什么是时间晶体？

这是一个简而短的问题，我打算给一个长又长的回答。

全网关于时间晶体的帖文还不算太多，比如近期新闻-谷歌跟普林斯顿大学合作在“悬铃木”量子计算机中实现了时间晶体-就满受人关注的。可见大家对时间晶体或者量子计算机都是充满好奇的，但似乎又不太懂怎么回事儿。

如何看待物质的新相态：「时间晶体」被实现？是否属实？

谷歌量子计算机实现的时间晶体是什么意思？

此文的目的是为了给有一定科研背景的读者介绍一下时间晶体的简短历史，以及如何构造时间晶体模型和如何实验观测。首先，结合新闻时事，来明确回复几个大家可能关心的问题：

1. 这次实现的时间晶体，是离散时间晶体(discrete time crystal, DTC)，这个概念最早是Sacha 2015年提出来的[Sacha, PRA 2015]。注意，这个离散时间晶体是不同于Wilczek 2012年提出来的时间晶体。Wilczek的想法被称之为连续时间晶体(continuous time crystal)。Wilczek最初的设想，被Bruno (PRL 2013)和Watanabe&Oshikawa (PRL 2015)否定掉了。他们的思想主要是认为平衡态下或者基态下，一个局域的系统(local Hamiltonian)是不可能自发的周期地振荡起来的。但连续时间晶体是否存在依然是有很大争议的，这个我们一会儿来介绍。离散时间晶体并不受这个No-Go定理的限制。离散时间晶体主要可观测的物理现象，就是周期加倍(period doubling)[注:更一般来说，只要是稳定的subharmonic response都可以，比如period tripling甚至是quasiperiodicity]。
2. 离散时间晶体，又叫π-spin glass(圆周率-自旋玻璃态)，合称DTC/πSG。这次实现的模型就是Khemani, Moessner and Sondhi在2016年提出来的模型(PRL 2016)。这个πSG是相对于0SG来说的，0SG是一个一维自旋链系统中的多体局域化物相(many body localization, MBL)，Sondhi是这方面的大佬，当时Khemani是Sondhi的博士生，πSG的讨论具有很多多体局域化的特征。但我需要明确指出DTC并不是MBL的子相，可以用其他非MBL的方案来实现，这些工作太多了，可见于2017-2019年诸多PRL文章中。
3. 这次在谷歌的“悬铃木”量子处理器(sycamore quantum processor, superconducting circuits based on Josephson junctions)中实现的离散时间晶体，是用来验证量子计算机模拟多体系统的稳定性，比如实现了如Flqouet MBL, DTC/πSG等。但是时间晶体跟量子计算机是无关的，它只是被在“悬铃木”的量子平台中被模拟实现了。
   实际上，我们知道DTC在2017年被实现了，在离子阱(trapped ions)和钻石色心(NV centers in diamond)中被Maryland大学的Monroe组和Harvard大学的Lukin组分别实现了，这两个文章背靠背地发表在同一期的Nature上面了(Nature 2017)。
   需要指出的是这两个工作都有Yao的参与，我想应该是他倡议的。原因有三。一个是DTC和πSG的等价性是由Nayak和Yao的2016/2017理论工作指出来的(PRL 2016/2017)，而并不是提出πSG的Kahmani等人。二个是当时Yao是Lukin的博士生，近水楼台，最有机会把当时最新的理论成果在最顶级的量子模拟平台上实现。
   同样地，这一次Princeton与谷歌的“悬铃木”合作，则可能是Khemani等人倡议。注意，各种离散时间晶体也已经在NMR体系(PRL 2018)，超流(PRL superfluid, 2018)，AC Josephson结(Nature Material 2020)，optically nonlinear microcavity (Kerr solitons) (arXiv 2020), waveguide arrays (arXiv 2020)等平台中实现了。

我们可以简单总结一下。就是，时间晶体分连续的和离散的，这一次“悬铃木”中用20个量子比特实现的是离散时间晶体，它是基于多体局域化的。连续时间晶体更难实现，是有争论的。离散时间晶体有更多候选理论模型，是容易实现的。时间晶体几乎在所有可行的量子模拟平台中被设计出来了。

谷歌和普林斯顿的这次合作工作的价值，于我个人看法来说，有三。一是它用了20个比特(qubits)，这是目前控制的最多的量子态中发现DTC。16年，Monroe组在离子阱中控制的是10个离子(相当于10个比特)。二是对于Khemani&Sondhi组来说，他们16年提出来的πSG物态在实验中实现了，对于一个理论组来说，这种理想照进现实的成就感，是无比幸福的。三是对于Google“悬铃木”团队来说，他们证明了自己的量子计算机是可以探索更奇异的量子物态的，比如MBL，多体强关联等。商业上，也是“悬铃木”一次不错的公关宣传：" 嗨，@九章，我最近做了一个时间晶体哦，小工作啦。。。"

什么是时间晶体？

时间晶体是一个新的非平衡态的物相(non-equilibrium state of matter)，它可以随着时间演化周期性地自我重复，同时自发地破坏连续时间平移不变性，或者破坏离散时间平移不变性。连续时间平移不变性指的是能量守恒，而离散时间平移不变性指的是准能量守恒。因此，通过定义可知有两种：连续时间晶体和离散时间晶体。如图一所示：

时间晶体是借鉴了通常的(空间)晶体定义的。比如石英晶体，在晶体内原子在三维空间上周期性地排列。时间晶体是特指在时间这一个维度上呈现周期性地“排列”。晶体的定义还有一个很重要的限制，就是这种空间或者时间的周期性是自发的(spontaneous)，而不是人为添加的(explicit)。对于时间晶体，也就是说，时间平移不变性自发地被破坏了，系统突然周期性地振荡起来了！

我们还需要一个条件，就是这个自发的时间晶体周期行为必须是稳定存在的。至少在可观测范围内是稳定的。这个稳定性(rigidity)是针对于热的扰动，周期的扰动，相互作用的扰动等。这个可观测物理量可以是序参量，也可以是一些合适的关联函数[注，有时候序参量并不良好定义]。这个可观测范围，是由具体系统的量子退相干时间，系统的弛豫时间和耗散时间来决定的。

最后有一点需要指出，就是，时间晶体是一个非平衡态相变。一定不是孤立系统的平衡态行为，请永动机爱好者，放时间晶体一马。通常的晶体是平衡态相变或者非平衡态相变产生，可以不做具体强调。但是，由于时间维度的特殊性，时间晶体的存在必然伴随着非平衡态动力学的过程，能量不再守恒，系统末态不再孤立。由于非平衡态动力学的复杂性会给时间晶体蒙上层层面纱，我们物理学家们常常也看不清，也琢磨不透。

有时候，物理系统可以按照经典和量子的方式来划分，因此也有另外两种：量子时间晶体和经典时间晶体。这种分类跟上面的对称性分类是交叠的。更具体的时间晶体我们会在介绍具体模型上讨论。

连续时间晶体的概念提出者是Frank Wilczek (PRL2012)，而离散时间晶体的概念的提出者应该要归功于Krzysztof Sacha (PRA2015)。目前，我们实验上实现的时间晶体都属于离散时间晶体的范畴，包括这次的“悬铃木”。而连续时间晶体呢，一言难尽，充满争议。有一个不完全的时间晶体列表，如图2所示。

离散时间晶体(DTC)的“原型机”

我们来构造一个最小的玩具模型来实现DTC好了，我们不妨叫它DTC原型机(DTC prototype)。嗯，这个叫法非常的中二，听上去又很有商业价值。不像理论物理学家总爱叫什么玩具模型(toy model)，注定没啥”出息”。根据上面直觉的时间晶体定义，我们该如何构造一个可操作的DTC原型机？

考虑一个周期性驱动的系统，它的Hamiltonian可以表示为H(t)=H(t+T)。这样的系统由于含时，因此连续时间平移不变性就不存在了( )，能量不再守恒。但它保留着离散的时间平移不变性( )，即时间平移量是nT (驱动周期的整数倍)，系统依然保持不变。这种离散的时间平移不变性的存在，使得系统存在准能量守恒。因此，根据Floquet-Bloch定理，我们可以引入准能带(quasienergy spectrum)来描述系统。如图2所示，我们给一个准能带的示意图。由于时间周期性，能带也折叠到一个环上了，即0和2π/T是同一个能量状态。这个环上，大部分的能带都是连续的，如红色的弧线描述，但是也存在个别孤立的准能量本征态，如0和π/T本征态。这个孤立的准能量本征态是非常特别的，他们可以叠加成一个猫态(cat state)，其数学形式如下：

or (1)

其中准能量差为 。根据我们的Hamiltonian H(t)，可以构造一个Poincare map (庞加莱映射)

(2)

这就是一个单周期的Floquet演化算子。由于我们只关心周期行为(stroboscopic dynamics)，我们就可以用庞加莱映射每个周期观测一次这个猫态，即

(3)

一般来说，还有一个整体的相位但它不重要。这个猫态在庞加莱映射下，表现为 ，双周期行为(period-2T)。但是准能量本征态则依然是周期行为(period-T)，即 。如果这个系统的基态就是这个猫态，那么系统就自发地出现了周期加倍行为，破坏了原本以T为周期的离散时间平移不变性。我们说这样的系统就是一个离散时间晶体。

等等，时间晶体不会这么容易就实现了吧。确实，我们还需对系统加一个小的扰动，看看这个猫态是否稳定，即 。我们注意到新的准能带会发生变形(图3)，从而破坏周期加倍行为。有两种破坏方式。一个是我们选的本征态 很接近其他体带，所以很容易被扰动项散射到其他体带上去。这个问题的解决方法是，我们需要选择那些被能隙保护的本征态，这样由于能隙的保护，小的扰动就被屏蔽了。另一个破坏方式是就算我们选择的猫态是gapped，但是小的扰动也会导致他们之间的准能量差发生偏移(shift)，即 ，那么周期加倍也将被破坏。这个问题的解决方法是，我们需要在或者本征态之间引入一个对称性。这个对称性可以进一步保护猫态中的两个本征态，在受到扰动时，只会产生总体的能量平移，不会产生相对的能量平移。因此，周期加倍依然健在！

最后一个问题，我们如何确定我们构造的猫态是系统的基态呢？这个一个微妙的问题(subtle issue)，并不好回答。如果系统的物理性质并不由猫态确定，那么就算它容许周期加倍的猫态存在也是毫无意义的。一个物理系统的主要物理性质是由其平衡态下的基态以及基态附件的元激发决定的，这种论述在周期性驱动的系统中并不奏效。因为周期系统中能量不守恒，我们不能用能量最低原理来定基态。翻开很多时间晶体的文章，你会注意到人们都避免讨论Floquet的基态问题。

那么我们是不是毫无办法了呢？那倒也不是。有一个讨巧的办法，那就是让驱动趋近于零，“拿掉驱动项”，我们看看这个猫态是否绝热地落入到静态系统的基态中。反过来说，我们的猫态，其实一开始就是从平衡态的基态中选择出来的，并不是随便选取的。当驱动加载上去，基态中的猫态自发地涌现出来了。这些周期加倍的猫态，形成了新的“基态”。

我们来看一个例子(Khemani et al. PRL 2016)：假如有一个多体局域化的自旋链系统( )，它容许自旋玻璃态的存在，

,

注意这两个态是简并的。我不想过多得分析我们是如何构造出这样一个自旋链系统的(它可以是一个加无序的横场Ising模型，这个简并的自旋玻璃态是铁磁相和顺磁相竞争的结果，可以去看原文)。注意到这个简并的自旋玻璃态之间存在一个Ising parity对称性 ，即把所有的格点的自旋翻转一下。我们可以构造一个新的量子态是X的本征态 ，我们发现 。因此，我们可以聪明地构造一个单周期Floquet演化算子(Poincare map):

其中时间 。这时候，我们随便选择一个自旋玻璃态可分解为 ，然后我们把nT周期的庞加莱映射作用上去，经过计算的运算可知

原本多体局域化的基态，变成了一种双周期振荡的自旋玻璃态。Khemani et al叫做πSG(2016)，随后Yao, Nayak等人构造了一个几乎相同的模型(2016/2017)，把它叫做Floquet time crystal或者discrete time crystal。现在我们习惯把它叫做πSG/DTC。2017年实验上就实现了这个模型。这一次谷歌也是实现的同一个理论模型。

按照我们DTC原型机的设计要求，Kehmani-Yao-Nayak等人基于多体局域化的构造方法并不是唯一的，存在很多其他构造方法，比如基于拓扑保护的Floquet拓扑相方案[Pan, PRR 2020]，基于超导/Majorana费米子的方案[Gong, PRL 2018; Alicea PRL 2020]，基于非MBL的LMG模型[Russomanno, PRB 2017]，拿掉disorders的方案[Liu, PRL 2018]。

至此，我们解释了一下下面这张图，如图四所示。

基于谐振子的DTC“原型机”

说一个段子，就是目前世上大概有两类物理学家：一类物理学家认为所有的物理现象都是自旋(all of physics is spins)；另一类物理学家认为所有的物理都是谐振子(all of physics is oscillators)。我们刚刚构造的DTC“原型机”是通过一维自旋链来实现。那么是否可以通过谐振子模型来实现呢？确实是可以的，比如Wilczek 2012年的PRL文章就是这个思路来构造的，再比如Yao近期的工作也是如此( Nature Physics 2020)。

说起来相当平庸，我们要找的非谐振子的DTC“原型机”，已经有一百多年的历史了，即所谓参量共振(parametric resonance)。我们提到的DTC的特征周期加倍行为在1831就被Faraday注意到了，1860年左右，由发现驻波的Melde，在他的著名实验中又观测到。它的一般理论是由Rayleigh引入的(1883年)。一战二战期间，由于无线电的发明和发展，人们基于参量共振的思路来构造微波参量放大器。为什么要用参量共振，而不是直接用常见的受迫振荡来构造放大器呢？原因是参量共振可以指数地放大信号，但受迫振荡只能线性地放大信号振幅。随后，1960年激光的发现催生了非线性光学的迅速发展，人们又把参量共振的思路应用到非线性光学系统中去了。其中特别重要的，如光学参量放大器(OPA)和光学参量振荡器(OPO)，几乎是现代光学实验必备之器件。另一方面，谷歌的“悬铃木”系统可以被看做是微波波段的耦合非线性参量振荡器，其中的元件超导Josephson结相对于一个非线性的电感。

数学上，参量共振的谐振子模型非常简单，即

(4)

其中h是一个小量，h<1。如果h=0，这个方程就是标准的简谐振子，即存在周期解 ，其中频率 是本征频率。如果 ，人们发现这个方程容许一个奇怪的周期解，

(5)

其中 是指数增益或者衰减的。这个因子可以解析地算出来，即 (6)

我们发现，只有当参量驱动频率满足下面的关系，

(7)

系统中的周期解(5)的振幅就可以随时间指数增加。我们注意到这个解(5)的振荡频率是 而不是 ！因此我们系统的响应周期是驱动周期的两倍，我们都得了周期加倍(period doubling)。而且，这个这个周期加倍的行为相当稳定，只要满足条件(7)即可。这个参量共振方程的半周期的解可以在Landau力学卷27章有讨论。它还有更一般的形式，叫做Mathieu方程(1868)。这个参量共振方程的量子化过程，也是非常有趣的。原因是这个周期加倍的解(5)，有一个零点平庸解，即 。这个经典零点解是容许的，虽然一点儿扰动都会使其失稳。但是在量子力学的情况下，由于量子噪声的存在，这个零点解是不存在的。量子真空是不稳定的，它会形成真空压缩态。借助于这个机制，我们可以研究动力学Casimir效应(dynamical Casimir effect，V. Dodonov et al. Physics (2020), 2, 67–104)，量子态真空压缩(Husimi, Progress of theoretical physics. 9, 381, 1953; Louisell, Yariv and Siegman, Physical Review, 1961)等。特别注意，这些解的周期加倍行为在量子化之后依然存在。

现在，唯一的问题就是这个解(5)是不稳定的(unbounded)，它随时间不断增大，因此不可归一化。因此，它现在无法成为一个时间晶体的稳流态(steady state)，也无法成为一个系统相变的序参量。但是我们可以通过添加非线性和耗散项来束缚住这个指数放大的解，让它变成一个稳流态。借用常微分方程的分岔理论来说，我们希望得到从一个不稳定鞍点解转变成一个稳定的结点(或者极限环)的相变过程。这样一个damped nonlinear Mathieu equation可以写成，即

(8)

这个方程具有周期加倍的稳流态解，可以在很多文献中找到，比如Kidachi and Onogi, Prog. of Theor. Phys., 98, 755, 1997; Rowland, Am. J. Phys. 72 (6) 2004。需要指出如果只添加耗散项，系统只会出现两支衰减的解，并不会出现出现非平庸的稳流态。相反，非线性可以使得解的增大趋于饱和(bounded)，因此是非常必要的。

对于非线性的驱动谐振子来说，想要找到它们可能存在的DTC相，更聪明的办法是寻找它们在进入混沌行为之前的周期加倍的分岔行为(period-doubling bifurcation)。通常这种周期加倍的分岔现象，是系统进入混沌状态前的一种征兆。大量的驱动的非线性谐振子模型都可以产生周期加倍的现象，比如我们熟悉的driven Duffing model, driven van der Pol oscillator等，参看维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator; https://en.wikipedia.org/wiki/Duffing_equation; https://en.wikipedia.org/wiki/Period-doubling_bifurcation; https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps. 我们必须要非常非常小心地讨论这种靠近混沌区的周期加倍分岔，因为它是很不稳定的，同时，也会表现出对初值的敏感性。

我们问一个问题来结束这一段：离散时间晶体是单粒子行为(single-particle)，多体行为(many-body)还是混沌行为(chaotic behavior)？我的看法是它是单粒子行为，因为这是最简单的图像。多体系统，可以通过相互作用和多粒子耦合(自旋-自旋耦合，或者耦合谐振子)，得到一个多体时间晶体相。但是当系统一旦进入时间晶体相后，它其实依然表现为一种准粒子的行为，即单粒子图像。或者，我们从混沌系统中去寻找时间晶体也是非常巧妙的，在一些合适的控制参数区域，可以得到稳定的周期加倍现象。注意，要把周期加倍的分岔现象叫做离散时间晶体，它的稳定性，是必须要非常小心地分析的。

基于以上关于DTC原型机的分析，我们可以用自旋，也可以用非谐振子来实现离散时间晶体。用自旋来实现DTC已经不好发文章了，同志们，用非谐振子吧！

有哪些争议之处

• 连续时间晶体到底存不存在？离散时间晶体是不是有点儿…太平庸了？

关于连续时间晶体的争论是一直存在的。13年-15年的争论，可以参看尹璋琦：时间晶体引发的争论。我就不多说什么了。近期的争论主要是由2019年Kozin写的一篇PRL引起的，他们认为长程多自旋的相互作用是可以破坏连续时间平移不变性的。Khemani et al.则认为Kozin的模型是错的；Kozin随后又一一回复了Khemani的论点。这些高手过招，可以去看看他们的原文。我也就不多说什么。

• 为什么时间晶体分成离散的和连续的？

这个问题怎么说呢。连续的时间晶体不好做，甚至并不存在。但是离散的时间晶体，是容易的。所以是有点平庸。但也许只是因为它的价值并没有被发现呢。

• 为什么时间晶体分成量子的和经典的？

因为时间晶体行为不是一个纯量子效应，因此经典波和量子波都可以出现时间晶体行为。对于一个量子系统，就是量子时间晶体，而对于一个经典系统，就是经典时间晶体。

• 时间晶体的维度问题，是一维的，二维的，三维的，还是四维时空的？

目前，离散时间晶体都是1+1维的。更高维度(空间维度)的时间晶体并没有很好的理论模型。有一个原因是高维的多体局域化(2D or 3D)似乎都太稳定；人们还不清楚是否存在高维的多体局域化。因此，基于多体局域化的离散时间晶体也就成了一个问题。另一方面，如果从period-doubling bifurcation的角度来看，越高的维度系统，越容易进入混沌区。周期加倍也就越不稳定。

• 是否需要many-body localization? 是否需要disorders?

这一点，我们是清楚的。实现时间晶体，既不需要多体局域化，也不需要无序。我们之所以有这样的刻板印象，原因是做出discrete time crystal开创工作的人，大都是从MBL出发的。因此在他们的论文中你会看到大量如何实现MBL的讨论分析。

• 最近光学上研究的photonic time crystals(Lustig, Optica 2018)或者spatiotemporal photonic crystal (Biancalana PRA 2008)是不是我们这儿定义的时间晶体？

不是。因为他们只是将光学的线性折射率作了时间周期性调制，因此只是一般的Floquet系统。这个周期性不是自发的，并不是Wilczek对于时间晶体的定义。

• 我们还可以做些什么？

我们来看一张图，如图6所示。这个图来源于Yao&Nayak 2018年在physics today上面写的review:time crystals in periodically driven systems。这个图中，他们对比了时间晶体需要满足哪些条件(多体相互作用，长程序，crypto-equilibrium[不会翻译])，而非时间晶体又不满足哪些条件。我们要做的事情，就是在各种可能的系统中弄出时间晶体来。就像我们在各种系统中弄出拓扑绝缘体一样。请把那些不可能，都一一实现了吧！

对于大部分普通人来说，时间晶体是一个很科幻的物理概念。人们会本能地对时间这个维度充满各种臆想，时间晶体有可能会演变成一个“重灾区”。而我写作的目的，是要破除那些恶意的臆想。时间晶体，要把它当做一个“晶体”来看，请不要当做“时间”来看。时间晶体，跟量子计算也没啥关系(暂时)，跟永动机什么的更是没有半毛钱的关系(forever)。原则上来说，我们需要尊重能量是守恒的，而非平衡态是复杂的。同时，现实地来说，我们也不应该关心永动机的，更应该关心如何提高机器的效率，提高各种能量之间在微观尺度下的转化效率。这才是科学家和工程师们在一直努力的方向，希望不做科研的普通人也能理解这种面朝黄土背朝天的探索方式。

对于从事相关课题专研的学者们，我想我已经很直白地提出我的看法了。如何在实验上实现时间晶体的思路，或者提出自己的理论模型，可以大致上从上面讨论中得到启发的。由于时间只有一个维度，因此时间晶体的最小模型是一维的，也是最简单的。而它的实验现象，也是比较明确的，就是出现稳定的自发的亚谐波现象(rigid spontaneous subharmonic response)。你可以慢半拍，但要稳，要稳，要像老狗一样稳。

---枫林白印(Yiming Pan)，22-Aug-2021，海法