如何通俗理解 beta 分布？
好的，咱们今天来聊聊 beta 分布，这个名字听起来有点绕，但其实它描述的东西，咱们生活中可能天天都能碰到，就是对“概率的概率”或者“不确定性”的一种描述方式。
你想啊，咱们平常说话，“这件事成功的可能性有多大？” 这时候我们脑子里其实是在给一个“概率值”估摸着一个范围。比如，你说“我觉得这事儿成功的可能性有七八成吧”，这就是在给我一个概率的估计。但这个“七八成”也不是绝对的，你可能也觉得，“嗯，说不定六成也能成，或者九成也有可能”。你是不是在心里给自己这个概率值，也画了一个小范围，有高有低？
beta 分布，就是数学家们用来精确描述这种“对概率的概率”的工具。
咱们先来个形象的比喻：扔飞镖
想象一下，你正在练习扔飞镖。你的目标是正中间的那个红心。
你不是一个完美的飞镖选手。 你扔出的飞镖，偶尔会偏左，偶尔会偏右，偶尔会高一点，偶尔会低一点。
但是，你也不是完全乱扔。 你有一个“平均水平”，你扔的飞镖大多数都会落在中心附近，离中心越远，落在那里的可能性就越小。
你每次扔飞镖，可能都会有细微的差别。 有时候你的手感特别好，大部分飞镖都会非常靠近中心；有时候手感不太好，飞镖会散得比较开。
现在，我们关注的焦点不是某一次飞镖具体扔在哪儿了，而是：你扔飞镖的“准确性”到底有多高？
“准确性”本身就是一个概率。比如，你可以说“我扔飞镖，有 80% 的概率能扔进红心所在的那个小区域”。
但是，我们知道，这个“80%”也不是一个死的数字。你今天状态好，可能实际成功率是 85%；你昨天手感差，可能实际成功率只有 70%。
beta 分布要做的，就是描述你这个“成功率的概率分布”。
它就像一个乐器，可以奏出很多不同的旋律，来代表你扔飞镖的准确性有多高。
beta 分布长啥样？—— 这得看两个参数：α (alpha) 和 β (beta)
这就像乐器的音高和音量一样，控制着 beta 分布的形状。α 和 β 都是正数（大于 0）。
咱们用扔飞镖来解释 α 和 β 的作用：
α (alpha): 可以理解为你扔出的“成功”次数的“伪计数”。 “成功”在这里就是指飞镖扔进了你希望的那个区域。
β (beta): 可以理解为你扔出的“失败”次数的“伪计数”。 “失败”就是指飞镖没扔进那个区域。
注意这里的“伪计数”。beta 分布本身不是直接基于你实际扔了多少次，而是用来描述一种概率的倾向。但你可以把它们想象成这样，会更容易理解。
形状的解读：
1. 当 α = 1, β = 1 时：
这时 beta 分布是一个均匀分布。这意味着你对飞镖的准确性没有任何偏好，你认为飞镖的成功率（扔进红心区域的概率）在 0 到 1 之间是完全随机的，每一点的可能性都一样。就像你对“成功率”这个数字，没有一点概念，它可能是 10%，也可能是 90%，可能性一样大。
2. 当 α > 1, β > 1 时：
这时 beta 分布会呈现一个钟形（或中间凸起）的形状，最可能的值（峰值）在 (α1)/(α+β2) 附近。
α 越大，β 越小： 峰值就越靠近 1。这意味着你非常自信你的飞镖准确性很高，更可能接近 100% 成功。就像你扔了很多次飞镖，并且大部分都成功了，你就会觉得你这个“成功率”的数值很可能在很高的地方。
α 越小，β 越大： 峰值就越靠近 0。这意味着你认为你的飞镖准确性很低，成功率更可能接近 0%。就像你扔了很多次，但失败的次数远多于成功。
α 和 β 都比较大，且差得不远： 比如 α=10, β=10。这时分布会非常窄，并且峰值在 0.5 附近。这意味着你对飞镖的准确性很有把握，而且你认为成功率很可能就在 50% 左右，波动很小。
3. 当 α < 1, β > 1 时：
这时 beta 分布会有一个在 0 处非常高的峰值。这表示你认为成功率非常接近 0。就像你扔飞镖，绝大部分都离目标十万八千里。
4. 当 α > 1, β < 1 时：
这时 beta 分布会有一个在 1 处非常高的峰值。这表示你认为成功率非常接近 100%。
5. 当 α < 1, β < 1 时：
这时 beta 分布会出现一种“U”形（或两头高中间低）的形状。这代表你认为成功率非常不可能在中间，而极有可能在两头，要么接近 0%，要么接近 100%。
为什么 beta 分布这么有用？
因为它能非常灵活地描述一个概率的分布情况。
不确定性高的情形： 当我们对某件事的成功率一点概念都没有时，可以用 α=1, β=1 的均匀分布来表示。
有一些经验后： 随着我们观察到更多的数据（比如扔了很多次飞镖），我们可以根据成功和失败的次数来更新 α 和 β 的值，让 beta 分布更精确地反映实际情况。
贝叶斯统计中的“共轭先验”： 这是 beta 分布最闪耀的地方之一。在贝叶斯统计里，我们经常会先有一个“先验”的信念（这就是 beta 分布在扮演的角色），然后根据新的观测数据来更新这个信念，得到“后验”的信念。如果你的先验分布是 beta 分布，而你的观测数据是伯努利分布（也就是一次试验只有成功或失败），那么你的后验分布仍然是 beta 分布！这大大简化了计算。
举个更实际的例子：A/B 测试中的转化率
假设你在测试一个网页的按钮颜色，想看看红色按钮和蓝色按钮哪个更能吸引用户点击（转化率更高）。
红色按钮： 你开始觉得，红色按钮可能转化率会比较高。你可以用一个 beta 分布来表示你对红色按钮转化率的“先验”信念。也许你觉得转化率最可能在 5%，但也有可能在 3% 或 8%。
蓝色按钮： 你对蓝色按钮没有特别的偏好，觉得转化率可能在 2% 到 7% 之间均匀分布。
然后，你开始收集数据：展示红色按钮给一部分用户，展示蓝色按钮给另一部分用户，记录有多少人点击了。
你看到 100 个用户看到红色按钮，其中 6 人点击了。
你看到 100 个用户看到蓝色按钮，其中 4 人点击了。
这个时候，你就可以用这些数据来更新你对红色和蓝色按钮转化率的 beta 分布了。你的“先验”信念（beta 分布的形状）会和新的数据结合，产生一个更精确的“后验”信念，告诉你现在更倾向于哪个按钮的转化率更高。
总结一下：
beta 分布就像是一个“概率的画笔”，你可以通过调整它的两个“颜料”（α 和 β）来画出各种各样的“概率形状”。它不是直接告诉你某件事的概率是多少，而是告诉你“这个概率有多大的可能性是某个值”。它特别擅长描述那些结果只有成功或失败（但成功率本身可以变化）的事件的概率。
是不是听起来就比那些干巴巴的公式有意思多了？ 希望这个解释能让你对 beta 分布有个更直观的认识。它就像我们思考问题时，那种“大概率”、“可能”的模糊感，被数学家们用一种非常优雅和强大的方式给具象化了。
你想啊，咱们平常说话，“这件事成功的可能性有多大？” 这时候我们脑子里其实是在给一个“概率值”估摸着一个范围。比如，你说“我觉得这事儿成功的可能性有七八成吧”，这就是在给我一个概率的估计。但这个“七八成”也不是绝对的，你可能也觉得，“嗯，说不定六成也能成，或者九成也有可能”。你是不是在心里给自己这个概率值，也画了一个小范围，有高有低？
beta 分布，就是数学家们用来精确描述这种“对概率的概率”的工具。
咱们先来个形象的比喻：扔飞镖
想象一下，你正在练习扔飞镖。你的目标是正中间的那个红心。
你不是一个完美的飞镖选手。 你扔出的飞镖，偶尔会偏左，偶尔会偏右，偶尔会高一点，偶尔会低一点。
但是，你也不是完全乱扔。 你有一个“平均水平”，你扔的飞镖大多数都会落在中心附近，离中心越远，落在那里的可能性就越小。
你每次扔飞镖，可能都会有细微的差别。 有时候你的手感特别好，大部分飞镖都会非常靠近中心；有时候手感不太好，飞镖会散得比较开。
现在，我们关注的焦点不是某一次飞镖具体扔在哪儿了，而是：你扔飞镖的“准确性”到底有多高？
“准确性”本身就是一个概率。比如，你可以说“我扔飞镖，有 80% 的概率能扔进红心所在的那个小区域”。
但是，我们知道，这个“80%”也不是一个死的数字。你今天状态好，可能实际成功率是 85%；你昨天手感差，可能实际成功率只有 70%。
beta 分布要做的，就是描述你这个“成功率的概率分布”。
它就像一个乐器，可以奏出很多不同的旋律，来代表你扔飞镖的准确性有多高。
beta 分布长啥样？—— 这得看两个参数：α (alpha) 和 β (beta)
这就像乐器的音高和音量一样，控制着 beta 分布的形状。α 和 β 都是正数（大于 0）。
咱们用扔飞镖来解释 α 和 β 的作用：
α (alpha): 可以理解为你扔出的“成功”次数的“伪计数”。 “成功”在这里就是指飞镖扔进了你希望的那个区域。
β (beta): 可以理解为你扔出的“失败”次数的“伪计数”。 “失败”就是指飞镖没扔进那个区域。
注意这里的“伪计数”。beta 分布本身不是直接基于你实际扔了多少次，而是用来描述一种概率的倾向。但你可以把它们想象成这样，会更容易理解。
形状的解读：
1. 当 α = 1, β = 1 时：
这时 beta 分布是一个均匀分布。这意味着你对飞镖的准确性没有任何偏好，你认为飞镖的成功率（扔进红心区域的概率）在 0 到 1 之间是完全随机的，每一点的可能性都一样。就像你对“成功率”这个数字，没有一点概念，它可能是 10%，也可能是 90%，可能性一样大。
2. 当 α > 1, β > 1 时：
这时 beta 分布会呈现一个钟形（或中间凸起）的形状，最可能的值（峰值）在 (α1)/(α+β2) 附近。
α 越大，β 越小： 峰值就越靠近 1。这意味着你非常自信你的飞镖准确性很高，更可能接近 100% 成功。就像你扔了很多次飞镖，并且大部分都成功了，你就会觉得你这个“成功率”的数值很可能在很高的地方。
α 越小，β 越大： 峰值就越靠近 0。这意味着你认为你的飞镖准确性很低，成功率更可能接近 0%。就像你扔了很多次，但失败的次数远多于成功。
α 和 β 都比较大，且差得不远： 比如 α=10, β=10。这时分布会非常窄，并且峰值在 0.5 附近。这意味着你对飞镖的准确性很有把握，而且你认为成功率很可能就在 50% 左右，波动很小。
3. 当 α < 1, β > 1 时：
这时 beta 分布会有一个在 0 处非常高的峰值。这表示你认为成功率非常接近 0。就像你扔飞镖，绝大部分都离目标十万八千里。
4. 当 α > 1, β < 1 时：
这时 beta 分布会有一个在 1 处非常高的峰值。这表示你认为成功率非常接近 100%。
5. 当 α < 1, β < 1 时：
这时 beta 分布会出现一种“U”形（或两头高中间低）的形状。这代表你认为成功率非常不可能在中间，而极有可能在两头，要么接近 0%，要么接近 100%。
为什么 beta 分布这么有用？
因为它能非常灵活地描述一个概率的分布情况。
不确定性高的情形： 当我们对某件事的成功率一点概念都没有时，可以用 α=1, β=1 的均匀分布来表示。
有一些经验后： 随着我们观察到更多的数据（比如扔了很多次飞镖），我们可以根据成功和失败的次数来更新 α 和 β 的值，让 beta 分布更精确地反映实际情况。
贝叶斯统计中的“共轭先验”： 这是 beta 分布最闪耀的地方之一。在贝叶斯统计里，我们经常会先有一个“先验”的信念（这就是 beta 分布在扮演的角色），然后根据新的观测数据来更新这个信念，得到“后验”的信念。如果你的先验分布是 beta 分布，而你的观测数据是伯努利分布（也就是一次试验只有成功或失败），那么你的后验分布仍然是 beta 分布！这大大简化了计算。
举个更实际的例子：A/B 测试中的转化率
假设你在测试一个网页的按钮颜色，想看看红色按钮和蓝色按钮哪个更能吸引用户点击（转化率更高）。
红色按钮： 你开始觉得，红色按钮可能转化率会比较高。你可以用一个 beta 分布来表示你对红色按钮转化率的“先验”信念。也许你觉得转化率最可能在 5%，但也有可能在 3% 或 8%。
蓝色按钮： 你对蓝色按钮没有特别的偏好，觉得转化率可能在 2% 到 7% 之间均匀分布。
然后，你开始收集数据：展示红色按钮给一部分用户，展示蓝色按钮给另一部分用户，记录有多少人点击了。
你看到 100 个用户看到红色按钮，其中 6 人点击了。
你看到 100 个用户看到蓝色按钮，其中 4 人点击了。
这个时候，你就可以用这些数据来更新你对红色和蓝色按钮转化率的 beta 分布了。你的“先验”信念（beta 分布的形状）会和新的数据结合，产生一个更精确的“后验”信念，告诉你现在更倾向于哪个按钮的转化率更高。
总结一下：
beta 分布就像是一个“概率的画笔”，你可以通过调整它的两个“颜料”（α 和 β）来画出各种各样的“概率形状”。它不是直接告诉你某件事的概率是多少，而是告诉你“这个概率有多大的可能性是某个值”。它特别擅长描述那些结果只有成功或失败（但成功率本身可以变化）的事件的概率。
是不是听起来就比那些干巴巴的公式有意思多了？ 希望这个解释能让你对 beta 分布有个更直观的认识。它就像我们思考问题时，那种“大概率”、“可能”的模糊感，被数学家们用一种非常优雅和强大的方式给具象化了。
网友意见
假如你在做一个抛硬币实验。硬币朝上的概率是 p，但是你不知道具体是多少，你想通过实验确定 p。
你做了 A + B 次实验，抛出 A 次正面，B 次反面。请问 p 是多少？
什么？你说 ？
太不专业了吧，我们是统计科学家，什么事情都要看个概率。
最符合我们的实验结果，固然可能性最大，但是我们也不能忽略其他取值的可能性。
比如说吧，如果说 ，那我们能不能扔出 A 次正面，B 次反面？可能啊，而且可能性很大，如果 ，那我们的实验结果也几乎完全符合预期。再比如说，就算 ，那我们扔出 10 次正面，0 次反面，有没有可能？好像也有可能，只是可能性很小。
看到没有，这个 p 始终有可能是 0 到 1 当中的任何一个值。而当我们观测到 A 次正面，B 次反面之后，能做的只是给它一个概率分布，就像上面说的， 的可能性很大，而 的可能性很小。
那么，这个概率分布到底是什么呢？有的同学可能知道了，就是贝塔分布。
但是先别急着看结论。这个问题其实并不难，我们先来自己动手算一下，实践出真知：
我们在对这个硬币一无所知的情况下，认为 是 0 到 1 的任何值都是等可能的。因此，在观测到一些实验结果之后，我们可以按照极大似然估计的思想 —— 参数 下我的实验结果的可能性，就是参数 的靠谱程度——得到参数 的分布。
假设这个硬币出正面的概率是 ，我们一共做了 A + B 次实验，那么我们得到 A 次正面的概率可以简单地算出来，从 A + B 次实验里面有 A 个正面的情况数量是 ，每个情况的出现概率是 。综合起来，A 次正面的概率是：
这个概率 就是所谓“参数 下我的实验结果的可能性”，同时也是 的靠谱程度，也就是似然。
那么我们把 的靠谱程度做成函数，其实就是把上面等号左边的形式改一下：
然后我们把这个靠谱程度的函数归一化一下，让它的积分为 1，变成一个概率分布。直观上看，要把一个正函数变成一个概率分布，就是要让函数的图像面积为 1. 所以做法就是给这个函数除以它的图像面积，也就是这个函数的积分。于是就有：
你如果知道 Beta 分布的公式的话，相信你已经看出来怎么回事了。我们得到的，其实就是 Beta 分布的概率密度函数。下面我把维基百科的 Beta 分布密度函数粘贴过来，同学们可以对比一下：
Beta 分布的 x，就是我们要估计的 ，也就是这枚硬币正面朝上的概率。 就是我们的 A + 1， 就是我们的 B + 1，也就是代表我们已经观测到的正面/背面朝上的次数。至于为什么差个 1，可能只是为了 与 函数的简洁。
那么我们总结一下，什么叫 Beta 分布？
所谓的以 为参数的 Beta 分布 ，其实描述的就是我们在做抛硬币实验的过程中，我们当前如果已经观测到 次正面， 次反面，那么此时硬币正面朝上的真实概率的可能性分布。
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