「阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem） 」为什么反直觉？

阿罗不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）之所以被认为“反直觉”，主要是因为它揭示了一个令人不安的真相：在大多数实际情况下，我们无法构建一个完全满足我们对于“公平”和“理性”的直观期望的投票制度。 换句话说，我们希望一套投票规则能够同时满足一系列看似合理、甚至是我们理所当然的条件，但阿罗证明了，除非我们愿意放弃一些基本的要求，否则这样的投票规则是不可能存在的。

为了详细解释为什么它反直觉，我们需要先理解阿罗不可能定理的核心内容以及它所要求的几个关键的“合理”条件。

阿罗不可能定理的核心内容：

阿罗不可能定理指出，不存在一种非独裁的、能够处理三个或以上选项的排序投票方法，可以同时满足以下所有三个“最优”的社会福利条件（通常被称为“阿罗公理”）：

1. 非独裁性 (Nondictatorship): 没有一个投票者可以决定整个社会的偏好。也就是说，不存在一个投票者，其个人偏好总是被整个社会的偏好所采纳，而不管其他人的意见如何。
2. 普遍性 (Universality) 或 范围开放性 (Unrestricted Domain): 投票方法必须能够处理任何可能的个人偏好排序。换句话说，对于任何三个或更多选项，投票系统都应该能够为所有可能的个人偏好组合给出社会偏好排序。
3. 独立于无关选项 (Independence of Irrelevant Alternatives, IIA): 社会的偏好排序结果，不应该因为加入或剔除一个“无关的”选项（即不在最终比较中的选项）而改变。

除了这三个核心条件，通常还会加上另外两个条件来完善这个定理，虽然核心冲突主要体现在上述三点上，但了解它们有助于理解整体的“合理性”：

4. 帕累托效率 (Pareto Efficiency) 或 普遍同意性 (Unanimity): 如果所有投票者都认为选项 A 优于选项 B，那么社会的偏好排序也必须认为 A 优于 B。
5. 传递性 (Transitivity): 如果社会偏好 A 优于 B，并且 B 优于 C，那么社会偏好也必须认为 A 优于 C。这是理性偏好的基本要求。

反直觉之处在哪里？

问题的关键在于，我们直观地认为，一个公平的、理性的投票制度应该同时满足上述所有条件。比如：

我们当然不希望一个独裁者说了算！ 民主的核心就是避免独裁。
我们希望投票系统能够处理各种各样的意见。 任何合理的投票方式都不应该因为人们的偏好有点“奇怪”或“不寻常”就失效。
我们认为社会对选项的偏好，不应该因为我们多加了一个我们根本不在乎的选项就改变。 这听起来是如此自然和逻辑。想象一下，如果你和你的朋友们决定看电影，你们的偏好顺序是 A > B > C。现在，你们决定再加入一个选项 D，比如一个你们从来没听说过、也不感兴趣的电影。按理说，这不应该改变你们对 A、B、C 的相对偏好啊。

然而，阿罗不可能定理却告诉我们，如果你的投票系统至少处理三个选项，并且你希望它是非独裁的，并且它能够处理所有可能的偏好，那么你必然要在“独立于无关选项”这个看起来理所当然的原则上做出让步。 或者，反过来，如果你坚持 IIA 和其他合理性，那么你最终要么回到独裁，要么无法处理所有可能的偏好组合，或者出现不传递性的结果。

为什么 IIA 如此重要，而它的破坏又如此令人不安？

IIA 是一个非常强大的原则，它要求投票结果的形成是“局部的”，只取决于当事者之间的相对偏好。一旦 IIA 被打破，就意味着一个投票系统可能会出现我们非常难以接受的操纵和不公平现象。

让我们举一个经典的例子来展示 IIA 如何被打破，以及这如何显得反直觉：

情境： 有三个选项：苹果 (A)、香蕉 (B)、樱桃 (C)。
有三位选民：选民 1、选民 2、选民 3。

选民偏好排序：

选民 1: A > B > C
选民 2: B > C > A
选民 3: C > A > B

我们使用一种常见的投票方法：多数投票（Plurality Voting）或简单多数制（Simple Majority Voting），即每个选项获得最高票者获胜。 （实际上，阿罗定理适用于更广泛的排序投票系统，但多数投票可以帮助我们理解核心问题）

在没有无关选项（选项 D 不存在）的情况下，让我们看看社会偏好如何产生：

对 A 的偏好： 选民 1 (支持 A), 选民 3 (支持 A)。 获得 2 票。
对 B 的偏好： 选民 2 (支持 B)。 获得 1 票。
对 C 的偏好： 选民 2 (支持 C), 选民 3 (支持 C)。 获得 2 票。

（这里要注意，简单多数投票通常是选一个人，而不是排序。但为了说明阿罗定理，我们常常将其转换为一种对选项的比较。在更复杂的排序投票系统中，比如配额制或 Borda 计数法，问题会更明显。这里我们先简化理解。）

如果我们将这些排序转化为社会偏好，我们可能会发现传递性问题，但核心是 IIA 的破坏。

让我们引入一个“无关选项”：一个大家都不喜欢的选项，比如“坏掉的葡萄干” (D)。

假设我们现在有四个选项：A、B、C、D。

更新选民偏好排序，将 D 置于他们最不喜欢的选项之后（不影响他们对 A, B, C 的相对偏好）：

选民 1: A > B > C > D
选民 2: B > C > A > D
选民 3: C > A > B > D

现在，我们重新使用一个排序投票方法（例如，我们可以设想一个允许我们进行 pairwise comparison 的方法）。

让我们看一个最简单的 pairwise comparison 投票：头部对头部投票 (Pairwise Voting) + 多数决定。

A vs B:
选民 1: A > B
选民 2: B > A
选民 3: A > B
结果：A 胜出 (2 vs 1)

B vs C:
选民 1: B > C
选民 2: B > C
选民 3: C > B
结果：B 胜出 (2 vs 1)

A vs C:
选民 1: A > C
选民 2: C > A
选民 3: C > A
结果：C 胜出 (2 vs 1)

问题出现了！

1. 传递性被破坏了！ A > B，B > C，但 C > A。这违背了我们对理性偏好的基本认知。我们无法确定哪个选项是“最好的”。这就是著名的“投票悖论”或“孔多塞悖论”。

这个悖论本身就很令人不安了，但阿罗定理更进一步。它表明，即使我们能解决传递性问题（例如，通过某种规则选出孔多塞获胜者，或者使用 Borda 计数等方法），如果我们试图坚持 IIA，就会陷入其他问题，例如独裁或无法处理所有偏好。

现在，让我们看看 IIA 如何被这种“头部对头部”的多数投票法打破：

假设我们引入了“无关选项” D，并且大家最不喜欢的都是 D。

现在，我们的选项是 A, B, C, D。

我们看 A, B, C 之间的相对偏好， 只看它们对 D 的偏好，不改变它们对 A, B, C 的相对偏好。

A vs B:
选民 1: A > B
选民 2: B > A
选民 3: A > B
结果：A 胜出 (2 vs 1) (与之前一样)

B vs C:
选民 1: B > C
选民 2: B > C
选民 3: C > B
结果：B 胜出 (2 vs 1) (与之前一样)

A vs C:
选民 1: A > C
选民 2: C > A
选民 3: C > A
结果：C 胜出 (2 vs 1) (与之前一样)

看起来好像 IIA 没有被打破？问题在于，当选项增多时，不同的投票方法对 IIA 的反应是不同的，并且都会导致问题。

让我们换一个角度来理解 IIA 的破坏如何让事情变得反直觉。

假设我们使用一种称为 Borda 计数法 的方法。在这种方法中，我们给选项打分，比如三个选项 A, B, C，第一名得 2 分，第二名得 1 分，第三名得 0 分。然后计算总分。

原始情况 (A, B, C)：

选民 1: A(2), B(1), C(0)
选民 2: B(2), C(1), A(0)
选民 3: C(2), A(1), B(0)

总分：

A: 2 + 0 + 1 = 3
B: 1 + 2 + 0 = 3
C: 0 + 1 + 2 = 3

结果：平局！ （这已经是个不好的结果了，但让我们继续）

现在，引入“无关选项” D，并将所有人的偏好排序都改成：

选民 1: A > B > C > D
选民 2: B > C > A > D
选民 3: C > A > B > D

假设我们使用一个有四个选项的 Borda 计数法（例如，第一名得 3 分，第二名得 2 分，第三名得 1 分，第四名得 0 分）。

选民 1: A(3), B(2), C(1), D(0)
选民 2: B(3), C(2), A(1), D(0)
选民 3: C(3), A(2), B(1), D(0)

总分：

A: 3 + 1 + 2 = 6
B: 2 + 3 + 1 = 6
C: 1 + 2 + 3 = 6
D: 0 + 0 + 0 = 0

结果：仍然是平局！这似乎没啥问题。

但是，问题的关键在于，我们如何解读这些平局？不同的方法会得出不同的结果，而且这些结果可能不符合我们对“无关选项”加入后的直观预期。

让我们修改一下引入 D 的方式，让它真正体现 IIA 的破坏性：

假设我们加入的选项 D，并非所有人都排在最后。假设引入了一个 相当受欢迎的选项 E。

情境：三个选项 A, B, C

选民 1: A > B > C
选民 2: B > C > A
选民 3: C > A > B

我们使用 配额制 (Quota System) 。假设需要 2 票才能当选。

A 得到 2 票 (选民 1, 选民 3 的第二选择)
B 得到 1 票 (选民 2 的第一选择)
C 得到 1 票 (选民 3 的第一选择)

在这个例子中，我们还需要定义如何处理中间选择。这很复杂。阿罗定理的证明更依赖于数学逻辑，而不是具体的投票例子。

为什么人们觉得反直觉？

1. 我们倾向于相信“理性”是可聚合的。 我们认为，每个人的偏好都是理性的（传递的），那么将所有人的理性偏好聚合起来，形成的社会偏好也应该是理性的。阿罗定理告诉我们，在大多数情况下，这种聚合过程会导致非理性的结果（如传递性失效），或者需要牺牲其他看起来非常合理的原则。
2. 我们对“公平”的定义似乎很简单。 我们觉得公平就是不偏不倚，不让任何人独裁，并且选项的加入或删除不影响已经形成的关系。当阿罗定理指出我们无法同时满足这些看似简单的公平定义时，我们就会觉得不安。
3. 现实世界的投票看似有效。 事实上，很多国家的选举制度都在运作，似乎没有出现灾难性的结果。这可能会让我们质疑阿罗定理的普遍性，但实际上，大部分实际投票系统都或多或少地牺牲了阿罗公理中的某些条件。例如，许多国家的多数代表制（Plurality system）会产生传递性问题（尽管在两人之间投票不会），并且常常牺牲了 IIA。而那些试图坚持 IIA 的系统（如基于 Borda 计数的系统），则可能更容易受到“无关选项”的影响，或者在某些情况下倾向于中间派。

举个更直观的例子，来展示 IIA 的破坏有多么奇怪：

假设一个班级投票选班长，有三位候选人：张三 (Z), 李四 (L), 王五 (W)。

班级的偏好是：Z > L > W (这是班级的最终偏好排序)

这表明，班级认为张三是最好的，李四次之，王五最差。

现在，学校突然决定增加一个非常不受欢迎的候选人，比如“一个根本不来上课的同学” (U)。我们知道全班同学都会将 U 排在最末位。

根据 IIA 的直觉，加入 U 之后，班级对张三、李四、王五的相对偏好应该保持不变。也就是说，最终班级的偏好仍然应该是 Z > L > W。

但如果一个投票系统不满足 IIA，它可能出现这样的情况：

由于引入了 U，导致投票规则的计算方式发生了微妙变化。例如，某个投票规则在计算“最不受欢迎者”时，会给所有选项一个分数。如果所有人都认为 U 是最差的，它会得到最低分。但它可能影响了其他选项的分数计算，导致：

原本 Z > L > W，现在变成 Z > W > L。

这就太奇怪了！一个大家都不喜欢的候选人（U）的加入，竟然改变了大家对张三和李四的相对喜好！原本大家觉得李四比王五好，现在却觉得王五比李四好了，仅仅因为一个大家都讨厌的 U 被加进来了。

这种结果就是 IIA 被破坏的表现，也是它反直觉的地方。我们期望投票系统是“干净”的，不受无关选项的干扰，而阿罗定理揭示了这种期望在追求其他“好”的特性时是难以实现的。

总结：

阿罗不可能定理反直觉，是因为它颠覆了我们对“公平投票”和“理性集合”的简单直观认知。我们认为这些条件（非独裁、普遍性、IIA、传递性、帕累托效率）都是理所应当的，而且应该可以兼容。但阿罗证明了，在至少有三个选项的情况下，我们无法同时满足所有这些条件。如果坚持某些条件，就必然要放弃另一些，而这些被放弃的条件（尤其是 IIA 的破坏）往往会带来我们难以接受的、非理性的、容易被操纵的投票结果。这迫使我们在设计投票制度时，必须在这些看似合理的原则之间做出艰难的权衡和选择。

尝试用比较通俗易懂的方式答一下这个问题......

假设学校里面要选优秀学生，而选择优秀学生的主要条件是看语文，数学，英语三科成绩，假设现在候选人只有小明和小红，并且根据他们的成绩单我们可以看到这样一个结果：

语文

小明>小红

数学

小明>小红

英语

小红>小明

老师一看，哎呀，小明同学在两门都比小红同学强，说明小明同学更加全面，那就选小明了！

但是这个时候，又多加了一位候选人小刚，老师们把小刚的成绩单拿过来再综合一比较，就得出了这样一个结果：

语文 小明>小红>小刚

数学 小刚>小明>小红

英语 小红>小刚>小明

老师再一看，坏了，小刚在数学和英语上都比小明强，说明小刚比小明全面；但是小红又在英语和语文上都比小刚强，说明小红比小刚全面；这样来看小红应该比小明更加全面。可是，我们一开始的结论是小明同学比小红同学更加全面啊？！这该怎么选呢？

熟悉这个场景的朋友们都知道，这就是一个经典的投票悖论：孔多塞悖论。阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）正是投票悖论的衍生。

之所以小刚的进入会对结果产生影响，就是因为在他进入后，每一个投票者（这里是语文数学英语三门学科）都产生了一个“度”的问题。在小刚进入之前，大家只知道，小明语文数学比小红好，但是好多少？小红英语比小明好，又好多少呢？现在小刚进入了，每个人（这里是每个学科）都被迫重新评价这个“度”的问题，小刚在这里成为了一把衡量“度”的尺子，使得最终出现“小明优于小红又劣于小红”的悖论。

那么有人不服气了，这样吧，我们给每个人积分，在任何一门学科上，拿第一的积三分，拿第二的积两分，拿第三的积一分，比较总积分不就行了？

这的确是一种不错的方法，在实际投票过程中也被运用，被称之为“波达投票法”。如果按照这个制度看来，小明小红小刚都是六分，大家打平了，皆大欢喜。

可是这个时候问题又来了，小刚突然又宣布退出竞选了！原因是肚子疼还是什么其他的我们先不去管他，老师们又得重新规划了，可是这个时候按照积分制，小明还是胜过了小红啊！投票结果居然与候选人的数量有关，这个便是波达投票悖论。

有的人又说了，既然如此干脆比分数吧，最后分数加在一起，谁最高谁被选上，这个方法怎么样？

老师们经过紧锣密鼓的计算，得出了这样一份表格

这样可以很清晰的看出答案：小红>小刚>小明，让我们为小红撒花庆祝！

别急，让我们现在把情景改一下，把小明，小红，小刚视为竞选某一职位的候选人，A,B,C为三位投票人，每一科的成绩视为该人当选后对投票人的效用，于是这副表格就变成了这个样子：

从表格中我们可以看出，选择小红是最好的结果，因为小红带来的总效用最大。

但是在事实投票中存在什么问题呢？阿罗不可能定理给我们了这样几个“完美”的投票条件：

• 自由赋序：任何人的表态都不受到限制, 即不能规定某个人对备选对象的某种表 态。
• 弱帕累托(Pareto)原则：每个人都赞成的事情，就是社会应该赞成的事情。
• 对无关备选对象的独立性：当人们对两个备选对象进行评价时, 社会根据大家对它们 的态度就能决定，不必牵涉到对其他备选对象的评价。
• 非独裁 ：不能一个人说了算，而其他人的意见无足轻重。

就以我刚才举的例子来说，很显然选小红是最好的结果，选她可以给竞选人带来最大的总效用。但如果真的是三个人竞选，投票结果（按照波达投票法）将会是三个人打平。如果真的只剩下两个人（小红和小明），小红甚至会输！那么，应该怎么办呢？

一种办法是，C说，选小红，我所获得的效用比你们两个加起来所损失的效用还要大，为了社会的最优化，就决定是小红了！

A和B说：凭什么？难道不应该是一人一票吗？

C说：不行，现在我是老大，你们得听我的！

然后就选了小红，在这个场景中，的确社会总效用达到了最大化，但是它违背了“非独裁”条件，因为投票并不是一人一票的公平竞争，而是C的独裁统治——如果我们排除了人际效用的可比性，而且在一个相当广的范围内对任何个人偏好排序集合都有定义，那么把个人偏好总合为社会偏好的最理想的方法，要么是强加的，要么是独裁的。阿罗不可能定理如是说。

另一种方法是，C现在拉拢了A，A本来是准备选小明的，但是C以超过5的效用贿赂（或者叫结盟）A，导致A和C一起选小红，这个时候，同样可以达到总效用的最大化，但是它违背了“自由赋序”条件，使得A所选的并不是他真正想选的人。这样，同样也违反了“完美”投票条件的要求。

所以我们最终来看结论，阿罗不可能定理到底为什么违背我们的直觉，使得竞选人数的变化竟然会影响到我们的选择呢？就是因为每个投票人对每个竞选者选举上的效用实际上是不同的，但是在你的投票中无法直接表现出其效用的不同。在两个候选人时，你只有YES或者NO两种选择，所以没有什么直接的冲突。但是在三个即三个以上的候选人时，你对每个人被选上的效用间接的体现在你对其的排序上，无数人的效用加在一起，就出现了A>B>C>A这种奇怪的现象了。

这只是我个人的看法，欢迎大家的讨论和指证！