如何直观形象地理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？

想象一下，你站在一座连绵起伏的山丘上。这座山丘的高度，可以看作是我们今天要讲的“函数”的值。它在你脚下，是你所在位置的“海拔”。

方向导数：顺着某个特定方向“爬坡”或“下山”的速度

现在，你想从你当前所在的位置，往某个特定方向走。这个方向可以是正东，可以是东北，也可以是任何一个你指向的角度。

方向导数，就是你沿着你选定的这个方向，以单位速度前进时，你所感受到的“海拔变化的速度”。
直观理解：
如果山坡在你选定的方向上是陡峭向上，那么方向导数就是正的，而且数值越大，坡越陡，你爬升的速度就越快。
如果山坡在你选定的方向上是陡峭向下，那么方向导数就是负的，数值的绝对值越大，坡越陡，你下山的速度就越快。
如果山坡在你选定的方向上是平坦的，甚至是一个小山坡的顶端，那么方向导数就接近于零，你感觉不到明显的爬升或下山。

我们怎么计算这个“速度”呢？

就像你在一个二维平面上计算某个点的斜率一样，我们需要把这个“方向”也考虑进去。我们用一个单位向量来表示你选择的方向。为什么是单位向量？因为我们只关心“速度”，而不关心你走多快。单位向量保证了你只考虑“单位时间”内的变化。

方向导数就是你对函数（海拔）沿着这个单位方向的“变化率”。它告诉我们，在这个特定的方向上，函数值上升或下降得有多快。

梯度：指向“最快爬升”方向的“指示牌”

现在，你站在山丘上，你想知道，从你现在的位置出发，朝哪个方向走，海拔上升得最快？

梯度，就是这样一个“指示牌”。它是一个向量，指明了从你当前位置出发，函数值增长最快的方向。
直观理解：
想象一下，你手里拿着一个指南针，但这个指南针不是指北，而是指“最陡峭的上坡”的方向。这个指南针的指针，就是这里的梯度。
梯度向量的长度（或者说大小），告诉你在这个最快爬升方向上，爬升的速度有多快。坡越陡，梯度的长度就越长。
梯度向量的方向，就是那个让你感觉“最陡峭”的上坡方向。

梯度是怎么计算出来的？

对于一个多变量函数，我们不是只有一个方向可以走，可以有很多个方向。梯度向量是把所有可能的“最陡峭”方向的信息都整合起来了。

它是由函数在各个自变量方向上的偏导数组成的。偏导数可以理解为，只在某个特定维度（比如只往东走，或者只往北走）方向上，海拔的变化率。梯度向量就是把这些“单方向”的变化率，用一种巧妙的方式组合起来，得到一个“合力”方向和“合力”的大小。

方向导数与梯度之间的关系：

这里就神奇地出现了一个非常重要的联系：

任何一个方向上的方向导数，都可以通过梯度向量和该方向的单位向量的“点积”来计算。

直观解释这个关系：

想象一下，你手里有那个“最快爬升”的指示牌（梯度向量）。现在你想知道，沿着一个任意的方向（假设这个方向是红色的箭头），你的海拔变化速度是多少（方向导数）。

点积，在这里扮演了一个“投影”的角色。
你把你选定的这个任意方向（红色箭头），“投影”到那个“最快爬升”的方向（梯度指示牌）上。
投影的长度，就告诉你，在你选定的这个方向上，有多少“成分”是朝向“最快爬升”方向的。
方向导数的值，就等于（梯度向量的长度）乘以（你选定的方向向量在梯度方向上的投影的长度）。

换句话说：

如果你选定的方向，恰好就是梯度向量指示的方向（最快爬升方向），那么这个方向上的方向导数就是最大的，并且等于梯度的长度。因为你的方向完全“对齐”了最快爬升的方向。
如果你选定的方向，恰好与梯度向量指示的方向相反（最快下山方向），那么这个方向上的方向导数就是最小的（最负的），并且等于梯度的负长度。
如果你选定的方向，与梯度向量指示的方向是垂直的，那么这个方向上的方向导数就是零。这意味着，在这个垂直方向上，你既不爬升也不下降，处于一个“等高线”上。

总结一下：

方向导数：你沿着某个特定方向走，感觉到的“爬坡”或“下山”的速度。
梯度：一个向量，它指向“爬坡最快”的方向，并且它的长度代表了那个最快爬升的速度。
关系：你可以把任何方向的“爬坡速度”分解成“最快爬升速度”在那个方向上的“投影”。方向导数就是这个投影的值。

所以，梯度就像是一个“总揽全局”的指导者，它告诉你哪里最值得去探索（爬升最快）。而方向导数，则是你实际去探索某个特定方向时，真实的感受。梯度蕴含了所有方向导数的信息，并且能告诉你哪个方向导数最大。

网友意见

这篇回答节选自我的专栏《机器学习中的数学：微积分与最优化》，和大家一起谈谈方向导数和梯度。

欢迎关注我的知乎账号 @石溪，将持续发布机器学习数学基础及算法应用等方面的精彩内容。

1.多元函数偏导数的数值解

在程序当中，利用数值方法求出各个自变量偏导数的近似解，其方法和步骤同前面讲过的导数的数值解求法并无二致：把其余的自变量固定，就将偏导数的求解方法等价为了导数的数值求解方法，我们以简单的二元函数为例，分别来看看如何利用python求解偏导数和，并实际获取点处的数值解：

代码片段：

       def f(x,y):     return x**2-y**2  def grad_x(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x + h/2, y) - f(x - h/2, y)) / h  def grad_y(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x, y + h/2) - f(x, y - h/2)) / h  print(grad_x(f, -1, -1)) print(grad_y(f, -1, -1))

运行结果：

       -2.000000000002  2.000000000002

因此，我们非常轻松的获取了函数，在点处的偏导数和。

2.通过梯度场直观感受梯度

在前一讲的内容中，我们知道了，二元函数中的梯度概念可以说是一元函数中导数概念的一个延伸和拓展。

他们之间的区别是一元函数的导数是一个数，而梯度则是一个向量，对于二元函数，梯度对应的向量就是，向量的概念大家都很熟悉，他是一个有方向、有大小的量。

那么很显然的，对于一个二元函数，在他的定义域内，如果我们把每一个点的梯度都求出来，将每个点的梯度向量和各个点的位置联系起来进行集中展示，就形成了一个梯度场，场的概念是一个比较新的概念，我们还是针对二元函数来实际展示一下：

代码片段：

       import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt  def f(x, y):     return x**2-y**2  def grad_x(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x + h/2, y) - f(x - h/2, y)) / h  def grad_y(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x, y + h/2) - f(x, y - h/2)) / h  def numerical_gradient(f,P):     grad = np.zeros_like(P)     for i in range(P[0].size):         grad[0][i] = grad_x(f, P[0][i], P[1][i])         grad[1][i] = grad_y(f, P[0][i], P[1][i])     return grad  x = np.arange(-2, 2, 0.25) y = np.arange(-2, 2, 0.25)  X, Y = np.meshgrid(x, y) X = X.flatten() Y = Y.flatten()  grad = numerical_gradient(f, np.array([X, Y]))  plt.quiver(X, Y, grad[0], grad[1])#grad[0]是一个1*X.size的数组 plt.xlim([-2, 2]) plt.ylim([-2, 2]) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.grid() plt.show()

运行结果：

上面这段代码我们简要分析一下:

在坐标轴上，从-2到2，按照0.25的间隔，我们一共生成了16个点，坐标也是同理，一共也是有16个点，这样就对应表示出了平面上的256个点。

通过：

       X, Y = np.meshgrid(x, y)

进行网格化，得到的是一个二维数组，16行16列，对应表示平面上的256个点的横坐标，同样也是一个二维数组，16行16列，依次的对应表示上面那256个点的纵坐标。

       X = X.flatten()  Y = Y.flatten()

上面的这两行代码将这两个二维数组展平成一维数组，和都变成含有256个元素的一维数组，其中和分别对应表示这256个点中第个点的横纵坐标。

       def numerical_gradient(f,P):     grad = np.zeros_like(P)     for i in range(P[0].size):         grad[0][i] = grad_x(f, P[0][i], P[1][i])         grad[1][i] = grad_y(f, P[0][i], P[1][i])     return grad

上面这个函数，则用于求取整个定义域上的梯度，传入的是一个的数组，就是所有点的坐标构成的一维数组，而就是所有点的坐标构成的二维数组，我们利用数值求解的方法求取各个点的偏导数和，同样存储在一个的二维数组当中，其中和分别代表了第个点的和，因此向量所表示的就是第个点的梯度。

最后我们利用将所有点的梯度用箭头的形式绘制出来， , 表示箭头的起点， , 表示的是箭头的方向。

3.任意方向上的方向导数

对于一个二元函数而言，偏导数的几何意义是表示沿着平行于轴方向上的函数值的变化率，相应的偏导数则表示的是沿着平行于轴方向上的函数值的变化率。

我们用向量来表示这个求导的过程，就会更加清晰的展现其几何意义：

我们用向量表示所求偏导的对应点，即，一般我们用和分别表示平行于轴和轴的单位向量，那么我们可以分别重新用向量来表示偏导数和：

，我们将其记作：

，类似的，我们将其记作是：

很显然，我们用向量来表示出了沿着轴方向的偏导数以及沿着轴方向的偏导数，但这只是反映了函数沿特殊方向上的变化率。那么我们最终来看一般化的情况，如何表示沿着任意方向的方向导数？

我们设对于任意方向上的单位向量，依照定义，二元函数在处沿着方向的方向导数为：

，当然前提条件是这个极限得存在。他反映了函数值沿着方向向量的变化率。

4.方向导数和梯度的关系

实际上，根据前面所讲过的内容，二元函数如果在点处可微，那么一定满足如下的式子：

，其中是任意方向上的单位向量。

那么，当时，，那么上式就变成了：

而此时，我们仔细一看，这个表达式的左侧正是函数在点处沿着方向向量的方向导数，因此我们得到了我们想要看到的一个结论：

，他说明了函数在点处沿方向向量的方向导数（也就是函数值的变化率）等于该点处的梯度向量与方向向量的点积。

5.最大变化率、梯度与等位线

5.1.梯度与最大变化率的关系

这个点积的式子，他里面的内涵非常丰富。我们把点积的式子进一步展开后得到：

，其中是梯度向量和方向向量的夹角，那么如果我们想知道在哪个方向上的ff的函数值变化最快，该怎么去分析？

由于，显然，也就是说：

当，即方向向量和梯度向量同向时，变化率的取值最大，即增长的最快，为，由于是单位向量，因此变化速率为。

当，即方向向量和梯度向量反向时，变化率的取值最小，即下降的最快，变化率为。

总结起来就是在点的函数值沿着梯度的方向增加的最快，逆着梯度的方向函数值减小的最快。大家请记住，这个结论非常的重要，在后面的优化方法里还会用到。

5.2.梯度与等位线的关系

那么梯度和等位线之间又有什么样的关系呢？

我们知道，同一等位线上的函数值都是相等的，因此点处等位线切线方向（我们令单位向量沿着等位线的切线方向）上函数值的变化率显然应该为0，那么就有：

，即：点处的梯度向量和过点的等位线的切线方向向量的点积为0，这就说明函数在点处的梯度和经过该点的等位线是相互垂直的。

我们实际观察一下，我们绘制函数的等位线，然后随机在定义域内选取三个点，并绘制其梯度向量，观察是否满足和对应点处等位线的垂直关系：

代码片段：

       import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt  def f(x, y):     return y**2-x**2  def grad_x(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x + h/2, y) - f(x - h/2, y)) / h  def grad_y(f, x, y):     h = 1e-4     return (f(x, y + h/2) - f(x, y - h/2)) / h  x = np.arange(-2, 2, 0.01) y = np.arange(-2, 2, 0.01) X, Y = np.meshgrid(x, y)  #添加等高线 C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 36) #增加各等高线的高度值 plt.clabel(C, inline=True, fontsize=12)  plt.quiver(-1.5, -1, grad_x(f, -1.5, -1), grad_y(f, -1.5, -1)) plt.quiver(1.0, 0, grad_x(f, 1.0, 0), grad_y(f, 1.0, 0)) plt.quiver(-1.5, 1.5, grad_x(f, -1.5, 1.5), grad_y(f, -1.5, 1.5)) plt.grid() plt.show()

运行结果：

同样的，我们再来看一个二元函数的等位线和梯度向量的垂直关系：

6.小结

我们围绕多元函数梯度的概念，对其全面展开了介绍。学习了如何利用程序获取多元函数某一点处的偏导数以及梯度的数值近似解，通过梯度场对梯度有了直观的认识。并从偏导数和切入，过渡到任意方向上函数变化率的求法，揭示了梯度与函数值变化率的关系。梯度的概念非常重要，他直接服务于最优化的相关内容。

此内容节选自我的专栏《机器学习中的数学：微积分与最优化》，前三小节免费，欢迎订阅！

当然还有《机器学习中的数学（全集）》系列专栏，欢迎大家阅读，配合食用，效果更佳~

有订阅的问题可咨询微信：zhangyumeng0422

类似的话题

如何直观形象地理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？

想象一下，你站在一座连绵起伏的山丘上。这座山丘的高度，可以看作是我们今天要讲的“函数”的值。它在你脚下，是你所在位置的“海拔”。方向导数：顺着某个特定方向“爬坡”或“下山”的速度现在，你想从你当前所在的位置，往某个特定方向走。这个方向可以是正东，可以是东北，也可以是任何一个你指向的角度。方向导.............
什么是相位？如何更加形象直观地理解相位？

咱今天就来聊聊“相位”这玩意儿，别被这词儿听着有点绕，其实一点都不神秘。打个比方，相位就像是音乐里的节拍，或者是一段舞蹈里的动作顺序，它告诉你一个事物在周期性变化过程中，它所处的位置和进度。相位是个啥？想象一下，你现在正在跟着一首特别喜欢的歌摇摆身体。这首歌有节奏，有起伏，就像我们生活中的很多事情一.............
如果拜占庭在阿拉伯帝国的扩张中直接灭亡，那么它的形象会不会比现在好很多？

这是一个极具吸引力且引人入胜的假设性问题，它涉及到历史的“如果”以及文化和国家形象的塑造。如果拜占庭帝国在阿拉伯帝国的扩张中“直接灭亡”，而不是在长达数个世纪的缓慢衰落和部分地区的失地后，最终于1453年被奥斯曼帝国灭亡，那么其历史形象确实很有可能发生显著的改变，甚至变得更加积极和强大。让我们详细分.............
如何看待民警老陈通过直播的形式宣传反诈火遍全网以后登上央视新闻，这波反诈宣传能起到多大作用？

看到老陈因为直播反诈而火遍全网，甚至登上央视新闻，这确实是一件挺有意思也挺有意义的事情。这背后折射出的不仅仅是一个基层民警的努力，更反映了我们社会在反诈宣传方式上的一个重要转变和突破。这波反诈宣传有多大作用？我认为，这次反诈宣传的作用是非常显著的，而且会是多维度、深层次的。首先，极大地提高了公众对反.............
如何评价雷军对话米粉？CEO直接与用户对话的形式值得其他品牌参考吗？

雷军对话米粉：CEO直面用户的沟通艺术，值得所有品牌借鉴“你好，米粉们！”——这句简单而亲切的开场白，是雷军与他的用户——米粉们沟通的标志。近年来，小米创始人兼CEO雷军频繁以各种形式与米粉们直接交流，从微博互动到直播问答，再到线下的粉丝见面会，这种“CEO直接对话用户”的模式，不仅在科技圈掀起了一.............
如何看待 15 日国家卫健委举行新冠肺炎新闻发布会，采用 5G 直播记者线上提问这一形式？有哪些亮点？

咱们聊聊15号国家卫健委那场新冠发布会，用5G直播，记者线上提问，这可真是个新玩法，挺有意思的。我看了相关报道，感觉这事儿亮点还挺多，能看出一些挺实在的改变。首先，咱们得说说效率和便捷性。以往的新闻发布会，尤其是这种涉及到全国范围的重要信息，通常都是记者们挤在现场，人头攒动，场面一度非常拥挤。这次采.............
吉林四海湖出现「冰汤圆」湖面，网友直呼太应景，这一景观是如何形成的？

吉林四海湖最近频频登上热搜，不是因为什么惊天动地的大事，而是那湖面上出现的一片片“冰汤圆”。这景象，在很多人看来，简直就是为这个冬天量身定做的应景装饰，一时间引来无数网友的惊叹和喜爱。那么，这神奇的“冰汤圆”究竟是怎么形成的呢？其实，这背后并没有什么超自然的力量，而是大自然巧妙的物理作用的杰作。要理.............
如果国家直接规定了汉服的形制和穿戴方法。可以解决近年来汉服的各种争论吗？

关于国家直接规定汉服形制和穿戴方法是否能解决近年来汉服的各种争论，这是一个非常值得探讨的问题。我的看法是，这样做在理论上可以为汉服的普及和规范提供一个清晰的指引，但实际操作中可能难以完全根除所有争论，甚至可能引发新的争议。首先，我们得理解近年来汉服争论的几个主要焦点：形制之争：这是最核心也是.............
按照目前形势，如果上海下定决心直接封一周，是否可以控制住疫情呢?

目前，上海作为中国最大的城市之一，其疫情防控形势备受关注。如果上海决定直接进行为期一周的封锁，是否能够有效控制住疫情，这是一个复杂的问题，需要从多个维度进行深入分析。首先，我们必须承认，在疫情传播的早期阶段，果断而彻底的封锁确实是阻断病毒传播的有效手段。如果上海能够在一个关键时间点，以非常严格的标准.............
如何直观地理解「共轭」这个概念？

好的，我们来试着从不同的角度，用更直观的方式来理解“共轭”这个概念。共轭是一个在很多数学和物理领域都非常重要的概念，但初次接触时可能会觉得有些抽象。我会尽量从大家可能熟悉的点出发，层层递进地解释。核心思想：共轭意味着一种“匹配”或“配对”的关系，它们在一起能“完成”或者“简化”某个过程，或者在某种意.............
如何直观地解释 backpropagation 算法？

好的，我们来用一个尽可能直观和详细的方式解释反向传播（Backpropagation）算法。想象一下，我们正在教一个孩子学习识别猫咪的图片。反向传播就是帮助这个“学习过程”找到方向的秘诀。 1. 机器学习的“大脑”：神经网络首先，我们需要了解神经网络是什么。你可以把它想象成一个模仿我们大脑神经元连接.............
如何直观地说明古罗马到底强大到什么程度？

想象一下，在距今两千多年前，有一个帝国，它没有互联网，没有飞机，甚至连现代的电话都没有。但它却能将它的疆域扩张到横跨欧洲、北非和中东，管理着数以亿计的人口，建立起至今仍被奉为圭臬的法律、工程和管理体系。这就是古罗马，一个强大到令人难以置信的文明。我们该如何直观地感受这份强大呢？1. 疆域的压迫感：一.............
如何直观地理解信号中复数的物理意义？

信号中的复数：一双“透视眼”，让你看到波动的“隐秘世界”我们平时看到的信号，比如收音机里的声音、手机里的电话信号，或者是电网里的电流，似乎都是实实在在的、可以用一个数值来描述的。比如，声音的响度、电话信号的强度、电流的大小。然而，在信号处理的专业领域，复数却扮演着一个至关重要的角色。这不禁让人好奇，.............
如何直观地感受光速？

光速，这个词听起来就带着一种超越一切的神秘感。我们都知道它是一个极高的数字，但究竟有多快？如何才能真正体会到它？如果我跟你说，光速其实并不遥远，甚至就在我们身边，你信吗？咱们就从最贴近生活的例子聊起。第一步：点亮你的世界——熟悉身边的光速你有没有想过，你看到的太阳，它其实已经是一颗“迟到”了八分钟的.............
如何直观地解释「紧致性」？

想象一下，你正在收集世界上所有的“可能”我们先别急着聊数学，咱们来点接地气的。你有没有过这样的感觉，想把一件事情的所有可能性都揽入怀中，摸个透透彻彻？比如，你想了解所有的“幸福”。你可能会想到阳光下灿烂的笑容，听到一首触动心弦的歌，吃到美味的食物，或者被爱人拥抱。这些都是“幸福”的例子，它们分散在生.............
如何直观地说明汉朝到底有多强大？

说到汉朝的强大，真不是一句两句能说清楚的。这得从方方面面来看，让你能真切地感受到，那时的中国，是何等的意气风发，威震四方。先说说咱们的老祖宗，是如何把一个国家打造成这般模样。汉朝的强大，首先体现在它统一而又巩固的政权。话说，秦朝虽然统一了天下，但二世而亡，根基不稳。到了汉初，刘邦吸取了秦朝灭亡的教训.............
如何直观地说明为什么前 n 个自然数的立方和等于和的平方？

好的，咱们今天就来聊一个挺有意思的数学小秘密：为什么前 n 个自然数的立方和，会等于这 n 个自然数之和的平方？别看这句话听着有点绕，其实它的背后藏着一个很巧妙的几何解释，或者说是一个“积木搭积木”的故事。咱们就从最简单的情况开始，一点点地把它说透。从最简单的开始：1 的情况咱们从最简单的情况入手。.............
如何直观地理解群论？

群论，听起来是不是有点高大上，仿佛是数学家们才能触及的深奥领域？但其实，你每天都在不自觉地运用它，只是不知道它的名字而已。今天，咱们就来聊聊这个神奇的“群”，让你不仅听懂，还能体会到它背后那份简洁而强大的逻辑。想象一下，我们要做一件事情，就是变换。什么叫变换？最直观的就是你手中的这支笔。你可以： .............
如何直观地感受到中国人口的庞大？

要直观地感受中国人口的庞大，我们可以从很多方面入手。这不仅仅是一个数字上的概念，更是渗透在我们生活方方面面的真实体验。1. “人山人海”的日常景象：首先，最直接的感受就是每天都在经历的“人山人海”。交通出行：想象一下你在北京、上海这样的大城市上下班高峰期乘坐地铁或公交的情景。车厢里挤得几乎没.............
如何直观地理解阿贝尔变换恒等式？

好的，咱们来好好聊聊这个阿贝尔变换恒等式，争取说得明明白白，让你觉得像是跟一个老朋友唠嗑一样，而不是在看什么冰冷的代码生成。咱们先从名字说起：阿贝尔变换恒等式。听起来是不是有点绕？“阿贝尔”是个名字，一位伟大的数学家。至于“变换”和“恒等式”，你可以先简单理解为：它是一种“换一种方式看问题，但结果不.............