“同时对角化”定理似乎行不通了。

怎么办？引入“约当标准形”

如果矩阵不能对角化，我们还有更一般的方法——约当标准形。任何方阵都可以通过一个相似变换转化为其约当标准形 J。如果 AB = BA，那么它们在同一个相似变换下，其约当标准形也“共轭”地可交换。

A 的约当标准形： 对于我们上面的例子 A =
$egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$，它本身已经是约当标准形了，因为它的特征值是重根 2，并且只有一个线性无关的特征向量，所以它是 (2, 1) 形式的约当块。 J = $egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$。
可交换矩阵 B 的结构： 一个与 A 可交换的矩阵 B，也必须在相同的相似变换下，具有“兼容”的约当标准形。对于这种只有一个约当块且主对角线元素是重根的情况，与它可交换的矩阵 B 的约当标准形也必须是相同形式的。也就是说，B 也有一个约当标准形 J' =
$egin{pmatrix} mu & u \ 0 & mu end{pmatrix}$，其中 μ 是一个常数，ν 可以是 0 或者 1。
求法（更精细）： 我们知道，如果 B 和 A 可交换，那么对于 A 的每个特征值 λ，B 的特征值也必须是 λ 的某个函数，并且作用在 A 的特征向量上要满足某种关系。
更直接地说，任何与 A 可交换的矩阵 B，都可以表示为 B = A⋅f(A) 的形式，其中 f(x) 是一个多项式（这涉及到矩阵函数论）。或者，更广泛地，B 可以在 A 的特征空间（或更一般的广义特征空间）上以与 A “兼容”的方式作用。

对我们这个例子 A =
$egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$，求解与它可交换的矩阵 B

我们知道 B 必须是形如 B = P J' P⁻¹，其中 J' 是与 A 的约当块兼容的约当块。
一个与 $egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$ 可交换的矩阵，其约当标准形一定是 $egin{pmatrix} mu & u \ 0 & mu end{pmatrix}$，其中 μ 是常数，ν 是 0 或 1。
如果 A 本身是不可对角化的，那么与 A 可交换的矩阵 B 不一定能对角化。

更直观的理解方法二（针对可对角化矩阵）：

如果 A 是可对角化的，并且它的特征值 λ₁, λ₂, ..., λn 是 互不相同 的，那么与 A 可交换的矩阵 B 一定 是 A 的多项式，即 B = c₀I + c₁A + ... + c_{n1}A^{n1}。这种情况下，B 的特征值是 c₀ + c₁λᵢ + ... + c_{n1}λᵢ^{n1}。

如果 A 的特征值有重根，情况就复杂一些。如上面例子所示，A = $egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$（即 2I）。任何矩阵 B 都与它可交换。 A = $egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$，我们之前看到了，其特征向量是 $egin{pmatrix} x \ 0 end{pmatrix}$。
与 A 可交换的矩阵 B 必须满足：对任意特征向量 v，Av = λv，则 ABv = A(Bv) = λ(Bv)。同时，BAv = B(λv) = λ(Bv)。
这意味着 Bv 必须是 A 的某个特征向量。
在我们的例子中，v₁ = $egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$ 是 A 的特征向量，对应 λ=2。那么 Bv₁ 必须也是 A 的特征向量。
设 B =
$egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$
Bv₁ = $egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$
所以 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 必须是 A 的特征向量。即 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$ 形如 $egin{pmatrix} x \ 0 end{pmatrix}$。
这要求 c = 0。
所以 B 必须是形如 B =
$egin{pmatrix} a & b \ 0 & d end{pmatrix}$。
现在我们代入 AB = BA：
AB = $egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix} egin{pmatrix} a & b \ 0 & d end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2a & 2b+d \ 0 & 2d end{pmatrix}$
BA = $egin{pmatrix} a & b \ 0 & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2a & a+2b \ 0 & 2d end{pmatrix}$
令 AB = BA：
2a = 2a
2b + d = a + 2b => d = a
0 = 0
2d = 2d

所以，B 的形式必须是
$egin{pmatrix} a & b \ 0 & a end{pmatrix}$
（其中 a 和 b 是任意常数）。

总结方法二：

可对角化矩阵： 找到 A 的所有特征值及其对应的特征向量。构建 P = [v₁, v₂, ..., vn]。令 B = P diag(d'₁, d'₂, ..., d'n) P⁻¹。这里 d'ᵢ 是任意常数。
特别地，如果 A 的特征值不重复，则 B 只能是 A 的多项式 B = f(A)。
不可对角化矩阵： 这种情况下，需要利用约当标准形或分析矩阵在特征子空间（或广义特征子空间）上的作用。求解会更复杂一些，通常需要先确定 B 的约当标准形结构，再通过求逆和乘法得到 B 的具体形式。

优点： 这是最系统、最通用的方法，能解决绝大多数问题。它给出了可交换矩阵的一般形式。
缺点： 计算量大，尤其是求特征值、特征向量和矩阵求逆。处理不可对角化矩阵时需要更深的理论。

方法三：利用最小多项式和凯莱Hamilton定理，理论的深度

凯莱Hamilton定理指出，任何方阵 A 都满足其特征多项式 P(λ) = det(A λI) = 0。也就是说，P(A) = 0。而最小多项式 m(λ) 是满足 m(A) = 0 的次数最低的首项系数为 1 的多项式。

定理：

任何与 A 可交换的矩阵 B，都可以表示为 A 的多项式（B = p(A)） 当且仅当 A 是可对角化的并且其特征值各不相同。
更普遍地，如果一个矩阵 B 与 A 可交换，那么 B 必须与 A 具有相同的最小多项式（或者说，B 的最小多项式是 A 的最小多项式的因子，并且它们在相同的约当块结构下有兼容性）。

怎么利用这个？

1. 找到矩阵 A 的最小多项式 m(λ)： 这比特征多项式更精炼，包含了关于矩阵结构的重要信息（特别是约当块的大小）。求解最小多项式需要结合特征多项式和对矩阵进行约当分解。
2. 构造 A 的多项式： 如果 A 的特征值互不相同，那么任何形如 B = c₀I + c₁A + ... + c_{n1}A^{n1} 的矩阵都与 A 可交换。你需要找到这些系数 c₀, ..., c_{n1}。
3. 更一般的情况： 如果 A 有重根或者不可对角化，那么与 A 可交换的矩阵 B 仍然可以从其约当标准形来考虑。如果 A 的最小多项式是 m(λ)，那么 B 的最小多项式 m_B(λ) 必须满足 m(A) = 0 并且 m_B(A) = 0。而且 B 必须在 A 的特征子空间（或广义特征子空间）上以“兼容”的方式作用。

举个例子（再次考虑 A =
$egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$）：

特征多项式： (2λ)²。
最小多项式： 我们测试一下 (A 2I)：
(A 2I) = $egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
(A 2I)² = $egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
所以 A 的最小多项式是 m(λ) = (λ 2)²。

与 A 可交换的矩阵 B 的结构：
我们之前算出来 B =
$egin{pmatrix} a & b \ 0 & a end{pmatrix}$。
我们能否用 A 的多项式来表示 B 呢？ 尝试 B = c₀I + c₁A。
c₀I + c₁A = c₀ $egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ + c₁ $egin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 end{pmatrix}$ = $egin{pmatrix} c₀+2c₁ & c₁ \ 0 & c₀+2c₁ end{pmatrix}$。
这和我们得到的 B 的形式 $egin{pmatrix} a & b \ 0 & a end{pmatrix}$ 是吻合的，只要我们令 a = c₀ + 2c₁ 并且 b = c₁。
所以，对于这个不可对角化的矩阵，与它可交换的矩阵 B 确实 可以表示成 A 的多项式 B = c₀I + c₁A。

关键总结：

如果 A 的特征值互不相同，则与 A 可交换的矩阵 B 必然是 A 的多项式。
如果 A 有重根（即使可对角化），或者不可对角化，那么与 A 可交换的矩阵 B 不一定是 A 的多项式，但它们之间存在一种“结构兼容性”，这种兼容性可以通过约当标准形来描述。然而，在很多情况下，B 仍然可以被表示为 A 的多项式或者 A 的一个“修正”形式。

优点： 提供了一个更深的理论视角，解释了可交换矩阵的结构本质。
缺点： 求解最小多项式本身就是一个复杂的过程，而且“A 的多项式”这个结论需要严格的条件才能成立。

方法四：利用群论和表示论的抽象视角（进阶）

对于更深入的研究，矩阵的可交换性也与群表示理论有关。如果将矩阵看作是在某个向量空间的线性变换，那么可交换矩阵对就构成了一个交换群（在矩阵乘法下）。研究这类群的性质，或者研究它们在向量空间的表示，也可以帮助理解可交换矩阵的结构。

这已经超出了基础线性代数的范畴，更多地涉及到抽象代数和表示论的工具。例如，在一个向量空间的某个基底下，如果 A 和 B 是可交换的，那么它们在变换后的向量组上同样是可交换的。

总结一下，求可交换矩阵的几种主要思路：

1. 直接代入法： 适用于简单矩阵或猜测特定形式。
2. 特征值与特征向量法： 最常用且最系统的方法，尤其适用于可对角化矩阵。
3. 最小多项式与凯莱Hamilton定理： 提供理论深度，解释结构根源。
4. 高级理论（群论等）： 用于更抽象和深入的研究。

最后的建议：

在实际操作中，绝大多数情况我们会采用 方法二（特征值和特征向量）。当 A 可以对角化时，这是最清晰的求解路径。当 A 不可对角化时，我们需要更仔细地分析其约当标准形，或者通过直接代入法结合特征向量的性质来求解。

理解“可交换”的本质是“相似”和“结构兼容”，这是掌握这些方法的关键。希望我的这些解释够详细，也足够接地气，没有让你觉得像是在读一份冰冷的科技论文。

如果是给定一个矩阵 ，求与之交换的所有矩阵的形式，可以做以下讨论：

首先做若当标准型分解： 其中 是右上副对角线为 的Jordan矩阵。则由于 ，即存在同构 从而问题等价于找到所有与 交换的矩阵 ，每一个 唯一对应一个 与 交换。

由于上述Jordan矩阵中特征根为 的Jordan块 第 行第 列元素 ，故若矩阵 ，其中 第 行第 列元素为 ,则

【注1：此处意指按Einstein约定对指标 求和】

即

【注2：若指标越界则为 】。

若 则从 左下角开始（设其为 矩阵），逐条研究左上/右下斜线贯穿的元素 从而 只有零解。

若 ，仍从 左下角开始（设其为 矩阵），由条件得到连等向左上/右下延伸，若超出边界则为 ，则 直到三元素组 “右上角” 在矩阵内时另两个元素均在矩阵内，可以任意取值。

如上我们得到了 的结构，即为满足 的 中分别左乘（行数对应于 所在列）等于右乘（列数对应于所在行）的块的结构。回忆开头的讨论，将 变换得到与 交换的矩阵即可。