矩阵的可交换性有什么几何意义吗？
矩阵的可交换性，即 $AB = BA$，虽然在代数层面上是一个简单的等式，但其背后却有着深刻的几何意义。它揭示了两个线性变换在作用于向量时，其执行顺序的无关紧性。更具体地说，它意味着这两个变换以一种不冲突、不相互干扰的方式独立地改变向量的空间。
为了详细解释这一点，我们首先需要回顾一下矩阵和线性变换之间的关系。
矩阵与线性变换：基础回顾
一个 $m imes n$ 的矩阵可以看作是一个将 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性变换。如果我们有一个向量 $v$，那么矩阵 $A$ 将它映射到 $Av$。这个过程可以被理解为对向量进行一系列操作，例如旋转、缩放、剪切等。
当两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相乘时，它们的乘积 $AB$ 也代表一个线性变换。这个变换是将向量先通过 $B$ 进行变换，然后再通过 $A$ 进行变换。也就是说，$(AB)v = A(Bv)$。
可交换性：顺序无关紧要
现在，我们来探讨矩阵的可交换性 $AB = BA$。当这个条件成立时，几何上的意义就是：
无论你是先应用变换 $A$ 再应用变换 $B$，还是先应用变换 $B$ 再应用变换 $A$，最终得到的变换结果是完全相同的。
换句话说，这两个线性变换在改变向量的过程中，彼此不影响对方的工作方式。它们可以被看作是独立的、并行进行的修正。
几何意义的深入剖析：
让我们从几个关键角度来理解这种几何意义：
1. 变换的独立性与叠加：
如果 $AB eq BA$，那么变换 $A$ 的作用会影响到变换 $B$ 的效果，反之亦然。想象一下你在给一个物体涂色，先涂红色再涂蓝色，可能得到紫色的混合效果。但如果先涂蓝色再涂红色，也得到同样的紫色。但对于更复杂的变换，顺序就可能产生完全不同的结果。
如果 $AB = BA$，那么这两个变换就像是在向量空间上独立地施加了两个“修正”或“调整”。无论你先调整第一个参数再调整第二个，还是反过来，最终的调整结果是相同的。
2. 不变子空间与特征向量的联系：
特征向量： 当一个矩阵 $A$ 作用于它的一个特征向量 $v$ 时，向量的方向不变，只会被拉伸或压缩一个因子（特征值 $lambda$）。即 $Av = lambda v$。
可交换的特征向量： 如果 $AB = BA$，那么一个关键的几何性质是：
如果 $v$ 是 $A$ 的一个特征向量，那么 $Bv$ 也是 $A$ 的一个特征向量（可能具有相同的特征值，也可能不同）。为什么？因为 $A(Bv) = (AB)v = (BA)v = B(Av) = B(lambda v) = lambda (Bv)$。这意味着 $Bv$ 的方向仍然保持不变，只是被拉伸或压缩了 $lambda$ 倍。
反之亦然，如果 $v$ 是 $B$ 的一个特征向量，那么 $Av$ 也是 $B$ 的一个特征向量。
几何意义： 这意味着，当两个矩阵可交换时，它们共享了一组可以同时对它们进行特征值分解的向量。这些共享的特征向量构成了一个“共同的几何方向轴”。无论你沿着哪个共享的特征向量方向移动，两个变换的作用都是彼此独立地拉伸或压缩，而不会改变这个方向。
3. 对坐标系的影响：
可以将矩阵理解为对坐标系的变换。如果矩阵 $P$ 代表一个坐标系的变换（例如，从标准基变换到一个新的基），那么 $AP$ 代表先将向量用 $P$ 变换到新坐标系，再用 $A$ 变换。$PA$ 则代表先用 $A$ 变换，再用 $P$ 变换。
如果 $AP = PA$，这意味着无论你是在原始坐标系下应用 $A$ 再转换到新坐标系，还是先转换到新坐标系再应用 $A$（在新坐标系下），结果是一样的。这暗示着这两个变换对整个空间的“结构”或“几何形状”的改变是以一种兼容的方式进行的。
4. 特殊的可交换矩阵：
单位矩阵 $I$： 单位矩阵与任何矩阵 $A$ 都可交换 ($AI = IA = A$)。几何上，单位矩阵代表“什么都不做”的变换（恒等变换）。它不改变向量的任何属性。因此，它当然不会影响其他变换的效果。
标量矩阵 $cI$： 标量矩阵代表整体缩放。与单位矩阵一样，它们也与任何矩阵可交换 ($ (cI)A = cA = A(cI) $) 。几何上，整体缩放不改变向量的方向，只是改变其长度。因此，它也不会干扰其他变换对方向的影响。
相似变换与对角化： 如果一个矩阵 $A$ 可以被对角化，并且它的特征向量是线性无关的，那么任何与 $A$ 可交换的矩阵 $B$ 也必须是相似于另一个对角矩阵的。更重要的是，如果 $A$ 和 $B$ 都可以对角化，并且它们拥有相同的特征向量（这正是 $AB=BA$ 在特征向量层面的体现），那么它们可以被同时对角化。这意味着存在一个相似矩阵 $P$，使得 $P^{1}AP = D_A$ 和 $P^{1}BP = D_B$，其中 $D_A$ 和 $D_B$ 是对角矩阵。
几何意义： 这意味着存在一个特定的坐标系（由 $P$ 的列向量构成），在这个坐标系下，两个变换 $A$ 和 $B$ 都变成了简单的沿坐标轴的缩放。这极大地简化了对这两个变换共同作用效果的理解。就像你找到了一种特殊的视角，使得这两个复杂的几何操作都变成了最简单的拉伸和压缩。
举例说明：二维旋转
考虑二维平面上的旋转矩阵：
$R( heta) = egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix}$
两个旋转矩阵 $R( heta_1)$ 和 $R( heta_2)$ 是可交换的：
$R( heta_1)R( heta_2) = R( heta_1 + heta_2)$
$R( heta_2)R( heta_1) = R( heta_2 + heta_1)$
由于加法是可交换的，所以 $R( heta_1)R( heta_2) = R( heta_2)R( heta_1)$。
几何意义：
先将一个向量旋转 $ heta_1$ 度，然后再旋转 $ heta_2$ 度，其效果与先旋转 $ heta_2$ 度再旋转 $ heta_1$ 度是完全相同的。最终的效果都是将向量旋转 $ heta_1 + heta_2$ 度。两个旋转操作是独立叠加的，顺序无关紧要。
再举例说明：旋转与缩放
考虑一个旋转矩阵 $R( heta)$ 和一个对角缩放矩阵 $S = egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix}$。
$S R( heta) = egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix} = egin{pmatrix} a cos heta & a sin heta \ b sin heta & b cos heta end{pmatrix}$
$R( heta) S = egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix} egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} = egin{pmatrix} a cos heta & b sin heta \ a sin heta & b cos heta end{pmatrix}$
当 $a eq b$ 时，$S R( heta) eq R( heta) S$。
几何意义：
先旋转后缩放 ($R( heta)S$)： 先对 x 轴和 y 轴进行不同的缩放（如 x 轴缩放 $a$ 倍，y 轴缩放 $b$ 倍），然后将这个轴缩放后的空间旋转 $ heta$ 度。
先缩放后旋转 ($S R( heta)$)： 先将空间旋转 $ heta$ 度，然后在这个旋转后的空间里进行 x 轴和 y 轴的不同缩放。
当 $a eq b$ 时，这两个操作的最终效果不同。例如，一个形状先被拉长再旋转，和先旋转再被拉长（沿着新的轴方向），其最终形状和方向可能不同。
如果 $a = b$，则 $S = aI$ 是一个整体缩放矩阵。这时 $S R( heta) = R( heta) S = a R( heta)$。几何上，整体缩放不改变方向，所以它与旋转操作是可交换的，这符合我们的理解。
总结：
矩阵的可交换性 $AB = BA$ 的几何意义在于：
顺序无关性： 两个线性变换的执行顺序不会改变最终的变换结果。
独立性： 这两个变换以一种不相互干扰的方式作用于向量空间。它们可以看作是独立施加的几何修正。
共同的几何结构： 可交换的矩阵共享了一组特征向量，这些特征向量定义了一个“共同的几何方向轴”，在这组方向上，两个变换都只是简单的缩放。
兼容的变换方式： 它们对空间的改变是以一种兼容的方式进行的，不会因为顺序的改变而产生冲突。
在更高级的数学和物理领域，例如量子力学中的算符对易性，矩阵的可交换性更是有着至关重要的意义，它直接关系到物理量是否可以同时被精确测量（对应于同时拥有特征向量的算符）。
为了详细解释这一点，我们首先需要回顾一下矩阵和线性变换之间的关系。
矩阵与线性变换：基础回顾
一个 $m imes n$ 的矩阵可以看作是一个将 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性变换。如果我们有一个向量 $v$，那么矩阵 $A$ 将它映射到 $Av$。这个过程可以被理解为对向量进行一系列操作，例如旋转、缩放、剪切等。
当两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相乘时，它们的乘积 $AB$ 也代表一个线性变换。这个变换是将向量先通过 $B$ 进行变换，然后再通过 $A$ 进行变换。也就是说，$(AB)v = A(Bv)$。
可交换性：顺序无关紧要
现在，我们来探讨矩阵的可交换性 $AB = BA$。当这个条件成立时，几何上的意义就是：
无论你是先应用变换 $A$ 再应用变换 $B$，还是先应用变换 $B$ 再应用变换 $A$，最终得到的变换结果是完全相同的。
换句话说，这两个线性变换在改变向量的过程中，彼此不影响对方的工作方式。它们可以被看作是独立的、并行进行的修正。
几何意义的深入剖析：
让我们从几个关键角度来理解这种几何意义：
1. 变换的独立性与叠加：
如果 $AB eq BA$，那么变换 $A$ 的作用会影响到变换 $B$ 的效果，反之亦然。想象一下你在给一个物体涂色，先涂红色再涂蓝色，可能得到紫色的混合效果。但如果先涂蓝色再涂红色，也得到同样的紫色。但对于更复杂的变换，顺序就可能产生完全不同的结果。
如果 $AB = BA$，那么这两个变换就像是在向量空间上独立地施加了两个“修正”或“调整”。无论你先调整第一个参数再调整第二个，还是反过来，最终的调整结果是相同的。
2. 不变子空间与特征向量的联系：
特征向量： 当一个矩阵 $A$ 作用于它的一个特征向量 $v$ 时，向量的方向不变，只会被拉伸或压缩一个因子（特征值 $lambda$）。即 $Av = lambda v$。
可交换的特征向量： 如果 $AB = BA$，那么一个关键的几何性质是：
如果 $v$ 是 $A$ 的一个特征向量，那么 $Bv$ 也是 $A$ 的一个特征向量（可能具有相同的特征值，也可能不同）。为什么？因为 $A(Bv) = (AB)v = (BA)v = B(Av) = B(lambda v) = lambda (Bv)$。这意味着 $Bv$ 的方向仍然保持不变，只是被拉伸或压缩了 $lambda$ 倍。
反之亦然，如果 $v$ 是 $B$ 的一个特征向量，那么 $Av$ 也是 $B$ 的一个特征向量。
几何意义： 这意味着，当两个矩阵可交换时，它们共享了一组可以同时对它们进行特征值分解的向量。这些共享的特征向量构成了一个“共同的几何方向轴”。无论你沿着哪个共享的特征向量方向移动，两个变换的作用都是彼此独立地拉伸或压缩，而不会改变这个方向。
3. 对坐标系的影响：
可以将矩阵理解为对坐标系的变换。如果矩阵 $P$ 代表一个坐标系的变换（例如，从标准基变换到一个新的基），那么 $AP$ 代表先将向量用 $P$ 变换到新坐标系，再用 $A$ 变换。$PA$ 则代表先用 $A$ 变换，再用 $P$ 变换。
如果 $AP = PA$，这意味着无论你是在原始坐标系下应用 $A$ 再转换到新坐标系，还是先转换到新坐标系再应用 $A$（在新坐标系下），结果是一样的。这暗示着这两个变换对整个空间的“结构”或“几何形状”的改变是以一种兼容的方式进行的。
4. 特殊的可交换矩阵：
单位矩阵 $I$： 单位矩阵与任何矩阵 $A$ 都可交换 ($AI = IA = A$)。几何上，单位矩阵代表“什么都不做”的变换（恒等变换）。它不改变向量的任何属性。因此，它当然不会影响其他变换的效果。
标量矩阵 $cI$： 标量矩阵代表整体缩放。与单位矩阵一样，它们也与任何矩阵可交换 ($ (cI)A = cA = A(cI) $) 。几何上，整体缩放不改变向量的方向，只是改变其长度。因此，它也不会干扰其他变换对方向的影响。
相似变换与对角化： 如果一个矩阵 $A$ 可以被对角化，并且它的特征向量是线性无关的，那么任何与 $A$ 可交换的矩阵 $B$ 也必须是相似于另一个对角矩阵的。更重要的是，如果 $A$ 和 $B$ 都可以对角化，并且它们拥有相同的特征向量（这正是 $AB=BA$ 在特征向量层面的体现），那么它们可以被同时对角化。这意味着存在一个相似矩阵 $P$，使得 $P^{1}AP = D_A$ 和 $P^{1}BP = D_B$，其中 $D_A$ 和 $D_B$ 是对角矩阵。
几何意义： 这意味着存在一个特定的坐标系（由 $P$ 的列向量构成），在这个坐标系下，两个变换 $A$ 和 $B$ 都变成了简单的沿坐标轴的缩放。这极大地简化了对这两个变换共同作用效果的理解。就像你找到了一种特殊的视角，使得这两个复杂的几何操作都变成了最简单的拉伸和压缩。
举例说明：二维旋转
考虑二维平面上的旋转矩阵：
$R( heta) = egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix}$
两个旋转矩阵 $R( heta_1)$ 和 $R( heta_2)$ 是可交换的：
$R( heta_1)R( heta_2) = R( heta_1 + heta_2)$
$R( heta_2)R( heta_1) = R( heta_2 + heta_1)$
由于加法是可交换的，所以 $R( heta_1)R( heta_2) = R( heta_2)R( heta_1)$。
几何意义：
先将一个向量旋转 $ heta_1$ 度，然后再旋转 $ heta_2$ 度，其效果与先旋转 $ heta_2$ 度再旋转 $ heta_1$ 度是完全相同的。最终的效果都是将向量旋转 $ heta_1 + heta_2$ 度。两个旋转操作是独立叠加的，顺序无关紧要。
再举例说明：旋转与缩放
考虑一个旋转矩阵 $R( heta)$ 和一个对角缩放矩阵 $S = egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix}$。
$S R( heta) = egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix} = egin{pmatrix} a cos heta & a sin heta \ b sin heta & b cos heta end{pmatrix}$
$R( heta) S = egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix} egin{pmatrix} a & 0 \ 0 & b end{pmatrix} = egin{pmatrix} a cos heta & b sin heta \ a sin heta & b cos heta end{pmatrix}$
当 $a eq b$ 时，$S R( heta) eq R( heta) S$。
几何意义：
先旋转后缩放 ($R( heta)S$)： 先对 x 轴和 y 轴进行不同的缩放（如 x 轴缩放 $a$ 倍，y 轴缩放 $b$ 倍），然后将这个轴缩放后的空间旋转 $ heta$ 度。
先缩放后旋转 ($S R( heta)$)： 先将空间旋转 $ heta$ 度，然后在这个旋转后的空间里进行 x 轴和 y 轴的不同缩放。
当 $a eq b$ 时，这两个操作的最终效果不同。例如，一个形状先被拉长再旋转，和先旋转再被拉长（沿着新的轴方向），其最终形状和方向可能不同。
如果 $a = b$，则 $S = aI$ 是一个整体缩放矩阵。这时 $S R( heta) = R( heta) S = a R( heta)$。几何上，整体缩放不改变方向，所以它与旋转操作是可交换的，这符合我们的理解。
总结：
矩阵的可交换性 $AB = BA$ 的几何意义在于：
顺序无关性： 两个线性变换的执行顺序不会改变最终的变换结果。
独立性： 这两个变换以一种不相互干扰的方式作用于向量空间。它们可以看作是独立施加的几何修正。
共同的几何结构： 可交换的矩阵共享了一组特征向量，这些特征向量定义了一个“共同的几何方向轴”，在这组方向上，两个变换都只是简单的缩放。
兼容的变换方式： 它们对空间的改变是以一种兼容的方式进行的，不会因为顺序的改变而产生冲突。
在更高级的数学和物理领域，例如量子力学中的算符对易性，矩阵的可交换性更是有着至关重要的意义，它直接关系到物理量是否可以同时被精确测量（对应于同时拥有特征向量的算符）。
网友意见
这个问题挺有趣，我先写一部分回答。最近期末了，等腾出时间来再慢慢补充。
将所有与矩阵 乘法可交换的矩阵全体记为
这是本文主要研究的对象，我称之为交换集.
一、 的代数结构
定理1 是一个有单位元的代数.
证 容易验证满足
故 ；又矩阵乘法自然满足结合律、分配律，所以 是一个代数，并且单位阵 为是单位元.
例1 考虑矩阵基的交换集
例2 考虑 ,其中
为 Jordan 矩阵，经过简单的计算，
而
所以
.
例3 令 ，则由例 2 可得
进而得到 ；但
.
例4 对角阵集 是 的有限维交换子代数. 设
易得
.
证 利用归纳法可得一般形式的结论，并且有
.
特别地，当 时，
.
定理2 是 的有限维交换子代数.
证 一个很平凡的事实：
而 可以张成 ，即
由 Hamilton - Cayley 定理，任意矩阵存的特征多项式为零化多项式，且次数不超过 . 设矩阵 的极小多项式为 ，则有
故
推论 当 时， .
案 是可能的，由例 2 可知，当 时，
； 也是可能的（例 3），并且绝大多数情况是这样的这一点由. 关于这一点，有一个很好的判别定理——
定理 3 若 ，当且仅当 只有一个非常数不变因子.
推论 为Jordan 矩阵，则 .
证略.[1]
案 可见例 2、3 并非巧合.
显然 等价于
其中 表示 的第 行向量， 表示 的第 列向量.
于是 是 的解空间. 但是阶数太大需要冗杂的计算，所以我只给出 2 阶方阵的交换集：
定理 4 二阶方阵交换集
证略.
.
定理 5 若数域 上的两个线性变换交换： ，则他们至少有一个公共的特征向量.
证 首先说明，若 是 的特征根（存在性由数域 保证），则 是 的不变子空间：
这表明 ，故得证该断言. 于是， 是 上的线性变换，那么必存在 ，设该特征值所对应的的特征向量为 ，于是 就是两者的公共特征向量.
案 该定理说明，在数域 上 总存在非零解，由克莱默（Cramer）法则可知，的系数矩阵行列式为 0 . 另外，该定理更准确地可表示为：若 有 个特征值，则 与 的公共特征向量不会少于 个.
推论 若 有 个不同的特征值，且两者可交换，则存在公共的矩阵 ，使得
同时为对角阵.
二、几何意义
将矩阵 视为 上的线性变换，那么它的所有性质皆可体现在对单位球的作用：将单位球映射为椭球（退化情况则映为低维度的椭球），椭球的奇异点 恰是矩阵 的特征方向，有向长度恰是特征值的绝对值，而 的作为算子的范数恰是最大特征值的绝对值.
事实上，单位球上的点 经像 的模长平方
显然是有界的二次型，所以必为椭球.
从这个角度讲， 表示单位球 分别经过两次作用顺序不同的变换后，得到的是同一个椭球.
参考
- ^ 王萼芳《高等代数》第四版，总习题35、37
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