如何理解命题「矩阵可对角化等价于其所有特征值的代数重数等于几何重数」？
你好！很高兴能和你一起深入探讨“矩阵可对角化”与“特征值的代数重数等于几何重数”之间的深刻联系。这不仅仅是一个数学定理，它更是理解矩阵行为、揭示其内在结构的关键钥匙。让我们一步一步来，把这其中的奥秘掰开了揉碎了说清楚。
首先，我们得把一些基础概念理顺了。
1. 什么叫做“矩阵”？
简单来说，矩阵就是一堆数字按照行和列排列起来的长方形。它就像一个“数学黑箱”，你可以把一个向量放进去，它会给你一个“新”的向量出来。这个“黑箱”的作用就是通过一系列的线性变换来改变向量。
2. 什么是“线性变换”？
你可以想象一个向量在空间中有一个方向和长度。线性变换就是一种非常“规矩”的操作，它不会把直线变成曲线，也不会把原点移开。最直观的表现是，经过线性变换后，原本相互平行的直线仍然平行，原本互相垂直的直线也仍然互相垂直。矩阵正是描述这种线性变换的强大工具。
3. “特征值”和“特征向量”是怎么回事？
这是问题的核心所在。我们知道，矩阵可以把一个向量变成另一个向量。但是，绝大多数向量在经过矩阵变换后，方向都会发生改变。然而，总有一些特殊的向量，它们在经过矩阵变换后，方向不变，仅仅是长度发生了伸缩。这些特殊的向量就叫做特征向量（Eigenvector），而这个伸缩的比例，也就是向量在变换后的长度与变换前的长度之比，就叫做特征值（Eigenvalue）。
数学上，如果 $A$ 是一个 $n imes n$ 的矩阵，$mathbf{v}$ 是一个非零向量，$lambda$ 是一个标量，那么：
$Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$
这个式子就表达了“特征向量 $mathbf{v}$ 在矩阵 $A$ 的作用下，其方向不变，只被缩放了 $lambda$ 倍”的含义。
4. 什么叫做“矩阵可对角化”？
“对角化”这个词本身就带了点信息。想象一下一个特别好用的工具，它能把复杂的工具拆解成最基本、最纯粹的组件。矩阵对角化就是这么一个过程。
如果一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$ 能够表示成以下形式：
$A = PDP^{1}$
其中：
$D$ 是一个对角矩阵。对角矩阵就是只有对角线上的元素非零，其余位置都是零的矩阵。例如：
$$
egin{pmatrix}
lambda_1 & 0 & dots & 0 \
0 & lambda_2 & dots & 0 \
vdots & vdots & ddots & vdots \
0 & 0 & dots & lambda_n
end{pmatrix}
$$
$P$ 是一个可逆矩阵。
$P^{1}$ 是矩阵 $P$ 的逆矩阵。
如果一个矩阵可以写成这种形式，我们就说这个矩阵是可对角化的。
为什么对角化这么重要呢？因为对角矩阵在很多运算上都极其简单。比如，计算对角矩阵的幂次，只需要把对角线上的元素分别求幂即可。如果我们要计算 $A^k$，那么 $A^k = (PDP^{1})^k = PD^kP^{1}$，这比直接计算 $A^k$ 要容易得多！对角化就是把一个复杂的线性变换转化成一系列简单的伸缩（由对角矩阵 $D$ 代表）和坐标系的变换（由 $P$ 和 $P^{1}$ 代表）。
现在，我们引入两个关键概念：代数重数和几何重数。
5. 代数重数 (Algebraic Multiplicity)
一个特征值 $lambda$ 的代数重数，指的是在计算矩阵 $A$ 的特征多项式 $det(A lambda I)$ 的根时，$lambda$ 作为这个多项式的根出现的次数。
别担心，我们把它拆开：
特征多项式： 这是计算特征值的一个标准方法。我们知道 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。把 $lambdamathbf{v}$ 移到左边，得到 $Amathbf{v} lambdamathbf{v} = mathbf{0}$。因为 $mathbf{v}$ 是向量，我们需要用一个矩阵来乘以它，所以我们写成 $Amathbf{v} lambda Imathbf{v} = mathbf{0}$，其中 $I$ 是单位矩阵。可以进一步写成 $(A lambda I)mathbf{v} = mathbf{0}$。
为了让这个方程有非零向量 $mathbf{v}$ 的解，矩阵 $(A lambda I)$ 必须是不可逆的，也就是说它的行列式为零：
$det(A lambda I) = 0$
这个关于 $lambda$ 的方程就是矩阵 $A$ 的特征方程。展开这个方程会得到一个关于 $lambda$ 的 $n$ 次多项式，这就是特征多项式。
多项式的根： 对于一个多项式，它的根就是让多项式的值为零的那个变量的值。例如，多项式 $(x2)^2(x3)$ 的根是 $2$ 和 $3$。
代数重数： 根 $2$ 在这个多项式中出现了两次（因为有 $(x2)^2$），所以根 $2$ 的代数重数是 2。根 $3$ 出现了一次，代数重数是 1。
总结：代数重数就是特征值作为特征方程的根出现的次数。
6. 几何重数 (Geometric Multiplicity)
一个特征值 $lambda$ 的几何重数，指的是与特征值 $lambda$ 对应的线性无关的特征向量的个数。
这又是什么意思呢？我们知道，所有满足 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 的非零向量 $mathbf{v}$ 构成了由矩阵 $A$ 在 $lambda$ 处定义的特征子空间（Eigenspace），记作 $E_lambda$。这个特征子空间是一个向量空间，包含了 $lambda$ 的所有特征向量以及零向量。
几何重数，就是这个特征子空间 $E_lambda$ 的维数。
$dim(E_lambda) = dim(Null(A lambda I))$
这里的 $Null(A lambda I)$ 指的是矩阵 $(A lambda I)$ 的零空间（Kernel），也就是所有使得 $(A lambda I)mathbf{v} = mathbf{0}$ 的向量 $mathbf{v}$ 的集合。零空间的维数就等于这个矩阵的零度（Nullity）。根据秩零度定理，对于一个 $n imes n$ 的矩阵 $M$，有 $rank(M) + nullity(M) = n$。所以，$nullity(A lambda I) = n rank(A lambda I)$。
总结：几何重数就是与该特征值相关的、独立的特征向量的“数量”，也就是特征子空间的维数。
现在，我们来连接这些概念：
命题：矩阵 $A$ 可对角化 $iff$ 对于 $A$ 的每一个特征值 $lambda$，其代数重数等于其几何重数。
这个命题是说，这两个条件是等价的，一个成立，另一个必然成立。让我们来详细解释为什么会这样。
方向一：如果矩阵 $A$ 是可对角化的，那么它每一个特征值的代数重数等于几何重数。
如果 $A$ 是可对角化的，那么我们可以找到一个可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{1}$，其中 $D$ 是一个对角矩阵。对角矩阵的对角线上的元素就是矩阵 $A$ 的特征值。
假设 $D$ 的对角线上的元素是 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n$。
特征值及其代数重数： 如果某个特征值 $lambda$ 在对角矩阵 $D$ 的对角线上出现了 $k$ 次，那么根据特征多项式的定义，$det(A lambda I) = det(PDP^{1} lambda PIP^{1}) = det(P(D lambda I)P^{1}) = det(P)det(D lambda I)det(P^{1}) = det(D lambda I)$。
因为 $D$ 是对角矩阵，其特征多项式就是 $(d_{11} lambda)(d_{22} lambda)dots(d_{nn} lambda)$。如果 $lambda$ 在对角线上出现了 $k$ 次，那么特征多项式中因子 $(lambda lambda_i)$ 就出现了 $k$ 次，所以 $lambda$ 的代数重数就是 $k$。
特征向量及其几何重数： 考虑 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。代入 $A = PDP^{1}$，得到 $PDP^{1}mathbf{v} = lambdamathbf{v}$。
两边左乘 $P^{1}$，得到 $P^{1}PDP^{1}mathbf{v} = P^{1}lambdamathbf{v}$，即 $DP^{1}mathbf{v} = lambda P^{1}mathbf{v}$。
令 $mathbf{w} = P^{1}mathbf{v}$，那么上面的式子就变成了 $Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$。
这里，$mathbf{w}$ 是向量，$mathbf{v}$ 是由 $P$ 的列向量组成的，如果 $mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量，那么 $mathbf{w}$ 就是 $D$ 的特征向量。因为 $P$ 是可逆矩阵，$mathbf{v} eq mathbf{0}$ 当且仅当 $mathbf{w} eq mathbf{0}$。
这意味着，如果 $lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么 $lambda$ 也是 $D$ 的一个特征值。
现在我们来看 $Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$。因为 $D$ 是对角矩阵，假设 $D = diag(lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n)$。那么 $Dmathbf{w} = (lambda_1 w_1, lambda_2 w_2, dots, lambda_n w_n)^T$。
所以，$Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$ 就意味着：
$lambda_1 w_1 = lambda w_1$
$lambda_2 w_2 = lambda w_2$
...
$lambda_n w_n = lambda w_n$
对于这些方程，如果 $lambda_i = lambda$，那么 $w_i$ 可以是任意值。如果 $lambda_i eq lambda$，那么 $w_i$ 必须为 $0$。
也就是说，与特征值 $lambda$ 对应的特征向量 $mathbf{w}$ 的形式是 $(dots, w_i, dots)$，其中只有当 $D$ 的对角线元素等于 $lambda$ 时对应的 $w_i$ 才是非零的。
假设特征值 $lambda$ 在对角矩阵 $D$ 的对角线上出现了 $k$ 次。那么，$k$ 个对应的 $lambda_i$ 都等于 $lambda$。这 $k$ 个位置的 $w_i$ 可以是任意的，而其余 $nk$ 个位置的 $w_i$ 必须为 $0$。
因此，与特征值 $lambda$ 对应的特征向量 $mathbf{w}$ 构成了一个 $k$ 维的子空间（由 $k$ 个标准基向量组成，它们在 $D$ 对角线上等于 $lambda$ 的位置上是 1，其他位置是 0），这个子空间的维数就是 $k$。
由于 $mathbf{v} = Pmathbf{w}$，向量空间之间的线性同构关系（由可逆矩阵 $P$ 保证）意味着，$A$ 的特征子空间 $E_lambda$ 的维数也正好是 $k$。
所以，特征值 $lambda$ 的几何重数就是 $k$。
因此，如果 $A$ 是可对角化的，那么对于每一个特征值 $lambda$，它的代数重数（在 $D$ 中出现的次数）等于它的几何重数（由对应的 $w_i$ 可以自由取值的个数决定）。
方向二：如果对于 $A$ 的每一个特征值 $lambda$，其代数重数等于几何重数，那么矩阵 $A$ 是可对角化的。
这是证明更具挑战性的部分，但逻辑是清晰的。
如果 $A$ 的每个特征值的代数重数等于几何重数，这意味着我们可以为每个特征值找到与它的代数重数一样多的线性无关的特征向量。
假设矩阵 $A$ 是一个 $n imes n$ 的矩阵，它有 $m$ 个不同的特征值 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_m$。
令 $a_i$ 是特征值 $lambda_i$ 的代数重数，令 $g_i$ 是特征值 $lambda_i$ 的几何重数。
根据题设，对所有的 $i=1, dots, m$，我们有 $a_i = g_i$。
我们知道一个重要的定理：不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
对于每个特征值 $lambda_i$，它的几何重数 $g_i$ 表明，在它的特征子空间 $E_{lambda_i}$ 中，我们可以找到 $g_i$ 个线性无关的特征向量。我们把这些向量记作 ${mathbf{v}_{i,1}, mathbf{v}_{i,2}, dots, mathbf{v}_{i,g_i}}$。
由于 $a_i = g_i$，我们实际上可以找到 $a_i$ 个线性无关的特征向量对应于 $lambda_i$。
所有这些来自不同特征值特征子空间的线性无关特征向量集合在一起，形成了一个更大的集合：
${mathbf{v}_{1,1}, dots, mathbf{v}_{1,a_1}, mathbf{v}_{2,1}, dots, mathbf{v}_{2,a_2}, dots, mathbf{v}_{m,1}, dots, mathbf{v}_{m,a_m}}$
根据上面提到的定理，来自不同特征值子空间的向量是线性无关的。而同一个特征值子空间内的向量也是线性无关的（因为它们是该子空间的基向量）。所以，这个总的集合包含的向量都是线性无关的。
这个集合中向量的总数是多少呢？
总向量数 = $a_1 + a_2 + dots + a_m$
别忘了，$sum_{i=1}^m a_i$ 就是所有特征值（计入代数重数）的个数，这正好等于特征多项式的次数，也就是矩阵的阶数 $n$！
（这是因为特征多项式是一个 $n$ 次多项式，它有 $n$ 个根（允许复数和重根），而代数重数就是根的重数之和。）
所以，我们找到了 $n$ 个线性无关的向量。设这些向量构成的矩阵是 $P$ 的列向量：
$P = [mathbf{v}_{1,1}, dots, mathbf{v}_{1,a_1}, mathbf{v}_{2,1}, dots, mathbf{v}_{m,a_m}]$
因为我们找到了 $n$ 个线性无关的向量，所以矩阵 $P$ 是一个 $n imes n$ 的可逆矩阵。
现在，我们来验证 $A = PDP^{1}$ 是否成立。
我们知道 $Amathbf{v}_{i,j} = lambda_i mathbf{v}_{i,j}$。
考虑 $AP$ 的第 $j$ 列。如果它是属于 $lambda_i$ 的第 $k$ 个特征向量 $mathbf{v}_{i,k}$，那么 $AP$ 的第 $j$ 列就是 $Amathbf{v}_{i,k} = lambda_i mathbf{v}_{i,k}$。
另一方面，对角矩阵 $D$ 的结构是这样的：
$D = diag(underbrace{lambda_1, dots, lambda_1}_{a_1 ext{ times}}, underbrace{lambda_2, dots, lambda_2}_{a_2 ext{ times}}, dots, underbrace{lambda_m, dots, lambda_m}_{a_m ext{ times}})$
在 $D$ 中，与第 $j$ 个向量 $mathbf{v}_{i,k}$ 对应的对角元素就是 $lambda_i$。
所以，$DP$ 的第 $j$ 列就是 $lambda_i mathbf{v}_{i,k}$。
这说明 $AP = DP$。
因为 $P$ 是可逆的，我们可以两边右乘 $P^{1}$：
$APP^{1} = DPP^{1}$
$A = DP$
等等，这里有个小细节。通常我们定义 $P$ 的列是按照特征值顺序排列的，比如先是所有属于 $lambda_1$ 的特征向量，然后是所有属于 $lambda_2$ 的特征向量，以此类推。所以 $D$ 的对角线也应该按照这个顺序排列。
如果 $P$ 的第 $j$ 列是属于特征值 $lambda$ 的特征向量，那么 $AP$ 的第 $j$ 列是 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。
而 $DP$ 的第 $j$ 列是 $D$ 的第 $j$ 行向量乘以 $P$ 的第 $j$ 列向量（这是矩阵乘法的定义）。
如果 $P$ 的列是按照特征值 $lambda_1, dots, lambda_1, lambda_2, dots, lambda_2, dots$ 的顺序排列的，那么 $D$ 的对角线也应该如此排列：$lambda_1$ 出现 $a_1$ 次，$lambda_2$ 出现 $a_2$ 次，等等。
在这种情况下，$D$ 的第 $j$ 个对角元素就是对应的特征值。
所以，$AP = DP$ 确实成立。
最后，我们得到 $A = P D P^{1}$。这正是矩阵可对角化的定义。
所以，如果一个矩阵的每个特征值的代数重数等于其几何重数，那么这个矩阵就是可对角化的。
核心思想的提炼：
这个等价关系的核心在于，矩阵的对角化能力，本质上就是它能否被一组“好”的基向量所表示，这些“好”的基向量就是它的特征向量。
可对角化意味着我们可以找到一个基底，在这个基底下，矩阵 $A$ 的线性变换就仅仅是沿着坐标轴方向的伸缩，而伸缩的比例就是对应的特征值。这个“好”的基底就是由 $A$ 的线性无关的特征向量构成的。
代数重数告诉我们一个特征值“有多少机会”出现在对角线上，它源自特征方程的代数结构。
几何重数告诉我们一个特征值“有多少个真正独立的特征向量”，它们构成了这个特征值对应的特征子空间的维数。
如果一个特征值对应的“机会”（代数重数）少于它实际拥有的“独立性”（几何重数），那就意味着即使我们在特征方程中“预定了”这个特征值出现多次，但实际能找到的线性无关的特征向量却不够，我们无法凑够一个完整的基底来完成对角化。反之，如果代数重数等于几何重数，就意味着我们为每个特征值“预定”的“机会”恰好等于它能提供的“独立性”，这样我们就能恰好凑齐 $n$ 个线性无关的特征向量，从而完成对角化。
为什么这个等价关系如此重要？
1. 理论基础： 它是线性代数中一个非常核心的定理，连接了矩阵的代数性质（特征多项式）和几何性质（向量空间的维数），以及矩阵最重要的结构性特征（能否对角化）。
2. 计算与应用：
判断可对角化性： 通过计算特征值及其代数重数和几何重数，我们可以直接判断一个矩阵是否可对角化，而无需实际去寻找那个对角化矩阵 $P$。
简化计算： 一旦知道矩阵可对角化，就可以利用 $A = PDP^{1}$ 来简化矩阵的幂次计算、矩阵指数计算等复杂问题。
理解变换本质： 它可以帮助我们理解一个线性变换的本质是沿着某些特定方向（特征向量方向）的拉伸或压缩，而对角化就是将这种变换映射到一个最简单的“坐标系”中来观察。
希望这段详细的解释能够帮助你更透彻地理解这个重要的数学命题。它就像是解开矩阵内心世界的一把钥匙，一旦掌握，你会发现许多关于线性代数的问题都变得豁然开朗。
首先，我们得把一些基础概念理顺了。
1. 什么叫做“矩阵”？
简单来说，矩阵就是一堆数字按照行和列排列起来的长方形。它就像一个“数学黑箱”，你可以把一个向量放进去，它会给你一个“新”的向量出来。这个“黑箱”的作用就是通过一系列的线性变换来改变向量。
2. 什么是“线性变换”？
你可以想象一个向量在空间中有一个方向和长度。线性变换就是一种非常“规矩”的操作，它不会把直线变成曲线，也不会把原点移开。最直观的表现是，经过线性变换后，原本相互平行的直线仍然平行，原本互相垂直的直线也仍然互相垂直。矩阵正是描述这种线性变换的强大工具。
3. “特征值”和“特征向量”是怎么回事？
这是问题的核心所在。我们知道，矩阵可以把一个向量变成另一个向量。但是，绝大多数向量在经过矩阵变换后，方向都会发生改变。然而，总有一些特殊的向量，它们在经过矩阵变换后，方向不变，仅仅是长度发生了伸缩。这些特殊的向量就叫做特征向量（Eigenvector），而这个伸缩的比例，也就是向量在变换后的长度与变换前的长度之比，就叫做特征值（Eigenvalue）。
数学上，如果 $A$ 是一个 $n imes n$ 的矩阵，$mathbf{v}$ 是一个非零向量，$lambda$ 是一个标量，那么：
$Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$
这个式子就表达了“特征向量 $mathbf{v}$ 在矩阵 $A$ 的作用下，其方向不变，只被缩放了 $lambda$ 倍”的含义。
4. 什么叫做“矩阵可对角化”？
“对角化”这个词本身就带了点信息。想象一下一个特别好用的工具，它能把复杂的工具拆解成最基本、最纯粹的组件。矩阵对角化就是这么一个过程。
如果一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$ 能够表示成以下形式：
$A = PDP^{1}$
其中：
$D$ 是一个对角矩阵。对角矩阵就是只有对角线上的元素非零，其余位置都是零的矩阵。例如：
$$
egin{pmatrix}
lambda_1 & 0 & dots & 0 \
0 & lambda_2 & dots & 0 \
vdots & vdots & ddots & vdots \
0 & 0 & dots & lambda_n
end{pmatrix}
$$
$P$ 是一个可逆矩阵。
$P^{1}$ 是矩阵 $P$ 的逆矩阵。
如果一个矩阵可以写成这种形式，我们就说这个矩阵是可对角化的。
为什么对角化这么重要呢？因为对角矩阵在很多运算上都极其简单。比如，计算对角矩阵的幂次，只需要把对角线上的元素分别求幂即可。如果我们要计算 $A^k$，那么 $A^k = (PDP^{1})^k = PD^kP^{1}$，这比直接计算 $A^k$ 要容易得多！对角化就是把一个复杂的线性变换转化成一系列简单的伸缩（由对角矩阵 $D$ 代表）和坐标系的变换（由 $P$ 和 $P^{1}$ 代表）。
现在，我们引入两个关键概念：代数重数和几何重数。
5. 代数重数 (Algebraic Multiplicity)
一个特征值 $lambda$ 的代数重数，指的是在计算矩阵 $A$ 的特征多项式 $det(A lambda I)$ 的根时，$lambda$ 作为这个多项式的根出现的次数。
别担心，我们把它拆开：
特征多项式： 这是计算特征值的一个标准方法。我们知道 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。把 $lambdamathbf{v}$ 移到左边，得到 $Amathbf{v} lambdamathbf{v} = mathbf{0}$。因为 $mathbf{v}$ 是向量，我们需要用一个矩阵来乘以它，所以我们写成 $Amathbf{v} lambda Imathbf{v} = mathbf{0}$，其中 $I$ 是单位矩阵。可以进一步写成 $(A lambda I)mathbf{v} = mathbf{0}$。
为了让这个方程有非零向量 $mathbf{v}$ 的解，矩阵 $(A lambda I)$ 必须是不可逆的，也就是说它的行列式为零：
$det(A lambda I) = 0$
这个关于 $lambda$ 的方程就是矩阵 $A$ 的特征方程。展开这个方程会得到一个关于 $lambda$ 的 $n$ 次多项式，这就是特征多项式。
多项式的根： 对于一个多项式，它的根就是让多项式的值为零的那个变量的值。例如，多项式 $(x2)^2(x3)$ 的根是 $2$ 和 $3$。
代数重数： 根 $2$ 在这个多项式中出现了两次（因为有 $(x2)^2$），所以根 $2$ 的代数重数是 2。根 $3$ 出现了一次，代数重数是 1。
总结：代数重数就是特征值作为特征方程的根出现的次数。
6. 几何重数 (Geometric Multiplicity)
一个特征值 $lambda$ 的几何重数，指的是与特征值 $lambda$ 对应的线性无关的特征向量的个数。
这又是什么意思呢？我们知道，所有满足 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 的非零向量 $mathbf{v}$ 构成了由矩阵 $A$ 在 $lambda$ 处定义的特征子空间（Eigenspace），记作 $E_lambda$。这个特征子空间是一个向量空间，包含了 $lambda$ 的所有特征向量以及零向量。
几何重数，就是这个特征子空间 $E_lambda$ 的维数。
$dim(E_lambda) = dim(Null(A lambda I))$
这里的 $Null(A lambda I)$ 指的是矩阵 $(A lambda I)$ 的零空间（Kernel），也就是所有使得 $(A lambda I)mathbf{v} = mathbf{0}$ 的向量 $mathbf{v}$ 的集合。零空间的维数就等于这个矩阵的零度（Nullity）。根据秩零度定理，对于一个 $n imes n$ 的矩阵 $M$，有 $rank(M) + nullity(M) = n$。所以，$nullity(A lambda I) = n rank(A lambda I)$。
总结：几何重数就是与该特征值相关的、独立的特征向量的“数量”，也就是特征子空间的维数。
现在，我们来连接这些概念：
命题：矩阵 $A$ 可对角化 $iff$ 对于 $A$ 的每一个特征值 $lambda$，其代数重数等于其几何重数。
这个命题是说，这两个条件是等价的，一个成立，另一个必然成立。让我们来详细解释为什么会这样。
方向一：如果矩阵 $A$ 是可对角化的，那么它每一个特征值的代数重数等于几何重数。
如果 $A$ 是可对角化的，那么我们可以找到一个可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{1}$，其中 $D$ 是一个对角矩阵。对角矩阵的对角线上的元素就是矩阵 $A$ 的特征值。
假设 $D$ 的对角线上的元素是 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n$。
特征值及其代数重数： 如果某个特征值 $lambda$ 在对角矩阵 $D$ 的对角线上出现了 $k$ 次，那么根据特征多项式的定义，$det(A lambda I) = det(PDP^{1} lambda PIP^{1}) = det(P(D lambda I)P^{1}) = det(P)det(D lambda I)det(P^{1}) = det(D lambda I)$。
因为 $D$ 是对角矩阵，其特征多项式就是 $(d_{11} lambda)(d_{22} lambda)dots(d_{nn} lambda)$。如果 $lambda$ 在对角线上出现了 $k$ 次，那么特征多项式中因子 $(lambda lambda_i)$ 就出现了 $k$ 次，所以 $lambda$ 的代数重数就是 $k$。
特征向量及其几何重数： 考虑 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。代入 $A = PDP^{1}$，得到 $PDP^{1}mathbf{v} = lambdamathbf{v}$。
两边左乘 $P^{1}$，得到 $P^{1}PDP^{1}mathbf{v} = P^{1}lambdamathbf{v}$，即 $DP^{1}mathbf{v} = lambda P^{1}mathbf{v}$。
令 $mathbf{w} = P^{1}mathbf{v}$，那么上面的式子就变成了 $Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$。
这里，$mathbf{w}$ 是向量，$mathbf{v}$ 是由 $P$ 的列向量组成的，如果 $mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量，那么 $mathbf{w}$ 就是 $D$ 的特征向量。因为 $P$ 是可逆矩阵，$mathbf{v} eq mathbf{0}$ 当且仅当 $mathbf{w} eq mathbf{0}$。
这意味着，如果 $lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么 $lambda$ 也是 $D$ 的一个特征值。
现在我们来看 $Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$。因为 $D$ 是对角矩阵，假设 $D = diag(lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n)$。那么 $Dmathbf{w} = (lambda_1 w_1, lambda_2 w_2, dots, lambda_n w_n)^T$。
所以，$Dmathbf{w} = lambdamathbf{w}$ 就意味着：
$lambda_1 w_1 = lambda w_1$
$lambda_2 w_2 = lambda w_2$
...
$lambda_n w_n = lambda w_n$
对于这些方程，如果 $lambda_i = lambda$，那么 $w_i$ 可以是任意值。如果 $lambda_i eq lambda$，那么 $w_i$ 必须为 $0$。
也就是说，与特征值 $lambda$ 对应的特征向量 $mathbf{w}$ 的形式是 $(dots, w_i, dots)$，其中只有当 $D$ 的对角线元素等于 $lambda$ 时对应的 $w_i$ 才是非零的。
假设特征值 $lambda$ 在对角矩阵 $D$ 的对角线上出现了 $k$ 次。那么，$k$ 个对应的 $lambda_i$ 都等于 $lambda$。这 $k$ 个位置的 $w_i$ 可以是任意的，而其余 $nk$ 个位置的 $w_i$ 必须为 $0$。
因此，与特征值 $lambda$ 对应的特征向量 $mathbf{w}$ 构成了一个 $k$ 维的子空间（由 $k$ 个标准基向量组成，它们在 $D$ 对角线上等于 $lambda$ 的位置上是 1，其他位置是 0），这个子空间的维数就是 $k$。
由于 $mathbf{v} = Pmathbf{w}$，向量空间之间的线性同构关系（由可逆矩阵 $P$ 保证）意味着，$A$ 的特征子空间 $E_lambda$ 的维数也正好是 $k$。
所以，特征值 $lambda$ 的几何重数就是 $k$。
因此，如果 $A$ 是可对角化的，那么对于每一个特征值 $lambda$，它的代数重数（在 $D$ 中出现的次数）等于它的几何重数（由对应的 $w_i$ 可以自由取值的个数决定）。
方向二：如果对于 $A$ 的每一个特征值 $lambda$，其代数重数等于几何重数，那么矩阵 $A$ 是可对角化的。
这是证明更具挑战性的部分，但逻辑是清晰的。
如果 $A$ 的每个特征值的代数重数等于几何重数，这意味着我们可以为每个特征值找到与它的代数重数一样多的线性无关的特征向量。
假设矩阵 $A$ 是一个 $n imes n$ 的矩阵，它有 $m$ 个不同的特征值 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_m$。
令 $a_i$ 是特征值 $lambda_i$ 的代数重数，令 $g_i$ 是特征值 $lambda_i$ 的几何重数。
根据题设，对所有的 $i=1, dots, m$，我们有 $a_i = g_i$。
我们知道一个重要的定理：不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
对于每个特征值 $lambda_i$，它的几何重数 $g_i$ 表明，在它的特征子空间 $E_{lambda_i}$ 中，我们可以找到 $g_i$ 个线性无关的特征向量。我们把这些向量记作 ${mathbf{v}_{i,1}, mathbf{v}_{i,2}, dots, mathbf{v}_{i,g_i}}$。
由于 $a_i = g_i$，我们实际上可以找到 $a_i$ 个线性无关的特征向量对应于 $lambda_i$。
所有这些来自不同特征值特征子空间的线性无关特征向量集合在一起，形成了一个更大的集合：
${mathbf{v}_{1,1}, dots, mathbf{v}_{1,a_1}, mathbf{v}_{2,1}, dots, mathbf{v}_{2,a_2}, dots, mathbf{v}_{m,1}, dots, mathbf{v}_{m,a_m}}$
根据上面提到的定理，来自不同特征值子空间的向量是线性无关的。而同一个特征值子空间内的向量也是线性无关的（因为它们是该子空间的基向量）。所以，这个总的集合包含的向量都是线性无关的。
这个集合中向量的总数是多少呢？
总向量数 = $a_1 + a_2 + dots + a_m$
别忘了，$sum_{i=1}^m a_i$ 就是所有特征值（计入代数重数）的个数，这正好等于特征多项式的次数，也就是矩阵的阶数 $n$！
（这是因为特征多项式是一个 $n$ 次多项式，它有 $n$ 个根（允许复数和重根），而代数重数就是根的重数之和。）
所以，我们找到了 $n$ 个线性无关的向量。设这些向量构成的矩阵是 $P$ 的列向量：
$P = [mathbf{v}_{1,1}, dots, mathbf{v}_{1,a_1}, mathbf{v}_{2,1}, dots, mathbf{v}_{m,a_m}]$
因为我们找到了 $n$ 个线性无关的向量，所以矩阵 $P$ 是一个 $n imes n$ 的可逆矩阵。
现在，我们来验证 $A = PDP^{1}$ 是否成立。
我们知道 $Amathbf{v}_{i,j} = lambda_i mathbf{v}_{i,j}$。
考虑 $AP$ 的第 $j$ 列。如果它是属于 $lambda_i$ 的第 $k$ 个特征向量 $mathbf{v}_{i,k}$，那么 $AP$ 的第 $j$ 列就是 $Amathbf{v}_{i,k} = lambda_i mathbf{v}_{i,k}$。
另一方面，对角矩阵 $D$ 的结构是这样的：
$D = diag(underbrace{lambda_1, dots, lambda_1}_{a_1 ext{ times}}, underbrace{lambda_2, dots, lambda_2}_{a_2 ext{ times}}, dots, underbrace{lambda_m, dots, lambda_m}_{a_m ext{ times}})$
在 $D$ 中，与第 $j$ 个向量 $mathbf{v}_{i,k}$ 对应的对角元素就是 $lambda_i$。
所以，$DP$ 的第 $j$ 列就是 $lambda_i mathbf{v}_{i,k}$。
这说明 $AP = DP$。
因为 $P$ 是可逆的，我们可以两边右乘 $P^{1}$：
$APP^{1} = DPP^{1}$
$A = DP$
等等，这里有个小细节。通常我们定义 $P$ 的列是按照特征值顺序排列的，比如先是所有属于 $lambda_1$ 的特征向量，然后是所有属于 $lambda_2$ 的特征向量，以此类推。所以 $D$ 的对角线也应该按照这个顺序排列。
如果 $P$ 的第 $j$ 列是属于特征值 $lambda$ 的特征向量，那么 $AP$ 的第 $j$ 列是 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。
而 $DP$ 的第 $j$ 列是 $D$ 的第 $j$ 行向量乘以 $P$ 的第 $j$ 列向量（这是矩阵乘法的定义）。
如果 $P$ 的列是按照特征值 $lambda_1, dots, lambda_1, lambda_2, dots, lambda_2, dots$ 的顺序排列的，那么 $D$ 的对角线也应该如此排列：$lambda_1$ 出现 $a_1$ 次，$lambda_2$ 出现 $a_2$ 次，等等。
在这种情况下，$D$ 的第 $j$ 个对角元素就是对应的特征值。
所以，$AP = DP$ 确实成立。
最后，我们得到 $A = P D P^{1}$。这正是矩阵可对角化的定义。
所以，如果一个矩阵的每个特征值的代数重数等于其几何重数，那么这个矩阵就是可对角化的。
核心思想的提炼：
这个等价关系的核心在于，矩阵的对角化能力，本质上就是它能否被一组“好”的基向量所表示，这些“好”的基向量就是它的特征向量。
可对角化意味着我们可以找到一个基底，在这个基底下，矩阵 $A$ 的线性变换就仅仅是沿着坐标轴方向的伸缩，而伸缩的比例就是对应的特征值。这个“好”的基底就是由 $A$ 的线性无关的特征向量构成的。
代数重数告诉我们一个特征值“有多少机会”出现在对角线上，它源自特征方程的代数结构。
几何重数告诉我们一个特征值“有多少个真正独立的特征向量”，它们构成了这个特征值对应的特征子空间的维数。
如果一个特征值对应的“机会”（代数重数）少于它实际拥有的“独立性”（几何重数），那就意味着即使我们在特征方程中“预定了”这个特征值出现多次，但实际能找到的线性无关的特征向量却不够，我们无法凑够一个完整的基底来完成对角化。反之，如果代数重数等于几何重数，就意味着我们为每个特征值“预定”的“机会”恰好等于它能提供的“独立性”，这样我们就能恰好凑齐 $n$ 个线性无关的特征向量，从而完成对角化。
为什么这个等价关系如此重要？
1. 理论基础： 它是线性代数中一个非常核心的定理，连接了矩阵的代数性质（特征多项式）和几何性质（向量空间的维数），以及矩阵最重要的结构性特征（能否对角化）。
2. 计算与应用：
判断可对角化性： 通过计算特征值及其代数重数和几何重数，我们可以直接判断一个矩阵是否可对角化，而无需实际去寻找那个对角化矩阵 $P$。
简化计算： 一旦知道矩阵可对角化，就可以利用 $A = PDP^{1}$ 来简化矩阵的幂次计算、矩阵指数计算等复杂问题。
理解变换本质： 它可以帮助我们理解一个线性变换的本质是沿着某些特定方向（特征向量方向）的拉伸或压缩，而对角化就是将这种变换映射到一个最简单的“坐标系”中来观察。
希望这段详细的解释能够帮助你更透彻地理解这个重要的数学命题。它就像是解开矩阵内心世界的一把钥匙，一旦掌握，你会发现许多关于线性代数的问题都变得豁然开朗。
网友意见
你把重数理解成某个子空间的维数就可以了。
此时你需要脱离矩阵的限制，来到空间理论上，因为我们一般把矩阵的可对角化理解成空间V可以写成A特征子空间的直和。
但是对任意线性变换是很难做到这一点的（往后你就会发现几乎所有的线性变换都可对角化，这需要用测度论的知识），所以我们退而求其次，我们考虑V的根子空间分解
这是Hamilton -Cayley定理的直接推论，这是所有数学专业本科生都应该掌握其证明的定理，而如果想要把这个定理升级成特征子空间分解就必须做到让对应特征值的这两种子空间相等，同时我们注意到特征子空间一定是根子空间的子空间（想想为什么），所以想让这两个子空间相等只需要让二者的维数相等。
这就是我们熟知的几何重数等于代数重数的解释。
因为几何重数说的是特征子空间的维数，而代数重数说的是根子空间的维数，也就是这个定理：
这里的rk是特征值在特征多项式的重数，也就是常说的代数重数。
具体的证明过程你可以参考我的推文
以上。
这个命题怎么迷了……（正在复习矩阵分析final，知乎再次给我推了线代问题，真是无情）
大概题主还没学Jordan Canonical form（百度百科：Jordan标准型）。学了Jordan标准型，这个结论就很显而易见了。
贴个图，来源是Horn和Johnson的《矩阵分析》第三章：
每一个矩阵 都可以写成 , 其中这个J就是图上所说的Jordan矩阵（诸多Jordan块的直和）。注意在给定了特征值的顺序的情况下，Jordan矩阵是唯一的。
Jordan矩阵的每个Jordan块 都包含了特征值的信息：找代数重数，可以数特征值在对角线上出现了几次；而几何重数，就是该特征值出现在多少个Jordan块里。
如果一个矩阵可以对角化，那这个Jordan矩阵就是一个对角矩阵。那么，所有的Jordan块都是1x1的小方块，所以 “特征值在对角线上出现了几次” = “特征值出现在多少个Jordan块里”，也就是代数重数=几何重数。
不知道听起来会不会有点难懂……有问题可以评论区问。
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