矩阵的严格定义是什么？行向量与列向量通过矩阵来定义真的合理吗？
好的，我们来深入探讨矩阵的严格定义以及它与行向量、列向量的关系。
矩阵的严格定义
在现代数学中，矩阵最严格、最基础的定义是：
一个 $m imes n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列的实数（或复数，或更一般的域中的元素）构成的矩形数组。
让我们逐一拆解这个定义中的关键概念：
数组 (Array): 这是一个通用的数学概念，指的是一个有序的元素集合。在矩阵的上下文中，这个集合被组织成一个二维的结构。
矩形 (Rectangular): 这意味着数组的元素排列成行和列，并且行的数量（$m$）和列的数量（$n$）可以不同。如果 $m=n$，则称为方阵。
$m$ 行 ($m$ rows): 表示矩阵包含 $m$ 个水平排列的元素序列。
$n$ 列 ($n$ columns): 表示矩阵包含 $n$ 个垂直排列的元素序列。
实数（或复数，或更一般的域中的元素）(elements from $mathbb{R}$, $mathbb{C}$, or a general field): 这是矩阵的“成分”或“项”。在大多数初等线性代数中，我们通常使用实数。但在更高级的数学和工程领域，矩阵可以包含复数，甚至其他代数结构中的元素，只要这些元素满足某个“域”的性质（例如，加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，并且存在加法单位元、乘法单位元和逆元）。
数学符号表示：
一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 通常表示为：
$$
A =
egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix}
$$
其中，$a_{ij}$ 表示位于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。
更抽象的定义（基于集合论和函数）：
从更抽象的集合论角度看，一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 可以被定义为一个函数：
$$
A: {1, 2, ldots, m} imes {1, 2, ldots, n} o F
$$
其中 $F$ 是矩阵元素所属的域（如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）。这个函数将有序对 $(i, j)$（表示行索引 $i$ 和列索引 $j$）映射到域中的一个元素 $a_{ij}$。
因此，矩阵本质上是一个具有特定结构（矩形数组）和特定元素（来自某个域）的数学对象。
行向量与列向量：通过矩阵来定义是否合理？
是的，通过矩阵来定义行向量和列向量是非常合理且普遍的做法，而且这种视角提供了深刻的理解。
事实上，向量本身在数学中也有多种定义方式，而将它们看作是矩阵的特例，能更清晰地揭示它们在矩阵运算中的角色。
1. 列向量作为矩阵的特例：
一个 $m$ 维的列向量可以被看作是一个 $m imes 1$ 的矩阵。
例如，一个 $m$ 维的实数列向量 $v$ 可以表示为：
$$
v =
egin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
vdots \
v_m
end{pmatrix}
$$
从矩阵的角度看，这就是一个只有一列 ($n=1$) 的矩阵。我们可以将其表示为 $v in M_{m imes 1}(mathbb{R})$，其中 $M_{m imes 1}(mathbb{R})$ 是所有 $m imes 1$ 实数矩阵的集合。
2. 行向量作为矩阵的特例：
一个 $n$ 维的行向量可以被看作是一个 $1 imes n$ 的矩阵。
例如，一个 $n$ 维的实数行向量 $w$ 可以表示为：
$$
w = egin{pmatrix} w_1 & w_2 & cdots & w_n end{pmatrix}
$$
从矩阵的角度看，这就是一个只有一行 ($m=1$) 的矩阵。我们可以将其表示为 $w in M_{1 imes n}(mathbb{R})$，其中 $M_{1 imes n}(mathbb{R})$ 是所有 $1 imes n$ 实数矩阵的集合。
为什么这种定义合理且有优势？
1. 统一性与简洁性: 将向量视为矩阵的特例，使得我们可以在一个统一的框架下处理所有线性代数对象。矩阵运算（如矩阵乘法、加法）的规则自然就适用于向量，无需为向量引入全新的、独立的运算规则。
2. 矩阵乘法的表达能力: 矩阵乘法是最核心的矩阵运算之一，它有着非常丰富的几何和代数意义（如线性变换、方程组求解等）。当我们将向量看作矩阵时，许多重要的概念和运算就能以非常自然的方式表达：
矩阵与向量的乘积 ($Ax$): 一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 与一个 $n imes 1$ 的列向量 $x$ 的乘积是一个 $m imes 1$ 的列向量。这正是线性变换作用于向量的标准方式。
$$
A x = egin{pmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = egin{pmatrix} sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \ vdots \ sum_{j=1}^n a_{mj}x_j end{pmatrix}
$$
这表明矩阵 $A$ 可以将一个 $n$ 维向量空间映射到一个 $m$ 维向量空间。
向量与矩阵的乘积 ($xA$): 一个 $1 imes m$ 的行向量 $x$ 与一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 的乘积是一个 $1 imes n$ 的行向量。
$$
x A = egin{pmatrix} x_1 & cdots & x_m end{pmatrix} egin{pmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} = egin{pmatrix} sum_{i=1}^m x_i a_{i1} & cdots & sum_{i=1}^m x_i a_{in} end{pmatrix}
$$
这表明行向量也可以与矩阵进行运算，其结果也是一个行向量。
向量的点积 (内积): 两个 $n$ 维列向量 $u$ 和 $v$ 的点积 $u cdot v$ 可以表示为行向量 $u^T$ 与列向量 $v$ 的矩阵乘积：$u^T v$。
$$
u^T v = egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix} = u_1v_1 + u_2v_2 + cdots + u_nv_n
$$
这提供了一种强大的方式来计算向量之间的几何关系。
3. 基的表示: 在向量空间中，一组基向量可以被组织成一个矩阵（例如，一个将基向量作为列的矩阵），而向量本身则可以表示为这些基向量的线性组合的系数向量。矩阵乘法可以自然地表示坐标的转换。
4. 数据结构: 在计算机科学和数据分析中，数据常常以表格形式存储，这正是矩阵的自然体现。向量则可以看作是表格的单列或单行。
总结：
矩阵作为 $m imes n$ 的矩形数组的定义是严格且基础的。将行向量视为 $1 imes n$ 的矩阵，将列向量视为 $m imes 1$ 的矩阵，不仅合理，而且极大地提升了我们对线性代数概念的理解，使得向量和矩阵之间的各种运算（如矩阵乘法、点积）得以统一和简洁地表达。这种视角将向量视为矩阵的一种特殊、简化的形式，从而在统一的框架下研究线性代数的所有对象。
矩阵的严格定义
在现代数学中，矩阵最严格、最基础的定义是：
一个 $m imes n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列的实数（或复数，或更一般的域中的元素）构成的矩形数组。
让我们逐一拆解这个定义中的关键概念：
数组 (Array): 这是一个通用的数学概念，指的是一个有序的元素集合。在矩阵的上下文中，这个集合被组织成一个二维的结构。
矩形 (Rectangular): 这意味着数组的元素排列成行和列，并且行的数量（$m$）和列的数量（$n$）可以不同。如果 $m=n$，则称为方阵。
$m$ 行 ($m$ rows): 表示矩阵包含 $m$ 个水平排列的元素序列。
$n$ 列 ($n$ columns): 表示矩阵包含 $n$ 个垂直排列的元素序列。
实数（或复数，或更一般的域中的元素）(elements from $mathbb{R}$, $mathbb{C}$, or a general field): 这是矩阵的“成分”或“项”。在大多数初等线性代数中，我们通常使用实数。但在更高级的数学和工程领域，矩阵可以包含复数，甚至其他代数结构中的元素，只要这些元素满足某个“域”的性质（例如，加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，并且存在加法单位元、乘法单位元和逆元）。
数学符号表示：
一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 通常表示为：
$$
A =
egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix}
$$
其中，$a_{ij}$ 表示位于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。
更抽象的定义（基于集合论和函数）：
从更抽象的集合论角度看，一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 可以被定义为一个函数：
$$
A: {1, 2, ldots, m} imes {1, 2, ldots, n} o F
$$
其中 $F$ 是矩阵元素所属的域（如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）。这个函数将有序对 $(i, j)$（表示行索引 $i$ 和列索引 $j$）映射到域中的一个元素 $a_{ij}$。
因此，矩阵本质上是一个具有特定结构（矩形数组）和特定元素（来自某个域）的数学对象。
行向量与列向量：通过矩阵来定义是否合理？
是的，通过矩阵来定义行向量和列向量是非常合理且普遍的做法，而且这种视角提供了深刻的理解。
事实上，向量本身在数学中也有多种定义方式，而将它们看作是矩阵的特例，能更清晰地揭示它们在矩阵运算中的角色。
1. 列向量作为矩阵的特例：
一个 $m$ 维的列向量可以被看作是一个 $m imes 1$ 的矩阵。
例如，一个 $m$ 维的实数列向量 $v$ 可以表示为：
$$
v =
egin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
vdots \
v_m
end{pmatrix}
$$
从矩阵的角度看，这就是一个只有一列 ($n=1$) 的矩阵。我们可以将其表示为 $v in M_{m imes 1}(mathbb{R})$，其中 $M_{m imes 1}(mathbb{R})$ 是所有 $m imes 1$ 实数矩阵的集合。
2. 行向量作为矩阵的特例：
一个 $n$ 维的行向量可以被看作是一个 $1 imes n$ 的矩阵。
例如，一个 $n$ 维的实数行向量 $w$ 可以表示为：
$$
w = egin{pmatrix} w_1 & w_2 & cdots & w_n end{pmatrix}
$$
从矩阵的角度看，这就是一个只有一行 ($m=1$) 的矩阵。我们可以将其表示为 $w in M_{1 imes n}(mathbb{R})$，其中 $M_{1 imes n}(mathbb{R})$ 是所有 $1 imes n$ 实数矩阵的集合。
为什么这种定义合理且有优势？
1. 统一性与简洁性: 将向量视为矩阵的特例，使得我们可以在一个统一的框架下处理所有线性代数对象。矩阵运算（如矩阵乘法、加法）的规则自然就适用于向量，无需为向量引入全新的、独立的运算规则。
2. 矩阵乘法的表达能力: 矩阵乘法是最核心的矩阵运算之一，它有着非常丰富的几何和代数意义（如线性变换、方程组求解等）。当我们将向量看作矩阵时，许多重要的概念和运算就能以非常自然的方式表达：
矩阵与向量的乘积 ($Ax$): 一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 与一个 $n imes 1$ 的列向量 $x$ 的乘积是一个 $m imes 1$ 的列向量。这正是线性变换作用于向量的标准方式。
$$
A x = egin{pmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = egin{pmatrix} sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \ vdots \ sum_{j=1}^n a_{mj}x_j end{pmatrix}
$$
这表明矩阵 $A$ 可以将一个 $n$ 维向量空间映射到一个 $m$ 维向量空间。
向量与矩阵的乘积 ($xA$): 一个 $1 imes m$ 的行向量 $x$ 与一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 的乘积是一个 $1 imes n$ 的行向量。
$$
x A = egin{pmatrix} x_1 & cdots & x_m end{pmatrix} egin{pmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} = egin{pmatrix} sum_{i=1}^m x_i a_{i1} & cdots & sum_{i=1}^m x_i a_{in} end{pmatrix}
$$
这表明行向量也可以与矩阵进行运算，其结果也是一个行向量。
向量的点积 (内积): 两个 $n$ 维列向量 $u$ 和 $v$ 的点积 $u cdot v$ 可以表示为行向量 $u^T$ 与列向量 $v$ 的矩阵乘积：$u^T v$。
$$
u^T v = egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix} = u_1v_1 + u_2v_2 + cdots + u_nv_n
$$
这提供了一种强大的方式来计算向量之间的几何关系。
3. 基的表示: 在向量空间中，一组基向量可以被组织成一个矩阵（例如，一个将基向量作为列的矩阵），而向量本身则可以表示为这些基向量的线性组合的系数向量。矩阵乘法可以自然地表示坐标的转换。
4. 数据结构: 在计算机科学和数据分析中，数据常常以表格形式存储，这正是矩阵的自然体现。向量则可以看作是表格的单列或单行。
总结：
矩阵作为 $m imes n$ 的矩形数组的定义是严格且基础的。将行向量视为 $1 imes n$ 的矩阵，将列向量视为 $m imes 1$ 的矩阵，不仅合理，而且极大地提升了我们对线性代数概念的理解，使得向量和矩阵之间的各种运算（如矩阵乘法、点积）得以统一和简洁地表达。这种视角将向量视为矩阵的一种特殊、简化的形式，从而在统一的框架下研究线性代数的所有对象。
网友意见
可以先从线性空间的定义出发，定义矩阵空间 是由 个基生成的线性空间（八条公理就不多说了）：
， ；
若 ，只需定义基的乘法，也就定义了矩阵的乘法
其中 是 符号，只有当 时才为 ，否则为 ；于是定义在数域 上的矩阵的一般形式为：
，
最后，为了方便书写，我们将之写作 行 列的数表 ，按照这样的记法，于是基 可以写作第 行、第 列的元素为 ，其余位置元素皆为 的矩阵 .
所以最重要的不是数学对象的具体形式，而是运算与关系.
懒得打公式，凑合看一下吧。
矩阵可以定义为元素与序偶的集合的集合。也就是说矩阵
A={{a_ij,(i,j)}|1≤i≤m,1≤j≤n}。
序偶(i,j)怎么定义？事实上(i,j)={{i,j},i}。
就酱（
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