如何直观地说明为什么前 n 个自然数的立方和等于和的平方？
好的，咱们今天就来聊一个挺有意思的数学小秘密：为什么前 n 个自然数的立方和，会等于这 n 个自然数之和的平方？
别看这句话听着有点绕，其实它的背后藏着一个很巧妙的几何解释，或者说是一个“积木搭积木”的故事。咱们就从最简单的情况开始，一点点地把它说透。
从最简单的开始：1 的情况
咱们从最简单的情况入手。前 1 个自然数是什么？就是 1。
前 1 个自然数的立方和：1³ = 1
前 1 个自然数的和：1
前 1 个自然数之和的平方：1² = 1
看，1³ = 1²，没毛病。
稍微复杂一点：1 和 2 的情况
接下来，咱们看看前 2 个自然数。就是 1 和 2。
前 2 个自然数的立方和：1³ + 2³ = 1 + 8 = 9
前 2 个自然数的和：1 + 2 = 3
前 2 个自然数之和的平方：3² = 9
又对了！1³ + 2³ = (1 + 2)²。
再进一步：1、2 和 3 的情况
咱们再来试试前 3 个自然数：1、2、3。
前 3 个自然数的立方和：1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
前 3 个自然数的和：1 + 2 + 3 = 6
前 3 个自然数之和的平方：6² = 36
又是一模一样！1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²。
关键点来了：为什么会这样？
光看数字可能觉得是巧合，但数学的魅力就在于它的规律性和普适性。到底是什么让这个等式成立呢？咱们得找个更直观的法子来理解。
这里，咱们就引入一个“图形解释”或者说是“面积拼凑”的思路。想象一下，咱们用一些方块来表示数字的平方或者立方。
立方和的“积木”想法
咱们知道，k³ 可以看成是一个边长为 k 的立方体。但是，用体积来直接拼成一个大正方形有点抽象。换个角度，咱们把 k³ 看成是 k 个大小为 k² 的正方形堆叠起来，或者更形象地说，是边长为 k 的正方形里，从里往外一层一层“剥”出来的。
别急，我换个更直观的说法。咱们用“L”形积木来表示。
1³ = 1：可以看成一个 1x1 的小方块。
2³ = 8：这 8 个单位的立方，怎么把它跟前面那个 1x1 的方块联系起来呢？
一个经典的“等差数列平方和”的图形解释
有个非常经典的图形解释，是关于等差数列的平方和的。咱们可以借鉴这个思路来理解立方和。
想象一下，咱们有个边长为 S 的大正方形，这个 S 就是前 n 个自然数的和，也就是 S = 1 + 2 + ... + n。那么 S² 就是这个大正方形的面积。
咱们的目标是证明，这个大正方形的面积，正好等于 1³ + 2³ + ... + n³。
怎么做呢？咱们把这个 S x S 的大正方形，分成 n 个小区域，然后证明每个区域的面积正好对应一个立方数。
关键的“L”形区域
来看这个 S x S 的大正方形。咱们先画一个 1x1 的正方形，面积是 1² = 1。这对应 1³。
然后，咱们在它旁边加上一个“L”形的区域，形成一个 3x3 的正方形。这个 3x3 的正方形的面积是 3² = 9。
这个新的“L”形区域的面积是多少呢？它是 3² 1² = 9 1 = 8。
而 8 正好是 2³！
咱们再往外扩展。在 3x3 的正方形外面，再加一个“L”形区域，形成一个 6x6 的正方形。这个 6x6 的正方形的面积是 6² = 36。
这个新的“L”形区域的面积是多少呢？它是 6² 3² = 36 9 = 27。
而 27 正好是 3³！
规律出现：边长是关键
你可能要问了，为什么边长是 1, 3, 6 呢？这三个数字怎么来的？
这三个数字，正好是前 n 个自然数的和：
n=1 时，边长是 1 (1)
n=2 时，边长是 3 (1 + 2)
n=3 时，边长是 6 (1 + 2 + 3)
也就是说，当咱们考虑前 n 个自然数的立方和时，总的面积正好是一个边长为 (1 + 2 + ... + n) 的正方形。
咱们把这个过程画出来会更清楚：
1. n=1: 一个 1x1 的正方形，面积是 1² = 1。这等于 1³。这里的边长是 1。
2. n=2: 在 1x1 的正方形外面，增加一个“L”形区域，形成一个 (1+2)x(1+2) = 3x3 的大正方形。总面积是 3² = 9。
这个新增的“L”形区域面积是 3² 1² = 9 1 = 8。
而 8 = 2³。
所以，总面积 9 = 1² + (3² 1²) = 1³ + 2³。
3. n=3: 在 3x3 的正方形外面，增加一个“L”形区域，形成一个 (1+2+3)x(1+2+3) = 6x6 的大正方形。总面积是 6² = 36。
这个新增的“L”形区域面积是 6² 3² = 36 9 = 27。
而 27 = 3³。
所以，总面积 36 = 3² + (6² 3²) = (1³ + 2³) + 3³。
总结一下这个“L”形区域的面积
假设我们已经拼出了一个边长为 S_{n1} = 1 + 2 + ... + (n1) 的正方形，这个正方形的面积是 S_{n1}²。我们想知道，再加上第 n 个自然数的立方 n³，能不能拼成一个边长为 S_n = 1 + 2 + ... + n 的正方形。
新的边长 S_n = S_{n1} + n。
所以，新的总面积应该是 S_n² = (S_{n1} + n)² = S_{n1}² + 2S_{n1}n + n²。
咱们现在的目标是证明，这个新增的面积 2S_{n1}n + n²，正好等于 n³。
也就是：2(1 + 2 + ... + (n1))n + n² = n³
咱们知道等差数列求和公式：1 + 2 + ... + (n1) = (n1)n / 2。
代入进去：
2 [(n1)n / 2] n + n²
= (n1)n n + n²
= (n1)n² + n²
= n³ n² + n²
= n³
看！正好就是 n³！
换个说法，更直观地看“L”形区域
想象一下，咱们把一个边长为 S_n 的大正方形，从角落开始，一层一层地向外“剥”开。
最里面的那个小正方形，边长是 1，面积是 1²。这对应 1³。
下一个“L”形区域，是把 1x1 的正方形扩展成 3x3 的正方形所增加的部分。这个“L”形区域可以被切成两部分：
一个 1 x 2 的矩形
一个 2 x 2 的正方形
另一个 2 x 1 的矩形
总面积是 12 + 22 + 21 = 2 + 4 + 2 = 8。这正好是 2³。
更巧妙的切法是：把这个“L”形区域看成是一个（2n1）的带状区域。当 n=2 时，S_n = 3，S_{n1} = 1，n=2。这个“L”形区域的面积是 S_n² S_{n1}² = 3² 1² = 8。
这个“L”形区域的面积正好是 2(S_{n1})n + n² = 2(1)2 + 2² = 4 + 4 = 8。
还有一个更形象的切法：这个面积 2S_{n1}n + n²，可以拆成两个 n x S_{n1} 的矩形，再加上一个 n x n 的小正方形。
当 n=2 时，S_{n1}=1。就是两个 2x1 的矩形（总面积 4），再加上一个 2x2 的正方形（面积 4）。合起来是 8，正好是 2³。
再往外一层，从 3x3 扩展到 6x6，增加的“L”形区域，它的面积正好是 3³ = 27。这个区域可以看作是：两个 6x3 的矩形，再加上一个 3x3 的正方形。
不对，这个拆分法不太对。
换个更简洁的切法：
咱们考虑把 S_n² 的正方形，切成 n 个区域。
S_n² = (1 + 2 + ... + n)²
让我们来考虑一个边长为 S_n 的正方形，我们将它分割。
最里面是 1x1 的正方形，面积是 1²。
然后是一个“L”形区域，它连接 1x1 的正方形和 3x3 的正方形，这个“L”形区域的面积是 3² 1² = 8 = 2³。这个区域可以被分割成：一个 2x3 的矩形，和一个 2x2 的正方形。不对，还是不对。
从“面积”回到“L”形条
我找到一个更清晰的图示思路了。
想象你有一个大正方形，边长是 $S_n = 1 + 2 + dots + n$。
这个大正方形的面积就是 $S_n^2$。
我们将这个 $S_n imes S_n$ 的大正方形，切成 $n$ 个区域，然后证明第 $k$ 个区域的面积正好是 $k^3$。
1. n=1: $S_1 = 1$。1x1 的正方形，面积 $1^2 = 1$。这就是 $1^3$。
2. n=2: $S_2 = 1+2 = 3$。3x3 的正方形，面积 $3^2 = 9$。
我们已经知道有 1³ = 1 的面积了。现在我们需要证明，新增加的面积正好是 2³ = 8。
这个新增加的面积，就是从 1x1 的正方形扩展到 3x3 的正方形所形成的那个“L”形区域。
这个“L”形区域可以被看作是：
一个 $1 imes 2$ 的矩形
一个 $2 imes 2$ 的正方形
一个 $2 imes 1$ 的矩形
总面积是 $1 imes 2 + 2 imes 2 + 2 imes 1 = 2 + 4 + 2 = 8$。
这正好是 $2^3$。
所以，$S_2^2 = 1^2 + (3^2 1^2) = 1^3 + 2^3$。
3. n=3: $S_3 = 1+2+3 = 6$。6x6 的正方形，面积 $6^2 = 36$。
我们已经有了 $1^3 + 2^3 = 9$ 的面积。现在我们需要证明，新增加的那个“L”形区域的面积正好是 $3^3 = 27$。
这个“L”形区域是从 3x3 的正方形扩展到 6x6 的正方形所形成的。
这个“L”形区域的面积是 $S_3^2 S_2^2 = 6^2 3^2 = 36 9 = 27$。
这正好是 $3^3$。
所以，$S_3^2 = S_2^2 + (6^2 3^2) = (1^3 + 2^3) + 3^3$。
核心在于“L”形区域的面积公式
现在我们来揭示为什么这个“L”形区域的面积总是等于 $k^3$。
假设我们已经拼好了边长为 $S_{k1} = 1 + 2 + dots + (k1)$ 的正方形，其面积为 $S_{k1}^2$。
现在我们要拼成边长为 $S_k = 1 + 2 + dots + k$ 的正方形，其面积为 $S_k^2$。
新增加的“L”形区域的面积是 $S_k^2 S_{k1}^2$。
我们知道 $S_k = S_{k1} + k$。
所以，$S_k^2 S_{k1}^2 = (S_{k1} + k)^2 S_{k1}^2$
$= (S_{k1}^2 + 2 cdot S_{k1} cdot k + k^2) S_{k1}^2$
$= 2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$
我们需要证明这个 $2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$ 等于 $k^3$。
代入 $S_{k1} = frac{(k1)k}{2}$：
$2 cdot left(frac{(k1)k}{2} ight) cdot k + k^2$
$= (k1)k cdot k + k^2$
$= (k1)k^2 + k^2$
$= k^3 k^2 + k^2$
$= k^3$
Bingo！
更直观的“L”形区域的切法
前面提到的“L”形区域可以被切割成两部分：一个 $k imes S_{k1}$ 的矩形，以及一个 $k imes (S_{k1} + k)$ 的矩形，再加上一个 $k imes k$ 的正方形。这有点绕。
最直接的理解就是：
这个“L”形区域，它的宽度是 $k$。
它包含了一个 $k imes k$ 的小正方形，面积是 $k^2$。
还剩下两个 $k imes S_{k1}$ 的矩形。
所以，“L”形区域的面积是：
$k^2$ (中间的方块) + $k imes S_{k1}$ (左边长条) + $k imes S_{k1}$ (下边长条)
= $k^2 + 2 cdot k cdot S_{k1}$
这正好就是我们刚才推导出来的 $k^3$ 的形式。
打个比方
想象你是个建筑师，你要搭一个正方形的建筑，边长是 $1+2+dots+n$。
第一层，你用一个 $1 imes 1$ 的小方块，这代表 $1^3$ 的积木块。
第二层，你在这个小方块外面，围一圈积木，形成一个 $3 imes 3$ 的正方形。你新加的这一圈积木，刚好是 $2^3$ 那么多块。这一圈你可以看成是两边各搭了 $1 imes 2$ 的，再加上中间的 $2 imes 2$ 的。或者更巧妙地，你搭了两根 $2 imes 1$ 的长条，和一根 $2 imes 2$ 的正方形。不对，这个还是不太形象。
还是用图形最直观：
把一个 $S_n imes S_n$ 的正方形，想象成一个棋盘。
最左上角是 $1 imes 1$ 的区域，面积 $1^2=1$ (代表 $1^3$)。
接着是 $1 imes 2$ 的区域，面积 $2$。
接着是 $2 imes 2$ 的区域，面积 $4$。
接着是 $2 imes 1$ 的区域，面积 $2$。
这三块加起来是 $1 + 2 + 4 + 2 = 9 = 3^2$。
这三块的面积之和是 $1^3 + 2^3$。
再往外一层：
从 $3 imes 3$ 扩展到 $6 imes 6$。
新增的“L”形区域，它的面积是 $6^2 3^2 = 27 = 3^3$。
这个“L”形区域，你可以把它分成：
一个 $3 imes 3$ 的正方形 (面积 9)
两个 $3 imes 3$ 的长方形 (面积 2 3 3 = 18)
这加起来是 $9 + 18 = 27$。
这个拆分方式是错误的。
还是那个核心的“L”形区域的面积公式：$2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$
这个公式完美地解释了为什么第 $k$ 层增加的面积正好是 $k^3$。
$S_{k1}$ 是前 $k1$ 个数的和。
想象一下，我们有一个边长为 $S_{k1}$ 的正方形。
现在我们要扩展它，边长增加 $k$。
所以新增的面积可以看作是：
在原来 $S_{k1} imes S_{k1}$ 的正方形的上面和左边，各加上一个 $S_{k1} imes k$ 的矩形（共两个）。面积是 $2 cdot S_{k1} cdot k$。
再在右下角补一个 $k imes k$ 的小正方形。面积是 $k^2$。
这两个部分加起来，就是 $2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$。
而我们已经证明了，这个表达式等于 $k^3$。
所以，从几何上看，整个过程就是：
一个 $1 imes 1$ 的正方形 (面积 $1^2=1^2$)，代表 $1^3$。
在这个基础上增加一个“L”形区域，形成 $3 imes 3$ 的正方形 (面积 $3^2$)。新增面积 $3^21^2 = 8$，代表 $2^3$。
在这个基础上再增加一个“L”形区域，形成 $6 imes 6$ 的正方形 (面积 $6^2$)。新增面积 $6^23^2 = 27$，代表 $3^3$。
依此类推，直到第 $n$ 个“L”形区域形成边长为 $S_n = 1+2+dots+n$ 的正方形，其面积为 $S_n^2$。而每一层增加的“L”形区域的面积，正好是对应的立方数。
最终，整个 $S_n imes S_n$ 的大正方形的面积，就被分割成了 $n$ 个区域，每个区域的面积分别是 $1^3, 2^3, 3^3, dots, n^3$。
所以，$S_n^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + dots + n^3$。
这个图形的妙处就在于，它把一个代数关系，转化成了一个看得见的面积拼图。每次增加的那个“L”形部分，都恰好是那个立方数。这比纯粹的代数推导，要来得更直观、更有画面感。
希望这个解释，能让你更清楚地看到这个数学小秘密背后的几何逻辑。
别看这句话听着有点绕，其实它的背后藏着一个很巧妙的几何解释，或者说是一个“积木搭积木”的故事。咱们就从最简单的情况开始，一点点地把它说透。
从最简单的开始：1 的情况
咱们从最简单的情况入手。前 1 个自然数是什么？就是 1。
前 1 个自然数的立方和：1³ = 1
前 1 个自然数的和：1
前 1 个自然数之和的平方：1² = 1
看，1³ = 1²，没毛病。
稍微复杂一点：1 和 2 的情况
接下来，咱们看看前 2 个自然数。就是 1 和 2。
前 2 个自然数的立方和：1³ + 2³ = 1 + 8 = 9
前 2 个自然数的和：1 + 2 = 3
前 2 个自然数之和的平方：3² = 9
又对了！1³ + 2³ = (1 + 2)²。
再进一步：1、2 和 3 的情况
咱们再来试试前 3 个自然数：1、2、3。
前 3 个自然数的立方和：1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
前 3 个自然数的和：1 + 2 + 3 = 6
前 3 个自然数之和的平方：6² = 36
又是一模一样！1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²。
关键点来了：为什么会这样？
光看数字可能觉得是巧合，但数学的魅力就在于它的规律性和普适性。到底是什么让这个等式成立呢？咱们得找个更直观的法子来理解。
这里，咱们就引入一个“图形解释”或者说是“面积拼凑”的思路。想象一下，咱们用一些方块来表示数字的平方或者立方。
立方和的“积木”想法
咱们知道，k³ 可以看成是一个边长为 k 的立方体。但是，用体积来直接拼成一个大正方形有点抽象。换个角度，咱们把 k³ 看成是 k 个大小为 k² 的正方形堆叠起来，或者更形象地说，是边长为 k 的正方形里，从里往外一层一层“剥”出来的。
别急，我换个更直观的说法。咱们用“L”形积木来表示。
1³ = 1：可以看成一个 1x1 的小方块。
2³ = 8：这 8 个单位的立方，怎么把它跟前面那个 1x1 的方块联系起来呢？
一个经典的“等差数列平方和”的图形解释
有个非常经典的图形解释，是关于等差数列的平方和的。咱们可以借鉴这个思路来理解立方和。
想象一下，咱们有个边长为 S 的大正方形，这个 S 就是前 n 个自然数的和，也就是 S = 1 + 2 + ... + n。那么 S² 就是这个大正方形的面积。
咱们的目标是证明，这个大正方形的面积，正好等于 1³ + 2³ + ... + n³。
怎么做呢？咱们把这个 S x S 的大正方形，分成 n 个小区域，然后证明每个区域的面积正好对应一个立方数。
关键的“L”形区域
来看这个 S x S 的大正方形。咱们先画一个 1x1 的正方形，面积是 1² = 1。这对应 1³。
然后，咱们在它旁边加上一个“L”形的区域，形成一个 3x3 的正方形。这个 3x3 的正方形的面积是 3² = 9。
这个新的“L”形区域的面积是多少呢？它是 3² 1² = 9 1 = 8。
而 8 正好是 2³！
咱们再往外扩展。在 3x3 的正方形外面，再加一个“L”形区域，形成一个 6x6 的正方形。这个 6x6 的正方形的面积是 6² = 36。
这个新的“L”形区域的面积是多少呢？它是 6² 3² = 36 9 = 27。
而 27 正好是 3³！
规律出现：边长是关键
你可能要问了，为什么边长是 1, 3, 6 呢？这三个数字怎么来的？
这三个数字，正好是前 n 个自然数的和：
n=1 时，边长是 1 (1)
n=2 时，边长是 3 (1 + 2)
n=3 时，边长是 6 (1 + 2 + 3)
也就是说，当咱们考虑前 n 个自然数的立方和时，总的面积正好是一个边长为 (1 + 2 + ... + n) 的正方形。
咱们把这个过程画出来会更清楚：
1. n=1: 一个 1x1 的正方形，面积是 1² = 1。这等于 1³。这里的边长是 1。
2. n=2: 在 1x1 的正方形外面，增加一个“L”形区域，形成一个 (1+2)x(1+2) = 3x3 的大正方形。总面积是 3² = 9。
这个新增的“L”形区域面积是 3² 1² = 9 1 = 8。
而 8 = 2³。
所以，总面积 9 = 1² + (3² 1²) = 1³ + 2³。
3. n=3: 在 3x3 的正方形外面，增加一个“L”形区域，形成一个 (1+2+3)x(1+2+3) = 6x6 的大正方形。总面积是 6² = 36。
这个新增的“L”形区域面积是 6² 3² = 36 9 = 27。
而 27 = 3³。
所以，总面积 36 = 3² + (6² 3²) = (1³ + 2³) + 3³。
总结一下这个“L”形区域的面积
假设我们已经拼出了一个边长为 S_{n1} = 1 + 2 + ... + (n1) 的正方形，这个正方形的面积是 S_{n1}²。我们想知道，再加上第 n 个自然数的立方 n³，能不能拼成一个边长为 S_n = 1 + 2 + ... + n 的正方形。
新的边长 S_n = S_{n1} + n。
所以，新的总面积应该是 S_n² = (S_{n1} + n)² = S_{n1}² + 2S_{n1}n + n²。
咱们现在的目标是证明，这个新增的面积 2S_{n1}n + n²，正好等于 n³。
也就是：2(1 + 2 + ... + (n1))n + n² = n³
咱们知道等差数列求和公式：1 + 2 + ... + (n1) = (n1)n / 2。
代入进去：
2 [(n1)n / 2] n + n²
= (n1)n n + n²
= (n1)n² + n²
= n³ n² + n²
= n³
看！正好就是 n³！
换个说法，更直观地看“L”形区域
想象一下，咱们把一个边长为 S_n 的大正方形，从角落开始，一层一层地向外“剥”开。
最里面的那个小正方形，边长是 1，面积是 1²。这对应 1³。
下一个“L”形区域，是把 1x1 的正方形扩展成 3x3 的正方形所增加的部分。这个“L”形区域可以被切成两部分：
一个 1 x 2 的矩形
一个 2 x 2 的正方形
另一个 2 x 1 的矩形
总面积是 12 + 22 + 21 = 2 + 4 + 2 = 8。这正好是 2³。
更巧妙的切法是：把这个“L”形区域看成是一个（2n1）的带状区域。当 n=2 时，S_n = 3，S_{n1} = 1，n=2。这个“L”形区域的面积是 S_n² S_{n1}² = 3² 1² = 8。
这个“L”形区域的面积正好是 2(S_{n1})n + n² = 2(1)2 + 2² = 4 + 4 = 8。
还有一个更形象的切法：这个面积 2S_{n1}n + n²，可以拆成两个 n x S_{n1} 的矩形，再加上一个 n x n 的小正方形。
当 n=2 时，S_{n1}=1。就是两个 2x1 的矩形（总面积 4），再加上一个 2x2 的正方形（面积 4）。合起来是 8，正好是 2³。
再往外一层，从 3x3 扩展到 6x6，增加的“L”形区域，它的面积正好是 3³ = 27。这个区域可以看作是：两个 6x3 的矩形，再加上一个 3x3 的正方形。
不对，这个拆分法不太对。
换个更简洁的切法：
咱们考虑把 S_n² 的正方形，切成 n 个区域。
S_n² = (1 + 2 + ... + n)²
让我们来考虑一个边长为 S_n 的正方形，我们将它分割。
最里面是 1x1 的正方形，面积是 1²。
然后是一个“L”形区域，它连接 1x1 的正方形和 3x3 的正方形，这个“L”形区域的面积是 3² 1² = 8 = 2³。这个区域可以被分割成：一个 2x3 的矩形，和一个 2x2 的正方形。不对，还是不对。
从“面积”回到“L”形条
我找到一个更清晰的图示思路了。
想象你有一个大正方形，边长是 $S_n = 1 + 2 + dots + n$。
这个大正方形的面积就是 $S_n^2$。
我们将这个 $S_n imes S_n$ 的大正方形，切成 $n$ 个区域，然后证明第 $k$ 个区域的面积正好是 $k^3$。
1. n=1: $S_1 = 1$。1x1 的正方形，面积 $1^2 = 1$。这就是 $1^3$。
2. n=2: $S_2 = 1+2 = 3$。3x3 的正方形，面积 $3^2 = 9$。
我们已经知道有 1³ = 1 的面积了。现在我们需要证明，新增加的面积正好是 2³ = 8。
这个新增加的面积，就是从 1x1 的正方形扩展到 3x3 的正方形所形成的那个“L”形区域。
这个“L”形区域可以被看作是：
一个 $1 imes 2$ 的矩形
一个 $2 imes 2$ 的正方形
一个 $2 imes 1$ 的矩形
总面积是 $1 imes 2 + 2 imes 2 + 2 imes 1 = 2 + 4 + 2 = 8$。
这正好是 $2^3$。
所以，$S_2^2 = 1^2 + (3^2 1^2) = 1^3 + 2^3$。
3. n=3: $S_3 = 1+2+3 = 6$。6x6 的正方形，面积 $6^2 = 36$。
我们已经有了 $1^3 + 2^3 = 9$ 的面积。现在我们需要证明，新增加的那个“L”形区域的面积正好是 $3^3 = 27$。
这个“L”形区域是从 3x3 的正方形扩展到 6x6 的正方形所形成的。
这个“L”形区域的面积是 $S_3^2 S_2^2 = 6^2 3^2 = 36 9 = 27$。
这正好是 $3^3$。
所以，$S_3^2 = S_2^2 + (6^2 3^2) = (1^3 + 2^3) + 3^3$。
核心在于“L”形区域的面积公式
现在我们来揭示为什么这个“L”形区域的面积总是等于 $k^3$。
假设我们已经拼好了边长为 $S_{k1} = 1 + 2 + dots + (k1)$ 的正方形，其面积为 $S_{k1}^2$。
现在我们要拼成边长为 $S_k = 1 + 2 + dots + k$ 的正方形，其面积为 $S_k^2$。
新增加的“L”形区域的面积是 $S_k^2 S_{k1}^2$。
我们知道 $S_k = S_{k1} + k$。
所以，$S_k^2 S_{k1}^2 = (S_{k1} + k)^2 S_{k1}^2$
$= (S_{k1}^2 + 2 cdot S_{k1} cdot k + k^2) S_{k1}^2$
$= 2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$
我们需要证明这个 $2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$ 等于 $k^3$。
代入 $S_{k1} = frac{(k1)k}{2}$：
$2 cdot left(frac{(k1)k}{2} ight) cdot k + k^2$
$= (k1)k cdot k + k^2$
$= (k1)k^2 + k^2$
$= k^3 k^2 + k^2$
$= k^3$
Bingo！
更直观的“L”形区域的切法
前面提到的“L”形区域可以被切割成两部分：一个 $k imes S_{k1}$ 的矩形，以及一个 $k imes (S_{k1} + k)$ 的矩形，再加上一个 $k imes k$ 的正方形。这有点绕。
最直接的理解就是：
这个“L”形区域，它的宽度是 $k$。
它包含了一个 $k imes k$ 的小正方形，面积是 $k^2$。
还剩下两个 $k imes S_{k1}$ 的矩形。
所以，“L”形区域的面积是：
$k^2$ (中间的方块) + $k imes S_{k1}$ (左边长条) + $k imes S_{k1}$ (下边长条)
= $k^2 + 2 cdot k cdot S_{k1}$
这正好就是我们刚才推导出来的 $k^3$ 的形式。
打个比方
想象你是个建筑师，你要搭一个正方形的建筑，边长是 $1+2+dots+n$。
第一层，你用一个 $1 imes 1$ 的小方块，这代表 $1^3$ 的积木块。
第二层，你在这个小方块外面，围一圈积木，形成一个 $3 imes 3$ 的正方形。你新加的这一圈积木，刚好是 $2^3$ 那么多块。这一圈你可以看成是两边各搭了 $1 imes 2$ 的，再加上中间的 $2 imes 2$ 的。或者更巧妙地，你搭了两根 $2 imes 1$ 的长条，和一根 $2 imes 2$ 的正方形。不对，这个还是不太形象。
还是用图形最直观：
把一个 $S_n imes S_n$ 的正方形，想象成一个棋盘。
最左上角是 $1 imes 1$ 的区域，面积 $1^2=1$ (代表 $1^3$)。
接着是 $1 imes 2$ 的区域，面积 $2$。
接着是 $2 imes 2$ 的区域，面积 $4$。
接着是 $2 imes 1$ 的区域，面积 $2$。
这三块加起来是 $1 + 2 + 4 + 2 = 9 = 3^2$。
这三块的面积之和是 $1^3 + 2^3$。
再往外一层：
从 $3 imes 3$ 扩展到 $6 imes 6$。
新增的“L”形区域，它的面积是 $6^2 3^2 = 27 = 3^3$。
这个“L”形区域，你可以把它分成：
一个 $3 imes 3$ 的正方形 (面积 9)
两个 $3 imes 3$ 的长方形 (面积 2 3 3 = 18)
这加起来是 $9 + 18 = 27$。
这个拆分方式是错误的。
还是那个核心的“L”形区域的面积公式：$2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$
这个公式完美地解释了为什么第 $k$ 层增加的面积正好是 $k^3$。
$S_{k1}$ 是前 $k1$ 个数的和。
想象一下，我们有一个边长为 $S_{k1}$ 的正方形。
现在我们要扩展它，边长增加 $k$。
所以新增的面积可以看作是：
在原来 $S_{k1} imes S_{k1}$ 的正方形的上面和左边，各加上一个 $S_{k1} imes k$ 的矩形（共两个）。面积是 $2 cdot S_{k1} cdot k$。
再在右下角补一个 $k imes k$ 的小正方形。面积是 $k^2$。
这两个部分加起来，就是 $2 cdot S_{k1} cdot k + k^2$。
而我们已经证明了，这个表达式等于 $k^3$。
所以，从几何上看，整个过程就是：
一个 $1 imes 1$ 的正方形 (面积 $1^2=1^2$)，代表 $1^3$。
在这个基础上增加一个“L”形区域，形成 $3 imes 3$ 的正方形 (面积 $3^2$)。新增面积 $3^21^2 = 8$，代表 $2^3$。
在这个基础上再增加一个“L”形区域，形成 $6 imes 6$ 的正方形 (面积 $6^2$)。新增面积 $6^23^2 = 27$，代表 $3^3$。
依此类推，直到第 $n$ 个“L”形区域形成边长为 $S_n = 1+2+dots+n$ 的正方形，其面积为 $S_n^2$。而每一层增加的“L”形区域的面积，正好是对应的立方数。
最终，整个 $S_n imes S_n$ 的大正方形的面积，就被分割成了 $n$ 个区域，每个区域的面积分别是 $1^3, 2^3, 3^3, dots, n^3$。
所以，$S_n^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + dots + n^3$。
这个图形的妙处就在于，它把一个代数关系，转化成了一个看得见的面积拼图。每次增加的那个“L”形部分，都恰好是那个立方数。这比纯粹的代数推导，要来得更直观、更有画面感。
希望这个解释，能让你更清楚地看到这个数学小秘密背后的几何逻辑。
网友意见
这题都写过了……
直接暴力搞
注意到右端第一个级数：
第二个级数：
所以
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