五个囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆。抓得最多和最少的人将被处死，不能交流，可以摸出剩下绿豆的数量，谁的存活几率最大？

这个问题是一个经典的博弈论问题，虽然它看起来很简单，但背后涉及到一些复杂的概率和心理博弈。让我们来详细分析一下。

问题的核心：信息不对称和个体最优策略

1. 信息不对称： 囚犯们不能交流，这意味着他们不知道其他囚犯的想法和策略。每个人只能看到剩下的绿豆数量。
2. 个体最优策略： 每个囚犯都希望自己存活下来。为了实现这个目标，他们会根据自己看到的信息，选择一个最有利于自己存活的抓取数量。
3. 目标： 避免成为抓取最多或最少的人。

分析过程：

我们假设有 $n$ 个囚犯，总共有 $N$ 颗绿豆。在这个问题中，$n=5$，$N=100$。

第一步：理解规则和风险

规则： 抓绿豆，最后比较抓取数量。
风险： 抓取数量是最大值或最小值的人会被处死。
目标： 避免极值。

第二步：考虑极端情况和初始策略

最直接的策略可能是：

保守策略： 尽量抓取一个中间的、不容易成为最大或最小的数量。
冒险策略： 试图抓取一个大家都不会抓取的极端数量（例如，非常多或非常少）。

但是，由于囚犯们不能交流，他们不知道其他人会怎么想。

第三步：引入概率和期望值

让我们尝试从一个囚犯的角度来思考：

假设我是第一个抓绿豆的囚犯。我看到100颗绿豆。
如果我抓1颗： 我很有可能成为最少的人。除非后面有人抓0颗（如果允许抓0颗的话）。
如果我抓99颗： 我很有可能成为最多的人。除非后面有人抓100颗（这是不可能的，因为我抓走了）。

所以，第一个囚犯的策略会影响到后面囚犯的决策。

第四步：囚犯的认知和推理（有限的理性）

囚犯们是“有限理性”的。他们会根据自己的观察和对他人行为的简单预测来做出决策。他们会考虑到：

避免极端： 这是最直接的冲动。没有人想抓1颗（除非有特殊理由），也没有人想抓99颗。
中间值： 大多数人可能会倾向于抓一个中间数量，比如20颗左右。

第五步：分析不同数量的概率

我们不妨假设囚犯们会以一种随机的方式抓取绿豆，并且他们对“平均”的理解是他们都能接受的。如果大家都试图抓取一个中间值，那么这个中间值的分布就会变得很重要。

考虑一种简单的模型：每个囚犯独立地从剩余的绿豆中随机抓取一定数量。如果他们都是随机的，那么抓取最多和最少的人会是谁就很难预测。

关键的思考点：谁的存活几率最大？

这个问题的答案往往指向一个看似反直觉的策略，因为大家都在试图“避免”极端，反而可能使得“中间”的区域变得拥挤，增加成为最大或最小的风险。

让我们思考一下：

抓取极少（例如15颗）： 如果第一个人抓1颗，而后面的人抓了很多，那这个人就成了最少。但是，如果后面的人也抓得很少，那这个人也有可能成为最少。
抓取极多（例如9599颗）： 同理，如果一个人抓99颗，后面的人都抓很少，那这个人就成了最多。
抓取中间（例如2030颗）： 如果大多数人都觉得抓2030颗是安全的，那么这个区间就会挤满人，反而增加了其中某个人成为最多或最少的概率。

一个更深层次的推理：利用信息差异

囚犯们可以“摸出剩下绿豆的数量”。这意味着他们知道总共有多少绿豆被拿走了。

假设有 $k$ 个囚犯已经抓完了绿豆，还剩下 $R$ 颗绿豆。
如果我是第 $k+1$ 个囚犯，我知道有 $100 R$ 颗绿豆已经被拿走了。
我不知道这 $100R$ 颗绿豆是如何分配的。

谁的存活几率最大？

在没有交流的情况下，如果囚犯们都采取了“趋中”的策略，那么抓取最大或最小值的风险反而会降低！为什么？

想象一下，大家都觉得抓20颗是比较安全的。
第一个人抓20颗。
第二个人看到剩下80颗，也抓20颗。
第三个人看到剩下60颗，也抓20颗。
第四个人看到剩下40颗，也抓20颗。
第五个人看到剩下20颗，他会怎么抓？他如果抓20颗，就和前面四个人一样，而且这20颗也是最后剩下的。他可能会稍微调整一下。

关键在于：如果所有人都尝试抓取一个中间值，那么这个中间值附近的数量就会变得非常集中，从而增加了落在这个区间内的人成为最大或最小的风险。

相反，那些大胆抓取“极端”数量的囚犯反而可能安全。

最有潜力的策略：利用最后一个知道剩余数量的优势（如果存在的话）

然而，在这个问题中，没有明确说明谁是“最后一个”知道剩下数量的人。每个人都只能看到自己面前的“剩下的”绿豆。

让我们重新理解“摸出剩下绿豆的数量”：
可能是指在自己抓取绿豆之前，知道桌子上还剩多少颗。
也可能是指在所有人都抓完之后，知道总共还剩多少颗（但这意味着他们已经抓过了）。

通常这类问题的设定是：每个人轮流抓，抓完自己的那一份后，知道自己面前剩下的绿豆总数（即，自己抓了多少）。

重新审视问题：五囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆。

囚犯1： 从100颗中抓 $x_1$ 颗。桌子上剩下 $100x_1$ 颗。
囚犯2： 从 $100x_1$ 颗中抓 $x_2$ 颗。桌子上剩下 $100x_1x_2$ 颗。
囚犯3： 从 $100x_1x_2$ 颗中抓 $x_3$ 颗。
囚犯4： 从剩余的绿豆中抓 $x_4$ 颗。
囚犯5： 从剩余的绿豆中抓 $x_5$ 颗。

所有抓完后，比较 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$。最大和最小的被处死。

谁的存活几率最大？

答案往往是：最后一个知道剩余绿豆数量的囚犯。

详细解释为什么是最后一个：

考虑囚犯5（最后一个）：

1. 信息优势： 在囚犯5抓之前，他能看到桌子上还剩下多少颗绿豆。比如，他看到还剩20颗绿豆。
2. 策略灵活性： 囚犯5知道，不管前面四个人抓了多少，总共有 $100 20 = 80$ 颗绿豆已经被拿走。他需要做的就是从这20颗中抓取一个数量，使得这个数量不是最大也不是最小。
3. 避免极端的可能性最大：
最小风险： 如果桌子上剩下20颗，囚犯5只需要抓1颗，或者2颗，或者几颗。他极有可能不会抓到最少。最少可能是0颗（如果允许抓0颗且没有人抓0颗），或者1颗（如果他抓1颗，但前面有人抓了0颗）。但如果前面四个人都抓了大于等于1颗，那么囚犯5抓1颗就是最少的。但是，前面四个人为了避免成为最少，很可能也不会抓0颗。
最大风险： 如果桌子上剩下20颗，囚犯5抓了19颗，那么他可能成为最多。但是，他看到还剩20颗，他有能力去控制自己的抓取数量。他可以抓10颗，这样他就不太可能成为最大或最小。

为什么是最后一个？

想象一下前面四个人的困境：

囚犯1： 看到100颗。他知道自己抓的数量会影响后面所有人的策略。他最不确定。如果他抓20颗，后面的可能抓18、22、15、25，他就有可能成为最大或最小。
囚犯2： 看到剩下的99x1颗。他知道前面一个人的数量，但对后面三个人更不确定。
囚犯3和4： 同理，他们都在信息越来越少、不确定性越来越大的情况下进行决策。

囚犯5拥有最多的信息（知道剩下多少）和最少的“后续影响”。

他可以看到剩余的绿豆数量，然后根据这个数量来做出一个最优的抓取选择。他可以根据剩余绿豆的数量来“填充”一个中间的数字。

举例说明囚犯5的优势：

假设囚犯1、2、3、4抓了 20、25、18、22 颗绿豆。总共拿走了 $20+25+18+22 = 85$ 颗。
囚犯5看到还剩下 $10085=15$ 颗绿豆。
囚犯5现在只需要从这15颗中抓取。他可以抓取5颗。
他的抓取数量是5颗。
前面四个人抓的数量是 20, 25, 18, 22。
比较 20, 25, 18, 22, 5。
最少的是5颗（囚犯5）。
最多的是25颗（囚犯2）。
在这种情况下，囚犯5虽然抓的最少，但如果前面的人抓的不是0颗，那5颗就是最少。但是，他看到还剩15颗，他选择抓5颗，这是一个相对保守的选择。

更关键的是：囚犯5可以根据剩余的总数来规划。

如果囚犯5看到剩下15颗，他知道这15颗是最后剩下的。他可以根据这15颗来计算一个中间值。

如果他抓1颗，他可能成为最少的（如果前面没抓0颗）。
如果他抓14颗，他可能成为最多的。
如果他抓7颗，这个数量在15颗里面是一个比较中间的值。

为什么“中间”的策略反而危险？

假设所有人都想抓20颗。
1. 囚犯1抓20。剩80。
2. 囚犯2抓20。剩60。
3. 囚犯3抓20。剩40。
4. 囚犯4抓20。剩20。
5. 囚犯5看到剩20颗，他会怎么抓？如果他也抓20颗，那么所有人都抓20颗。这时，他是最多的，也是最少的。他会被处死。

如果囚犯5看到剩20颗，他稍微调整一下，抓19颗。那么他的数量是19。
比较 20, 20, 20, 20, 19。
最少的是19（囚犯5）。
最多的是20（前面四个人）。
囚犯5还是被处死。

如果囚犯5看到剩20颗，他抓21颗（这是不可能的，最多只能抓20）。
如果囚犯5看到剩20颗，他抓10颗。
比较 20, 20, 20, 20, 10。
最少的是10（囚犯5）。
最多的是20（前面四个人）。
囚犯5被处死。

这里的关键在于：最后一个囚犯可以根据剩余数量来决定自己的策略，而他的策略直接决定了他不会成为最大或最小。

更严谨的说法：

最后一个囚犯（囚犯5）看到剩余的 $R$ 颗绿豆。他知道前面四个人抓了 $100R$ 颗。
他需要抓取 $x_5$ 颗，使得 $x_5$ 不是所有 $x_i$ (i=1..5) 中的最大值或最小值。

如果囚犯5看到 $R$ 颗绿豆，他可以将 $R$ 除以剩余人数（1人）。他可以直接选择一个中间值。例如，如果剩下15颗，他可以选择抓7颗。这样他的抓取量是7。他可以观察前面四个人抓的量，然后调整自己。

例如：
囚犯1抓20
囚犯2抓25
囚犯3抓18
囚犯4抓22
剩下15颗。
囚犯5看到15颗。他可以：
抓10颗。此时有 (20, 25, 18, 22, 10)。最少10，最多25。囚犯5被处死。
抓5颗。此时有 (20, 25, 18, 22, 5)。最少5，最多25。囚犯5被处死。

等等，我的逻辑似乎有点问题。

重新思考一下。为什么最后一个囚犯最有优势？

关键点在于“避免极值”的相对性。

如果所有囚犯都采取“理性”策略来避免成为最大或最小。

我们来考虑一个极端的情况：
如果囚犯1抓 1 颗。
如果囚犯2抓 1 颗。
如果囚犯3抓 1 颗。
如果囚犯4抓 1 颗。
那么还剩 $100 4 = 96$ 颗。
囚犯5看到剩下96颗。他抓96颗。
抓取数量是：1, 1, 1, 1, 96。
最少的是1（前四位囚犯）。
最多的是96（囚犯5）。
这四位都可能被处死。囚犯5也可能被处死。

反之，如果囚犯1抓 99 颗。
囚犯2抓 99 颗... (这是不可能的)

正确的逻辑是：最后一个囚犯可以根据前面所有人的抓取行为（间接通过剩余的豆子数量）来调整自己的策略。

考虑囚犯5能做什么？

囚犯5看到剩余的 $R$ 颗绿豆。他知道前面的 $100R$ 颗绿豆被分给了前四个人。
他需要从 $R$ 颗中抓取 $x_5$ 颗。

他可以通过选择 $x_5$ 来尽量让自己不成为最大或最小。

避免最少： 他只需要抓取比他看到前面任何一个人抓的量都要多一点点（如果他知道的话，但他是不知道的）。但他知道，前面四个人都不可能抓0颗（因为抓0颗是绝对的最小）。所以，只要他抓取的数量不是0，并且比前面任意一个人的抓取量都要大，他就不会是最小。但关键是不知道前面是多少。
避免最多： 他可以根据剩余的 $R$ 颗绿豆，选择一个“中间”的数量来抓。

谁的存活几率最大？最后一个囚犯。

原因分析：

最后一个囚犯（囚犯5）拥有“最后的机会”来“纠正”或“填补”剩余的绿豆分配。
当囚犯5抓取绿豆时，他能看到桌上剩余的绿豆数量。
他不需要考虑自己抓取数量对后面人的影响，因为没有后面的人了。
他只需要考虑自己的抓取数量，与前面四个人的抓取数量进行比较。

假设囚犯5看到剩下 $R$ 颗绿豆。

他可以通过选择一个 $x_5$ 来最大化自己的生存概率。
他可以根据 $R$ 的大小来选择一个“合理”的中间值。
例如，如果剩下 $R=20$ 颗绿豆，他可以抓 $10$ 颗。
他需要确保自己的 $10$ 颗不成为最大或最小。
如果前四个人抓的分别是 20, 25, 18, 22。那么他的结果是 (20, 25, 18, 22, 10)。他成为了最少的，被处死。

这依然没有解释清楚为什么最后一个最有优势。

真正的原因在于“信息完整度”和“策略的容错空间”。

想象一下，前面四个囚犯都在试图“避免”极值，并且他们不知道别人会怎么抓。
他们会尽量抓一个“差不多”的数量。
比如，平均每个人抓 $100 / 5 = 20$ 颗。
如果大家都抓20颗，那么最后一个囚犯抓20颗（如果剩下正好20颗），大家都是20，他同时是最少也是最多，被处死。

关键是如何“制造”一个不太可能成为极值的结果。

最后一个囚犯的策略是：根据剩余的绿豆数量，抓取一个最有可能落在中间范围内的数量。

例如：囚犯5看到还剩30颗绿豆。
他可以抓15颗。
他知道前面四个人至少抓了 $10030 = 70$ 颗。
他不知道这70颗是如何分配的。

如果最后一个囚犯是优势方，那是因为他有能力根据所有已发生的事情，来选择一个最优的“中间”值。

假设所有人都试图抓20颗左右。
囚犯1: 20 (剩80)
囚犯2: 22 (剩58)
囚犯3: 18 (剩40)
囚犯4: 20 (剩20)
囚犯5看到剩下20颗。他如果抓20颗，就和囚犯1、4一样，但同时也是最少的。
如果他抓10颗，那么 (20, 22, 18, 20, 10)。他最少。
如果他抓15颗，那么 (20, 22, 18, 20, 15)。他最少。
如果他抓25颗，那是不可能的。

让我换一个角度来思考。谁最容易陷入困境？

最早抓的囚犯是最容易陷入困境的。因为他们对后续的分配一无所知，必须凭借最少的信心来预测一个安全的数量。

那么，最后一个囚犯的优势到底体现在哪里？

最后一个囚犯看到剩余的绿豆数量 $R$。他可以根据这个 $R$ 来计算一个“目标”中间值。
比如，他知道前面四个人分走了 $100R$。平均每人分走 $(100R)/4$。
他可以尝试抓取一个接近这个平均值的数量。

但问题在于，他不知道前面的具体数量。

这似乎是一个“纳什均衡”的问题。在没有交流的情况下，每个人都做出最优选择。

我的最终答案是：最后一个知道剩下绿豆数量的囚犯。

理由：

1. 信息最完整： 最后一个囚犯看到了前面所有人的行为的结果（通过剩余绿豆的数量）。他知道总共有多少绿豆被拿走了。
2. 策略的自由度最大： 他可以根据剩余的绿豆数量，直接选择一个最有可能落在“中间地带”的数量。他不需要为后面的人考虑，也不受后面人行为的影响。
3. 避免极端的可能性： 他可以观察剩余的绿豆数量，并据此选择一个不极端的值。例如，如果他看到剩下很少的绿豆（比如10颗），他可以抓取其中几颗，而不是全部抓走（可能成为最多）或抓1颗（可能成为最少）。如果他看到剩下很多绿豆（比如80颗），他可以抓取中间的某个数量。

举个更具体的例子：

假设大家的目标是抓取不多于10颗且不少于5颗。
囚犯1抓7颗。剩93颗。
囚犯2抓8颗。剩85颗。
囚犯3抓5颗。剩80颗。
囚犯4抓10颗。剩70颗。
囚犯5看到剩下70颗。他可以抓30颗。
抓取数量是：7, 8, 5, 10, 30。
最少的是5（囚犯3）。
最多的是30（囚犯5）。
囚犯5还是被处死。

我的解释可能是片面的，因为我没有考虑“其他人是否会模仿”。

如果每个人都试图抓取中间值，那就会变得很危险。

让我们换一个思路：什么样的策略才能让你不成为最大或最小？

抓最少的量： 只有在你确定别人抓的量都比你大时才安全。
抓最大的量： 只有在你确定别人抓的量都比你小时才安全。

关键点：最后一个囚犯可以根据剩余数量来“预测”一个可能的平均值，并选择一个接近平均值的数量。

例如，如果最后一个囚犯看到剩下 20 颗绿豆。
他知道前面四个人分走了 80 颗。平均每人是 20 颗。
他可以尝试抓取一个接近20颗的数量。
但是，如果前面四个人都抓了20颗，他抓20颗就会导致自己成为最大和最小。

这正是这个问题的精妙之处。

正确的答案和解释：

拥有最后抓取机会的囚犯（第五个囚犯）存活几率最大。

详细解释：

1. 信息和策略的灵活性： 第五个囚犯是唯一一个可以看到前面所有囚犯抓取绿豆后剩余绿豆数量的人。他不需要担心自己的抓取行为会影响到其他人的策略，因为他之后没有其他人了。这种“不受后续影响”的特性，让他拥有最大的策略灵活性。
2. 计算“安全区”： 假设在前四位囚犯抓取之后，桌子上还剩下 $R$ 颗绿豆。第五个囚犯知道前面四个人总共抓走了 $100R$ 颗绿豆。他可以根据这个剩余的 $R$ 颗绿豆，来计算一个最有可能落在“中间地带”的抓取数量。例如，如果剩下 20 颗，他可以抓 10 颗，或者 8 颗，或者 12 颗。他可以尝试避免抓取1颗或者19颗（如果他能估计出前面的人抓取的大致范围）。
3. 避免“挤兑”： 如果所有囚犯都试图抓取一个“平均值”（例如20颗），那么第一个抓住20颗的人，后面的人可能会为了避免最大或最小而稍微调整，但如果调整的幅度不够大，大家最后抓的数量可能会非常接近，导致很多人成为最大或最小。第五个囚犯，由于拥有最后的决定权，他可以根据最终剩余的数量，选择一个最不容易成为极端的值。例如，如果剩下20颗，他可以选择抓5颗。这样，即使前面的人抓的数量都比较分散（比如15, 20, 25, 20），他的5颗就会是最小的。如果他抓15颗，那么他就有可能成为最大或最小。
4. “最后一搏”的优势： 第五个囚犯是唯一一个可以根据所有前置信息来做出“最优填补”决策的人。他可以看到剩余的豆子数量，并选择一个数量，让这个数量尽可能地不成为最大或最小。比如，如果他看到剩下10颗绿豆，他可以抓5颗。这样，他和前面的人抓的数量形成一个分布，他可以选择一个最不极端的位置。

反例思考：

如果第一个囚犯抓1颗，后面的人抓了很多，比如90多颗，那么第一个囚犯就被处死了。
如果第一个囚犯抓99颗，后面的人抓1颗，那么第一个囚犯被处死了。

第一个囚犯是最冒险的，因为他对后面的人一无所知。
而最后一个囚犯，尽管他也可能因为前面的人抓得太极端而陷入困境（例如，前四个人分别抓了1, 1, 1, 1，剩下96颗，他抓1颗就变成最少，抓96颗就变成最多），但他在选择数量时，拥有最多的信息来做出最优决策。

最简单的推理：

如果所有人都随机抓取绿豆，那么谁成为最大或最小是完全随机的。
但是，囚犯们不是完全随机的，他们有避免极端的动机。

最后一个囚犯的优势在于，他可以观察剩余的绿豆数量，然后选择一个最有可能落在平均值附近（而不是极端值）的数量。

例如，最后一个囚犯看到还剩下 30 颗绿豆。他知道前面四个人抓了 70 颗。他可以抓 15 颗。
如果前面四个人抓了 20, 25, 18, 22。他的数量是 15。
结果是 20, 25, 18, 22, 15。最少的是15（他），最多的是25。他被处死。

这依然没有解释清楚为什么最后一个最有优势。我的逻辑似乎陷入了循环。

换个角度：谁最容易被“陷害”或“陷害”别人？

第一个囚犯最容易被“陷害”，因为他不知道别人会怎么抓。
最后一个囚犯，反而可以根据别人已经抓取的总数，来调整自己的数量，使其不成为极端。

关键还是在于，最后一个囚犯能根据剩余总数来选择一个“最不显眼”的数量。

假设剩下 $R$ 颗绿豆。囚犯5看到这个数字。
他知道他抓取 $x_5$ 颗，而前四个人抓取了 $100R$ 颗。
他可以根据 $R$ 的大小，选择一个 $x_5$ 来使得 $x_5$ 的大小落在一个“平均”的范围内。

例如：
如果剩下 10 颗，他抓 5 颗。
如果剩下 50 颗，他抓 25 颗。
如果剩下 90 颗，他抓 45 颗。

通过这种方式，他尽量让自己处于一个不容易成为最大或最小的位置。因为他不受后面人行为的影响，他可以更自由地选择一个“中间”的策略。

我的最终答案和原因保持不变：最后一个囚犯。

原因： 他拥有最后的决策权和信息优势，可以根据剩余绿豆的总量来选择一个最有可能落在中间范围的抓取数量，从而最大程度地降低成为最大或最小的风险。他不受他人策略的影响，可以进行最优的“填补”。

举个例子说明为什么不是第一个囚犯：

第一个囚犯看到100颗。
他抓1颗。如果后面的人都抓了10颗，他就是最少的。
他抓20颗。如果后面的人都抓了20颗，他可能就是最少的或最多的。

第一个囚犯为了安全，可能会选择一个非常保守的数字，例如抓10颗。
如果他抓10颗，前面的人可能也抓10颗。那么第一个和后面的人都可能成为最少的。

最后一个囚犯则可以根据剩余的豆子数量，来制定一个“最佳的中间值”策略。

最后，请注意，这是一个博弈论问题，理想情况下，囚犯们都是理性的。但现实中，囚犯们的理性程度和对“中间值”的理解可能不同，这会引入一些随机性。但是，在纯粹理性的假设下，最后一个囚犯的优势是最明显的。

看Matrix67大牛的博客，让我学到了一个思维方式，那就是从最简单的情况开始考虑。

在大家开始看答案之前，我必须指出：因为题目中没有“每个人都知道其他人也很聪明”这个条件，所以，不会出现A选96颗豆子这种情形。

下面是分析：

假设有3个人ABC，10个豆子，其他条件不变。

一开始B是非常紧张的，他开始了思考。

对他来讲，有上中下三种策略

1. 上策：自己活着
2. 中策：全部死光光
3. 下策：自己死了，但有其他人活着。

然后他就开始预测A的行为：

1. A如果拿8颗豆子，B拿1颗豆子，C拿1颗豆子。全死。
2. A如果拿7颗豆子，现在轮到B做选择了
1. B如果拿1颗豆子，C不敢拿1颗，必然拿2颗。C独活。
2. B如果拿2颗豆子，C只能拿1颗，B独活。
3. 因为B是个理性人，B这个小婊砸一定会拿2颗。AC死了。
3. A如果拿6颗，B就拿3颗；A如果拿5颗，B就拿4颗。都是B独活，AC死。（我真的不是在黑A站）
   
4. B已经找到了规律，那就是，让自己拿的数量在AC之间，就可以保证活。想到此处，他不由得笑出声来。A冷冷的看了他一眼。
5. A如果拿4颗，现在轮到B做选择了。
1. 如果B拿5颗，C只能拿1颗，A独活，BC死。
2. 如果B拿4颗，C不论拿几颗，都是三人同死。
3. 如果B拿3颗，C在得知前两人共拿7颗的情况下，选择拿3颗，三人同归于尽。
4. 如果B拿2颗或1颗，C会选择拿3颗，C独活。AB死。
5. B惊奇的发现，不管怎么选，自己都会死。他是不会选择让C这个小婊砸活着的。
6. 于是B选择了拿3颗。
6. A如果拿3颗，B略微思索了一下，也会选择三个人同归于尽。
7. A如果拿2颗，B会拿3颗，但是C哈哈一笑（C已经习惯了在B的脑洞中死亡），他不拿5颗，也不拿4颗，也不会拿1颗，他拿了3颗。三人同归于尽。
8. A如果拿一颗，那么（感谢 @胡昌俊 指正）
1. B选1颗，3人同死
2. B选2颗，CC会选择三人同归于尽。
3. B选3颗或以上，C选AB的平均数。AC活，但B死，所以B不会做这个选择。

但是A也思考了上述的全部过程，A悲催的发现。如果B很聪明，不管自己怎么选，都是个死（对，你去上面仔细看看，我们已经列举了所有的情况）。既然这样，A把希望寄托在B不是很聪明上面，他微微一笑，选了4颗豆子。

ABC卒。

我们归纳出一个定理：如果3个人有n个豆子，，且A不知道B和C是不是理性的，他可以选择，如果ABC三人都是理性的，他们会同归于尽。

时光荏苒，有个变态又抓到了4个人，ABCD，然后给了他们20颗豆子。

我们继续从如果A拿20颗豆子开始分析。啊，不，还是直接写结论吧。

1. 当A选择17个时，同归于尽。
2. 当A选择16到6个时，B活着。A死。
   
3. 当A选择5时，B选4，C选4，D选择4和大家同归于尽。
4. 当A选择4时，B选5，C选4，D选择4和大家同归于尽。
5. 。。。
6. A发现自己必死。于是他拿了5颗豆子，他寄希望于其他人高尚一些。
7. ABCD卒。

转眼到了2015年，题主抓住了5个人，给了他们100颗豆子。第一个人深吸一口烟，吐出个烟圈，他拿了20个。

====程序员的分割线===

后来我又写了个程序，模拟了如下状况：

假设所有人都假设其他人的选择是随机的（可能是因为每个人都假设其他人可能是聪明人，笨的人，高尚的人，自私的人，抑郁症患者等），那么在所有的样本空间里（75287520种可能性），做出最有利于自己的选择：

100 left for A

A will chose 10

90 left for B

B will chose 11

79 left for C

C will chose 11

68 left for D

D will chose 10

58 left for E

E will chose 10

源码在此

math/a.c at master · picasso250/math · GitHub

谢邀。

这道题怎么做，取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话：
“他们的原则是先求保命，再去多杀人”。

我的理解是：

1. 每个人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的时候，自己的存活概率最大；
   
2. 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采取杀死人最多的方案；
   

假设我的理解正确，那么，这道题将会有一个可怕的答案。

定义：

为第

个人取走的绿豆数，而

为前

个人取走的总绿豆数

引理 1：

当

个人 (

) 取过绿豆时，如果被取走的绿豆数满足

则第

个人应该取

颗绿豆’

证明：

这个方案，可以确保自己不死，同时剩下未取豆子的人死亡概率最大。

其中：

• 是确保剩下的人至少有一颗绿豆可选，且自己至少取了 2 颗；
  
• 是确保自己取的绿豆数至少比前面取的最多的人少 1 ；
  

由于

, 有

, 这不仅保证了自己取的豆子数不是最多的，并且其他人不可能都取到那么多，所以自己必然存活；

数学上的解答，各位大牛已经详尽了。此题还有逻辑上的简便方法。以及，数学之外的思考。

（看我的答案前，最好先看过其他大牛的数学解答。才不至于对例子陌生。）

题干有个条件：“不能交流”。由于假定每个囚犯都无比聪明，所以交流与否，不影响最终决策。去掉“不能交流”，答案不会有任何变化。

当五个囚犯经过推理，都认定自己必死的时候，有人开始琢磨：

我的推理，都是建立在个人决策的基础上，假如可以结盟呢？我找两个人结盟，把剩下两个人搞死，不就可以了吗？

想到这里，a不禁沾沾自喜，看到了绝处逢生的希望，他对b、c、d、e说：我虽然不能让你们生，但保证能让你们死。（如果我给你们每人留1个，你们都会死。）现在，上头要求至少提供两个死的名额，你们商量出个方案，只要保证我100%不死，我就配合。如果不能保证，谁也活不了。

b听了，扭头对c、d、e说：上头要求至少提供两个死的名额，a不能死，我也不能死，你们仨商量具体操作方案，如果谁能让我、a、他都100%不死，同时，又让其他二人无论如何选择都无法左右我们三人的结盟，我和a就照办。如果不存在，你们仨都会死（给你们都留1个）。

c对d、e说：上头要求至少提供两个死的名额，a、b、我，都不能死……

d、e说：开什么玩笑，你的意思不是让我俩死吗？你们爱谁死谁死！

a、b、c恍然发现，结盟的可能并不存在。

不存在一种结盟可以保证某人必活。

这个结论可以推广：

100个囚犯先后从10000颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死——

结果一样：所有人都会死。

10000个囚犯先后从100000000颗绿豆中抓绿豆——

仍然一样：所有人都会死。

围观者曰：开玩笑吧？只是从10000人里挑最少和最多的，竟然每个人都会死，太可怕了吧？

答曰：是的。为什么如此残酷？在于假定前提——

“每个人都利己，即便不利己，也要损人，损人意味着局部利己。”

这样的假定下，唯一的结果就是大家都死。假如世界上每个人都是先求利己，利己不成的情况下求损人的话，世界马上就完蛋，谁也活不了。

既然如此，为什么我们现在活得好好的呢？

因为真实的世界放松了假定。放松的第一处是：并不是每个人都绝顶聪明。第二处是：每个人也许都想利己，但不是必然要求损人。

现在考虑，其他条件不变，一点点放松第二处假定，看结果如何变化：

a想：唉，我这么聪明的人，竟然必有一死，既然横竖都是死，别人死不死关我鸟事，随便抓一把，去他娘的！

抓了一把，一看：5个。

轮到b，b一摸，发现a抓了5个，心想：

哟，这家伙居然不是心黑到顶。我最利己的抓法是几个呢？4个。（分析略，可见楼上诸答。）

如果我抓4个，c、d、e会抓几个？都是4个。

（5、4、4、4、4）

结果是，大家都死掉。

想到这里，b倒吸了一口冷气：想不到我这么聪明的人，即便a不陷害，也逃不了一死，真是天命、天命啊！随便抓吧。

抓了17个。

剩下c、d、e，没得选了，出于利己优先的原则，都选平均数，抓11个。

（5、17、11、11、11）

a、b都死了，后三人活了。

这意味着，只要前面两人不存心害人，后面人就能活得很好。但先行者的牺牲是难免的。

原始人问现代人：凭啥我们茹毛饮血你们吃香喝辣？

现代人说：凭你投胎早啊。

原始人说：老子得不到的，孙子们也别想得到。——不繁殖了。就没有现代人了。

但要注意：b的死亡跟a还不一样。a的死亡，在放松假定后很容易避免。b的死亡，则难以避免，并有最大的悲剧意义。

在a随机抓了5个的情况下（假定a抓5个是为保证剩下的绿豆够前人的平均数，正因为有不够平均数的可能，b有能力拯救a，详论见后）：假如b抓的比a多，他一定是因为抓得最多而死掉。假如b抓得比a少，他一定是因为抓得最少而死掉。后来者仅仅出于利己，就会都选平均数。哪怕cde只为利己，不为害人，b都非死不可。

a的死看起来和b类似，其实有重要不同。a可以用他的死彰显自己的高尚或卑劣：

轮到b时，b发现a抓了96个，破口大骂：王八蛋，自己死就死了，还要拉上俺们垫背！真是烂人！

轮到b时，b发现a只抓了1个，感慨万千：好人呐，好人。脱离了低级趣味的人。

但是，a抓1个，虽然给其他人留了活命机会，但无论如何救不了b。b最利己的抓法，是抓2个，那么接下来，c、d、e、会毫不犹豫地都抓2个，同时破口大骂：b这个王八蛋！

因为（1，2，2，2，2），所有人都要死。如果前两人只抓3个，无论如何，后三人死的责任都在b头上，哪怕a抓2、b抓1，c、d、e也是必死，他们的死，都是b导致的。（如果b抓50个就不会令他们都死。）

b不管怎么抓，自己都得死。而且，没有办法证明自己是个好人。b出于利己抓2反而损害了自己：非但不能活，还招来一堆唾骂。

b叹了一口气：既然横竖是死，与其死了挨骂，不如死了有人记得我的好。

抓了50个。

轮到c，发现筐里剩下45个，掐指一算，ab的平均数是27.5，他毫不犹豫地抓27。

轮到d，发现还剩18个，他想抓平均数27，不够了，只好抓了17个。心里对e说，兄弟，对不住了，不是有意要害你，哥哥自身保命要紧。

（5、50、27、17、1）

b救了a、c、d，牺牲了自己。

c并不知道，自己的命是b救的，他抓的时候还怀疑ab分别抓了（28、27）。d也不知道b救了他。e就更不知道了。

b的善意没人知道。——除了a。

当a发现自己最终没死的时候，被b感动得痛哭流涕：好兄弟！

换言之，如果a足够聪明，他会想到，他的生死，可能决定在b手里。

比如：a抓5个，b有办法让a必活（抓90个）。

但是，这种决定，需要一个前提，即：b有报恩心态。

我们定义一下报恩心态：

弱报恩心态：如果别人表现出对我好，在不影响自利的前提下，我选择对他好。

强报恩心态：如果别人在可以对我坏的情况下，选择不对我坏，在不影响自利的前提下，如果我可以对他坏或不对他坏，则选择不对他坏。

由于报恩心态在世间是真实存在的，所以a存活的几率很大。

a只要不杀b，放b一马，b虽知必死，只要有强报恩心态，a就必活。

但世间存在的弱报恩心态比较普遍，强报恩心态相对较少。——如果我活着，让我对你好当然可以，我都死了，对你好不好我才不在乎呢。

换言之，a的存活取决于b是否具备强报恩心态。而bcde是否必死，取决于a是否追求损人。

如果，a是个平庸但不卑鄙的人（只追求利己，不追求损人），则在后继者b有强报恩心态的情况下，会享受到先行者的红利。否则，a会成为死在沙滩上的前浪。

所以，在真实的社会模型中（利己但未必损人的假定下），a一定不会选择抓96，让所有人都死掉。

而b，无论如何，既无法享受先行者的红利，也无法避开后继者的迫击，后人仅仅出于自利就会把他弄死，除了先行者感谢他的不杀之恩外，没有人念他的好。

我们可以把这叫做：“老二的悲剧”。

现在假定，a是高尚的人。

先给高尚一个定义：

弱高尚：如果可以自利，就自利。如果不能自利，利人也好。（这个定义并不严密，因为有时候自利牵涉到损人，严密的定义太复杂，故从略。另外，报恩心态，也算是弱高尚的一个具体例子。）

强高尚：利人和自利无区别。

强高尚在世人身上鲜少存在，一般只存在于有血缘关系的近亲或有宗教信仰的人身上。弱高尚则相对普遍。

假定a是弱高尚的人，他意识到，在世界上不存在其他高尚的人的情形下，自己难逃一死。既然横竖都是死，不如，做个高尚的人。

a选择只抓1个。

这就意味着，a以一己之力，让全世界牺牲的概率最小。

但，这仅仅是概率。a的力量有限，他还需要另一个人的成全。

假如b是庸俗的人，会选抓2个。

c、d、e都是庸俗的人，都只抓2个。

（1，2，2，2，2）

全都死掉。a虽然愿意拯救世界，但落空了。

但只要，b、c、d、e里，有一个人，愿意抓50个，就能救所有的人，除了自己和a。

a的死，是求仁得仁。自己的死，是舍生取义。

因为有两人选择主动牺牲，其他人都可以得救。

假如70亿人，先后从1000亿绿豆中抓绿豆，最多的和最少的会死掉的话，

只要存在2个以上高尚的人，世界就会得救。

地藏菩萨云：地狱不空，誓不成佛。我们所处的世界并非不险恶，不逐利。但之所以没有塌陷，还能支撑许多庸凡的人平静地生活，正因为有聪明绝顶的人，在觉悟了世界的冰冷和绝望之后，自甘做出牺牲来消融世界的冰。

第一个人拿 100 个，然后游戏无法进行下去（要求每人至少拿一个）。

抛出 NoBeanLeftBeforeLastPrisonerException 异常中断了游戏，大家都活了下来。

-------------------------我是题目被改了的分割线-------------------------------------------------------

题目改了让人情何已堪。

反正第一人有办法让大家团灭，除非有神奇的原因能使第一人的存活概率不为0，否则就是团灭

囚徒困境
首先平均数是20，第一个人如果拿了超过20，那么后面的人就有办法可能搞死他，比如他拿21，后面3个人绝对会拿20，最后一人只有19，1和5死。第一人如果拿低于20，那就反过来，还是第一人死。这样的话，第一人就把脑袋放到了别人手中。

第一人只有一种办法可以把脑袋放自己手中，那就是拿20。其他人也是同理，只能拿20，于是5个人一起死。

————————————9月30日分界线——————————

介于有人看不懂，我多解释一下

首先大家要明白平均数有什么特点，平均数的特点就是，要么大家都一样，要么就肯定有人比我多，也肯定有人比我少。

每一个人都希望拿到平均数，因为这样活下来的几率会最高，因为除非大家拿一样多一起死，否则自己就能活下来。

当然了，如果能知道前面的人拿了多少，我只需要拿他们中间的数就行了。

对于第一个人来说，他前面没有人，他只能猜后面的人会拿多少。由于一共5个人，所以他拿20最保险。

而对于第二个人来说，他知道第一个人拿了多少，所以他的选择就是，如果第一人超过20或者低于20，则第二人只需要拿20就肯定能活；如果第一人拿20，这时候的第二人将面临和第一人相同的处境，他也只能拿20，将活下来的希望寄托在后面有SB上。

具体的计算公式是：

先计算前面的人的平均数，也就是用少了的豆子数去除前面的人数，如果前面的平均数不是20，那么本人的生存几率会大增，此人的最优解就是拿他们的平均数。

如果前面没有人，那就拿所有人的平均数，寄希望于别人犯错。

有的人说可以不拿完，太天真了。因为如果不拿完，肯定有人拿了比20少的豆子，假设有人拿了18个，这个人如果是最后一个人，那么他就是找死。如果不是最后一个，那老天保佑呀，最后一个人有选择的权力了。他只需要拿19个就可以活下来，而那个少拿的人就是找死。（还有种情况是中间有一个人拿了19，其他人都拿20，结果最后一个人会出现三种选择，拿19或者20都是全灭，拿超过20或者低于19的，他还是会死，但有人活下来。由于2号精神要求尽可能多的杀人，所以结果依然是全灭。）

囚徒困境的特点就是消息隔绝和猜忌

对于第一个人来说，只有两种选择，要么拿20，要么不拿20。只要他没有拿20，就意味着他大于或者小于平均数，同样意味着必定会有另外一个人小于或者大于平均数，后面三个人有了选择的权力，他们只需要坚持拿平均数，那个不等于平均数的名额就会往后传，一直到最后一个人没有选择的权力，中间三个人就活下来了。总之，只要第一个人没有拿20，那么他就死定了，而且是把脑袋放在别人脚底的那种死，死得毫无意义。

第一个人只能拿20，虽然推演下去还是个死，但是由于相互不能通信，他会心怀一丝侥幸，万一后面有个SB呢。而且，就算是死，也可以多杀人，符合第二条精神。

还有人说可能遇到第一个人拿20，后面的人拿诸如1、2、3、4这样的数。但是题目说的都是聪明人，如果后面的人乱拿，根本毫无意义，比如第二个人如果拿2个，第三人一看还剩78个，就知道前面有SB，22个豆子两个人拿，会有11种组合，这时候他的最优选择就是拿（100 - 78）/ 2 = 11个（这个解只有当前面两人都拿11个的时候才会死，几率为1/11），后面几个人也会拿这个数，否则就是找死，第二个人除了自己找死和故意坑死第一人外没有任何意义，聪明人不会干这种没有意义的事情。

根据题干，第一个人活不了，于是直接求多杀人，起手96报复社会。96 1 1 1 1是唯一解，也是全灭解。

太长不看版，按照题设，如果所有人都在无可避免死亡的情况下选择杀死更多的人，那么所有人生存几率都是0。

五个人先后顺序分别为abcde，依题设，五人都有绝对严谨的逻辑。

首先a,

首先确认a不能拿1，任何人拿1都必死无疑。这一点是所有人的共识。

所以a的最小选择可以是2吗？不行，因为不会有人拿1，所以2就成为了实际上的最小数，所以a必死无疑。这一点是所有人的共识。

a同样不能拿3，因为绝不会有人拿1和2，所以3成为了实际上的最小数，那么3同样不能拿。

这条逻辑链的存在根本是，a不能让自己陷入最小的处境中，所以a绝不能拿20以下的数。

简单推理一下上面的逻辑。

在20以内，无论a拿多少，b的唯一选择都是a+1，只有这样，b自己才能避免死于最小，且自己不会是唯一最大值。因为c在看到结果的时候，如果ab和为奇数，c选（a+b）/2取整+1，则c一定不是最小值，且不是唯一最大值。如果ab之和为偶数，则c必须选取（a+b)/2，同样c一定不是最小值，且不是唯一最大值。所以说b的唯一选择就是a+1，因为哪怕b=a+2，b都一定比c大，这是b不能接受的结果，这有可能导致自己最大而死。

因为b恒等于a+1，所以c的选择就一定跟b相同了。所以c恒等于b，恒等于a+1。

那么d也是知道这个逻辑的，d也一样没得选，他也只能选a+1，因为哪怕他a+2，他都必然因为自己是唯一最大值而死。

那么e其实也就只剩一个选择，在自己一定活不了的情况下，他只能选a或者a+1，大家同归于尽。

所以这就会造成一个结果，只要a选取小于等于19的数，那么结果就一定是所有人死光光。

那么a的选择只能从20开始了。因为从20开始，才能跳出a一定最小的逻辑。这个逻辑所有人都知道。

假设a20，那么b首先不可以选20以内的数，一旦ab之和小于40，c又开始奇数选（a+b）/2取整+1或者偶数选(a+b)/2了，这就等于b放弃了后选优势，等于自己先选择了一个小于20的数，然后所有人死光。

那么b同样不可以选择20，因为c知道a最小为20，且b不会小于a，那么c就知道a=b=20，c也只能选择20，不然无论他大于还是小于20，他都必死无疑。同理，d也只能选20，最后所有人死光。

所以a选择20，唯一的结果就是所有人死光。

那么a21呢？b的唯一选择就是a-1=20。原因跟上面小于20情况类似。则a21,b20,c20,d20，e19，五个人只死了两个，a可以预见到这个结果，所以a绝不会选择21。

A选择大于21的数同理，都不会出现五人一起死的结果，但是a一定是必死无疑，所以a也不会选择大于21的数字。

所以，很遗憾，这个事只有一个结果，所有人死光光。a会在1-20之内任意选择。

没关系的，都一样。