矩阵的逆对应于线性变换的逆变换，那么矩阵的转置对应于线性变换的什么？
矩阵的逆运算确实对应于线性变换的逆过程，也就是将变换后的向量还原回原始向量。那么，矩阵的转置在几何变换的语境下又意味着什么呢？这可不是一个简单的“反向”对应，而是一种与原变换密切相关的、但又有所不同的变换。
要理解矩阵转置对应的线性变换，我们需要先回忆一下矩阵是如何表示线性变换的。一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 可以看作是将 $n$ 维空间中的向量映射到 $m$ 维空间中的向量的线性变换。如果我们有一个向量 $x$（一个 $n imes 1$ 的列向量），那么 $Ax$ 就是变换后的向量。
矩阵的转置 $A^T$ 是将 $A$ 的行和列进行交换得到的矩阵。如果 $A$ 是 $m imes n$ 的，那么 $A^T$ 就是 $n imes m$ 的。这意味着 $A^T$ 可以看作是将 $m$ 维空间中的向量映射到 $n$ 维空间中的向量的线性变换。
那么，这两者之间有什么联系呢？这种联系体现在它们的伴随关系上，尤其是在我们考虑向量的点积（内积）时。
假设我们有两个向量 $u$ 和 $v$。在一个标准的欧几里得空间中，它们的点积可以表示为 $u^T v$。
现在，让我们考虑线性变换 $A$ 和它的转置 $A^T$ 对点积的影响。
对于矩阵 $A$（将 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量）和任意的 $n$ 维向量 $x$ 和 $m$ 维向量 $y$，我们可以考虑它们的点积：
$y^T (Ax)$
这里，$Ax$ 是 $m$ 维的，所以 $y$ 也必须是 $m$ 维的，才能进行点积运算。
现在，我们来观察转置矩阵 $A^T$ 的作用。$A^T$ 是一个 $n imes m$ 的矩阵，它可以将 $m$ 维向量映射到 $n$ 维向量。如果我们用 $A^T$ 去作用一个 $m$ 维向量 $y$，那么 $A^T y$ 就是一个 $n$ 维向量。
关键的联系在于以下这个性质：
$y^T (Ax) = (A^T y)^T x$
这个等式非常重要。它告诉我们：
左边，$y^T (Ax)$ 是将 $Ax$ 变换后，再计算它与 $y$ 的点积。
右边，$(A^T y)^T x$ 是先对 $y$ 进行转置矩阵的变换得到 $A^T y$，然后再计算 $A^T y$ 与 $x$ 的点积。
这表明，矩阵的转置 $A^T$ 对应的线性变换，在作用于一个向量并与另一个向量进行点积运算时，其效果等同于先对第二个向量应用转置变换，再计算它们之间的点积。
更抽象地说，如果我们将线性变换看作是一种“映射”，那么矩阵转置 $A^T$ 对应的变换就是一种伴随变换，它在保持点积运算的“协调性”方面起着核心作用。
我们可以从几个角度来更深入地理解这一点：
1. 几何解释（Orthogonal Complement / 伴随子）：
在二维或三维空间中，我们可以思考变换后的子空间与原空间向量之间的关系。
考虑一个线性变换 $T(x) = Ax$。
它的像空间（Range of A）是 $Im(A) = { Ax mid x in mathbb{R}^n }$。
考虑一个与 $Im(A)$ 中的所有向量都正交的向量集合，这就是 $Im(A)$ 在 $mathbb{R}^m$ 中的正交补，记作 $(Im(A))^{perp}$。
现在来看 $A^T y$ 的作用。
如果 $A^T y = 0$ （零向量），那么对于任意的 $x$，都有 $(A^T y)^T x = 0^T x = 0$。
根据上面的点积关系 $y^T (Ax) = (A^T y)^T x$，这意味着 $y^T (Ax) = 0$ 对于所有 $x$ 都成立。
换句话说，向量 $y$ 与 $Ax$ 中的每一个向量都正交。这意味着 $y$ 属于 $Im(A)$ 的正交补，即 $y in (Im(A))^{perp}$。
因此，$Ker(A^T) = (Im(A))^{perp}$。
这个关系非常重要，它连接了转置矩阵的核空间（零空间）和原矩阵的像空间的正交补。
反过来，如果 $y in (Im(A))^{perp}$，那么 $y^T (Ax) = 0$ 对所有 $x$ 成立。
因此 $(A^T y)^T x = 0$ 对所有 $x$ 成立，这只有当 $A^T y = 0$ 时才可能。
所以，$y in (Im(A))^{perp}$ 当且仅当 $A^T y = 0$。
那么，对于非零的 $y$，当 $A^T y eq 0$ 时，$y$ 会被 $A^T$ 映射到 $n$ 维空间中。
如果我们考虑 $A^T$ 的像空间 $Im(A^T)$，我们可以推断出 $Ker(A) = (Im(A^T))^{perp}$。
这意味着，原变换 $A$ 的核空间（那些被映射到零向量的向量）的正交补，就是转置变换 $A^T$ 的像空间。
2. 对称性与自伴随算子：
当矩阵是对称矩阵时（即 $A = A^T$），那么矩阵的转置对应的线性变换就是它本身。
在这种情况下，变换 $A$ 被称为自伴随算子（selfadjoint operator）。
对称矩阵在很多领域都非常重要，例如在物理学中，描述能量、动量等守恒量的算符通常是自伴随的。它们的特征值是实数，特征向量是正交的，这带来了很多良好的性质。
3. 特征值和特征向量的关系：
如果 $lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，对应特征向量为 $v$（即 $Av = lambda v$），那么 $lambda$ 也是 $A^T$ 的一个特征值。
证明：考虑 $(A^T lambda I) w = 0$ 存在非零解 $w$。
我们知道 $v^T (A lambda I) = 0$ （这可以从 $(A lambda I)^T v = 0$ 得到）。
所以 $v^T A = lambda v^T$。
现在考虑 $A^T v = mu v$。
那么 $w^T A^T v = w^T (mu v) = mu w^T v$。
同时，$(Aw)^T v = (mu w)^T v = mu w^T v$。
但 $(Aw)^T v = w^T A^T v$，这并没有直接说明 $A^T$ 的特征值就是 $A$ 的特征值。
更直接的证明：
考虑 $A^T v = mu v$。
那么 $(A^T mu I) v = 0$。
如果 $mu$ 是 $A^T$ 的一个特征值，那么 $A^T mu I$ 是不可逆的，即 $det(A^T mu I) = 0$。
我们知道 $det(B^T) = det(B)$。
所以 $det(A^T mu I) = det((A^T mu I)^T) = det(A mu I)$。
因此，如果 $det(A^T mu I) = 0$，那么 $det(A mu I) = 0$。
这意味着 $mu$ 也是 $A$ 的一个特征值。
虽然它们有共同的特征值，但对应的特征向量不一定相同。
总结一下，矩阵的转置所对应的线性变换，最核心的理解是它与原变换在保持点积运算的伴随关系。具体来说：
代数上： $y^T (Ax) = (A^T y)^T x$。
几何上： 它揭示了原变换的像空间的 Orthogonal Complement 与转置变换的核空间的联系，以及原变换的核空间的 Orthogonal Complement 与转置变换的像空间的联系。
特殊情况： 当矩阵是对称矩阵时，转置变换就是它本身，这对应于自伴随算子。
因此，矩阵转置的线性变换不是简单的“反向”或“逆”变换，而是一种伴随的、维持了内积结构不变性（在某种意义上）的变换。它在许多数学和物理的理论中扮演着至关重要的角色，比如在泛函分析、量子力学、信号处理等领域。
要理解矩阵转置对应的线性变换，我们需要先回忆一下矩阵是如何表示线性变换的。一个 $m imes n$ 的矩阵 $A$ 可以看作是将 $n$ 维空间中的向量映射到 $m$ 维空间中的向量的线性变换。如果我们有一个向量 $x$（一个 $n imes 1$ 的列向量），那么 $Ax$ 就是变换后的向量。
矩阵的转置 $A^T$ 是将 $A$ 的行和列进行交换得到的矩阵。如果 $A$ 是 $m imes n$ 的，那么 $A^T$ 就是 $n imes m$ 的。这意味着 $A^T$ 可以看作是将 $m$ 维空间中的向量映射到 $n$ 维空间中的向量的线性变换。
那么，这两者之间有什么联系呢？这种联系体现在它们的伴随关系上，尤其是在我们考虑向量的点积（内积）时。
假设我们有两个向量 $u$ 和 $v$。在一个标准的欧几里得空间中，它们的点积可以表示为 $u^T v$。
现在，让我们考虑线性变换 $A$ 和它的转置 $A^T$ 对点积的影响。
对于矩阵 $A$（将 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量）和任意的 $n$ 维向量 $x$ 和 $m$ 维向量 $y$，我们可以考虑它们的点积：
$y^T (Ax)$
这里，$Ax$ 是 $m$ 维的，所以 $y$ 也必须是 $m$ 维的，才能进行点积运算。
现在，我们来观察转置矩阵 $A^T$ 的作用。$A^T$ 是一个 $n imes m$ 的矩阵，它可以将 $m$ 维向量映射到 $n$ 维向量。如果我们用 $A^T$ 去作用一个 $m$ 维向量 $y$，那么 $A^T y$ 就是一个 $n$ 维向量。
关键的联系在于以下这个性质：
$y^T (Ax) = (A^T y)^T x$
这个等式非常重要。它告诉我们：
左边，$y^T (Ax)$ 是将 $Ax$ 变换后，再计算它与 $y$ 的点积。
右边，$(A^T y)^T x$ 是先对 $y$ 进行转置矩阵的变换得到 $A^T y$，然后再计算 $A^T y$ 与 $x$ 的点积。
这表明，矩阵的转置 $A^T$ 对应的线性变换，在作用于一个向量并与另一个向量进行点积运算时，其效果等同于先对第二个向量应用转置变换，再计算它们之间的点积。
更抽象地说，如果我们将线性变换看作是一种“映射”，那么矩阵转置 $A^T$ 对应的变换就是一种伴随变换，它在保持点积运算的“协调性”方面起着核心作用。
我们可以从几个角度来更深入地理解这一点：
1. 几何解释（Orthogonal Complement / 伴随子）：
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考虑一个线性变换 $T(x) = Ax$。
它的像空间（Range of A）是 $Im(A) = { Ax mid x in mathbb{R}^n }$。
考虑一个与 $Im(A)$ 中的所有向量都正交的向量集合，这就是 $Im(A)$ 在 $mathbb{R}^m$ 中的正交补，记作 $(Im(A))^{perp}$。
现在来看 $A^T y$ 的作用。
如果 $A^T y = 0$ （零向量），那么对于任意的 $x$，都有 $(A^T y)^T x = 0^T x = 0$。
根据上面的点积关系 $y^T (Ax) = (A^T y)^T x$，这意味着 $y^T (Ax) = 0$ 对于所有 $x$ 都成立。
换句话说，向量 $y$ 与 $Ax$ 中的每一个向量都正交。这意味着 $y$ 属于 $Im(A)$ 的正交补，即 $y in (Im(A))^{perp}$。
因此，$Ker(A^T) = (Im(A))^{perp}$。
这个关系非常重要，它连接了转置矩阵的核空间（零空间）和原矩阵的像空间的正交补。
反过来，如果 $y in (Im(A))^{perp}$，那么 $y^T (Ax) = 0$ 对所有 $x$ 成立。
因此 $(A^T y)^T x = 0$ 对所有 $x$ 成立，这只有当 $A^T y = 0$ 时才可能。
所以，$y in (Im(A))^{perp}$ 当且仅当 $A^T y = 0$。
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如果我们考虑 $A^T$ 的像空间 $Im(A^T)$，我们可以推断出 $Ker(A) = (Im(A^T))^{perp}$。
这意味着，原变换 $A$ 的核空间（那些被映射到零向量的向量）的正交补，就是转置变换 $A^T$ 的像空间。
2. 对称性与自伴随算子：
当矩阵是对称矩阵时（即 $A = A^T$），那么矩阵的转置对应的线性变换就是它本身。
在这种情况下，变换 $A$ 被称为自伴随算子（selfadjoint operator）。
对称矩阵在很多领域都非常重要，例如在物理学中，描述能量、动量等守恒量的算符通常是自伴随的。它们的特征值是实数，特征向量是正交的，这带来了很多良好的性质。
3. 特征值和特征向量的关系：
如果 $lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，对应特征向量为 $v$（即 $Av = lambda v$），那么 $lambda$ 也是 $A^T$ 的一个特征值。
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那么 $w^T A^T v = w^T (mu v) = mu w^T v$。
同时，$(Aw)^T v = (mu w)^T v = mu w^T v$。
但 $(Aw)^T v = w^T A^T v$，这并没有直接说明 $A^T$ 的特征值就是 $A$ 的特征值。
更直接的证明：
考虑 $A^T v = mu v$。
那么 $(A^T mu I) v = 0$。
如果 $mu$ 是 $A^T$ 的一个特征值，那么 $A^T mu I$ 是不可逆的，即 $det(A^T mu I) = 0$。
我们知道 $det(B^T) = det(B)$。
所以 $det(A^T mu I) = det((A^T mu I)^T) = det(A mu I)$。
因此，如果 $det(A^T mu I) = 0$，那么 $det(A mu I) = 0$。
这意味着 $mu$ 也是 $A$ 的一个特征值。
虽然它们有共同的特征值，但对应的特征向量不一定相同。
总结一下，矩阵的转置所对应的线性变换，最核心的理解是它与原变换在保持点积运算的伴随关系。具体来说：
代数上： $y^T (Ax) = (A^T y)^T x$。
几何上： 它揭示了原变换的像空间的 Orthogonal Complement 与转置变换的核空间的联系，以及原变换的核空间的 Orthogonal Complement 与转置变换的像空间的联系。
特殊情况： 当矩阵是对称矩阵时，转置变换就是它本身，这对应于自伴随算子。
因此，矩阵转置的线性变换不是简单的“反向”或“逆”变换，而是一种伴随的、维持了内积结构不变性（在某种意义上）的变换。它在许多数学和物理的理论中扮演着至关重要的角色，比如在泛函分析、量子力学、信号处理等领域。
网友意见
来答一下这个题。已经有两位说的不错了，他们分别说了不同的方面：
- 转置代表对偶映射（就是ldkhtys说的伴随）
- 在实内积空间中，转置代表伴随算子（Epsilon的回答）
实际上，在实内积空间（一般地，在对称非退化双线性空间）中，对偶映射和伴随算子可以认为是一回事。更严谨地表述是， 的对偶映射 与 的伴随算子 差了一个 的典范同构 （定义为 ）。命题表述如下：
设 是有限维线性空间， 是对称的、非退化的双线性形式， 是 的线性映射，是 的伴随算子。则有
（或者说在 的典范同构下， ，即对偶映射就是伴随算子）
这样就把两种看法统一起来了。（这也不难理解，毕竟都是转置嘛~）
关于这个命题及其证明，见
注意一下，一般来说 的同构依赖于基的选取，不是典范同构，但在实内积空间中（相当于引入了额外的结构）， 的同构确实是典范的，就是借由之前说的
来自评论区 @王云峰 ：实际上述双线性形式未必需要是对称的，非对称也是可以的，只要非退化就可以确定伴随，只需注意到典范同构 f 实际上有两个，分别对应双线性形式的两个槽位，f1(v)(w) = <v,w> = f2(w)(v)，T 的伴随 S 定义为满足 <x,Ty> = <y,Sx>，则可证明 T* ⁰ f1 = f2 ⁰ S
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