如何直观地理解群论？
想象一下，我们要做一件事情，就是变换。什么叫变换？最直观的就是你手中的这支笔。你可以：
转动它： 比如绕着笔的中心线转一圈，笔看起来和原来一模一样。再转半圈，好像也不太一样了。
翻转它： 比如沿着某个轴翻转过来。
平移它： 把笔从桌子这头挪到那头。
这些都是“变换”。群论呢，就是研究这些“变换”的规律。但不是所有的变换都算数，群论关注的是有特定规则的变换集合。
为了让它“听话”，我们给这些变换加上一些规矩。这就像给一群小朋友定下游戏规则一样，大家遵守规则，游戏才能好好进行。这几条规矩，就是构成一个“群”的要素：
第一条规矩：闭合律 (Closure)
这就像你和朋友玩捉迷藏。你们约好，不管谁捉迷藏结束，最后都必须回到集合点集合。
在群论里，这意味着：如果你有两个“变换”，比如“先顺时针转90度”，和“再逆时针转180度”，那么把这两个变换连续做下来，得出的那个新的变换，也必须是你这个集合里的一个变换。
举个例子：你有一个正方形。你可以做的事情是：
不动的变换（我们称之为“恒等变换”或“单位元”，就像原地不动）
顺时针转90度
顺时针转180度
顺时针转270度
现在，我们把“顺时针转90度”和“顺时针转180度”连续做下来。首先转90度，然后在这基础上再转180度，结果就是顺时针转270度。你看，这个“连续变换”的结果（顺时针转270度），恰好也是我们这个集合里的一员！这就叫闭合律。无论你从集合里拿出哪两个变换，把它们组合起来，得到的那个新变换，永远还在这个集合里，不会跑出去。
第二条规矩：结合律 (Associativity)
这个就有点像小朋友们玩积木。你把三块积木搭起来，你可以先搭第一块和第二块，再把第三块放上去；也可以先搭第二块和第三块，再把第一块放上去。最终搭好的三块积木的形态，应该是完全一样的，对吧？
在群论里，我们说变换的组合也满足结合律。假设你有三个变换：A、B、C。那么：
先做变换A，然后做变换B，再做变换C （可以看作是 (A B) C，这里的 代表“组合”的意思）
先做变换A，然后做变换B和C的组合 （可以看作是 A (B C)）
这两种做法，最终得到的结果必须是同一个变换。
还是以正方形为例：
A = 顺时针转90度
B = 顺时针转180度
C = 恒等变换（不动）
我们算 (A B) C：
先算 A B：转90度再转180度，等于转270度。
再算 (A B) C：转270度再不动，还是转270度。
我们算 A (B C)：
先算 B C：转180度再不动，还是转180度。
再算 A (B C)：转90度再转180度，等于转270度。
你看，结果一样！这就是结合律。它确保了我们组合变换的顺序可以灵活调整，最终结果是确定的。
第三条规矩：单位元 (Identity Element)
这就是那个“原地不动”的变换。它就像你什么都没做一样，对任何变换都没有影响。
在群里，总得有一个“什么都没做”的那个东西。你把任何一个变换，和这个“什么都没做”的变换组合起来，结果都得是原来的那个变换。
还是正方形的例子：
恒等变换（不动）就是那个单位元。
你对正方形“顺时针转90度”，然后再“不动”，结果还是“顺时针转90度”。
你“不动”再“顺时针转90度”，结果还是“顺时针转90度”。
这个“不动”的变换，就是我们通常说的单位元。它很特殊，就像一个“中立角色”，加进来也没什么变化。
第四条规矩：逆元 (Inverse Element)
这个规矩就很有意思了。你想啊，你做了一个“变换”，比如你把正方形顺时针转了90度。那有没有一个变换，能把正方形恢复到原来的样子呢？
当然有！就是“逆时针转90度”。
在群里，对于集合里的每一个变换，都必须存在另一个变换，当它们组合起来时，就变成了那个“什么都没做”的单位元（恒等变换）。
对于正方形的例子：
顺时针转90度的逆元是逆时针转90度（或者说顺时针转270度）。
顺时针转180度的逆元是顺时针转180度（自己就是自己的逆元）。
顺时针转270度的逆元是顺时针转90度。
恒等变换（不动）的逆元是它自己（不动）。
你看，对于我们定义的这个集合里的所有变换，每一个都有一个“反向操作”，能抵消掉它，回到初始状态。这就叫逆元。
总结一下，一个群就是一个集合，加上一个组合（通常是运算）规则，满足这四条规矩：
1. 闭合律： 集合里的任意两个元素组合，结果还在集合里。
2. 结合律： 组合的顺序可以改变，结果不变。
3. 单位元： 存在一个特殊的元素，与任何元素组合都不改变该元素。
4. 逆元： 集合里的每个元素都有一个对应的“反元素”，组合后得到单位元。
为什么要研究这些“变换”的规律呢？
因为它太有用了！你想想，我们生活中的很多现象，都可以看作是某种“变换”。
对称性： 像我们上面讲的正方形，它的所有对称变换（旋转、翻转）就构成了一个群。研究这个群的结构，就能理解正方形的对称性有多“丰富”。很多晶体、分子、图案的美，都隐藏在它们的对称群里。
数学中的运算： 加法和乘法，你也可以看作是“变换”。
整数的加法： 集合是所有的整数（...2, 1, 0, 1, 2...）。运算是加法。
闭合律：两个整数相加，还是整数。
结合律：(a+b)+c = a+(b+c) （加法满足结合律）
单位元：0。任何整数加上0，还是它本身。
逆元：每个整数a都有它的逆元a，因为a + (a) = 0。
所以，整数的加法构成了一个群。
非零实数的乘法： 集合是非零实数。运算是乘法。
闭合律：两个非零实数相乘，结果还是非零实数。
结合律：(ab)c = a(bc)
单位元：1。任何非零实数乘以1，还是它本身。
逆元：每个非零实数a都有它的逆元1/a，因为a (1/a) = 1。
所以，非零实数的乘法也构成了一个群。
密码学： 现代的很多加密算法，背后都运用了群论的原理。通过在特定的群里进行运算，可以实现信息的安全传输。
物理学： 在粒子物理、量子力学中，对称性和群论是描述基本粒子性质和相互作用的核心工具。粒子“家族”的划分，往往也和它们的对称群有关。
计算机科学： 编码、数据结构、算法优化等，都能找到群论的影子。
更直观一点的比喻：
你可以把群想象成一个百宝箱，里面装着很多工具（变换）。这些工具都有特殊的“使用说明”和“配合方式”。
组合工具： 你可以把两个工具“叠起来用”（组合），就像玩游戏一样，从一个状态变到另一个状态。
百变不离其宗： 无论你怎么用，最终操作出来的结果，还是那个百宝箱里的某一个工具能完成的动作，不会出现“画风突变”的新动作。
万能钥匙： 百宝箱里总有一把“万能钥匙”（单位元），它单独使用时什么都不会发生，但和任何工具配合，都不会改变工具本身的功能。
“拆解”工具： 对于每一个工具，你总能找到另一个工具，能把它之前做的操作“还原”回去，就像给它一个“反向操作”。
群论的强大之处在于，它用一套非常抽象但又非常简洁的规则，描述了各种各样“变换”的共同本质。一旦你掌握了这些规则，你就能用一种统一的视角去理解从数学到物理，再到信息科学等众多领域中的许多现象。
所以，下次你看到一个正方形被旋转，或者看到两个人轮流抛硬币，甚至是看到一个复杂的算法，都可以试着去想想：这里面有没有什么“变换”？它们有没有遵循那几条“群的规矩”？也许，你就能瞥见群论那份隐藏在日常之下的优雅与力量了。
网友意见
最近正好学习群论有些微小的心得，对一些基础的定义和抽象概念有了一些直观理解：
群的定义、子群、陪集、正规子群、商群、直积群、同构、同态等……
虽然这些理解只涉及了群论的很小一部分，也没办法回答这些概念如何被引入，但我相信，通过构造一些几何意义比较明显的例子来说明，对于理解它们还是有些帮助的。
注：本回答内容都是一些粗浅而不严谨的个人体会和类比，各位大神若路过还请多多指正。
0) 构造三个例子
我们在这里给出三个群来作为例子，后面将通过它们之间的一些关系来理解前面提到的那些抽象概念。
群 ：复平面上的旋转变换，我们用单位复指数来表示(也就是 群 )
于是群元记为：
代表着将复平面上的向量旋转 角度
群乘法自然就是复数乘法：
群 ：正实数的乘法群，可以理解为不变号(不改变正反方向 )的伸缩变换。
群元直接记为实数 ，即：
( )
代表着将复平面上的向量变为原来的 倍
群乘法为普通乘法：
( )
群 ：既有伸缩(不变号)又有旋转的变换。
群元可以表示成除原点外的任意复数：
( )
代表着将复平面上的向量伸缩 倍、同时旋转 角
群乘法为复数乘法：
( )
(可以证明它们各自构成一个群 )
下面就用这三个例子以及它们之间的关系，来分别理解本文开头提到的一些定义和概念。
1) 群定义的几何直观
群定义即著名的“封结妖逆”四字诀，我们来对它们一一进行直观理解。
- 封闭性：两个群元相乘后仍然是群元
直观理解：
我们可以认为一个群代表了“某一类”变换，这些变换的叠加(群乘法 )也属于“同一类”。
比如例子中的群 中，某个群元 代表将复平面上的向量旋转 角度，群元 代表将复平面上的向量旋转 角度，而它们的乘法 也是复平面上的旋转变换(旋转 角度 )，因此
- 结合律：
直观理解：
结合律可以理解为连续操作的唯一性，还是以群 为例：
将向量先旋转 角度再旋转 角度，等同于将向量先旋转 角度再旋转 角度，结果都是将向量旋转了 角度，即：
这个条件看起来理所当然，但为了感受它对于群定义有多么必要，我们可以构造一个反例：剪刀石头布
(这个反例来自于知乎的另一个回答，但是我忘了收藏找不到了，如果原作者看到了请前来认领…… )
如果以 {剪刀, 石头, 布} 构成一个集合，并且按照胜负规则定义所谓的乘法：
剪刀·石头=石头·剪刀=石头；
石头·布=布·石头=布；
布·剪刀=剪刀·布=剪刀
那么我们可以验证这个“乘法”不满足结合律，比如：
石头·(布·剪刀)=石头·剪刀=石头，而：(石头·布)·剪刀=布·剪刀=剪刀
这样的乘法本身就是“畸形”的，因为它无法定义唯一的“连续操作”。
- 幺元存在性： ，使得
直观理解：
幺元很好理解，就是“什么都不做”的变换。还是以群 为例：
先什么都不做(将向量旋转零度 )，然后再将一个向量旋转 角，最终结果也就是将向量旋转了 角，即： ，其中 ，就是群 中的幺元。
幺元存在性就意味着允许群元“什么都不做”，否则构不成群。
- 逆元存在性： ，使得
直观理解：
逆元也很好理解，就是“做了又反悔”的变换。还是以群 为例：
先将一个向量旋转 角，再将它旋转 角，最终结果向量还在原地，等于什么也没做，即： ，其中群元 就是 的逆元。
逆元存在性意味着允许群元“悔棋”，否则构不成群，只能构成半群，因为每个群元都找不到自己的另一半。
2) 陪集的几何直观
先来看群 和
显然， 是 的一个子群，对应着 中的群参数 的特殊情形。
另一方面，如果我们取伸缩系数 的群元 ，就可以得到 的一个左陪集：
而由于 和 的取值范围都是整个实数域，因此上面这个集合其实等价于：
直观理解：
它的几何意义，是将复平面上的单位向量变换到半径为 的圆上的任一点的所有变换的集合，我们不妨就将它视为半径为 的圆本身。
如下图中的红色圆：
如果 ，则此时 就是单位圆。
同理，我们可以找出一个右陪集：
由于伸缩变换和旋转变换具有可交换性，因此 和 是相等的，也就具有相同的几何意义。
另一方面，我们可以看出， 也是 的一个子群，对应着 中的群参数 的特殊情形。
这样，我们也可以同样构造 的左陪集和右陪集：
直观理解：
它的几何意义，是将实轴上的向量变成倾角为 的射线上的任一点的所有变换的集合，我们也不妨直接将它视为倾角为 的射线本身。
如下图中的红色射线：
如果 ，则此时 就是与正实轴重合的射线。
3) 正规子群的几何直观
群论里说，如果 的子群 满足：
则称 是 的正规子群，又称不变子群。
在本文给出的例子中，显然 和 都是 的正规子群。
直观理解：
这个例子的几何意义相对来说比较无聊：
1) 经过共轭变换后仍然是它自身，也就是单位圆先后经过一次 倍和一次 倍的缩放后，还是单位圆；
2) 经过共轭变换后仍然是它自身，也就是正实轴上的射线先后经过一次 角和 的旋转后，又回到了正实轴上。
4) 商群的几何直观
根据商群的定义，如果 是 的正规子群，那么相对于 的商群 定义为：
这是我学习群论时曾经感到最困惑的概念之一，所幸当我构造出本文这个例子时，发现可以从中窥视商群的一些几何意义。
从定义我们可以看出，商群 并不是 的子群，而是正规子群 的一堆陪集 (而不是 中的群元 )重新组成的集合，但这些陪集之间同样也存在着群结构。
回到我们的例子， 是 的一个正规子群，相应的商群就是：
那么这个商群的几何意义是什么呢？
直观理解：
根据前面讨论的左陪集 的几何意义，我们不妨做这样的类比：
商群 在几何上就对应着复平面上所有同心圆之间的旋转加伸缩变换的集合，但由于圆在旋转变换下不变( )，因此实际作用下来只造成伸缩变换(于是每两个同心圆之间的伸缩变换就对应着 的一个群元及其逆元 )，即：
群乘法就是两次伸缩变换的叠加，即：
另一方面， 也是 的一个正规子群，相应的商群就是：
直观理解：
根据前面讨论的左陪集 的几何意义，我们也可以做出这样的类比：
商群 在几何上就对应着复平面上所有从原点出发的射线(不包含原点 )之间的旋转加伸缩变换的集合，但由于射线在伸缩变换下不变( )，因此实际作用下来只造成旋转变换(每两条射线之间的旋转变换就对应着 的一个群元及其逆元 )，即：
群乘法就是两次旋转变换的叠加，即：
5) 直积的几何直观
根据群直积的定义：
我们可以发现，群 正好就是群 的直积：
而联想到前面讨论的群 和群 各自的几何意义，它们的直积群 的几何意义也就很明显了：
直观理解：
根据前面的类比，群 是旋转变换、几何上对应着单位圆，群 是伸缩变换，几何上对应着与正实轴重合的射线，于是两者的直积就可以从两个视角去理解：
1) 将单位圆进行伸缩，覆盖整个除原点外的复平面(后文简称“空心复平面” )；
2) 将正实轴的射线进行旋转，也覆盖整个空心复平面。
无论哪种，最终得到的都是整个空心复平面，这正好也就是群 覆盖的区域，所以我们不妨将这个直积理解为“一条线扫完整个复平面”的过程。
另外，我们注意到，积和商是一对互逆的运算，因此直观上我们难免会产生这样的联想：
是否也可以看成 “除以” 后得到的“商”？(反之亦然 )
但我们前面已经定义了商群，而商群是陪集的集合构成的群，并不是 的子群，所以这似乎和直觉矛盾了。
不过没关系，马上我们会看到， 和商群 其实是同构的(毕竟它们的几何意义都是伸缩变换 )，并且，几何上商群 可以理解为空心复平面 “除以”同心圆后剩下的“伸缩”的动作，这和空心复平面 “除以”同心圆 后得到的那条射线 的确是可以对应的。
6) 同态与同构的几何直观
我们先来说同态。
如果用一句话简单概括同态，就是：
同态映射就像是茶壶配茶杯的关系。——辜鸿铭
我们把这句话再说得更具体一点，并且加上群结构，就可以凑出同态的定义来：
假设有 个茶壶和 个茶杯，且满足：
- 所有茶壶构成一个群，记作 ，所有茶杯构成另一个群，记作 ；
- 一把茶壶固定搭配 个茶杯，即存在映射 ： ；
- 映射 是满射，即所有茶杯都有茶壶，所有茶壶都有茶杯，没有单身狗，真爱满人间；
- 映射 保留了各自的群乘法结构，即：
那么群 和群 之间的映射就是同态映射。
另外，如果茶杯 是茶杯群中的幺元，那么它对应的茶壶的集合 可以构成茶壶群的一个子群(证明略 )，这个子群被称为同态映射核，记作
上面说的例子是离散的，现在我们回到本文开头给出的连续群的例子。
很明显，群 (茶杯 )到群 (茶壶 )之间就存在一个同态映射：
且保留了群乘法：
而这个同态映射的核显然就是 中 的变换的集合(这映射到 中就是幺元 )，即：
结果我们发现，这个同态核居然就是伸缩群 。
接下来说说这个同态核的几何意义。
直观理解：
我们发现，群 到群 的同态映射 其实等于是将空心复平面上的点全部投影到了单位圆上，这样， 中的长度伸缩的信息就被舍弃了；
而这个同态映射的核 的几何意义也就很明显了：它就代表同态映射中丢失的长度伸缩信息。
所以在我们的例子中，同态映射其实相当于一次降维操作，被压缩的那个“维度”，就是同态映射的核。
另一方面，我们在 到群 之间也可以构造一个同态映射，此时是旋转的信息被抹去，空心复平面上的点全部降维到正实轴的射线上，而同态核就是降维时丢失的旋转信息
这其中的微妙关系实在值得玩味……
接下来我们来说同构。
理解了同态之后，同构映射理解起来就简单多了，只要把同态的一对多变成一对一，同态映射就变成了同构映射。
同态是一夫多妻的旧社会，同构是一夫一妻的新社会。
在我们的例子中，群 和群 之间其实就可以构造一个映射：
这个映射的逆映射也是唯一的：
它们显然也是满射(各自覆盖了群参数的定义域 )，并且保留了群乘法：
所以这就是一个同构映射。
不过这个映射并不是我们想讨论的重点，接下来我们要来讨论一个更有意思的同构映射，就是前面提到的商群 与子群 之间的同构。
这个同构映射其实十分显然：
( )
(注意：映射的左边虽然有无穷多个 ，但由于 ，这意味着不同 对应的陪集、也就是商群的群元其实只有一个，即 ，因此这个映射是一对一的同构而不是多对一的同态 )
直观理解：
商群 与子群 之间的同构关系意味着，单位圆的缩放可以“降维”成正实轴上的向量的缩放，两种缩放本质上是可以等同的，仅仅是它们的作用对象不同而已。
另一方面，在 和 之间，我们也能建立这样的同构关系，它意味着射线之间的旋转关系和单位圆上点之间的旋转关系是一一对应的。
这样，我们也就将商群和直积群之间的关系联系起来了。
而这种同构关系其实也可以看成著名的群同态基本定理的一个案例：
若 是一个群同态，记 ，则
( 表示同构关系 )
数形结合如此完美。
本回答改编自学习笔记：
(笔记内容与本回答高度重合，不用重复观看 )
很多人提到对称，其实是不对的。
群的特征是变换，任何封闭的变换操作集都可以用群表示。物理里用它来表示对称，是因为对称操作总是某种变换操作，而且肯定是封闭的，所以必然成群。
但是即使不是对称操作，也可以是群。一个旋转对称明显破缺的理论，同样可以讨论旋转群的作用。
群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。
但是！我很不爽，这种感觉好比有人叫你去砍人，你也不问问为什么，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，这种行为我们一般把它成为脑残，你的身份就是别人的小弟。
我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以。
下面就讲一下我对群论的一些思考。
1 集合
讲群论先从集合讲起，集合简单来说就是把一堆东西放在一起（暂时就别提罗素悖论了）：
可是这用处不大啊，东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊：
东西我们把它称之为对象，对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。
自然数 是一个集合，我们从自然数 这个集合出发，通过运算可以创造越来越大的集合( 、 、 、 、 分别是自然数、整数、有理数、实数、复数)：
运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。
其中有种特殊的集合+运算就是群。
2 群
简单来说，群的作用是描述对称。
2.1 什么叫对称？
我们来看看：
-
正方形对称吗?
-
物理定律对称吗？
-
多项式的根对称吗？
上面的问题的答案都是：对称！
对称就是：“某种操作下的不变性”，关键字是两个：“操作”和“不变性”，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。
2.1.1 正方形是否对称？
先看看正方形，其实它对称是蛮明显的，符合我们日常的语义，可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下：
围绕中心点旋转这个操作，正方形所具有的不变性就是对称。
我们换一种操作，正方形也可以对称：
围绕中垂线这个操作，正方形也具有不变性，也是一种对称。但是因为操作变了，所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称，之后我会再说到这个问题。
假如刚才的正方形只是桌子的桌面，继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了：
2.1.2 物理定律是否对称？
这个听起来就有点奇怪了，但是从不变性的角度出发，相对于时间流逝这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对空间对称：
这听起来蛮哲学的，不是说数学学到后面都是哲学吗？
物理我属于民科水平，大家可以参看 对称性----维基百科 。
2.1.3 多项式的根是否对称？
说明下，多项式方程指的是形如 这样的方程。
群论就是从解多项式的根开始发展起来的，所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。
首先要从简单的一元二次方程说起：
从上图中来看，相对于 运算，多项式的根互换之后结果不变，针对这个运算它们是对称的。对于 运算就没有对称性。
这个对称性有什么用？根据 韦达定理 ，一元二次方程 ，其中 ，系数是已知的，实际上我可以联立这样的二元方程组求得方程的根。
所以顺便说一下，群论的发展过程是这样的：
关于伽罗瓦与一元五次方程的问题，与群紧密相关，但是又涉及到更多别的知识，本文就不继续推下去了。
2.2 对称如何用数学表示？
让我们从正方形开始解读如何来表示对称.
之前说过，对称最重要的是在“某种操作下的不变性”，所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转，总共有4种对称操作：
或许你觉得应该不止4种操作，比如转两圈，这可以等价于“保持不动”，而转45°，这会导致不对称（因为你会明显发现变化）。
起始点是完全不用关心的：
甚至是不是正方形也不重要：
是的，群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作，只需要把操作放到集合里。
要放进去我们必须要把操作给数学化，也就是符号化，我们起码有两种符号化的选择，类比于加法或者乘法：
稍微解释一下，什么叫做类比于加法？比如我们通过类比于加法得到 ，“保持不变”映射为了0，“旋转90°”映射为了 ，而两个操作的依次进行映射为加法。所以“保持不变” + “旋转90°” ＝ ＝ “旋转90°”，是合理。而“旋转90°” + “旋转90°” ＝ ＝ “旋转180°”，也是合理的。注意，运算不需要符合交换律。
还要说明的一点是，这里的加法和乘法是模加法、模乘法，类似于钟表，按照12小时制算， ， 。
这样我们就得到了两个群，一个是 ，一个是 。但是我们明明知道它们应该是一样的啊，只是符号不一样，运算不一样，所以我们可以称之为同构，就是结构相同的意思。
这里先用到群的解析式了，下面就要解释一下。
2.3 群的定义
先祭出大杀器，群的标准定义：
群是一个集合 ，连同一个运算" "，它结合任何两个元素 和 而形成另一个元素，记为 。符号" "是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 必须满足叫做群公理的四个要求：
封闭性：对于所有 中 ，运算 的结果也在 中。
结合性：对于所有 中的 和 ，等式 成立。
单位元：存在 中的一个元素 ，使得对于所有 中的元素 ，等式 成立。
逆元：对于每个 中的 ，存在 中的一个元素 使得 ，这里的 是单位元。
维基百科
数学是自然科学的语言，和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义，缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样，下面我们用人话来解释群。
套用正方形的例子来解读群的定义，选 这个群吧：
-
集合里的对象：所有保证对称性的操作。
-
二元运算：模加法。
-
封闭性：操作相加还是在集合内，比如 。
-
结合性： 。
-
单位元：保持不动就是单位元，映射为0，所以 。
-
逆元：首先旋转正方形的操作是可逆的，所以 ，同时这还是一个循环的运算， ，都可以说是 的逆元。
其实吧，我可以再抽象一点， ，这个群基本上已经没有原来正方形旋转的影子了。群比我们之前学的数学的抽象性更近了一步，要不怎么放在抽象代数课程里面呢？本文只是想稍微让群具体一点。
2.4 群的结构与同构
之前说过，正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称
上图我把运算直接表示为" "。这个群很明显和正方形围绕中心点旋转的群不一样，所以对称也就不一样，用群的术语来说就是，这两种群结构不一样。
现实中，还有各种各样的对称，比如正方形和圆：
这两种对称的结构也不同，对应的群也不一样。群论就是对各种群的研究。
2.5 进一步的思考
关于同构，这里再进一步思考，圆是有无数种对称操作的，之前提到的相对于时间对称的物理定律，也是有无数种对称操作的（因为时间是可以无限流逝的），从某种意义上讲，两者是不是同一种对称，也就是同构？如果是同构，那么我只要研究一个群就可以研究两者了。
思考，才是数学最大的乐趣所在。
最后推荐一本书，Visual Group Theory Nathan Carter，谢谢 @金凯。这书我以前看过，挺好的，就是没有中文版，贵。
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群论，听起来是不是有点高大上，仿佛是数学家们才能触及的深奥领域？但其实，你每天都在不自觉地运用它，只是不知道它的名字而已。今天，咱们就来聊聊这个神奇的“群”，让你不仅听懂，还能体会到它背后那份简洁而强大的逻辑。想象一下，我们要做一件事情，就是变换。什么叫变换？最直观的就是你手中的这支笔。你可以： ............. -
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想象一下，你站在一座连绵起伏的山丘上。这座山丘的高度，可以看作是我们今天要讲的“函数”的值。它在你脚下，是你所在位置的“海拔”。方向导数：顺着某个特定方向“爬坡”或“下山”的速度现在，你想从你当前所在的位置，往某个特定方向走。这个方向可以是正东，可以是东北，也可以是任何一个你指向的角度。 方向导.............
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要深刻理解明朝文官与武将之间地位的巨大差异，我们不妨从几个最直观的层面去感受，仿佛我们身临其境，置身于那个时代的社会肌理之中。这不仅仅是简单的官职高低，更是一种深入骨髓的文化烙印和社会价值取向。一、 “士农工商”的阶层烙印：读书人的天生优越感首先，我们得明白明朝社会那套根深蒂固的“士农工商”等级制度.............
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咱今天就来聊聊“相位”这玩意儿，别被这词儿听着有点绕，其实一点都不神秘。打个比方，相位就像是音乐里的节拍，或者是一段舞蹈里的动作顺序，它告诉你一个事物在周期性变化过程中，它所处的位置和进度。相位是个啥？想象一下，你现在正在跟着一首特别喜欢的歌摇摆身体。这首歌有节奏，有起伏，就像我们生活中的很多事情一.............
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以下是对NGA 11月18日直播捉奸贴疑似被转至“晴风村”版块后被秒封事件的评价，力求详细且去除AI痕迹：事件回顾与初步观察NGA，即艾泽拉斯国家地理论坛，一直以来都是国内游戏及相关社区讨论的重要阵地。其用户群体庞大，内容涵盖广泛，其中不乏一些颇具争议性或生活化的讨论。11月18日当天，据用户反馈和.............
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理解康德为何会被一些人解读为陷入“神秘主义”或“不可知论”，我们需要深入剖析他哲学体系的核心，特别是那些最容易引发误解的概念。这并非因为康德本人变得“神秘”，而是因为他试图解决的问题本身就极其复杂且具有挑战性，他的解决方案也因此显得深邃而引人思考。康德的理性之巅：构建科学和道德的基石首先，我们要明确.............
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好的，我们来用一个尽可能直观和详细的方式解释反向传播（Backpropagation）算法。想象一下，我们正在教一个孩子学习识别猫咪的图片。反向传播就是帮助这个“学习过程”找到方向的秘诀。 1. 机器学习的“大脑”：神经网络首先，我们需要了解神经网络是什么。你可以把它想象成一个模仿我们大脑神经元连接.............
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想象一下，在距今两千多年前，有一个帝国，它没有互联网，没有飞机，甚至连现代的电话都没有。但它却能将它的疆域扩张到横跨欧洲、北非和中东，管理着数以亿计的人口，建立起至今仍被奉为圭臬的法律、工程和管理体系。这就是古罗马，一个强大到令人难以置信的文明。我们该如何直观地感受这份强大呢？1. 疆域的压迫感：一.............
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光速，这个词听起来就带着一种超越一切的神秘感。我们都知道它是一个极高的数字，但究竟有多快？如何才能真正体会到它？如果我跟你说，光速其实并不遥远，甚至就在我们身边，你信吗？咱们就从最贴近生活的例子聊起。第一步：点亮你的世界——熟悉身边的光速你有没有想过，你看到的太阳，它其实已经是一颗“迟到”了八分钟的.............
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想象一下，你正在收集世界上所有的“可能”我们先别急着聊数学，咱们来点接地气的。你有没有过这样的感觉，想把一件事情的所有可能性都揽入怀中，摸个透透彻彻？比如，你想了解所有的“幸福”。你可能会想到阳光下灿烂的笑容，听到一首触动心弦的歌，吃到美味的食物，或者被爱人拥抱。这些都是“幸福”的例子，它们分散在生.............
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说到汉朝的强大，真不是一句两句能说清楚的。这得从方方面面来看，让你能真切地感受到，那时的中国，是何等的意气风发，威震四方。先说说咱们的老祖宗，是如何把一个国家打造成这般模样。汉朝的强大，首先体现在它统一而又巩固的政权。话说，秦朝虽然统一了天下，但二世而亡，根基不稳。到了汉初，刘邦吸取了秦朝灭亡的教训.............
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好的，咱们今天就来聊一个挺有意思的数学小秘密：为什么前 n 个自然数的立方和，会等于这 n 个自然数之和的平方？别看这句话听着有点绕，其实它的背后藏着一个很巧妙的几何解释，或者说是一个“积木搭积木”的故事。咱们就从最简单的情况开始，一点点地把它说透。从最简单的开始：1 的情况咱们从最简单的情况入手。.............
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要直观地感受中国人口的庞大，我们可以从很多方面入手。这不仅仅是一个数字上的概念，更是渗透在我们生活方方面面的真实体验。1. “人山人海”的日常景象：首先，最直接的感受就是每天都在经历的“人山人海”。 交通出行： 想象一下你在北京、上海这样的大城市上下班高峰期乘坐地铁或公交的情景。车厢里挤得几乎没.............
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“优雅而又直白地夸赞别人”是一种艺术，它既能让对方感受到你的真诚赞美，又不会显得唐突或虚伪。以下是一些详细的指导，帮助你掌握这一技巧： 核心原则：真诚、具体、适时在深入细节之前，牢记这三个核心原则至关重要： 真诚（Sincerity）： 夸赞必须发自内心。如果你内心并没有这种感受，即使说得再好听.............
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哥们，这事儿确实得拿捏好。直男夸人帅，关键在于你的语气、眼神和整体表达出来的那股“哥们儿之间的欣赏”，而不是那种小心翼翼、含情脉脉的崇拜。要的就是那种“哥们儿觉得你这身打扮或者这人挺有型，特爷们儿”的感觉。首先，别老盯着人家脸看。夸人帅，不是说你把他当成艺术品一样细细品鉴。你可以从整体上入手，比如他.............
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朋友圈最近被这句话刷屏了：“嘴不饶人心地善，心不饶人嘴上甜；心善之人敢直言，嘴甜之人藏谜奸”。这话说得倒是挺有意思，也挺挠人心的，似乎把人际交往的很多情况都给概括了。不过，细细一想，这事儿也不能这么绝对下定论。咱们不妨一点点地拆解开来，看看有没有什么不周全的地方。首先，看看“嘴不饶人心地善”和“心不.............
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