如何通俗理解矩阵的秩？
好的，我们来用通俗易懂的方式详细理解一下矩阵的秩。
想象一下，矩阵就像是一个装满了数字的表格，或者说是一个二维的“信息网”。矩阵的秩，顾名思义，就是衡量这个信息网中“独立有效信息”有多少。
我们来一步步拆解：
1. 矩阵的“信息”是什么？
一个矩阵的每一行或每一列都可以看作是一个“向量”，就像一个带有方向和长度的箭头。这些向量就代表了矩阵中的信息。
2. “独立有效信息”是什么意思？
如果我们有几个向量，其中有些向量可以通过其他向量“组合”出来，那么这些“组合出来”的向量就不是独立的信息，它们是冗余的。秩就是衡量有多少个向量是真正“独立”，无法被其他向量通过线性组合（也就是加加减减、乘以某个数）表示出来的。
3. 用例子来理解：
假设我们有一个矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
end{pmatrix}
$$
第一行向量是 (1, 2)
第二行向量是 (2, 4)
我们来看看这两行向量是不是独立的。你有没有发现，第二行向量 (2, 4) 恰好是第一行向量 (1, 2) 乘以 2 得到的？也就是说：
第二行 = 2 第一行
在这种情况下，第二行向量的信息完全可以由第一行向量来表示，它并没有带来新的、独立的信息。你可以说第二行是“依赖”第一行的，或者说它是“冗余”的。
那么，在这个矩阵中，真正独立的信息只有一行（第一行）。所以，这个矩阵的秩是 1。
再看一个例子：
$$
B = egin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
end{pmatrix}
$$
第一行向量是 (1, 0)
第二行向量是 (0, 1)
你能用第一行向量 (1, 0) 组合出第二行向量 (0, 1) 吗？或者用第二行向量组合出第一行向量吗？显然不能。它们是完全独立的，无法互相表示。
所以，这个矩阵 B 的秩是 2。
4. 秩的几个关键理解角度：
最大独立向量的个数： 秩就是矩阵中行向量（或者列向量）的最大线性无关组的向量个数。线性无关就是说，它们之间不能互相表示。
信息空间的“维度”： 如果把矩阵的每一行（或列）看作是数据点，秩就告诉我们这些数据点所在的“空间”的维度是多少。如果秩是 r，那么这些信息就“张成”了一个 r 维的空间。
对于上面的矩阵 A，两行向量都落在一条直线上（例如 y = 2x），这是一个一维空间。所以秩是 1。
对于矩阵 B，第一行向量是 (1,0)，第二行向量是 (0,1)，它们分别沿着 x 轴和 y 轴，可以张成一个二维平面。所以秩是 2。
矩阵“非零化”的能力： 一个秩为 r 的矩阵，如果进行行（或列）变换（比如加减、乘以一个数、交换位置），最终可以被“化简”成一个结构，其中有 r 个“非零”的行（或列），其余的都是全零行（或列）。
对于矩阵 A，我们已经看到第二行是第一行的两倍。我们可以用“第二行减去两倍的第一行”这个操作来消掉第二行，得到一个全零行。
$$
egin{pmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
end{pmatrix} xrightarrow{R_2 leftarrow R_2 2R_1} egin{pmatrix}
1 & 2 \
0 & 0
end{pmatrix}
$$
最后剩下一行非零的，所以秩是 1。
5. 什么时候秩会小于行数或列数？
当矩阵的行向量（或列向量）之间存在线性相关性的时候，秩就会小于行数或列数。这意味着数据中存在冗余。
例如，如果我们有三个向量，但是第三个向量恰好是前两个向量的和，那么这三个向量的“独立有效信息”就只有两个，秩就是 2。
6. 为什么秩很重要？（应用场景简述）
解线性方程组： 矩阵的秩决定了线性方程组是否有解，以及有多少个解。
如果矩阵的秩等于未知数的个数，方程组有唯一解。
如果矩阵的秩小于未知数的个数，方程组有无穷多解（自由度）。
如果矩阵的秩大于常数项向量的秩（在增广矩阵中），方程组无解。
矩阵的可逆性： 一个方阵（行数等于列数）有逆矩阵当且仅当它的秩等于它的行数（或列数），也就是满秩。满秩意味着矩阵中的信息没有冗余，可以进行“可逆”的操作。
降维和特征提取： 在机器学习和数据科学中，矩阵的秩常常用来判断数据的“内在维度”，可以用于降维和提取主要特征。如果一个矩阵秩很低，说明数据的主要信息可以被更少的变量表示。
总结一下：
矩阵的秩，你可以理解为：
它衡量了矩阵中“独立有效的信息”有多少。
它是矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量。
它表示了矩阵中的数据所张成的“空间”的维度。
它告诉我们矩阵中的信息有多少是“不冗余”的。
希望这个详细的解释能帮助你更通俗地理解矩阵的秩！ 如果还有不清楚的地方，随时可以再问。
想象一下，矩阵就像是一个装满了数字的表格，或者说是一个二维的“信息网”。矩阵的秩，顾名思义，就是衡量这个信息网中“独立有效信息”有多少。
我们来一步步拆解：
1. 矩阵的“信息”是什么？
一个矩阵的每一行或每一列都可以看作是一个“向量”，就像一个带有方向和长度的箭头。这些向量就代表了矩阵中的信息。
2. “独立有效信息”是什么意思？
如果我们有几个向量，其中有些向量可以通过其他向量“组合”出来，那么这些“组合出来”的向量就不是独立的信息，它们是冗余的。秩就是衡量有多少个向量是真正“独立”，无法被其他向量通过线性组合（也就是加加减减、乘以某个数）表示出来的。
3. 用例子来理解：
假设我们有一个矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
end{pmatrix}
$$
第一行向量是 (1, 2)
第二行向量是 (2, 4)
我们来看看这两行向量是不是独立的。你有没有发现，第二行向量 (2, 4) 恰好是第一行向量 (1, 2) 乘以 2 得到的？也就是说：
第二行 = 2 第一行
在这种情况下，第二行向量的信息完全可以由第一行向量来表示，它并没有带来新的、独立的信息。你可以说第二行是“依赖”第一行的，或者说它是“冗余”的。
那么，在这个矩阵中，真正独立的信息只有一行（第一行）。所以，这个矩阵的秩是 1。
再看一个例子：
$$
B = egin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
end{pmatrix}
$$
第一行向量是 (1, 0)
第二行向量是 (0, 1)
你能用第一行向量 (1, 0) 组合出第二行向量 (0, 1) 吗？或者用第二行向量组合出第一行向量吗？显然不能。它们是完全独立的，无法互相表示。
所以，这个矩阵 B 的秩是 2。
4. 秩的几个关键理解角度：
最大独立向量的个数： 秩就是矩阵中行向量（或者列向量）的最大线性无关组的向量个数。线性无关就是说，它们之间不能互相表示。
信息空间的“维度”： 如果把矩阵的每一行（或列）看作是数据点，秩就告诉我们这些数据点所在的“空间”的维度是多少。如果秩是 r，那么这些信息就“张成”了一个 r 维的空间。
对于上面的矩阵 A，两行向量都落在一条直线上（例如 y = 2x），这是一个一维空间。所以秩是 1。
对于矩阵 B，第一行向量是 (1,0)，第二行向量是 (0,1)，它们分别沿着 x 轴和 y 轴，可以张成一个二维平面。所以秩是 2。
矩阵“非零化”的能力： 一个秩为 r 的矩阵，如果进行行（或列）变换（比如加减、乘以一个数、交换位置），最终可以被“化简”成一个结构，其中有 r 个“非零”的行（或列），其余的都是全零行（或列）。
对于矩阵 A，我们已经看到第二行是第一行的两倍。我们可以用“第二行减去两倍的第一行”这个操作来消掉第二行，得到一个全零行。
$$
egin{pmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
end{pmatrix} xrightarrow{R_2 leftarrow R_2 2R_1} egin{pmatrix}
1 & 2 \
0 & 0
end{pmatrix}
$$
最后剩下一行非零的，所以秩是 1。
5. 什么时候秩会小于行数或列数？
当矩阵的行向量（或列向量）之间存在线性相关性的时候，秩就会小于行数或列数。这意味着数据中存在冗余。
例如，如果我们有三个向量，但是第三个向量恰好是前两个向量的和，那么这三个向量的“独立有效信息”就只有两个，秩就是 2。
6. 为什么秩很重要？（应用场景简述）
解线性方程组： 矩阵的秩决定了线性方程组是否有解，以及有多少个解。
如果矩阵的秩等于未知数的个数，方程组有唯一解。
如果矩阵的秩小于未知数的个数，方程组有无穷多解（自由度）。
如果矩阵的秩大于常数项向量的秩（在增广矩阵中），方程组无解。
矩阵的可逆性： 一个方阵（行数等于列数）有逆矩阵当且仅当它的秩等于它的行数（或列数），也就是满秩。满秩意味着矩阵中的信息没有冗余，可以进行“可逆”的操作。
降维和特征提取： 在机器学习和数据科学中，矩阵的秩常常用来判断数据的“内在维度”，可以用于降维和提取主要特征。如果一个矩阵秩很低，说明数据的主要信息可以被更少的变量表示。
总结一下：
矩阵的秩，你可以理解为：
它衡量了矩阵中“独立有效的信息”有多少。
它是矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量。
它表示了矩阵中的数据所张成的“空间”的维度。
它告诉我们矩阵中的信息有多少是“不冗余”的。
希望这个详细的解释能帮助你更通俗地理解矩阵的秩！ 如果还有不清楚的地方，随时可以再问。
网友意见
三年前曾经写过如何理解矩阵的秩，该文主要讲了矩阵的秩的几何意义。这期间我们的图解线性代数课程历经数次修改，已经面目全非。教学相长，我们对知识的看法也在不断刷新，基于此，本文尝试提供一个关于秩的一个全新的视角，一个可能不严谨但是更直观的视角。
矩阵的秩可以直观地理解为筛眼的大小：
下面就来解释这句话是什么意思？
1 矩阵的作用
假设对于向量 、 、 、 有：
上述关系可以用图像来表示，左侧的向量 、 、 、 ，在 的作用下，变为了右侧的向量 、 、 、
将各个向量依次连起来就得到了两个矩形。那么可以这么理解，左侧的矩形在 的作用下，变为了右侧的矩形：
2 矩阵的秩
如果 的秩不一样，那么左侧的矩形在 的作用下，右侧就可能得到不同的图形：
有一个很明显的特点，矩阵的秩 越小，得到的图形越小（这里直接给结论了，细节就不展开了，详细了解可以参看如何理解矩阵的秩，或者在我们的图解线性代数课程中查看）：
3 矩阵是筛子
因为上面的结论，所以可以将矩阵 看作一个筛子：
那么矩阵的秩 可以看作筛眼的大小， 越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子）：
筛眼越小，自然漏过去的越小。
4 矩阵复合的秩
把矩阵的秩看作筛眼的大小还是有一定解释能力的。比如矩阵的秩有如下的性质，该性质也称为矩阵复合的秩：
、 可以看作两个筛子：
可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同：
当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小：
所以此时有：
当然还有可能 、 如下：
这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼：
所以此时有；
综合起来就是：
5 满秩矩阵复合的秩
满秩矩阵 可以看作完全没有筛眼的筛子：
这样两者复合，筛眼大小就完全取决于 ：
所以可得到满秩矩阵复合的性质：
5 结语
用筛眼比做矩阵的秩
这个比喻虽然形象，但并不严谨。更多，更系统的线代知识，可以在马同学的网站上进行学习
https://www.matongxue.com/courses/math/ (二维码自动识别)
虽然一个线性空间有无穷多的元素，但实际上起关键性作用的只有有限个基。
考虑 的矩阵，它是两个线性空间之间的映射：
不妨设
设 ，并且满足下面的关系
秩的意义已然显明——像集的维数。
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