黑箱里有n个小球，编号为1, 2, ..., n，随机抽一个球的号码是10，能获得什么关于n的信息？
现在，你伸手进去，凭感觉摸了一个球，然后把它拿出来一看，发现上面写着数字“10”。就这么一个简单的动作，就给了我们一些关于箱子里小球数量“n”的信息。
我们能得到什么信息呢？
最直接、最基本的信息是：箱子里至少有10个小球。
为什么这么说呢？因为你拿出来的球上的号码是10。这就意味着，号码为10的小球是真实存在的，它在箱子里，而且它是你能够抽到的球之一。而箱子里的小球是从1开始编号的，所以号码为10的小球存在，那么号码为1、2、3……一直到9的小球，理论上也都是存在的。所以，箱子里的总数“n”必然大于或等于10。
更详细地分析一下：
1. n ≥ 10 的确定性结论：
我们知道小球的编号是从1开始的。
我们抽到了号码为10的球。
这意味着号码为10的球必然存在于箱子中。
如果箱子里的小球数量少于10个（比如 n=9），那么就不可能抽到号码为10的球。
因此，箱子里的小球数量n一定大于或等于10。
2. n 的可能范围：
我们知道 n ≥ 10。
但是，我们不知道箱子里最多有多少个球。n 可能就是10，也可能是11、100、1000，甚至是无数个（虽然在实际情境中“无数”不太可能，但从纯数学角度来说，我们无法完全排除）。
所以，根据你抽到一个10号球这件事，我们只能确定 n 的下限是10。对于 n 的上限，我们一无所知。
3. 关于概率的思考（如果了解更多信息的话）：
如果我们知道每个球被抽到的概率是均等的（也就是“随机抽一个”的含义），那么我们可以做更深入的猜测，但不是绝对的确定。
假设我们抽到10号球的概率是 P(抽到10) = 1/n。
我们知道这个概率 P(抽到10) 是存在的。如果 n 远大于10（比如 n=100），那么抽到10号球的概率就是1/100，相对较低。如果 n 就等于10，那么抽到10号球的概率就是1/10，相对较高。
这里需要强调的是，单凭一次抽到10号球，我们不能反推出确切的 n。 这是因为，即使 n 很大，我们也有可能（尽管概率低）抽到10号球。反之亦然。
举个例子：
如果箱子里只有10个球（n=10），你抽到10号球的概率是1/10。
如果箱子里有20个球（n=20），你抽到10号球的概率是1/20。
如果箱子里有100个球（n=100），你抽到10号球的概率是1/100。
你抽到10号球这件事，支持所有 n ≥ 10 的情况，只是支持的“证据强度”不同。当 n 越接近10时，这个“证据”似乎越“强烈”（因为抽到10号球的概率更高）。但从科学推理的角度，我们不能仅凭一次结果就“推断”出唯一的 n 值。
总结一下，当你从一个编号从1到n的球箱里随机抽到一个号码为10的球时，你获得的最确切的信息是：
箱子里至少有10个球（n ≥ 10）。
至于箱子里总共有多少个球（即n的确切数值），单凭这一次抽样结果，我们是无法确定的。这就像你说“我看到一片叶子是红色的”，你只能确定至少有一片红色的叶子，而不能确定这棵树上所有叶子是不是都是红色的，也不能确定这棵树上总共有多少片叶子。
如果你想了解关于 n 的更精确的信息，你需要进行更多的实验，比如：
多次抽样： 看看你抽到哪些号码的球，以及每个号码出现的频率。
知道所有球被抽到的概率分布。
或者直接告诉箱子里球的数量范围。
但就你描述的“随机抽一个球的号码是10”这个单一事件而言，我们只能确定那个最低的门槛——箱子里的小球数量，至少得有10个。
网友意见
任何观察都能带来信息，只是看你怎么用的问题。
实际上，仅仅凭这一个观察我们就能得到估计。
最简单的估计：n = 10
这我相信你肯定是不信服的，怎么可能那么巧就拿到最大编号的呢？但它也是有道理的，你听我跟你说：
考虑最大编号为n的情况下，随机摸到10号的概率，可以知道n < 10时为0，n >= 10时为1/n，这样n = 10的时候，发生这件事的概率是最大的，相比起来如果n非常大，那么摸到10的概率就会小，所以如果没有任何信息的情况下，取n = 10可以让我们观察到的这个现象发生的概率最大。
这种估计方法就叫做最概然估计，它让被观察条件的似然值（likelihood，可以理解为是没有归一化过的某种概率）最大。它的缺点你也看到了，它是有偏（bias）的，我们已经知道了真值肯定至少是10，那么我们很不习惯猜在一个端点上，我们会希望往中间猜一点。
为什么要往中间猜呢？
很多时候我们不止是想要猜中这个n，还希望在猜不中的情况下能尽量地接近，这样如果n有一定的分布的话，我们猜在靠中间的地方，均方误差会比较小一些，也就是说即使猜不中也差不远。数学上来说，我们恰好猜在n的期望的位置的时候，这个估计达到了最小均方误差，同时也是无偏的，这种估计方法就叫做最小均方误差估计。
最简单的一种方法就是用似然值代替概率，作加权平均：我们已经知道不同n下被观察现象发生的概率了，我们用这个概率来做加权平均，这看上去是很有道理的一件事，实际计算一下：
遗憾的是这个结果是发散的，原因在于即便n很大，取到10的概率也不算太小，这样就没有什么所谓中间了。做一个无可奈何下的修正，我们假定n有个上限N，那么利用调和级数求和的近似公式可以得到结果约为
如果取N = 100的话，大致就是38.7左右。注意这个估计值连整数都不是，但它符合我们“往中间猜”的期望。
为了解决刚才的不收敛的问题，我们可以考虑下面的问题：
我们取平均的时候，只考虑了被观察的事件在特定n取值下的可能性，但却没有考虑n本身取值的可能性。比如说，n有可能特别特别大、甚至超过了整个太阳系的总质量吗？这一点都不符合实际啊，可对这种n的取值，我们的处理和对n = 100这样的比较“正常”的值没有任何区别。这样并不合理啊。
最合理的办法是动用贝叶斯公式：
我们将n也看作一个随机变量，它有先验分布，我们通过观察到的实验结果x来计算n的后验分布，利用这个后验分布来计算期望。我们首先要先给一个合理的先验分布，在这里我们假定这个箱子的小球是某个人一个一个放进去的，他抓一个放一个，直到自己厌倦了为止，而厌倦的可能性每次抓球都是独立同分布的，这样就得到了一个几何分布：
为了防止混淆我们用u表示几何分布的参数，下一步代入贝叶斯公式：
期望就可以写为
求出这个结果并不难，分式上面的式子显然是个等比数列求和，结果为
下面的式子可以使用母函数，令
则
直接暴力二项式展开
两边同时积分
利用u = 1时f(u) = 0，得到
好歹是有限项的和，我们就不继续化简了……注意到分母上是
于是
它与u有关也是意料之中，我们来研究它和u的关系，考虑到几何分布的期望是1/u，我们画出E和1/u的关系：
1/u较小时：
可以看到贝叶斯修正是怎么工作的：
- 无论1/u多么小（哪怕接近于1），得到的估计也大于10（符合预期）
- 随着1/u的上升，n的估计值也上升，但上升得要比1/u慢
当 时， ，注意它跟我们前面的简单最小均方误差估计得到了同一个结果。实际上，前面的结果就可以看作是这里 的极限情况。
注意贝叶斯估计并不是唯一正确的估计方法，其实也没有什么所谓正确的估计方法，每种方法都有自己的优点和缺点。贝叶斯估计方法的好处在于比较灵活，坏处也在于比较灵活——因为很灵活，所以只要先验分布可靠，用很少的样本也可以得到准确的估计；反过来，如果先验分布取的不对头，就需要很多的样本才能纠正过来。
还有许多基于统计量的估计方法，就不再介绍了。
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