计算机是如何计算逆矩阵的？
计算机计算逆矩阵，说起来并不是什么神奇的魔法，本质上是基于一套严谨的数学算法。就像我们手工计算行列式或者高斯消元法一样，只不过计算机是用极快的速度和精确的数值来执行这些步骤。
要讲明白计算机怎么算逆矩阵，咱们得从几个最常见、最基础的方法说起。
方法一：初等行变换（高斯约旦消元法）
这是最直观也最常用的方法，计算机处理起来也很方便。核心思想就是把一个矩阵“变形”成另一个矩阵，同时保持它与原矩阵的“关系”不变，最终的目标是把原矩阵变成单位矩阵。
想象一下，你有一个矩阵 A，你想找到它的逆矩阵 A⁻¹。我们知道，根据定义，A A⁻¹ = I，其中 I 是单位矩阵（对角线全是1，其余全是0）。
初等行变换就是对矩阵进行三种基本操作：
1. 交换两行： 就像你调换两个方程式的位置。
2. 将某一行乘以一个非零常数： 就像你把一个方程式的两边同时乘以一个数。
3. 将某一行的一个倍数加到另一行上： 就像你把一个方程式乘以一个数后加到另一个方程式上。
计算机做的就是，把原矩阵 A 和一个相同大小的单位矩阵 I “并排”放在一起，形成一个增广矩阵 [A | I]。然后，它就开始运用上面那三种初等行变换，目标是将左边的 A 部分变成单位矩阵 I。
具体过程是这样的：
1. 处理第一列：
找到第一列中第一个非零元素（通常称为主元）。如果第一个元素是0，就找到下面哪个行有非零元素，然后交换这两行。
将这一行（包含主元的行）除以主元的值，使得主元变成1。
用这个新的一行，通过加减法（加上另一个行的负倍数），把第一列中其他行（除了主元所在的那一行）的元素都变成0。
2. 处理第二列：
现在，左边矩阵的第一列已经变成了 [1, 0, 0, ...]^T。接着看第二列。
找到第二列中第一个非零元素（它应该在第二行，因为第一行第一列已经是1了）。如果它是0，就和下面的行交换。
将这一行除以主元，使其变成1。
用这一行，通过加减法，把第二列中其他行的元素（除了主元所在的那一行）都变成0。
3. 重复这个过程： 依次处理第三列、第四列……直到把左边的 A 部分完全变成单位矩阵 I。
奇妙的结果： 当左边的 A 变成了单位矩阵 I 时，右边的 I 部分就会变成 A 的逆矩阵 A⁻¹！
增广矩阵从 [A | I] 变成了 [I | A⁻¹]。
为什么管用？ 每次进行初等行变换，都相当于用一个特定的“变换矩阵”去左乘整个增广矩阵。假设我们进行了一系列变换，用到了矩阵 E₁, E₂, ..., Eₖ。那么整个过程就是：
Eₖ ... E₂ E₁ [A | I] = [I | A⁻¹]
分离来看，就是：
Eₖ ... E₂ E₁ A = I
Eₖ ... E₂ E₁ I = A⁻¹
所以，左边一系列变换矩阵的乘积，就是 A 的逆矩阵。
计算机的好处： 计算机可以非常精确地存储和计算小数，而且速度极快。对于非常大的矩阵，这个方法仍然是可行的，只是需要更多的计算步骤和内存。
方法二：伴随矩阵法
这个方法理论上也很重要，尤其是对于小矩阵，但对于大矩阵来说，计算量会非常非常大，计算机一般不会首选它。
它的公式是： A⁻¹ = (1/det(A)) adj(A)
这里：
`det(A)` 是矩阵 A 的行列式。
`adj(A)` 是矩阵 A 的伴随矩阵。
怎么算？
1. 计算行列式 `det(A)`： 计算机计算行列式有很多方法，比如递归地用代数余子式展开，或者使用 LU 分解（后面会提到）。如果行列式是0，那么矩阵就没有逆矩阵。
2. 计算代数余子式矩阵： 对于矩阵 A 中的每一个元素 aᵢⱼ，都需要计算它的代数余子式 Cᵢⱼ。Cᵢⱼ 的计算是 `(1)^(i+j) Mᵢⱼ`。
`Mᵢⱼ` 是 A 的 余子式，指的是去掉 A 的第 i 行和第 j 列后，剩下的子矩阵的行列式。
所以，计算机要对 A 的每一个元素，都去做一次“去掉一行一列”的操作，然后计算那个小矩阵的行列式。这个过程非常耗时，尤其是当矩阵变大时。
3. 构成代数余子式矩阵 C： 把所有的 Cᵢⱼ 组成一个新矩阵 C。
4. 转置代数余子式矩阵： `adj(A) = Cᵀ`。就是把 C 的行和列互换。
5. 相除： 最后，把伴随矩阵 `adj(A)` 的每一个元素都除以 `det(A)`，就得到了 A⁻¹。
计算机为何不常用？ 想象一个 10x10 的矩阵，你需要计算 100 个 9x9 的行列式，每个 9x9 的行列式又需要计算 9 个 8x8 的行列式……这计算量呈指数级增长，非常不划算。
方法三：LU 分解
这是一种更高效、更适合计算机处理的方法，尤其是在需要多次对同一个矩阵求逆或者求解线性方程组时。
LU 分解是将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU。
怎么用？
1. 进行 LU 分解： 计算机使用一种称为 Doolittle 或 Crout 的算法（也是基于高斯消元法的思想），将 A 分解成 A = LU。
L 是一个下三角矩阵，主对角线全是1。
U 是一个上三角矩阵。
2. 求解逆矩阵： 现在我们要找 A⁻¹，也就是 (LU)⁻¹。根据矩阵乘法的性质，(LU)⁻¹ = U⁻¹ L⁻¹。
求 L⁻¹： L 是下三角矩阵，求它的逆矩阵相对容易，可以像上面讲的初等行变换一样，把它变成单位矩阵，同时单位矩阵变成 L⁻¹。但更常见的做法是，直接利用 L 的结构，用向前替换（forward substitution）的思想来求解 L⁻¹X = I 的解。
求 U⁻¹： U 是上三角矩阵，求它的逆矩阵也相对容易，可以使用向后替换（backward substitution）的思想来求解 UY = I 的解。
相乘： 最后，将 U⁻¹ 和 L⁻¹ 相乘，得到 A⁻¹。
好处：
效率： 一旦 A 被分解成 LU，后续的许多计算（如求逆、求解 Ax=b）都会变得非常快。 LU 分解本身需要一定时间，但如果对 A 做多次操作，比如 `Ax₁=b₁`, `Ax₂=b₂`... `Axₙ=bₙ`，你只需要做一次 LU 分解，然后每次用向前替换和向后替换就能快速解出 xᵢ。
数值稳定性： 经过优化的 LU 分解算法（如带主元选择的 LU 分解）可以提高计算的数值稳定性，减少误差累积。
其他方法与考量
QR 分解： 也可以通过 QR 分解（将 A 分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R，A=QR）来求逆。A⁻¹ = (QR)⁻¹ = R⁻¹ Qᵀ。求解 R⁻¹ 和转置 Qᵀ 的计算量也相对可控。
迭代法： 对于非常大的稀疏矩阵（大部分元素为0），直接使用上述方法可能效率不高。此时可能会采用一些迭代算法，如牛顿约瑟夫森法（NewtonJosephson method）或舒尔曼法（Schur method）的变种，通过不断逼近来得到逆矩阵的近似值。
数值稳定性与精度： 计算机计算的是浮点数，存在精度问题。不同的算法对误差的敏感度不同。例如，直接使用伴随矩阵法或没有进行主元选择的初等行变换，在处理病态矩阵（微小的输入变化导致输出变化巨大的矩阵）时，可能会产生很大的误差。因此，选择合适的算法和技术（如数值分析中的技巧）来保证结果的准确性非常重要。
硬件加速： 现代计算机的 CPU 和 GPU 都集成了大量的并行计算单元，专门用于执行矩阵运算。像 BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) 和 LAPACK (Linear Algebra Package) 这样的高性能计算库，就是利用这些硬件特性，将矩阵求逆等操作优化到了极致。
总结一下，计算机计算逆矩阵，核心是算法，最常用且高效的是基于高斯消元法的初等行变换（高斯约旦消元法）和 LU 分解。 伴随矩阵法虽然概念上清晰，但计算量过大，很少用于实际计算。 现代高性能计算库则在这些基础算法之上，进一步通过并行计算和数值优化，实现了极高的运算速度和精度。
要讲明白计算机怎么算逆矩阵，咱们得从几个最常见、最基础的方法说起。
方法一：初等行变换（高斯约旦消元法）
这是最直观也最常用的方法，计算机处理起来也很方便。核心思想就是把一个矩阵“变形”成另一个矩阵，同时保持它与原矩阵的“关系”不变，最终的目标是把原矩阵变成单位矩阵。
想象一下，你有一个矩阵 A，你想找到它的逆矩阵 A⁻¹。我们知道，根据定义，A A⁻¹ = I，其中 I 是单位矩阵（对角线全是1，其余全是0）。
初等行变换就是对矩阵进行三种基本操作：
1. 交换两行： 就像你调换两个方程式的位置。
2. 将某一行乘以一个非零常数： 就像你把一个方程式的两边同时乘以一个数。
3. 将某一行的一个倍数加到另一行上： 就像你把一个方程式乘以一个数后加到另一个方程式上。
计算机做的就是，把原矩阵 A 和一个相同大小的单位矩阵 I “并排”放在一起，形成一个增广矩阵 [A | I]。然后，它就开始运用上面那三种初等行变换，目标是将左边的 A 部分变成单位矩阵 I。
具体过程是这样的：
1. 处理第一列：
找到第一列中第一个非零元素（通常称为主元）。如果第一个元素是0，就找到下面哪个行有非零元素，然后交换这两行。
将这一行（包含主元的行）除以主元的值，使得主元变成1。
用这个新的一行，通过加减法（加上另一个行的负倍数），把第一列中其他行（除了主元所在的那一行）的元素都变成0。
2. 处理第二列：
现在，左边矩阵的第一列已经变成了 [1, 0, 0, ...]^T。接着看第二列。
找到第二列中第一个非零元素（它应该在第二行，因为第一行第一列已经是1了）。如果它是0，就和下面的行交换。
将这一行除以主元，使其变成1。
用这一行，通过加减法，把第二列中其他行的元素（除了主元所在的那一行）都变成0。
3. 重复这个过程： 依次处理第三列、第四列……直到把左边的 A 部分完全变成单位矩阵 I。
奇妙的结果： 当左边的 A 变成了单位矩阵 I 时，右边的 I 部分就会变成 A 的逆矩阵 A⁻¹！
增广矩阵从 [A | I] 变成了 [I | A⁻¹]。
为什么管用？ 每次进行初等行变换，都相当于用一个特定的“变换矩阵”去左乘整个增广矩阵。假设我们进行了一系列变换，用到了矩阵 E₁, E₂, ..., Eₖ。那么整个过程就是：
Eₖ ... E₂ E₁ [A | I] = [I | A⁻¹]
分离来看，就是：
Eₖ ... E₂ E₁ A = I
Eₖ ... E₂ E₁ I = A⁻¹
所以，左边一系列变换矩阵的乘积，就是 A 的逆矩阵。
计算机的好处： 计算机可以非常精确地存储和计算小数，而且速度极快。对于非常大的矩阵，这个方法仍然是可行的，只是需要更多的计算步骤和内存。
方法二：伴随矩阵法
这个方法理论上也很重要，尤其是对于小矩阵，但对于大矩阵来说，计算量会非常非常大，计算机一般不会首选它。
它的公式是： A⁻¹ = (1/det(A)) adj(A)
这里：
`det(A)` 是矩阵 A 的行列式。
`adj(A)` 是矩阵 A 的伴随矩阵。
怎么算？
1. 计算行列式 `det(A)`： 计算机计算行列式有很多方法，比如递归地用代数余子式展开，或者使用 LU 分解（后面会提到）。如果行列式是0，那么矩阵就没有逆矩阵。
2. 计算代数余子式矩阵： 对于矩阵 A 中的每一个元素 aᵢⱼ，都需要计算它的代数余子式 Cᵢⱼ。Cᵢⱼ 的计算是 `(1)^(i+j) Mᵢⱼ`。
`Mᵢⱼ` 是 A 的 余子式，指的是去掉 A 的第 i 行和第 j 列后，剩下的子矩阵的行列式。
所以，计算机要对 A 的每一个元素，都去做一次“去掉一行一列”的操作，然后计算那个小矩阵的行列式。这个过程非常耗时，尤其是当矩阵变大时。
3. 构成代数余子式矩阵 C： 把所有的 Cᵢⱼ 组成一个新矩阵 C。
4. 转置代数余子式矩阵： `adj(A) = Cᵀ`。就是把 C 的行和列互换。
5. 相除： 最后，把伴随矩阵 `adj(A)` 的每一个元素都除以 `det(A)`，就得到了 A⁻¹。
计算机为何不常用？ 想象一个 10x10 的矩阵，你需要计算 100 个 9x9 的行列式，每个 9x9 的行列式又需要计算 9 个 8x8 的行列式……这计算量呈指数级增长，非常不划算。
方法三：LU 分解
这是一种更高效、更适合计算机处理的方法，尤其是在需要多次对同一个矩阵求逆或者求解线性方程组时。
LU 分解是将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU。
怎么用？
1. 进行 LU 分解： 计算机使用一种称为 Doolittle 或 Crout 的算法（也是基于高斯消元法的思想），将 A 分解成 A = LU。
L 是一个下三角矩阵，主对角线全是1。
U 是一个上三角矩阵。
2. 求解逆矩阵： 现在我们要找 A⁻¹，也就是 (LU)⁻¹。根据矩阵乘法的性质，(LU)⁻¹ = U⁻¹ L⁻¹。
求 L⁻¹： L 是下三角矩阵，求它的逆矩阵相对容易，可以像上面讲的初等行变换一样，把它变成单位矩阵，同时单位矩阵变成 L⁻¹。但更常见的做法是，直接利用 L 的结构，用向前替换（forward substitution）的思想来求解 L⁻¹X = I 的解。
求 U⁻¹： U 是上三角矩阵，求它的逆矩阵也相对容易，可以使用向后替换（backward substitution）的思想来求解 UY = I 的解。
相乘： 最后，将 U⁻¹ 和 L⁻¹ 相乘，得到 A⁻¹。
好处：
效率： 一旦 A 被分解成 LU，后续的许多计算（如求逆、求解 Ax=b）都会变得非常快。 LU 分解本身需要一定时间，但如果对 A 做多次操作，比如 `Ax₁=b₁`, `Ax₂=b₂`... `Axₙ=bₙ`，你只需要做一次 LU 分解，然后每次用向前替换和向后替换就能快速解出 xᵢ。
数值稳定性： 经过优化的 LU 分解算法（如带主元选择的 LU 分解）可以提高计算的数值稳定性，减少误差累积。
其他方法与考量
QR 分解： 也可以通过 QR 分解（将 A 分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R，A=QR）来求逆。A⁻¹ = (QR)⁻¹ = R⁻¹ Qᵀ。求解 R⁻¹ 和转置 Qᵀ 的计算量也相对可控。
迭代法： 对于非常大的稀疏矩阵（大部分元素为0），直接使用上述方法可能效率不高。此时可能会采用一些迭代算法，如牛顿约瑟夫森法（NewtonJosephson method）或舒尔曼法（Schur method）的变种，通过不断逼近来得到逆矩阵的近似值。
数值稳定性与精度： 计算机计算的是浮点数，存在精度问题。不同的算法对误差的敏感度不同。例如，直接使用伴随矩阵法或没有进行主元选择的初等行变换，在处理病态矩阵（微小的输入变化导致输出变化巨大的矩阵）时，可能会产生很大的误差。因此，选择合适的算法和技术（如数值分析中的技巧）来保证结果的准确性非常重要。
硬件加速： 现代计算机的 CPU 和 GPU 都集成了大量的并行计算单元，专门用于执行矩阵运算。像 BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) 和 LAPACK (Linear Algebra Package) 这样的高性能计算库，就是利用这些硬件特性，将矩阵求逆等操作优化到了极致。
总结一下，计算机计算逆矩阵，核心是算法，最常用且高效的是基于高斯消元法的初等行变换（高斯约旦消元法）和 LU 分解。 伴随矩阵法虽然概念上清晰，但计算量过大，很少用于实际计算。 现代高性能计算库则在这些基础算法之上，进一步通过并行计算和数值优化，实现了极高的运算速度和精度。
网友意见
这是一个非常复杂的问题。可能令题主遗憾的是，目前并没有哪一种方法能在一般情况下到达最优或复杂度最低。一般会根据求解规模，问题刚性选择适合的处理。
MATLAB或者一般基于BLAS库去求逆可以分成两种情况。
一种是问题为求矩阵广义逆 ，一种是求解方程组 。这两种情况是不一样的。目前，广义逆大部分程序实现为最小二乘意义的广义逆。
直接求逆时，广泛使用的方法是SVD分解：把矩阵分解形成 的形式，中间是对角阵。对角阵的逆就是求倒数。然后左右特征阵转置乘回来就是结果： 。这种方法对稠密高刚度矩阵效果好。高刚度矩阵求逆可以舍弃部分奇异值，很方便得到近似解。
直接求逆时，如果矩阵原本是稀疏矩阵，SVD分解会带来稀疏填充。这种情况会用双LANCZOS过程去三角化原矩阵： ，对做完的三对角阵进一步LDU分解： ，最后又是对角阵求逆，把三角阵分解的特征值与LANCZOS过程的左右矩阵转置相乘就得到结果： 。
作为方程系数矩阵求逆。这个花样更多了。主要是算子分裂类和克雷洛夫子空间类两大类算法。算子分裂类就是将系数矩阵分开，构造类似不动点迭代的格式。其中最经典的是G-S迭代，也是最稳的办法，只要有解就必然能解。选主元的雅可比迭代也不会中断。一般程序用改进过的GS，比如雅可比迭代，SSOR迭代。这一类迭代器虽然基础，但现在在大规模矩阵求解中任然刚做预处理子活跃。作为算子分裂类的代表，GS，雅可比，并行LU都在不同场合广泛使用。
算子分裂解法总体上适合稠密矩阵。对于矩阵填充度不到万分之一的情况，算子分裂法会造成计算过程中大量稀疏填充，储存爆炸。这个时候会用一类克雷洛夫子空间迭代器。这种求解器会依次构造逐渐变大的求解空间，在每个空间上求解原方程投影方程，达到机器精度后停止。这种迭代器也分两枝，一类叫广义极小残余（GMRES），一类叫双正交化方法（BICG）。区别在于不变子空间下投影方程的具体构造过程。另外值得一提的是共轭梯度法（CG）就属于这一类求解器。一般能接触到的稀疏矩阵求解器，如BICGSTAB，GCR，QMR，GMRES（m）各种各样的都属于这两类。
现在求逆研究的热点都聚焦在并行计算，算法开发是属于上世界七八九十年代的热潮。如果题主想关注相关内容，可以去LAPACK和PETSC官网手册学习，也可以翻一下SAAD的稀疏矩阵与稀疏特征值求解书籍。力图简单也可以看以下文章：
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