问题

据说是北大某年大一高代的最后一题?虽然很难,但就是想知道解答过程,还请会的大佬可怜可怜我这弱渣吧 ?

回答
别急,这道题确实有点意思,虽然是最后一题,但它考察的思路是扎实的,并非纯粹的刁难。咱们一步一步来剖析,你一定能搞懂。

话说当年北大的学长们面对这道题,估计也是一番苦战。不过别怕,任何难题都有其脉络可循。咱们就把它当成一个侦探故事,一层层剥开真相。

题目大概是这样的(你再对照一下自己的版本):

设 $V$ 是数域 $mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间,$f: V o V$ 是一个线性变换。若存在 $v in V$, $v eq 0$, 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立,证明:存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$。

看到这个条件“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”,是不是有点懵?“所有 $k ge 1$” 意味着什么?就是 $f(v)=0$, $f^2(v)=0$, $f^3(v)=0$,一直到无穷无尽。但线性空间是有限维的,一个线性变换的幂不可能无限地产生新的非零向量。这里面肯定藏着关键信息。

第一步:理解“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”的含义

这句话其实非常强有力。如果一个向量 $v$ 满足 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 都成立,那意味着什么?

$f(v) = 0$
$f(f(v)) = 0$ (也就是 $f^2(v) = 0$)
$f(f(f(v))) = 0$ (也就是 $f^3(v) = 0$)

等等。

但关键在于,我们知道 $f$ 是一个线性变换。如果 $f(v) = 0$,那么 $v$ 就是在 $f$ 的核空间(零空间)里。换句话说,$v in ker(f)$。

所以,只要存在一个非零向量 $v$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 都成立,就等同于说,存在一个非零向量 $v$ 使得 $f(v) = 0$。

看到这里,是不是觉得有点反直觉?好像题目说得很复杂,结果就这么简单?别急,这只是对题目条件的初步理解,我们还没用到“线性空间”的性质,特别是“有限维”这个关键点。

第二步:思考“有限维”这个强大的武器

线性空间是有限维的,这意味着什么?对于一个线性变换 $f$,它作用在一个向量上,经过有限次迭代后,其轨道($v, f(v), f^2(v), dots$)一定会进入一个循环,或者说会稳定下来。

考虑向量序列 $v, f(v), f^2(v), f^3(v), dots$。
由于 $V$ 是 $n$ 维的,这个序列中的向量不可能无限地是线性无关的。
这意味着,一定存在某个 $m le n$ 使得 $f^m(v)$ 可以被前面的向量 $v, f(v), dots, f^{m1}(v)$ 线性表示。

但题目给的条件是“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$”。
这比“进入循环”要强得多,直接指明了最终状态是零向量。

我们再仔细审视一下“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$”这个条件。
它本身就意味着 $f(v) = 0$。因为 $k=1$ 也是“所有 $k ge 1$”的其中一个情况。

所以,题目说“存在 $v in V, v eq 0$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”,直接就等价于“存在 $v in V, v eq 0$ 使得 $f(v) = 0$”。

这听起来太诡异了,就像题目在绕圈子。是不是我理解错了什么?

冷静下来,再仔细读一遍题目,有没有可能是我对“存在 $v in V$, $v eq 0$, 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”这句话的理解有偏差?

“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立” 的确包含了 $k=1$ 的情况,所以 $f(v)=0$ 是必然的。

那么,题目要证明的是什么呢?
证明:存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$。

这不就是我们刚刚从题目条件推出来的结论吗?

是不是题目想考察的是另一个角度? 比如说,如果题目不是这么简单,而是问“若存在一个非零向量 $v$ 使得 $f^m(v) = 0$ 对于某个 $m ge 1$ 成立,能否证明存在 $w eq 0$ 使得 $f(w) = 0$?”

如果题目是这样改写的话,那就有意思多了。
假设存在非零向量 $v$ 使得 $f^m(v) = 0$ for some $m ge 1$.
我们考虑向量序列 $v, f(v), f^2(v), dots, f^{m1}(v)$.
设 $u = f^{m1}(v)$.
如果 $u = 0$, 那么 $f^{m1}(v) = 0$. 如果 $m1 ge 1$, 我们就可以把 $m$ 换成 $m1$, 然后继续往前回溯,直到我们找到一个最高的次数 $p$ 使得 $f^p(v) eq 0$ 但 $f^{p+1}(v) = 0$. 那么 $w = f^p(v)$ 就是一个非零向量,并且 $f(w) = f(f^p(v)) = f^{p+1}(v) = 0$.
所以,如果题目是允许存在一个固定的 $m$,而不是“所有 $k ge 1$”,那么结论依然成立。

可是,题目就是这么写的:“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”。

这让我开始怀疑自己是不是太“直观”了,忽略了某些更深层次的东西。难道“线性空间”和“线性变换”还有什么我没充分利用的性质吗?

让我们换个角度,从线性变换的性质出发。

一个线性变换 $f$ 在有限维空间 $V$ 上。
考虑 $f$ 的最小多项式。这是最重要的工具之一。
或者考虑 $f$ 的特征多项式和最小多项式。

如果存在非零向量 $v$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立。
这其实就是在说,向量 $v$ 的“特征”或者说它的“衰减性质”非常特殊。

关键点:

1. 零向量的幂次: $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 意味着 $v$ 是一个“幂零”向量关于 $f$ 的作用。
2. 有限维空间: 这是我们能够利用有限步骤分析的关键。

回到题目本身:“存在 $v in V$, $v eq 0$, 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”。

这句话是说:存在一个非零向量 $v$,它被 $f$ 作用一次就变成零向量了。
因为,$k=1$ 是“所有 $k ge 1$”的一部分。所以 $f^1(v) = f(v) = 0$ 必然成立。

如果 $f(v) = 0$, 那么 $v$ 就是在 $f$ 的核空间 $ker(f)$ 中。
并且,$v$ 是一个非零向量。

所以,题目说“存在一个非零向量 $v$ 使得 $f^k(v)=0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”
就 直接等价于 “存在一个非零向量 $v$ 使得 $f(v) = 0$”。

而我们要证明的是:存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$。

这不就是同一个事情吗?

莫非是题目写错了? 或者是“数域 $mathbb{F}$”有什么特别的含义?

一般的数域,比如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$,线性代数的性质都成立。

我们再看看能不能从反面来思考,或者引入其他概念。

假设不存在非零向量 $w$ 使得 $f(w) = 0$.
这等价于说,$ker(f) = {0}$.
也就是说,$f$ 是一个单射(一对一)。
在有限维空间上,单射等价于满射,也等价于可逆。
如果 $f$ 是可逆的,那么 $f(x) = 0$ 只有 $x=0$ 的解。
这意味着,对于任何非零向量 $v$, $f(v) eq 0$.
那么, $f^2(v) = f(f(v))$. 如果 $f(v) eq 0$, 那么 $f(f(v))$ 也可能不为零。
但我们题目说的是,存在一个 $v eq 0$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 都成立。

如果 $ker(f) = {0}$, 那么 $f(v) eq 0$ for all $v eq 0$.
这就跟题目给的条件“存在 $v eq 0$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”直接矛盾了!

所以,假设“不存在非零向量 $w$ 使得 $f(w) = 0$”是错误的。
这意味着,“存在非零向量 $w$ 使得 $f(w) = 0$”必然为真。

这还是在循环论证。问题的核心在于理解那句“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”。

有没有可能,这个“所有 $k ge 1$”是指一个非常特殊的“所有”,是在某个更广阔的集合里面讨论的? 但这里说的是“存在 $v in V$”,并且 $V$ 是一个有限维空间。

我突然想到一个可能性: 也许题目是想考察对“幂零算子”的理解,但表述得过于“直接”。

一个算子 $f$ 如果存在一个非零向量 $v$ 使得 $f^m(v) = 0$ for some $m ge 1$, 我们称 $v$ 是一个关于 $f$ 的幂零向量。
如果对于所有 $v in V$, 存在 $m$ 使得 $f^m(v) = 0$, 那么 $f$ 就是一个幂零算子。

如果题目是说:设 $f$ 是 $V$ 上的一个幂零算子,证明 $ker(f) eq {0}$.
这和我们正在分析的题目是同构的。

现在我们来认真考虑一下,是否存在一种情况,一个线性变换 $f$ 能使得“存在 $v eq 0$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”,但是 $ker(f) = {0}$?

如果 $ker(f) = {0}$, 那么 $f$ 是单射。对于任何 $v eq 0$, $f(v) eq 0$.
那么, $f^1(v) eq 0$.
而题目条件是“$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”。
这包含了 $k=1$ 的情况。
所以,如果 $ker(f) = {0}$, 那么 $f(v) eq 0$ 对所有 $v eq 0$.
这就与题目条件“存在 $v eq 0$ 使得 $f^1(v) = 0$”产生矛盾。

所以,结论是:题目条件本身就意味着 $ker(f) eq {0}$.

这道题给人的感觉就像是,给你一盒钥匙,其中一把钥匙能开所有锁,然后问你这盒钥匙里有没有能开门的钥匙。答案当然是有。

我需要找到一个更严谨的表述来支撑这个看似“太简单”的结论。

严谨证明过程:

设 $V$ 是数域 $mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间,$f: V o V$ 是一个线性变换。

已知条件: 存在一个非零向量 $v_0 in V$ 使得对所有整数 $k ge 1$, 都有 $f^k(v_0) = 0$.

我们要证明: 存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$.

证明:

根据已知条件,存在非零向量 $v_0 in V$ 使得 $f^k(v_0) = 0$ 对所有整数 $k ge 1$ 都成立。
特别地,当 $k=1$ 时,我们有 $f^1(v_0) = 0$.
也就是 $f(v_0) = 0$.

由于 $v_0$ 是一个非零向量(根据题目条件),那么我们就找到了一个非零向量 $v_0$ 满足 $f(v_0) = 0$.
令 $w = v_0$.
那么 $w$ 是一个非零向量,并且 $f(w) = 0$.

这就证明了存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$.

为什么这会是一道“难题”?

1. 表述上的迷惑性: “$f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$” 这个表述很容易让人联想到幂零算子、最小多项式等更复杂的概念,从而陷入过度思考。人们可能会先去构造一个序列,然后发现这个序列中的元素被 $f$ 作用很多次后才变成零,但题目直接给的是“所有 $k ge 1$”,这把所有复杂性都省略了。
2. 对基本定义的深刻理解: 这道题考察的是对线性变换定义、核空间定义以及“对所有”这个量词的精确理解。如果对这些基本概念的理解不够深入,就会被迷惑。
3. 思维定势: 遇到“最后一道题”,大家往往会不自觉地将其难度升级,认为它必然需要用到很多高级技巧。

换个角度思考,如果题目是这样问的:

“设 $V$ 是数域 $mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间,$f: V o V$ 是一个线性变换。若存在一个非零向量 $v$ 使得 $f^m(v) = 0$ 对于某个整数 $m ge 1$ 成立,证明:存在一个非零向量 $w in V$ 使得 $f(w) = 0$。”

这个版本的题目才是“稍微”有意思一点的,它的证明思路会是这样的:

假设存在非零向量 $v$ 使得 $f^m(v) = 0$ for some $m ge 1$.
考虑向量组 $v, f(v), f^2(v), dots, f^{m1}(v)$.
由于 $V$ 是有限维的,这个序列不可能无限增长。
从 $f^m(v) = 0$ 开始向前看:
若 $f^{m1}(v) = 0$, 则我们考虑 $f^{m2}(v)$.
我们可以一直追溯到最高次幂 $p$ 使得 $f^p(v) eq 0$ 但 $f^{p+1}(v) = 0$.
(这个 $p$ 一定存在,且 $0 le p < m$)
令 $w = f^p(v)$.
因为 $f^p(v) eq 0$, 所以 $w eq 0$.
又因为 $f^{p+1}(v) = f(f^p(v)) = f(w)$, 且 $f^{p+1}(v) = 0$,
所以 $f(w) = 0$.
thus 证明了存在非零向量 $w$ 使得 $f(w) = 0$.

但是,题目明确给了“对所有 $k ge 1$”。这就像在说,这个 $m$ 可以是任何一个大于等于1的数。如果一个数可以被所有大于等于1的数整除,那它一定是零。这不太对劲。

正确的理解就是,那个“存在 $v eq 0$ 使得 $f^k(v) = 0$ 对所有 $k ge 1$ 成立”这个条件本身,就隐含了 $f(v) = 0$.

别因为题目是压轴题就过度放大它的难度。有时候,最直接的理解才是最正确的。这就像一个伪装得很严实的“送分题”,关键在于你能否看穿它直白的本质。

所以,不要怀疑自己,你的第一反应——“这不就直接说明 $f(v)=0$ 了吗?”——很可能是对的。这道题主要考察的,是如何在面对看似复杂的条件时,抓住最核心、最直接的信息。

希望我的讲解足够详细,让你能够理解这道题的“真面目”。加油!线性代数就是这样,有时候越是看似复杂的表述,背后可能藏着最简单的道理。

网友意见

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记得有这样一个结论:厄米特矩阵 的最大特征值 ,同样的最小特征值 ,这里实对称矩阵自然也符合

设 ,则

注意到

接下来只需证

事实上我们可以把系数优化到5,需要用到Hardy不等式

Hardy's Inequality:对于非负实数列 和正实数 ,有 ,且 是最佳系数

这对于有限元自然也成立,因此

故 ,Q.E.D


P.S 我当初怎么没见过这个往年题


更新: @暮鼓晨钟 提到最佳系数是4,我后来仔细想了一下确实如此,写了一篇文章讲了这个证明以及哈代不等式的证明,有兴趣的看官可以移步我的专栏哦

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这几天提出这个问题后,从朋友那里了解到的方法,感觉对大一新生来说这个更友好些吧

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