在没有能量损失的理想台球桌上任意击球，球是否最终必然进洞？
让我们详细地解释一下为什么：
理想台球桌的含义：
在物理学中，一个“理想台球桌”通常意味着以下几个重要的简化条件：
1. 完美平整的表面： 台球桌表面完全光滑、平坦，没有丝毫的凹凸不平。
2. 完美弹性碰撞： 球与球之间，以及球与桌边之间的碰撞都是完全弹性的。这意味着在碰撞过程中，动量守恒，但最重要的是，没有动能损失。碰撞前后，球的总动能保持不变。
3. 无空气阻力： 球在运动过程中不受空气摩擦力的影响。
4. 球体是完美的： 球是均匀密度、完全圆球形的，并且其质量集中在球心。
5. 摩擦力为零： 球与桌面之间没有滚动摩擦或滑动摩擦。
为什么在理想情况下“不一定”进洞？
尽管能量没有损失，但运动的球最终是否进洞取决于一系列极其精确的条件，这些条件在现实世界中是无法达到的，但在理论上，我们可以设想一些情况：
完美的非撞击路径： 你可以击打一个球，让它沿着一个非常精确的直线（或一系列精确的角度反射）运动，永远不会碰到任何一个球，也不会碰到任何一个桌边，从而永远在台球桌上运动，永远不进洞。这就像一个理论上可以无限循环的粒子在完美平坦的空间中运动。
偶然的完美平行运动： 即使你击打一个球，它也可能与某个球以完全平行的方式运动，并以相同的速度前进，或者以角度碰撞后仍然保持着不指向任何洞的路径。
无休止的反射： 球可能会与桌边发生完美的弹性碰撞，不断改变方向，但每次都“差一点点”错过洞口。在理想状态下，这些反射可以持续下去。
为什么它有“极大的概率”会进洞，并且“最终”会进洞？
这里的“最终”和“概率”是关键。
1. 混沌理论和敏感依赖性： 台球桌的运动，即使在理想情况下，也是一个典型的混沌系统。这意味着初始条件的微小变化（比如你击球的力度、角度、球杆与母球接触点的微小偏差）会导致球最终运动轨迹的巨大差异。
初始条件的高度敏感性： 在一个多边形（台球桌的边界）内部的运动，特别是经过多次反射后，其轨迹会变得极其复杂和不可预测。任何一点点的初始误差都会被放大。
遍历性（Ergodicity）： 许多混沌系统，包括在理想台球桌上的运动，在足够长的时间内会“遍历”其相空间（所有可能的运动状态）。这意味着，如果系统有足够多的自由度（比如多个球在桌面上），并且运动持续时间足够长，球有极大的概率会经过所有可能的区域，包括那些通向洞口的区域。
2. “洞”的特殊性： 洞口是台球桌上具有特殊属性的点。任何落在洞口的球都会停止运动（被移除）。
轨迹的汇聚： 尽管任何一个特定的初始条件可能不会导致进洞，但大量的、几乎无限多的可能的初始条件，都会以某种方式被引导向洞口。一个球在桌面上运动时，它的轨迹总会发生变化。如果它不进洞，它就会反弹。反弹的路径又可能再次反弹。在无限次的反射后，或者即使是有限次数的反射后，理论上存在“恰好”经过洞口的概率。
3. “最终”的含义： 在没有能量损失的情况下，球不会因为自身能量的耗尽而停止运动。所以“最终”停止运动只可能发生在：
球进入一个洞。
球与其他所有球碰撞并处于静止状态（但这在理想情况下也非常困难，因为碰撞是弹性的，只要有一个球有运动动量，它就可能传递给其他球）。
为什么“不一定”比“必然”更准确？
物理学中的“必然”意味着在任何可能的条件下都会发生。如前所述，我们可以设想一个无限在桌面上运动而不进洞的理想情况。
然而，从概率和实际可达性（尽管是理论上的可达性）来看，让一个球永远不进洞需要一个无限精确的初始条件来避免所有可能的洞口，并且在每次反弹时都“完美地”避开洞口。这种“完美避开”在理论上可能存在，但在概率上，它比“最终进洞”的可能性要小得多。
更形象的比喻：
想象一下你在一个完美的镜子房间里扔一个弹珠。如果你扔的角度和速度不是恰好瞄准某个出口，弹珠会永远在房间里弹来弹去，永远不会出来。然而，如果你扔弹珠的方式多得不可思议，几乎所有的“扔”都会在某个时刻让弹珠恰好在反弹时进入房间的某个开口（如果房间里有开口的话）。
结论：
在没有能量损失的理想台球桌上任意击球，球不必然最终进洞。存在理论上可以无限在桌面上运动的轨迹。
但是，如果考虑到所有可能的初始击球条件，由于台球桌运动的混沌性质以及洞口的特殊性，存在一个极高的概率，使得球在经过一系列反射后，最终会以某个“恰好”的角度进入一个洞。这个“最终”的发生，是由于无数种可能的轨迹中，有许多种会汇聚到洞口，而不是因为单个轨迹的必然性。
可以说，在无限的时间和无限的精度下，几乎所有的非平凡初始条件都会导致球在某个时刻进洞，但仍有零概率的路径可以永远运动下去。所以“不一定必然”是最准确的说法。
网友意见
如果给球撞击的那边加装一面镜子，桌面看起来就变成这样：
可以看成球穿过镜子走了直线，真球进洞，镜子里的球也进洞。
给四边都加上镜子，桌面看起来就是无限的平面上排满洞，球的其中一个像始终走直线：
不让球进任何洞就可以了。那一共有多少方向呢？
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１。如果把洞和球都看成「点」，那有多少洞就有多少进洞线路呗：
所以进洞的路线与整数的数目相同。
如果把洞的距离看成单位１，把球放在任一洞上，并把这洞当成坐标原点画个坐标，那所有进洞路线的斜率正好是全体分数（有理数）：
所以进洞的路线与有理数的数目相同，不进洞的路线与无理数的数目相同。
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下面不太好理解：
２。如果洞口有半径，而球还是点：
换个角度，把洞口排成高楼，球与每层虚线相撞时，都在地上留个影子。只要影子没在洞口里球就没进洞：
这就像是一个小人儿稳步走在有坑的路上，问：步子迈多大才能永远不掉坑里？
再简化：如果把路卷成一个圆，让所有洞口的位置重合（圆周长为１），变成一个洞口，圆周上踩出的脚印会有多密？
想一想会发现：只要步长是有理数，当小人走过足够多步之后，脚印就会重合，之后就不再变密。因为有理数可以写成分数（和都是整数）的形式，所以只要走步，就正好走了圈，踩到自己第一个脚印。所以圆周上的脚印最多也不会超过个。
对应台球的问题就是：如果以有理数斜率击球，球在有限次撞边后轨迹一定会重合，第一次重合前如果没进洞，以后就没有机会进洞了。
那如果步长是无理数呢？那无论小人走多少步，也踩不到第一个脚印，同理踩不到任何一个脚印，脚印越来越密，就相当于用越来越小的步子来走：
步子小到比坑还小时，坑就迈不过去了。所以斜率是无理数时，球就会进洞。但要注意，这里的「有理数」「无理数」其实是球桌长宽比值的「有理数倍」、「无理数倍」。
知友提供的 凹多边形照明问题视频： https://youtu.be/xhj5er1k6GQ
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