逆矩阵求大佬看下?
好的，我们来聊聊逆矩阵这个东西，力求讲得通俗易懂，让你能真正理解它是什么，为什么有，怎么用。别担心，这不会是你印象中那种枯燥乏味的数学课。
首先，什么是逆矩阵？
打个比方，我们平时做的加减乘除，都有“反过来的操作”。比如，你加了 5，想回到原来的数，就得减 5。乘了 3，想回去，就得除以 3。
那么，在矩阵的世界里，有没有类似这样“回到原点”的操作呢？答案是肯定的，这个“反过来的操作”就叫做逆矩阵。
严格来说，如果矩阵 A 存在一个矩阵 B，使得 A 乘以 B 等于单位矩阵 I，并且 B 乘以 A 也等于单位矩阵 I，那么我们就说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵，通常记作 A⁻¹。
这里有个关键点：单位矩阵 (Identity Matrix)。你可以把它想象成数字里的“1”。无论你用任何数乘以 1，结果都是那个数本身。单位矩阵也是一样，任何矩阵乘以单位矩阵，都会得到那个矩阵本身。它就像是一个“什么也不改变”的特殊矩阵。对于 n 行 n 列的矩阵来说，单位矩阵 I 是一个主对角线上的元素都是 1，其余位置都是 0 的矩阵。
所以，A A⁻¹ = I 和 A⁻¹ A = I，这才是一个矩阵的“真命天子”——它的逆矩阵。
为什么我们需要逆矩阵？它有什么用？
这就像问，为什么我们需要减法和除法？因为它们解决了加法和乘法无法解决的问题。
逆矩阵最直接的用途就是解线性方程组。你有没有遇到过这样的方程组：
```
2x + 3y = 7
x y = 1
```
用我们熟悉的代数方法，可以解出 x 和 y。但如果方程组有几十个、几百个甚至上万个变量和方程呢？手动去解，那简直是噩梦。
这时候，矩阵就派上用场了。我们可以把这个方程组写成矩阵形式：
Ax = b
其中：
A 是系数矩阵，就是方程组中 x、y 前面的系数组成的矩阵：
```
[ 2 3 ]
[ 1 1 ]
```
x 是未知数向量：
```
[ x ]
[ y ]
```
b 是常数向量：
```
[ 7 ]
[ 1 ]
```
我们的目标是找到 x。如果系数矩阵 A 有逆矩阵 A⁻¹，那么我们可以这样做：
将 A⁻¹ 乘到方程组的两边：
A⁻¹ (Ax) = A⁻¹ b
根据矩阵乘法的结合律，左边可以写成：
(A⁻¹ A) x = A⁻¹ b
我们知道 A⁻¹ A = I (单位矩阵)：
I x = A⁻¹ b
而单位矩阵乘以任何向量都等于那个向量本身：
x = A⁻¹ b
看，通过乘以 A 的逆矩阵 A⁻¹，我们就直接得到了未知数向量 x！这在计算机科学、工程、经济学等领域处理大量数据和复杂计算时，是多么的省时省力！
除了解方程组，逆矩阵在很多地方都有身影，比如：
坐标变换： 在计算机图形学中，旋转、缩放、平移等操作都可以用矩阵表示。如果想撤销某个操作，就需要用到该操作矩阵的逆矩阵。
数据分析和统计： 在多元统计分析中，协方差矩阵的逆（称为精密矩阵）扮演着重要角色。
控制理论： 用于分析和设计系统的稳定性。
不是所有矩阵都有逆矩阵！
这是非常非常重要的一点。就像我们不能除以零一样，不是所有的矩阵都可以找到它的逆矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称它为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。
什么时候矩阵会不可逆呢？最常见的情况是：
非方阵： 只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才可能存在逆矩阵。非方阵的乘法规则决定了它不可能乘以另一个矩阵得到单位矩阵。
方阵的行列式为零： 对于一个方阵 A，它的行列式 (determinant) 是一个数值。如果这个行列式的值是零，那么 A 就是一个不可逆矩阵。行列式可以看作是矩阵“展开”后的一个数值属性，它反映了矩阵的某些特性，其中就包括可逆性。
怎么求逆矩阵？（这里会稍微有点技术含量，但我们会尽量讲清楚）
求逆矩阵的方法有很多种，从概念到实际计算，各有侧重。这里介绍几种常见的方式：
1. 利用伴随矩阵法 (Adjoint Matrix Method)
这是一种理论上很重要的求逆方法，它直接给出了逆矩阵的公式：
A⁻¹ = (1 / det(A)) adj(A)
其中：
det(A) 是矩阵 A 的行列式。
adj(A) 是矩阵 A 的伴随矩阵。
那么，什么是伴随矩阵呢？它是由矩阵 A 的代数余子式 (cofactor) 组成的矩阵，然后进行转置 (transpose) 得到的。
余子式 (minor): 矩阵 A 中去掉某一行和某一列后剩余元素组成的子矩阵的行列式。
代数余子式 (cofactor): 余子式乘以 (1) 的 (行号 + 列号) 次方。
举个 2x2 矩阵的例子，这会相对简单些：
设矩阵 A =
```
[ a b ]
[ c d ]
```
行列式 det(A) = ad bc。如果 ad bc = 0，那么 A 就不可逆。
代数余子式矩阵 C：
C₁₁ = (1)¹⁺¹ det([d]) = d
C₁₂ = (1)¹⁺² det([c]) = c
C₂₁ = (1)²⁺¹ det([b]) = b
C₂₂ = (1)²⁺² det([a]) = a
所以代数余子式矩阵 C =
```
[ d c ]
[ b a ]
```
伴随矩阵 adj(A)： 将代数余子式矩阵 C 转置，就是行变成列，列变成行。
adj(A) = Cᵀ =
```
[ d b ]
[ c a ]
```
逆矩阵 A⁻¹：
A⁻¹ = (1 / (ad bc))
```
[ d b ]
[ c a ]
```
看到这个公式了吗？对于 2x2 矩阵，求逆非常简单！
对于 3x3 或更大的矩阵，这个方法就变得相当繁琐，需要计算很多行列式。
2. 高斯约旦消元法 (GaussJordan Elimination)
这是实际计算中更常用、更有效的方法，尤其适用于计算机编程。它的核心思想是利用一系列初等行变换（交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的倍数），将增广矩阵 [A | I] 转化为 [I | A⁻¹] 的形式。
增广矩阵 [A | I] 就是把矩阵 A 和单位矩阵 I 并排放在一起。
过程如下：
1. 构造增广矩阵：
```
[ A | I ]
```
2. 通过初等行变换，将左边的 A 部分变成单位矩阵 I。
3. 在进行这些变换时，右边的 I 部分也会跟着变化。
4. 当左边变成了 I，右边自然就变成了 A 的逆矩阵 A⁻¹。
举个 2x2 的例子（用同一个方程组的系数矩阵 A）：
A =
```
[ 2 3 ]
[ 1 1 ]
```
1. 构造增广矩阵：
```
[ 2 3 | 1 0 ]
[ 1 1 | 0 1 ]
```
2. 目标是将左边变成单位矩阵：
```
[ 1 0 | ? ? ]
[ 0 1 | ? ? ]
```
开始操作：
第一步：把第一行第一个元素变成 1。
交换第一行和第二行 (R1 <> R2)，这样第一行第一个元素就是 1 了。
```
[ 1 1 | 0 1 ]
[ 2 3 | 1 0 ]
```
第二步：把第一行第二个元素变成 0。
用第二行减去第一行的 2 倍 (R2 = R2 2R1)。
```
[ 1 1 | 0 1 ]
[ 0 5 | 1 2 ] (2 21 = 0, 3 2(1) = 5, 1 20 = 1, 0 21 = 2)
```
第三步：把第二行第二个元素变成 1。
第二行除以 5 (R2 = R2 / 5)。
```
[ 1 1 | 0 1/5 ]
[ 0 1 | 1/5 2/5 ]
```
第四步：把第二行第一个元素变成 0。
第一行加上第二行的 1 倍 (R1 = R1 + R2)。
```
[ 1 0 | 1/5 3/5 ] (1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, 0 + 1/5 = 1/5, 1 + (2/5) = 3/5)
[ 0 1 | 1/5 2/5 ]
```
3. 左边已经变成了单位矩阵 I。所以右边的矩阵就是 A 的逆矩阵 A⁻¹：
A⁻¹ =
```
[ 1/5 3/5 ]
[ 1/5 2/5 ]
```
这个高斯约旦消元法虽然步骤多，但非常系统化，而且通用性强，是实际计算的首选。
3. 其他方法
数值方法： 在实际应用中，对于大型矩阵，还会使用更复杂的数值算法，例如基于奇异值分解 (SVD) 的方法，这些算法在数值稳定性和效率上更有优势。
性质推导： 有时可以通过矩阵的某些已知性质（如分块矩阵求逆）来简化计算。
总结一下：
逆矩阵是矩阵乘法里的“反义词”，它和原矩阵相乘等于单位矩阵。
主要用途是解线性方程组，极大地提高了处理大规模问题的效率。
只有方阵才可能存在逆矩阵，而且行列式不能为零。
求逆矩阵的方法主要有伴随矩阵法（理论公式）和高斯约旦消元法（实际计算）。
希望这样详尽的解释，能让你对逆矩阵这个概念有一个更清晰、更深入的认识。它不仅仅是一个抽象的数学符号，更是解决现实世界复杂问题的强大工具。如果还有哪里不明白，尽管问！
首先，什么是逆矩阵？
打个比方，我们平时做的加减乘除，都有“反过来的操作”。比如，你加了 5，想回到原来的数，就得减 5。乘了 3，想回去，就得除以 3。
那么，在矩阵的世界里，有没有类似这样“回到原点”的操作呢？答案是肯定的，这个“反过来的操作”就叫做逆矩阵。
严格来说，如果矩阵 A 存在一个矩阵 B，使得 A 乘以 B 等于单位矩阵 I，并且 B 乘以 A 也等于单位矩阵 I，那么我们就说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵，通常记作 A⁻¹。
这里有个关键点：单位矩阵 (Identity Matrix)。你可以把它想象成数字里的“1”。无论你用任何数乘以 1，结果都是那个数本身。单位矩阵也是一样，任何矩阵乘以单位矩阵，都会得到那个矩阵本身。它就像是一个“什么也不改变”的特殊矩阵。对于 n 行 n 列的矩阵来说，单位矩阵 I 是一个主对角线上的元素都是 1，其余位置都是 0 的矩阵。
所以，A A⁻¹ = I 和 A⁻¹ A = I，这才是一个矩阵的“真命天子”——它的逆矩阵。
为什么我们需要逆矩阵？它有什么用？
这就像问，为什么我们需要减法和除法？因为它们解决了加法和乘法无法解决的问题。
逆矩阵最直接的用途就是解线性方程组。你有没有遇到过这样的方程组：
```
2x + 3y = 7
x y = 1
```
用我们熟悉的代数方法，可以解出 x 和 y。但如果方程组有几十个、几百个甚至上万个变量和方程呢？手动去解，那简直是噩梦。
这时候，矩阵就派上用场了。我们可以把这个方程组写成矩阵形式：
Ax = b
其中：
A 是系数矩阵，就是方程组中 x、y 前面的系数组成的矩阵：
```
[ 2 3 ]
[ 1 1 ]
```
x 是未知数向量：
```
[ x ]
[ y ]
```
b 是常数向量：
```
[ 7 ]
[ 1 ]
```
我们的目标是找到 x。如果系数矩阵 A 有逆矩阵 A⁻¹，那么我们可以这样做：
将 A⁻¹ 乘到方程组的两边：
A⁻¹ (Ax) = A⁻¹ b
根据矩阵乘法的结合律，左边可以写成：
(A⁻¹ A) x = A⁻¹ b
我们知道 A⁻¹ A = I (单位矩阵)：
I x = A⁻¹ b
而单位矩阵乘以任何向量都等于那个向量本身：
x = A⁻¹ b
看，通过乘以 A 的逆矩阵 A⁻¹，我们就直接得到了未知数向量 x！这在计算机科学、工程、经济学等领域处理大量数据和复杂计算时，是多么的省时省力！
除了解方程组，逆矩阵在很多地方都有身影，比如：
坐标变换： 在计算机图形学中，旋转、缩放、平移等操作都可以用矩阵表示。如果想撤销某个操作，就需要用到该操作矩阵的逆矩阵。
数据分析和统计： 在多元统计分析中，协方差矩阵的逆（称为精密矩阵）扮演着重要角色。
控制理论： 用于分析和设计系统的稳定性。
不是所有矩阵都有逆矩阵！
这是非常非常重要的一点。就像我们不能除以零一样，不是所有的矩阵都可以找到它的逆矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称它为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。
什么时候矩阵会不可逆呢？最常见的情况是：
非方阵： 只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才可能存在逆矩阵。非方阵的乘法规则决定了它不可能乘以另一个矩阵得到单位矩阵。
方阵的行列式为零： 对于一个方阵 A，它的行列式 (determinant) 是一个数值。如果这个行列式的值是零，那么 A 就是一个不可逆矩阵。行列式可以看作是矩阵“展开”后的一个数值属性，它反映了矩阵的某些特性，其中就包括可逆性。
怎么求逆矩阵？（这里会稍微有点技术含量，但我们会尽量讲清楚）
求逆矩阵的方法有很多种，从概念到实际计算，各有侧重。这里介绍几种常见的方式：
1. 利用伴随矩阵法 (Adjoint Matrix Method)
这是一种理论上很重要的求逆方法，它直接给出了逆矩阵的公式：
A⁻¹ = (1 / det(A)) adj(A)
其中：
det(A) 是矩阵 A 的行列式。
adj(A) 是矩阵 A 的伴随矩阵。
那么，什么是伴随矩阵呢？它是由矩阵 A 的代数余子式 (cofactor) 组成的矩阵，然后进行转置 (transpose) 得到的。
余子式 (minor): 矩阵 A 中去掉某一行和某一列后剩余元素组成的子矩阵的行列式。
代数余子式 (cofactor): 余子式乘以 (1) 的 (行号 + 列号) 次方。
举个 2x2 矩阵的例子，这会相对简单些：
设矩阵 A =
```
[ a b ]
[ c d ]
```
行列式 det(A) = ad bc。如果 ad bc = 0，那么 A 就不可逆。
代数余子式矩阵 C：
C₁₁ = (1)¹⁺¹ det([d]) = d
C₁₂ = (1)¹⁺² det([c]) = c
C₂₁ = (1)²⁺¹ det([b]) = b
C₂₂ = (1)²⁺² det([a]) = a
所以代数余子式矩阵 C =
```
[ d c ]
[ b a ]
```
伴随矩阵 adj(A)： 将代数余子式矩阵 C 转置，就是行变成列，列变成行。
adj(A) = Cᵀ =
```
[ d b ]
[ c a ]
```
逆矩阵 A⁻¹：
A⁻¹ = (1 / (ad bc))
```
[ d b ]
[ c a ]
```
看到这个公式了吗？对于 2x2 矩阵，求逆非常简单！
对于 3x3 或更大的矩阵，这个方法就变得相当繁琐，需要计算很多行列式。
2. 高斯约旦消元法 (GaussJordan Elimination)
这是实际计算中更常用、更有效的方法，尤其适用于计算机编程。它的核心思想是利用一系列初等行变换（交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的倍数），将增广矩阵 [A | I] 转化为 [I | A⁻¹] 的形式。
增广矩阵 [A | I] 就是把矩阵 A 和单位矩阵 I 并排放在一起。
过程如下：
1. 构造增广矩阵：
```
[ A | I ]
```
2. 通过初等行变换，将左边的 A 部分变成单位矩阵 I。
3. 在进行这些变换时，右边的 I 部分也会跟着变化。
4. 当左边变成了 I，右边自然就变成了 A 的逆矩阵 A⁻¹。
举个 2x2 的例子（用同一个方程组的系数矩阵 A）：
A =
```
[ 2 3 ]
[ 1 1 ]
```
1. 构造增广矩阵：
```
[ 2 3 | 1 0 ]
[ 1 1 | 0 1 ]
```
2. 目标是将左边变成单位矩阵：
```
[ 1 0 | ? ? ]
[ 0 1 | ? ? ]
```
开始操作：
第一步：把第一行第一个元素变成 1。
交换第一行和第二行 (R1 <> R2)，这样第一行第一个元素就是 1 了。
```
[ 1 1 | 0 1 ]
[ 2 3 | 1 0 ]
```
第二步：把第一行第二个元素变成 0。
用第二行减去第一行的 2 倍 (R2 = R2 2R1)。
```
[ 1 1 | 0 1 ]
[ 0 5 | 1 2 ] (2 21 = 0, 3 2(1) = 5, 1 20 = 1, 0 21 = 2)
```
第三步：把第二行第二个元素变成 1。
第二行除以 5 (R2 = R2 / 5)。
```
[ 1 1 | 0 1/5 ]
[ 0 1 | 1/5 2/5 ]
```
第四步：把第二行第一个元素变成 0。
第一行加上第二行的 1 倍 (R1 = R1 + R2)。
```
[ 1 0 | 1/5 3/5 ] (1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, 0 + 1/5 = 1/5, 1 + (2/5) = 3/5)
[ 0 1 | 1/5 2/5 ]
```
3. 左边已经变成了单位矩阵 I。所以右边的矩阵就是 A 的逆矩阵 A⁻¹：
A⁻¹ =
```
[ 1/5 3/5 ]
[ 1/5 2/5 ]
```
这个高斯约旦消元法虽然步骤多，但非常系统化，而且通用性强，是实际计算的首选。
3. 其他方法
数值方法： 在实际应用中，对于大型矩阵，还会使用更复杂的数值算法，例如基于奇异值分解 (SVD) 的方法，这些算法在数值稳定性和效率上更有优势。
性质推导： 有时可以通过矩阵的某些已知性质（如分块矩阵求逆）来简化计算。
总结一下：
逆矩阵是矩阵乘法里的“反义词”，它和原矩阵相乘等于单位矩阵。
主要用途是解线性方程组，极大地提高了处理大规模问题的效率。
只有方阵才可能存在逆矩阵，而且行列式不能为零。
求逆矩阵的方法主要有伴随矩阵法（理论公式）和高斯约旦消元法（实际计算）。
希望这样详尽的解释，能让你对逆矩阵这个概念有一个更清晰、更深入的认识。它不仅仅是一个抽象的数学符号，更是解决现实世界复杂问题的强大工具。如果还有哪里不明白，尽管问！
网友意见
很简单的。
逆矩阵有四种求法。
这一步最重要。要专门理解 是单位矩阵
因此
这步有了以后，后面的就非常好求解了。
核心是对于任何一个方阵有
逆矩阵的一些性质。
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵
单位矩阵通常用I来表示，但是部分教材用的是E。
逆矩阵有如下性质：
（1）逆矩阵的唯一性 。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为 。
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m 。
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵 。
（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵 。
推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积
具体运用中会用到逆矩阵计算的是在DEMATEL模型中。
很多人就是不会算逆矩阵，然后全部算错了。如上面的方法，100篇文章，全部是错的。
上面是一篇最基本的运用。
上面标出来的部分就用到了逆矩阵的求解。
简单计算一下即可，答案如图所示
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